平面简谐波

第 2 节平面简谐波一、平面简谐波的描述；二、平面简谐波函数 如果波源做简谐振动，介质中各点也将相继做同频率的简谐振动，这样形成的波叫简谐波。

如果波面为平面，则这样的波称为平面简谐波。

由于平面简谐波的波面上第一点的振动和传播规律完全一样，可以对平面简谐波用一维的方式来处理。

振动相位相差 的两点之间的距离叫波长，常用 表示。

它实际上就是相邻两振动状态相同的点之间的距离。

设一简谐波沿 x 轴方向传播，t 时刻，原点 O 处振动位移的表达式为：在同一时刻 t，到 O 距离为 x 的 P 点的振动表达式与 O 点的振动具有相同的振幅和 频率，但相位比 O 点落后，这是因为 P 点开始振动的时刻比 O 点晚，所晚的时间就是波从O 点传到 P 点所经历的时间，， 称为波的位相速度 ，也称为波速，它表示单位时间某一振动位相所传播的距离，于是 P 点的位移为：这就是简谐波的运动学方程，由于波是向左传播的，又称为右行波，令： 其中 为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。

于是：令：其中， 称为波数，它表示 米内所包含的波长数。

于是简谐波方程可写成：以上各式都是简谐波的方程， 们由波速相互联系，即：是和时间有关的量， 是和空间有关的量，它若 不随 的变化而变化，则称波是无色散的。

简谐波运动学方程的物理意义 ： 波的运动学方程是一个二元函数，位移 y 既是时间 t 的函数，又是位置 x 的函数。

（1）当 x 一定，y 仅为 t 的函数 。

当时，即盯住其一位置看：它表示处的质点随时间做简谐振动，是一个振动方程。

且时刻 t 和 t+T 振动状态相同，说明波动过程在时间上具有周期性，振动的周期、频率、和振幅都与波源相同，但是相位落后：（2）t 一定时，y 仅为 x 的函数，当时：其中，。

此方程表示任意一时刻各质点离开平衡位置位移分布。

可以看出波动过程在空间 上具有周期性，波长就是波动的空间周期。

（3）波表达式的宗量一定，即位相一定，，随着时间 t 的增加，x 也要相应地增加，波必须在空间传播一定的距离，将宗量对时间求微分：其中 为波的位相速度 ，简称相速。

平面简谐波
平面简谐波是一种由沿着同一方向运动的波源发出的波，可以被描述为振幅在空间内
相等且经过同一时间周期的波形。

这种波形通常由正弦或余弦函数表示，因此也被称为正
弦波或余弦波。

平面简谐波的传播方向通常被称为波矢方向，其振幅通常被称为波矢大小。

当平面简
谐波从波源处发出时，其速度通常已知，并且可以通过波长和频率的关系来计算。

平面简谐波最常见的应用是在电磁波的传播过程中，尤其是在无线通信和雷达系统中。

电磁波可以经过不同的介质（如空气，水和金属）传播，但在这些介质中都遵循平面简谐
波的基本原理。

在无线通信中，发射器会产生一个特定频率的平面简谐波，该波会经由空气传播到接
收器，接收器会接收并处理信号。

这种方式是无线通信的基础，也是电视和电台广播的基
本工作原理。

平面简谐波在其他领域中也很常见。

例如，在音频系统中，声波可以被描述为正弦波。

通过理解平面简谐波的基本原理，我们可以更好地理解波的传播，并使用它来实现各种实
用的应用。

12.2 平面简谐波简谐波 谐振动在介质中的传播 (介质中各质点作同 频率、同振幅的谐振动)。

平面简谐波 说明 (1) 复杂的波可分解为一系列简谐波； (2) 平面简谐波各处振幅相同。

平面简谐波齐鲁工业大学·2014 1波面为平面的简谐波 。

一、平面简谐波的波函数设 O 点振动方程为 y0 = A cos(ωt + ϕ0 ) yG uPx 经过 Δ t = x / u 时间,O 点振动相位传播到任一点P，所以 P 点振动的相位比 O 点落后Δϕ = ω ⋅ Δt = ωx / uO.xP 点 t 时刻的相位为ωt + ϕ0 − Δϕ = ωt + ϕ0 − ωx u所以 P 点振动方程，亦即波函数为 x y ( x, t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ0 ] u齐鲁工业大学·2014 2x y ( x, t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ 0 ] u x y ( x, t ) = A cos[2 π(νt − ) + ϕ 0 ]波 函 数 其它形式讨论t x y ( x, t ) = A cos[2 π( − ) + ϕ 0 ] T λ 2π y ( x, t ) = A cos[ (ut − x) + ϕ 0 ]λλ(1) 当x=x0时，y = y (t) 是 x0 处振动方程; (2) 当 t=t0 时，y = y (x) 表示 t0 时刻各个质点的位移。

y t x0 处质点的振动方程齐鲁工业大学·2014y x t0 时刻的波形曲线3x (3) 波函数 y ( x, t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ 0 ] y ut1时刻 波形t1+Δt时刻波形t1 时刻，x1 处质点的位移为 x1 y ( x1 , t1 ) = A cos[ω (t1 − ) + ϕ 0 ] uuΔtx1 x2x ut2 (= t1+Δt) 时刻，x2 (= x1+Δx) 处质点的位移为x2 y ( x2 , t 2 ) = A cos[ω (t 2 − ) + ϕ 0 ] u Δx x1 = A cos{ ω [( t1 − ) + ( Δ t − )] + ϕ 0 } u u 若 Δx = uΔt ，则有 y ( x1 , t1 ) = y ( x2 , t 2 ) 。

一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。

简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。

二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。

2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。

3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。

三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。

它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。

2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。

复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。

四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。

它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。