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高考定位高考对本内容的考查主要有:（1）两角和（差）的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用.试题类型可能填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考£构成中档题；（2）正弦定理和余弦定理以及解三角形问B级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状廊判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应性较码，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一崔焦，不可轻视.-明考向扣fit的H6J-Als4-5-野止弦定理,z .. ACA3 口门6 A3 /— 得鬲帀=—F ，即尹直》〃=5返 sinT 5 2真題感悟考点整合真题感悟4 TT(2016-江苏卷)在厶ABC 中，AC=6, cos B=§, C=~^.(1)求A3的长；(2)由(1)得：sinB=丰，cos B=彳，sin C=cos C=¥， 则 sin A = sin(B+C) = sin Bcos C+cos Bsin^2 A = —cos(B + C)=—(cos Bcos C —sin Bsin C)=—需，TT , TT 7A /2—\/6=cos Acos 石+sin Asirr^= ----------- -------由符号看象限.I •三角函数公式「八、，土99sin a(1)同角关系：sirra +cos~ar =1, — =tan a . cos or_L TT补型诱导公式：对于“亍土a ，k"的三角函数值”与“a 的三角函数值”的关系可按下而口诀记忆：奇变偶不变,⑶两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin(«±^) = sin a cos /3 ±cos ar sin 0 ；cos(a±0)=cos a cos 0 +sin a sin 0 ；(4)二倍角公式：sin 2a =2sin a cos a , cos 2a = cos?a — sin 2a =2cos 2a —1 = 1—2sin 2a .考点整合2 2tan a ± tan 0⑴二 sinA sinB b c sinC sin A + sin B+sin C=2R(R'ABC 外接2•正、余弦定理.三角形而积公式王形：a = 2Rsin A, b=2Rsin B, c = 2/?sin C ： sinA =為,bc云,sin C=云;a \ b \ c = sinA : sin 3 ： sin C.(2)a 2=b 2+c 2—2bccos A, kr=cr+c 1—2accos B, c 2= cr + b 1 — 2abcos C ；+、人b 2+c 2—a 2 c^+c 2 — ^2推 论：cos A= ------ 石二 - ，cos B= ---- 恳二 - ，cos C=变形：b 1+c 1—cr = 2bccos A, a 2+c 2—b 2 = 2accos B, a 2 + hr —c 2 = 2abcos C.g 111△ABC亍㊁"sin C=qacsin B = 2^csin A.热点聚焦题塑突破研热点析角度3.cosa 丿sin z TT aTT a = 2tan 亍 / 、TT 则"a+d _M M(3)(2016-苏北四市模拟)已知cos?才+ £・cos/ 、TT<3 a|r、一a ， a u 3 ,2 •贝U sin 2a =7T 7T cos 了-cos a sin 5715 + cos asirry.兀sinl a + 亏sin a 一〒a .2+ 1 2^1热点一三角恒等变换及应用 【例1】(1)(2015-重庆卷改编)若tan a 为锐4/ 、7Tcos aI o /3祚>0,⑵Ta 为锐角,cos 7Toc + 石为锐角，••• sinl a +7Tsin 2 a + 可<上丿71 =2叫“ +石肿/ 、(、 2 a — z o=sin 2 a + yj71•c 叫2yJ 43 24a+T =2X 5X 5=257T6, 24 25-z \7Tf( 、 n ■ ( 、 冗 6 • COS 可_ a i=cos N + a 、b , • sin(3)cos ■11n zr! ■11XI n n -1 s-2 -3 + a 2<n -1 s 即-4 - -+ a 21 2-T a € a 7T ・ cos 2 a + 可=X0丿SIa / 7T 、 /H13， 2 J ,• • 2 a + q € a 4 7TTT , -ya = siJ T7T 3、 nn( X71+ T CO S3 ' - cos 2a +可 l 3/•sin 2 7Tsm 1 3 2-2【训练1】(1)已知sin 2a =3,则3TT探究提高1•解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所 求角”用“已知角"表示G (1)当已知角有两个时，“所求角” 一般表示为“两个已知 务角”的和或差的形式；'^当“已知角"有一个时，此时应着眼于“所求角”的和 矗的关系，然后应用诱导公式把> “所求角”变成“已知二^题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的 缩小，避免产生增解.E < （2）（2016-南京、盐城模拟）sin （TT -a ） =—专且 aE IT ,• TT | a :n k +2j = -------------衣2广©）（2015•江苏卷）已知 tan a =—2, tan （«+/?）=y,则 Uin 0sin/ 、 11 7T Y a +才丿 r / "2 1 + cos 2 a +万L解析（1）法一 以a 一 sin2 a) = g.|(1 - sin 2 a) = |.迈.——1 ---- C?12 一 2 cos a7T +4ja一 2sin a cos a)J5(2)sin( n - a) = sin a = - y 3 7T-- cos 由 cos cos a + 1得 cos 2a = -\ji~ sin 2 a =a =cos -y a v 2 ■ 2,a2 2 a a a = 2cosp~ ~ 1 >■z>sin £71 3 7T迈、~T=-f［明0曉［微题型1］三角形基本量的求解【例2-1 ］ （1）（2016-全国I 【卷）AABC 的内角4、B 、C 的对边分45ij 为 a 、b 、c, 若 cos4=p cosa= 1,贝lj b=016•四川卷）在厶ABC 中，角A, B, C 所对的边分别是a, b.(3) V tan a = - 2, -e . tan(a + /?)热点二正、余弦定理的应用2-r-a 2=~,求 tan B.… cos A , cos B5,45⑴解析 在厶ABC 中由cosA = w ，cos C = 3 12可得 sin A =弓，sin C =不，sin B = sin(A + C)63sin Acos C + cos A • sin C = 由正弦定理得/?asin B _ 21sin A 13*2113 ⑵①证明根据正弦定理，可设命=為=骯=心＞0），则a = ksin A, b=ksin B, c=ksin C.代入号厶+竿纟=空呼中,"誥+器1=詈焉，变形可得sin Asin B=sin Acos B+c6^4sinB=sin(A + B)•在△ ABC 中，由 4+B+C=TT ,in(4十B) = sin(TT —C) = sin C•所以sin Asin B = sin C.②解由已知，b 2+c 2-a 2=lbc 9根据余弦定理，有b 2+c 2—ci 2 3 . i ------ r 4 cosA= ------ 2^ ------ =yWr 以 sin A=^/l —cos\4=§.4由（1）, sin Asin B = sin Acos B + cos Asin B, “ 所以fsinB=£COS B+|sin B.Ssr 5探究提高1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边 的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦 或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显 払 则考虑两个定理都有可能用到. 故伽吐池关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一函数、统一结构”.ft[微题型21求解三角形屮的最值问题【例2-2] (2016-苏、锡、常、镇调研)已知a, b, c 分别为△43C的内角4, B, C的对边，且c/cos C+ \)3asin C—b—c=0.⑴求4;(2)若a = 2,求面积的最大值.所以羽sin Asin C —cos Asin C —sin C=().孩易罪 sin CH(),所以羽sin A —cosA = 1,=£.又由⑴得 B+C=^-=^C=^—^ OVBV 警B ^inC ,由正弦2 4 —河T 以 解(1)由acos C+\/3tzsin C —b —c =0及正弦定理得 sin Acos C+p3sin AsinC —sin B —sin C=0・ 因为 B = TT — Asin A -寻—C,"罗sinBcos a . IT TT 77T .. TT •易知一石<23—石<飞~,故当2B —石 取得最大=2吋， S^ARC 取得最大值，最大值为羽.1 1 4 4TT所以 SsBc=qbcsin A=^X 击sin BX 萨sin C • sin g 4A /3 . P .厂 4羽._ . |2TT 」 =-j 一sin B • sin C=—• sin 3 • sin[ ----------------- B =法二 由⑴知A=y,又G = 2,由余弦定理得22=b 2+c 2—2bccos 即b 2+c 2—bc=4=>/?c+4=b 2+c 2^2bc=>bc所以 S3Bc=*"csin3 =了 时，sin2B-* I 6 /其4,当且仅当b=c=2时，等号成立.探究提高求解三角形中的最值问题常用如下方法:(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角缽数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借［微题型3］求解三角形中的实际问题【例2 —3】(2016-无锡高三期末)在一个直角边长为10 m的等腰直角三角形力〃C的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P, Q, 7?三点分别在的三条边上，且要使的面积最小，现有两种设计方案：：直角顶点。
