第三章 导数与微分 小结

大学微分知识点总结一、导数与微分的概念1. 导数的定义函数y=f(x)在点x0处的导数，定义为：f'(x0) = lim Δx→0 (f(x0+Δx)-f(x0))/Δx如果这个极限存在，就称函数在点x0处可导，导数的值就是这个极限值。

2. 导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)，表示函数在这一点的切线的斜率，也就是函数在这一点上的瞬时变化率。

3. 微分的定义函数y=f(x)在点x0处的微分，定义为：dy = f'(x0)dx这个式子表示函数在某一点上微小的变化量dy与自变量的微小变化量dx之间的关系。

4. 微分的几何意义函数y=f(x)在点x0处的微分dy，是函数在这一点处的切线上的微小变化量，它与自变量的微小变化量dx之间存在着近似的线性关系，这个关系即为切线的斜率。

二、导数与微分的运算法则1. 基本导数常数函数的导数为0，幂函数的导数为nx^(n-1)，指数函数的导数为e^x，对数函数的导数为1/x，三角函数和反三角函数的导数等等都是微分学中比较基础的内容。

2. 导数的四则运算函数的和、差、积、商的导数与原函数的导数之间也有着一定的关系。

比如(f+g)' = f' + g'，(f-g)' = f' - g'， (fg)' = f'g + fg'， (f/g)' = (f'g - fg')/g^2。

3. 链式法则如果函数y=u(x)和v(x)都可导，那么复合函数y=u(v(x))的导数可以用链式法则表示：dy/dx = dy/du * du/dx4. 隐函数的求导当一个函数y=f(x)在方程F(x,y)=0中不能显式表示y时，此时的求导需要用到隐函数的求导方法。

5. 参数方程的求导当函数y=f(x)由参数方程x=x(t)，y=y(t)确定时，此时的求导需要用到参数方程的求导方法。

导数与微积分解析与归纳微积分是数学中的一个重要分支，通过导数的概念与运算，可以求解方程、研究变化率、描述曲线等。

本文将对导数的定义、性质以及微积分的应用进行详细的解析和归纳。

一、导数的定义与性质导数是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

设函数f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0)，可以按照以下方式进行定义：f'(x0) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗其中，lim表示极限运算，h为自变量的增量。

通过求导数可以得到函数在该点的斜率，进而可以研究曲线的变化情况。

导数具有一些性质，比如线性性、乘法法则、链式法则等。

其中线性性质表明对于函数f(x)和g(x)，以及实数a，有如下等式成立： (af(x))' = af'(x)(f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)乘法法则以及链式法则提供了求解复杂函数导数的方法，使得微积分的应用更加灵活多样。

二、微积分的应用微积分的应用广泛，涵盖了数学、物理、经济等众多领域。

以下是微积分的一些常见应用：1. 曲线的切线与法线：导数描述了曲线在某一点的斜率，因此通过求导数可以求出曲线在特定点的切线方程。

切线是曲线在该点的最佳近似线性模型，具有重要的几何和物理意义。

2. 极值与最优化：通过求解函数的导数，可以确定函数的极值点。

当导数为0时，函数取得极值，进而可以对函数进行最优化设计，例如求解成本最小、利润最大等问题。

3. 函数的图像和变化：导数可以用来研究函数的图像特征，包括函数的增减性、凹凸性、拐点等。

通过分析导数的符号及变化情况，可以了解函数的整体变化趋势。

4. 积分与面积计算：积分是导数的逆运算，可以通过积分求解曲线下的面积、弧长等。

微积分的基本定理提供了将积分与导数联系起来的方法，为求解复杂问题提供了便利。

总结导数是微积分的核心概念，通过对导数的定义与性质的理解，我们可以更深入地掌握微积分的原理与方法。

导数与微分的总结导数和微分是微积分学中的两个重要概念，也是研究函数变化的基础工具。

本文将从定义、性质、应用等方面对导数和微分进行总结。

一、导数的定义和性质导数是函数在某一点上的变化率，用极限表示形式可以定义为：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当x→x0时，存在有限数L，使得lim (f(x) - f(x0)) / (x - x0) = Lx→x0这个极限L称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或dy/dx|_(x=x0)。

导数具有以下性质：1. 导数的存在性：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，则f(x)在x0处可导当且仅当上述极限存在。

2. 导数的几何意义：导数表示了函数在某一点的切线斜率。

当函数在某一点可导时，这条切线的斜率就是导数的值。

3. 导函数：若函数f(x)在定义域内的每一点都可导，那么对应的导数函数就是f'(x)，称为原函数f(x)的导函数。

4. 导数的四则运算：导数具有加法、减法、乘法、除法的运算法则，即d(u + v)/dx = du/dx + dv/dx，d(u - v)/dx = du/dx -dv/dx，d(uv)/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)，d(u/v)/dx = (v(du/dx) -u(dv/dx))/v²。

二、微分的定义和性质微分是描述函数变化的一种近似方法，它比导数更加具体。

对于函数f(x)，在点x0处进行微分可以表示为：df(x) = f'(x0)dx其中，df(x)称为微分，dx称为自变量的增量。

微分具有以下性质：1. 微分的近似性：微分是函数f(x)在点x0处的变化的近似值，当dx趋近于0时，微分趋近于函数的实际变化值。

2. 微分的几何意义：微分可以理解为函数在某一点上的线性逼近，它是函数值在该点的变化量。

3. 微分与导数的关系：对于可导函数，微分与导数的关系可以表示为df(x) = f'(x0)dx。

导数微分知识点总结一、微分的定义微分是微积分中的基本概念之一。

在微积分中，微分是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。

设函数y=f(x)，若x在x_0处有一个增量Δx，对应的函数值的增量Δy=f(x_0+Δx)-f(x_0)，那么函数f(x)在点x_0处的微分dy=f'(x_0)dx，其中f'(x_0)是函数f(x)在点x_0处的导数。

二、导数的定义导数是微分的数学概念，是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。

设函数y=f(x)，在x_0处导数f'(x_0)的定义为：若极限lim_(Δx→0)(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在x_0处的导数，记作f'(x_0)。

导数描述了函数在某一点上的瞬时变化率，也可以用偏导数来描述多元函数的变化率。

三、微分和导数的关系微分和导数是密切相关的概念，它们之间存在着密切的联系。

微分dy=f'(x_0)dx，其中f'(x_0)是函数f(x)在点x_0处的导数，可见微分和导数之间有直接的联系。

微分是导数的一种应用，而导数也可以通过微分来求得。

四、微分和导数的性质1.导数的性质：（1）常数的导数为0: (c)'=0（2）幂函数的导数: (x^n)'=nx^(n-1)（3）和差函数的导数: (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)，(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)（4）积函数的导数: (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（5）商函数的导数: (f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)（6）复合函数的导数: 若y=f[g(x)]，则y'=(f[g(x)])'=f'(g(x))g'(x)2.微分的性质：（1）微分的线性性质：若函数y=f(x)和y=g(x)的微分分别为dy=f'(x)dx和dy=g'(x)dx，那么有：d(af(x)+bg(x))=adf(x)+bdg(x)（2）微分的乘法法则：若函数y=f(x)和y=g(x)的微分分别为dy=f'(x)dx和dy=g'(x)dx，那么有：d(f(x)g(x))=f(x)dg(x)+g(x)df(x)五、导数的计算方法1.通过定义求导：根据导数的定义，可以直接求出给定函数的导数。

导数与微分总结范文一、导数的概念与性质1.导数的定义：函数f(x)在x=a处可导的充要条件是：f'(a) = lim┬(Δx→0)⁡〖((f(a+Δx)-f(a))/Δx)〗其中f'(a)表示f(x)在x=a处的导数。

2.导数的几何意义：导数表示函数在其中一点处的切线斜率，也可以理解为函数在该点的变化率。

导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减。

3.函数可导与连续的关系：函数在特定点可导，则该点一定是函数的连续点，但函数连续并不一定可导。

4.导数的运算法则：-常数的导数为0。

-幂函数的导数是原函数的幂次减1乘以导数。

-指数函数的导数是指数函数本身乘以导数。

-对数函数的导数是分子的导数除以分母。

5.高阶导数：若f'(x)存在导数，则称其为一阶导数。

若f'(x)也存在导数，则称其为二阶导数，依此类推。

f''(x)也可表示为f⁽²⁾(x)或d²y/dx²。

二、微分的概念与性质1.微分的定义：函数f(x)在x=a处连续可导，则称dy=f'(a)dx为函数f(x)在x=a点的微分。

2.微分的近似计算：函数在特定点附近可以用微分来近似计算。

设函数f(x)在x=a点可导，则有：∆y≈f'(a)∆x其中∆y为函数值的变化量，∆x为自变量的变化量。

3.微分与导数的关系：微分与导数在概念上是密切相关的。

微分是函数的自变量变化引起的函数值的变化，而导数则是函数值变化引起的自变量的变化。

4.求解微分的过程：- 对函数进行微分，可以得到函数的微分式dy=f'(x)dx。

- 根据已知条件求解微分量dy和dx。

-将得到的微分式与已知条件代入，求解未知量。

5.微分的应用：微分在物理、经济学、生物学等领域有广泛的应用。

如利用微分可以求出函数的最大值和最小值，从而优化问题的解；微商的概念可应用于物理中的速度、加速度等问题等。

1．导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线，是以P为切点的切线，其方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．3．函数的极值与导数(1)函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的定义域内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．(2)对可导函数f(x)来说，“x0是f(x)的极值点”的充要条件是“f′(x0)＝0，且在x0两侧的导数值异号”，而不仅仅是f′(x0)＝0.4．函数的最值与导数函数的最值是函数在指定区间上的整体性质．闭区间上的连续函数(图象连续不断)必有最值，求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．[例1](1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解](1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种：一是函数y ＝f (x )“在点x ＝x 0处的切线方程”，这种类型中(x 0，f (x 0))是曲线上的点，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二是函数y ＝f (x )“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，又y 1＝f (x 1)，由上面两个方程可解得x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．1．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． 解析：由题知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1， 代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－1e ， 又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故切线方程为y ＝－1e .答案：y ＝－1e2．求过点P (2,0)的曲线y ＝1x的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．解：易知点P 不在曲线上，设切点M (x 0，y 0)，则y 0＝1x 0.切线的斜率k ＝y 0－0x 0－2＝1x 0(x 0－2).由导数的几何意义知k ＝y ′|x ＝x 0＝－1x 20.∴－1x 20＝1x 20－2x 0，解得x 0＝1.∴M (1,1)，k ＝y ′|x =1＝－1. 故切线方程为x ＋y －2＝0.切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0,2)． ∴切线与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×2×2＝2.[例2] 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围． [解] 当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ， f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当f ′(x )>0时，(－x 2＋2)e x >0，注意到e x >0， 所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， 即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x >0， 因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立， 也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0， 即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， 则y <1＋1－11＋1＝32， 故a ≥32，所以a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(1)利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集．(2)已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是解决一个恒成立问题．3．已知函数f (x )＝x (x －2)2(x ∈R)，求函数f (x )的单调区间． 解：f (x )＝x 3－4x 2＋4x ， f ′(x )＝3x 2－8x ＋4， 令f ′(x )＝0得3x 2－8x ＋4＝0. ∴x ＝23或x ＝2.∴当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，23或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，23和[2，＋∞)； 当x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤23，2.4．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围． 解：对函数f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋6x －1. 要满足函数f (x )在R 上是减函数，需有对于任意的x ∈R ，都有f ′(x )≤0成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3. ∴所求实数a 的取值范围是(－∞，－3].[例3] 已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )． (1)若a ＝12，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2)若f (x )≤g (x )恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)F (x )＝ln x ＋2x －12x 2－12x ，其定义域是(0，＋∞)，则F ′(x )＝1x ＋2－x －12＝－(2x ＋1)(x －2)2x.令F ′(x )＝0，得x ＝2，x ＝－12(舍去)．当0<x <2时，F ′(x )>0，函数单调递增； 当x >2时，F ′(x )<0，函数单调递减．即函数F (x )的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)．(2)设F (x )＝f (x )－g (x )， 则F ′(x )＝－(2x ＋1)(ax －1)x. 当a ≤0时，F ′(x )≥0，F (x )单调递增，F (x )≤0不可能恒成立； 当a >0时，令F ′(x )＝0，得x ＝1a ，x ＝－12(舍去)．当0<x <1a 时，F ′(x )>0，函数单调递增； 当x >1a 时，F ′(x )<0，函数单调递减．故F (x )在(0，＋∞)上的最大值是F ⎝⎛⎭⎫1a ， 依题意F ⎝⎛⎭⎫1a ≤0恒成立，即ln 1a ＋1a－1≤0. 令g (a )＝ln 1a ＋1a －1，又g (x )单调递减，且g (1)＝0，故ln 1a ＋1a －1≤0成立的充要条件是a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．一般地，若已知函数f (x )在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解．5．(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1， 所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1， 令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1.答案：A6．设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．解：∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝4＋8c<f(1)．又f(3)＝9＋8c>f(1)，f(0)＝8c<f(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).[例4](2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－a(x－1)x＋1＞0.设g(x)＝ln x－a(x－1) x＋1，则g′(x)＝1x－2a(x＋1)2＝x2＋2(1－a)x＋1x(x＋1)2，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋(a－1)2－1.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．7．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.解：(1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)， 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减， 故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0， 即当x ＞1时，f (x )＜x －1.[例5] 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解] 当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；当x ∈(80,120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． 所以当x ＝80时，h (x )取到最小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．故以80千米/小时匀速行驶时从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解；实际问题中的自变量有一定的限制范围，因此根据题意写出定义域是重要的一个环节．在求最值时，若定义域内只有一个极值点，则通常该极值点就是最值点．8．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P 与每日生产量x (x ∈N ＋)件之间的关系为P ＝4 200－x 24 500，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．(1)将日利润y (元)表示成日产量x (件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值． 解：(1)∵y ＝4 0004 200－x 24 500x －2 000⎝⎛⎭⎫1－4 200－x 24 500x ＝3 600x －43x 3，∴所求的函数关系式是y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)．(2)显然y ′＝3 600－4x 2.令y ′＝0，解得x ＝30. ∴当1≤x <30时，y ′>0；当30<x ≤40时，y ′<0.∴函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)在[1,30)上单调递增，在(30,40]上单调递减．∴当x ＝30时，函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)取得最大值，最大值为－43×303＋3 600×30＝72 000(元)．∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元．。

导数与微分概括（一）导数概念1、 导数定义：1）设函数()x f y =在点0x 的某个邻域内有定义， x x ∆+0也在该邻域内，函数值增量()()00x f x x f y -∆+=∆。

如果xy x ∆∆→∆0lim存在，则称()x f 在点0x 可导，称极限值为()x f 在点0x 的导数。

记作：()0x f ' 或者 0x x y =' 或者x x dxdy =即 ()0x f '=0x x y ='=x x dxdy ==xy x ∆∆→∆0lim=()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim2）若函数()x f 在()b a ,上每一点都可导，则称函数()x f 在()b a ,上可导；则对()b a x ,∈∀都对应着()x f 的一个确定的导数值，这样构成一个新函数，这个函数叫原来函数的导函数 记作：()x f ' 或者 y '或者dxdy 即()()()xx f x x f dxdy y x f x ∆-∆+=='='→∆0lim2、函数()x f 在0x 点可导⇔函数()x f 在0x 点的左右导数存在且相等（()0x f ' ⇔()()00x f x f +-'='）3、函数的可导性与连续性之间的关系：函数()x f 在0x 点可导 ⇒ 函数()x f 在0x 点连续，反之不一定连续是可导的必要不充分条件 即 可导一定连续，连续不一定可导 例如：x y sin =在0=x 点连续 因为()00sin lim 0==→f x x ；但是x y sin =在0=x 点不可导，因为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∆∆-=∆∆-=∆∆=∆-∆++-→∆→∆→∆→∆1sin lim 1sin lim sin lim 00lim 0000x x x x x x x f x f x x x z 不存在极限4、导数的物理几何意义：1）几何意义：在几何上，曲线()x f y =在0x 的导数就是()()00,x f x 点的切线的斜率 ()()()0000lim tan x f xx f x x f k x '=∆-∆+==→∆α 即()0x f k '=2）物理意义：在物理上，位移()t s s =的导数就是瞬时速度 =v ()()()0000limt s tt s t t s t '=∆-∆+→∆=t t dtds = 即=v 0t t dtds = 或者 =v ()()()t s tt s t t s t '=∆-∆+→∆0lim=dtds 即=v dtds5、导数的物理几何意义的应用：1）几何意义的应用：求曲线的切线方程和法线方程 点()()00,x f x 的切线方程为()()()000x x x f x f y -'=-法线方程为()()()0001x x x f x f y -'-=-例：求x y cos =在点⎪⎭⎫⎝⎛21,3π处的切线方程与法线方程 解：x y sin -=' 切线斜率233sin3-=-='==ππx y k因此所求切线方程为⎪⎭⎫⎝⎛--=-32321πx y 即033232=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+πx y发现斜率为332 因此所求法线方程为⎪⎭⎫⎝⎛-=-333221πx y即 033223323=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---πx y练习：求曲线⎩⎨⎧-=+=-112tt e y e x 在0=t 处的切线方程和法线方程 2）物理意义的应用：求运动物体在某一时刻（瞬时）的速度例：将一个物体铅直上抛，上升高度h 和与时间t 的函数关系是22110gtt h -=，求物体在0t时刻的速度 解：()010100gt gt dtdh v t t t t -=-====练习：已知物体运动的方程221gts =，求落体的速度v 及加速度a（二）初等函数的求导法则：1、函数的和、差、积、商的求导法则 1）()v u v u '±'='± 2）()v u v u uv '+'='3）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫⎝⎛ 0≠v 例如：()x x x x sin cos 2-='+ ()x e x e x e x x x cos sin sin +='()()()()()()()222422xx x x x x x x x x x x x x x x x x xx e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ----------+=+⋅=+---++='⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2、反函数的求导法则：设()x f y =在区间x I 内单调可导。

导数与微分章节总结导数与微分是微积分学中的重要概念，在现代科学和技术中有着广泛的应用。

导数是微积分中研究函数变化率的基本工具，微分则是导数的一种表达形式和应用。

一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，是函数图像在该点的切线斜率。

对于可导函数y=f(x)，其在点x处的导数定义为：$$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$也可以表示为：$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$其中，$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$，$\Delta x$为自变量的增量。

二、导数的性质1.导数可加性和可乘性：若$f(x)$和$g(x)$在某一点$x_0$可导，则$(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$，$(f\cdotg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)$。

2.导数的链式法则：若$y=f(u)$与$u=g(x)$都可导，则复合函数$y=f(g(x))$在$x=a$处可导，且有$y'=f'(g(x))\cdot g'(x)$。

3.导数的反函数法则：若$f(x)$在点$x_0$处可导且$f'(x_0)\ne0$，则$f(x)$在该点的反函数$f^{-1}(y)$在点$y_0=f(x_0)$处可导，且有$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。

三、微分的定义微分是反映函数在某一点处变化的一个量。

对于可导函数$y=f(x)$，在点$x_0$处的微分定义为：$$\mathrm{d}y=f'(x_0)\cdot\mathrm{d}x$$其中，$\mathrm{d}y$和$\mathrm{d}x$分别为函数$y=f(x)$在$x_0$处的微小增量和自变量$x$在$x_0$处的微小增量。

高中数学导数与微分知识点总结在高中数学学习中，导数与微分是一个重要的知识点。

导数是微积分的一个基本概念，它研究了函数的变化率。

微分是导数的一种运算方法，它可以帮助我们求得函数的近似值、判别函数的极值以及解决相关实际问题。

本文将对高中数学导数与微分的相关知识点进行总结。

1. 导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点处的变化率，记作f'(x)或dy/dx。

计算导数有多种方法，常见的有几何定义法、利用基本导数公式求导法、利用导数的性质求导法等。

2. 导数的基本公式高中数学中常用的导数公式有：- 常数函数的导数：若y=c，其中c为常数，则y'=0。

- 幂函数的导数：若y=x^n，其中n为常数，则y'=nx^(n-1)。

- 指数函数的导数：若y=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则y'=a^x * ln(a)。

- 对数函数的导数：若y=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则y'=1/(x * ln(a))。

- 三角函数的导数：sin(x)'=cos(x)，cos(x)'=-sin(x)，tan(x)'=sec^2(x)，cot(x)'=-csc^2(x)。

3. 导数的运算法则导数具有一些运算法则，这些法则可以简化导数的计算过程。

常见的导数运算法则有：- 常数倍法则：若f(x)可导，则k * f(x)的导数为k * f'(x)，其中k为常数。

- 和差法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。

- 乘积法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

- 商法则：若f(x)和g(x)都可导且g(x)≠0，则(f(x) / g(x))' = (f'(x) *g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2。

导数与微分总结导数与微分是微积分中非常重要的概念，它们是描述函数变化率的工具。

导数和微分在实际问题中有广泛的应用，比如物理中的速度和加速度、经济学中的边际效应等等。

本文将对导数和微分的概念进行详细的阐述和总结。

一、导数的定义和性质：导数描述了函数的变化率，它反映了函数在某一点上的切线的斜率。

对于函数 y=f(x)，在其定义域内，如果极限lim (h→0) [f(x+h)-f(x)]/h存在，那么这个极限就是函数 f(x) 在点 x 的导数，记作 f'(x) 或 dy/dx。

导数的性质有以下几个重要的方面：1. 导数的存在性：函数在某一点上的导数存在与函数在该点处的连续性相关。

如果函数在某个点处可导，则该点处函数必然连续，但连续不一定可导。

2. 右导数和左导数：如果函数 f(x) 在某一点 x_0 处的右导数存在，且左导数存在，那么 f(x) 在该点处的导数存在。

3. 导数的运算法则：导数有一些特殊函数的运算法则，比如常数的导数等于 0、多项式函数的导数等于各项的导数之和、复合函数的导数等等。

二、微分的定义和性质：微分是导数的一种几何意义的解释，它与导数之间有一种积分意义上的联系。

设函数 y=f(x) 在 x0 处可导，那么函数在 (x0, x0+∆x) 区间内的增量Δy 可以近似表示为Δy = f'(x0) ∆x + o(∆x)其中o(∆x) 表示当∆x 趋近于 0 时，其值相对于∆x 的高阶无穷小。

微分的性质有以下几个重要的方面：1. 微分的应用：微分在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。

比如，在几何学中，微分可以用来计算曲线的切线和曲率；在物理学中，微分可以用来计算速度和加速度；在工程学中，微分可以用来设计和分析物理系统。

2. 微分的线性性质：微分具有线性性质，即对于函数 f(x) 和g(x) 以及常数 a 和 b，有 d(af(x) + bg(x)) = a df(x) + b dg(x)。

导数与微分单元总结【知识结构】【内容提要】1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用．2．导数的概念．函数y=f(x)的导数f′(x)，就是当△x→0时，函数的增量△y与自变量△x的比的极限，即函数y=f(x)在点处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率．3．函数的微分函数y=f(x)的微分，即dy=f′(x)dx．微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即．函数值的增量△y也可以用y的微分近似表示，即△y≈dy或△y≈f′(x)dx。

4．求导数的方法(1)常用的导数公式c′=0(c为常数)；；(sinx)′=cosx；(cosx)′=－sinx；，；，。

(2)两个函数四则运算的导数：(u±v)′=u′±v′；(uv)′=u′v+uv′。

(3)复合函数的导数设y=f(u)，，则．5．导数的应用(1)切线的斜率根据导数的几何意义，函数f(x)在点处的导数就是曲线f(x)在点处的切线斜率。

因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。

(2)函数的单调性当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果f＇(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果f＇(x)0，右侧f′(x)0，那么，是极小值.可导函数f(x)在极值点处的导数是0；导数为0的点不一定是极值点．例如，对于函数，x=0点处的导数是0，但它不是极值点．(4)函数的最值闭区间[a，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：1°．求函数f(x)在(a，b)内的极值；2°．将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

【难题巧解点拨】例1已知函数（a>0且a≠1）在定义域[0，1]上是减函数，求a的取值范围。

分析因为f(x)在[0，1]上是减函数，所以在[0，1]上必有f′(x)1，又由∴12－a，故a>29。

导数与微分重点知识点总结导数和微分是微积分中的重要概念，对于理解函数的性质和解决实际问题起着至关重要的作用。

本文将对导数与微分的重点知识点进行总结。

一、导数的定义与性质1. 导数的定义：如果函数f(x)在点x处的导数存在，那么导数可以定义为f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h。

导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

2. 导数的几何意义：导数等于函数图像在某点的切线斜率，也可以表示函数图像在该点的切线与x轴正方向夹角的正切值。

3. 导数的性质：导数存在的函数在该点必然连续，导数具有可加性和数乘性，即对于函数f(x)和g(x)，有[f(x)±g(x)]' = f'(x)±g'(x)和[cf(x)]'= cf'(x)。

二、常见函数的导数公式1. 幂函数：对于f(x) = x^n，其中n为实数，导数为f'(x) = nx^(n-1)。

2. 指数函数：对于f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1，导数为f'(x)= a^x·ln a。

3. 对数函数：对于f(x) = logₐx，其中a为正实数且a≠1，导数为f'(x) = 1/(x·ln a)。

4. 三角函数：对于f(x) = sin x，导数为f'(x) = cos x；对于f(x) = cos x，导数为f'(x) = -sin x；对于f(x) = tan x，导数为f'(x) = sec² x。

5. 反三角函数：例如arcsin x的导数为1/√(1-x²)，arccos x的导数为-1/√(1-x²)，arctan x的导数为1/(1+x²)。

三、微分的定义与应用1. 微分的定义：对于函数y = f(x)，若f(x)在某一点x处有定义且可导，那么对应的微分dy为dy = f'(x)dx。

高中数学知识点总结导数与微分导数与微分是高中数学中的重要知识点之一。

它是微积分的基础，也是解决数学问题和建立数学模型的关键工具。

本文将对导数与微分进行深入总结，帮助读者理解和掌握相关概念与技巧。

一、导数的定义与计算方法导数是函数在某一点的变化率。

它描述了函数在该点附近的斜率或切线的斜率。

导数的定义式为：\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]其中，\[f'(x)\]表示函数f(x)在点x处的导数。

根据导数的定义，我们可以得到一些常用的导数计算方法：1. 常数函数的导数为0；2. 幂函数\[f(x) = x^n\]的导数为\[f'(x) = n \cdot x^{n-1}\]；3. 指数函数\[f(x) = a^x\]的导数为\[f'(x) = a^x \cdot \ln a\]；4. 对数函数\[f(x) = \log_a x\]的导数为\[f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}\]；5. 三角函数的导数可以通过导数定义或基本导数公式计算。

二、导数的基本性质导数具有一些基本的性质，包括：1. 导数的四则运算：若\[f(x)\]和\[g(x)\]的导数存在，则* \[(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)\]* \[(f(x)-g(x))' = f'(x) - g'(x)\]* \[(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\]* \[(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}{[g(x)]^2}\]2. 链式法则：设函数\[y=f(u)\]和\[u=g(x)\]都可导，则\[y=f(u)\]对\[x\]的导数为\[y' = f'(u) \cdot g'(x)\]。

高中数学的导数与微分总结在高中数学的学习过程中，导数与微分是一个重要的知识点，它们在数学以及其他学科的应用中起到了至关重要的作用。

本文将对导数与微分进行总结和归纳，并探讨它们的应用。

一、导数的定义及性质导数指数学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某个点的变化率。

导数的定义公式为：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$其中，$f'(x)$表示函数$f(x)$的导数，$\Delta x$表示自变量$x$的增量。

导数具有一些重要的性质，比如：1. 导函数存在的条件：函数在$x$点可导的条件是左导数等于右导数。

2. 导数与函数图像的关系：导数表征了函数在某点的切线斜率，因此导数的值可以用于判断函数的增减性以及凹凸性。

3. 导数与函数的运算关系：导数具有一些运算规则，如导数的四则运算法则、求导法则等，这些规则可以用于求解复杂函数的导数。

二、微分的定义及性质微分是导数概念的一种应用形式，它表示了函数在某个点的变化量。

微分的定义公式为：$$df(x) = f'(x) \cdot dx$$其中，$df(x)$表示函数$f(x)$在$x$点的微分，$dx$表示自变量$x$的微小增量。

微分也具有一些重要的性质，比如：1. 微分与函数图像的关系：微分可以近似地表示函数在某点附近的变化情况，因此可以用于求解函数在近似点的函数值。

2. 微分的运算关系：微分具有一些运算规则，比如微分的线性性质、微分的乘积法则等，这些规则可以用于求解复杂函数的微分。

三、导数与微分的应用导数与微分在数学以及其他学科的应用中起到了重要的作用，比如：1. 极值问题：通过计算函数的导数，可以找到函数的最大值和最小值，从而解决极值问题。

2. 曲线绘制：通过计算导数，可以画出函数图像的近似切线，从而绘制出曲线的形状和走势。

3. 物理问题：导数与微分在物理学中的应用非常广泛，比如描述物体的速度与加速度、计算物体的位移与时间等。

导数与微分的基本概念及应用知识点总结在微积分中，导数和微分是两个基本概念，它们在数学和实际问题求解中有着广泛的应用。

本文将对导数和微分的基本概念进行总结，并介绍它们在实际问题中的应用。

一、导数的基本概念导数是函数的一个重要性质，表示函数的变化率。

具体地说，对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx，它的定义如下：f'(x) = lim(h -> 0) (f(x+h) - f(x))/h导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线斜率。

在实际问题中，导数可以用来描述物体的速度、加速度以及函数的变化趋势等。

二、导数的计算方法1. 使用基本导数公式：- 常数函数导数为0；- 幂函数导数为nx^(n-1)；- 指数函数e^x的导数为e^x；- 对数函数ln(x)的导数为1/x；- 三角函数和反三角函数具体的导数公式可参考相关教材或数学手册。

2. 使用导数的运算法则：- 导数的和（或差）等于导数的和（或差）；- 导数与常数的乘积等于导数乘以常数；- 导数的积等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数（乘积法则）；- 导数的商等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方（商法则）。

三、微分的基本概念微分是导数的一种形式，它是对函数的局部线性逼近。

对于函数y=f(x)，其微分可以表示为dy=f'(x)dx。

微分可以理解为函数在某一点附近的近似变化值。

微分的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的近似变化。

四、微分与导数的关系导数是函数的整体性质，描述了函数在各个点的变化率，而微分则是局部性质，在某一点处对函数进行线性逼近。

微分与导数之间的关系可以用如下公式表示：dy = f'(x)dx五、导数与微分的应用导数和微分在实际问题中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用领域：1. 物理学中的运动学问题：导数可以用来描述物体的位移、速度和加速度之间的关系。

学习导数的心得体会篇一：第三章导数学习体会第三章《导数》学习体会一、教材分析（一）内容安排本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分。

导数的初步知识。

关键是导数概念的建立。

这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义。

然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数。

这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”。

导数的应用。

这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法。

然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法。

最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法。

（二）教学目标根据《大纲》的规定，本章的教学目标是：1．了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2．熟记基本导数公式。

[c’=o,(c为常数)，（xn）’=n(xn-1),(sinx)’=cosx,(cosx)’=-sinx]3．掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。

4．了解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。

5．会求指数函数和对数函数的导数。

（熟记ex,ax,lnx,logax的导数公式）6．会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般是指单峰函数）的最大值与最小值。

7．过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值，文化价值和基本思想。

（三）、重点与难点从教学角度考虑本章的重点之一是：根据导数定义求简单函数导数的方法。