21.1二次根式定义

二次根式知识点的相关概念及对应的公式一、引言二次根式作为数学中的重要概念，它涉及到了数学运算、代数式简化等方面，对于学习数学的人来说是一个基础而又重要的概念。

在学习二次根式的过程中，我们需要了解相关的概念和对应的公式，并且能够灵活运用于实际问题中。

本文将会从深度和广度的角度，全面评估二次根式的相关概念及对应的公式，并给出一个有价值的文章。

二、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是形如$\sqrt{a}$（其中$a\geq 0$）的式子，其中$a$称为被开方数。

我们称$\sqrt{a}$为二次根式，通常可以将$\sqrt{a}$理解为一个数，这个数的平方等于$a$。

$\sqrt{4}$就是一个二次根式，它的值为2，因为$2^2=4$。

2. 二次根式的简化在进行数学运算时，我们经常需要对二次根式进行简化。

当被开方数$a$为某个整数的平方时，二次根式$\sqrt{a}$可以进行化简，即$\sqrt{a}=\pm\sqrt{b}$，其中$b$为$a$的正平方根。

$\sqrt{25}=5$。

3. 二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算，其中需要特别注意的是，二次根式在进行加减运算时，要求根指数相同才能进行运算。

在进行乘法和除法运算时，我们可以利用二次根式的性质进行化简。

三、二次根式的公式1. 二次根式的乘法公式当两个二次根式相乘时，可以利用乘法分配律进行化简，即$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}) = \sqrt{ab}$。

这个公式在化简乘法运算时非常有用。

2. 二次根式的除法公式当两个二次根式相除时，可以通过有理化的方法，将分母有理化为整数，从而进行化简。

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{ b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。

3. 二次根式的加法和减法公式二次根式的加法和减法需要根指数相同才能进行运算。

二次根式知识点二次根式是初中数学中一个重要的知识点。

在学习二次根式之前，我们首先来了解一下根式的定义。

一、根式的概念根式是代表求根运算的一种表示方法。

其中，被开方数叫做被开方数，开方的次数叫做指数，开方的运算叫做根号运算。

开方的基本性质有三个：非负性、唯一性、封闭性。

1. 非负性：对于任意的实数a，当a≥0时，a的平方根存在且唯一。

2. 唯一性：对于任意的实数a，其平方根是唯一的。

3. 封闭性：平方根的运算封闭在非负实数集合内。

二、二次根式的定义二次根式是指指数为2的根式，也即平方根。

如果a≥0，那么二次根式√a就是等于非负实数b的平方根。

例如，√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5等。

三、二次根式的化简在计算二次根式时，有时需要对二次根式进行化简。

化简的目的是为了得到最简形式的二次根式。

二次根式的化简原则如下：1. 提出因式：如果二次根式中有完全平方因子，可以将其提出根号外部。

2. 合并同类项：如果根式中有相同的根号，则可以将其合并并进行运算。

3. 分解质因数：如果根式中的被开方数可以分解为质因数的乘积，那么可以在根号内部进行分解。

化简二次根式的过程需要掌握一定的分解质因数的技巧，并且需要熟练掌握平方数的求法。

四、二次根式的运算规则在二次根式的运算过程中，需要掌握以下几个基本的运算规则。

1. 加减运算：二次根式之间可以进行加减运算，但要求被开方数、指数相同。

2. 乘法运算：二次根式之间可以进行乘法运算，运算后仍然是二次根式。

3. 除法运算：二次根式之间可以进行除法运算，运算后仍然是二次根式。

4. 有理化：如果二次根式中含有分母，可以通过有理化的方法将其变为无理数的形式。

掌握了这些运算规则，我们可以在计算中利用它们进行简化和优化，使得计算更加方便和高效。

五、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛应用，在解决实际问题时也经常会用到。

1. 几何应用：在几何中，二次根式常常用来表示长度、距离等概念。

二次根式知识点总结二次根式是和平方根有关的一种运算。

在高中数学中，二次根式是一个重要的内容，掌握好二次根式的相关知识点，对于理解和解题都是非常有帮助的。

一、二次根式的概念1.二次根式是指那些含有平方根的式子，且平方根的指数为22.一般形式为√a，其中a为非负实数。

二、二次根式的化简1.化简二次根式的基本思想是将根号内的数分解成互质的因子，并使用分配律和化简公式化简。

2.可以用平方根的合并和分离处理来化简二次根式。

3. 对于含有和减号的二次根式，可以尝试使用公式√a±√b =√(a±b±2√ab)来进行化简。

三、二次根式的运算1.加减法：二次根式相加减时需要化为相同的根式形式，然后按照实数的运算规则进行运算。

2. 乘法：二次根式相乘时可以利用乘法公式√a * √b = √(ab)进行化简。

3.除法：二次根式相除时可以利用除法公式√a/√b=√(a/b)进行化简。

四、二次根式的简化和约分1.对于平方数，可以用因式分解的方法将其进行简化，即将根号下的数分解成完全平方数的乘积。

2.对于不完全平方数，可以用分式的形式表示二次根式，如√2=√(4/2)=2/√23.二次根式的约分是指将二次根式分子分母的公因式约掉，以简化二次根式的形式。

五、二次根式的性质1.非负实数的二次根式是唯一确定的。

2.二次根式的大小关系：对于非负实数，如果a>b，则√a>√b。

3.二次根式的积是可以用二次根式表示的，但是二次根式的和、差和商不一定能用二次根式表示。

4.当a和b为非负实数时，如果√a=-√b，则a=b=0，否则a≠b。

六、二次根式的应用1.二次根式在几何问题中常常用来表示边长或者面积。

2.二次根式在物理问题中常常用来表示物理量的大小。

3.二次根式在工程问题中常常用来表示长度、面积、体积等量。

C BA21.1 二次根式第1课时学习目标1a≥0）的意义解答具体题目．2a≥02=a （a≥0），并利用它们进行计算和化简． 学习过程 一、预习形成：请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC 中， AC=3，BC=1， ∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 二、课堂讲练： 探究一 议一议：1．－1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0归纳：一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式， ________称为二次根号．例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：1x x>0）1x y+x≥0，y •≥0）．归纳：二次根式应满足两个条件： (1)_________________ (2)_________________例2．当x在实数范围内有意义？练习：1．二次根式a-1 中，字母a的取值范围是（）A. a＜lB.a≤1C.a≥1D.a＞12、函数y=中，自变量x的取值范围是_________思考：如何确定二次根式中字母的取值范围？三、巩固练习教材P练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？例4.(1)已知，求xy的值．(2)=0，求a2010+b2010的值．探究二根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______；2=_______；2=______；2=_______；2=_______．例5.计算1．22．（23．24． 2基础练习计算下列各式的值：2 = 2 = 2 = 2=-=（ 2 = 22应用拓展计算：（1）2（x≥0）（2）2（3）2（4）2五、归纳小结本节课要掌握：______________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 六、布置作业1．教材P8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计（一）选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A B C D．x2、已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B C．15D．以上皆不对3、数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0（二）填空题1．2=________．2x _______．3的个数是__________．(三)综合提高题（选做）1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．6，求x y的值．21.1 二次根式第２课时【学习目标】1、（a≥0）并利用它进行计算和化简．2（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．【学习过程】一、复习引入1．形如_____________的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个_____________；3．2＝_____（a≥0）．猜想：当a≥0，举例说明.二、探究新知填空：=_______；=________．结论例1计算1．22．（23．24． 2例2化简:（1（2（3（4==;张后同学的解答过程是在化简时,李明同学的解答过程是4=-. 谁的解答正确?为什么?4三、巩固练习1、计算下列各式的值：2222（ 2 22-2、教材P7练习2．四、应用拓展例3 计算1．2（x≥0）2．23． 2例4在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例5 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2－a，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例6 当x>2· · · · 0 1 2p 例7 实数p 在数轴上的位置如图所示：2三、课堂小结：四、课堂评价：（一）选择题1 ）． A ．0 B ．23 C ．423D ．以上都不对2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A BC D （二）填空题1．2m 的最小值是________． （三）综合提高题（选做）1．若│1995－，求a －19952的值．（提示：先由a －2000≥0，判断1995－a •的值是正数还是负数，去掉绝对值）2. 若－3≤x≤2时，试化简│x －《二次根式》自我检测1、计算： （1） =2)32(－（2）=+-442x x （2≥x ） （3）2)73( = （4）2)52(-= 2、下列等式中的字母应符合什么条件？ （1）22)(a a = （2）a a -=23、判断正误，如果是错的，请写出正确结果.（1）2)2(2-=- （2）7434322=+=+4、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简：22)()(c a b c b a +----5、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，则△ABC 的形状是 三角形．作业：回归教材，认真阅读.完成课本上21.1没有完成的练习及习题，做好小组展示准备.21.2 二次根式的乘除第１课时【学习目标】1、a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简2、•a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．【学习过程】一、预习形成1．填空（1；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1（2（3（4二、课堂讲练一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5三、巩固练习（1）计算：①②(2) 化简:（3）教材P11练习全部.四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2五、课堂小结：六、布置作业1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．（一）选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C D311x-=）A．x≥1 B．x≥－1 C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1 4．下列各等式成立的是（）A．B．C．D．（二）填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．（三）综合提高题（选做）1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==……通过上述探究你能猜测出： （a>0）,并验证你的结论． 3*．化简(x －1x)2+4 －(x+1x)2－44.已知2310x x -+=.5.已知,a b (10b -=，求20112012a b -的值.21.2 二次根式的乘除第２课时【学习目标】a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．12、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．【学习过程】一、预习形成1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1；；（2；（3（4．3．利用计算器计算填空:（填>,<,=）二、课堂讲练知识归纳：一般地，对二次根式的除法规定：（2（3（4例1．计算：（1例2．化简：（1（2（3（4三、巩固练习教材P14 练习1．四、应用拓展例3．=，且x为偶数，求（1+x的值．五、归纳小结六、布置作业1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 （一）选择题1的结果是（ ）．A ．27 B ．27 C D ．72．阅读下列运算过程：3==5== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”（ ）．A ．2B ．6C ．13D *（ 二）填空题1．分母有理化:(1)=______.2．已知x=3，y=4，z=5_______．（三）综合提高题（选做）11，•现用直径为3的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1·m>0，n>0）（2）－（a>0）21.2 二次根式的乘除第3课时【学习目标】1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【学习过程】一、预习形成计算（1（2（3二、课堂讲练议一仪：观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．____________________________________________；2．___________________________________________．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例1、现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那．试着化简一下。

最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结(内部资料打印版)21.1 二次根式知识点一二次根式的概念(1)一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。

二次根式a的实质是一个非负数a的算术平方根。

其中“”叫做二次根号。

(2)正确理解二次根式的概念，要把握以下几点：①二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“”。

如4是二次根式，虽然4=2，但2不是二次根式。

②被开方数a必须是非负数，即a≥0.如3-就不是二次根式，但式子)3(-2是二次根式。

③“”的根指数为2，即“2”，一般省略根指数2，写作“”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。

提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。

知识点二二次根式的性质(1)a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a≥(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性。

(2)(a)2 = a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。

(3)a2 = a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数(式)时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。

知识点三代数式定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。

21.2 二次根式的乘除知识点一 二次根式的乘法法则 一般地，对二次根式的乘法规定：a ·b =ab (a ≥0,b ≥0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

知识点二 积的算术平方根的性质ab =a ·b (a ≥0，b ≥0)，积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。

知识点三 二次根式的除法法则 一般地，对二次根式的除法规定：b a =b a (a ≥0，b ＞0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

二次根式的概念与运算二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。

在数学中，我们常常遇到二次根式的概念与运算，本文将详细介绍二次根式的概念与运算方法。

一、二次根式的概念及表示二次根式是一种特殊的无理数形式，具有根号（√）作为符号，其表示如下：√a其中，a表示被开方数，且a必须是非负实数。

如果a为正实数，则二次根式具有两个相等的实数解；如果a为0，则二次根式等于0；如果a为负实数，则二次根式无实数解，但可以表示为复数形式。

二次根式可以进一步扩展，形式如下：b√a其中，b为系数，a为被开方数，同样要求a为非负实数。

二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减法：当二次根式的被开方数相同，即√a与√a相加或相减时，可以直接对系数进行加减运算。

例如：2√3 + 3√3 = 5√34√5 - √5 = 3√5当二次根式的被开方数不同，即√a与√b相加或相减时，无法简化为一个二次根式，需要保持原样。

例如：2√3 + 3√53√7 - 5√22. 二次根式的乘法：二次根式相乘时，可以分别对系数和被开方数进行乘法运算，并合并结果。

例如：2√3 * 3√2 =6√64√5 * 2 = 8√53. 二次根式的除法：二次根式相除时，可以分别对系数和被开方数进行除法运算，并合并结果。

例如：3√6 / √2 = 3√(6/2) = 3√34√10 / 2 = 2√10三、二次根式问题的简化与应用在实际问题中，我们常常需要对二次根式进行简化，使其表达更加简洁和明确。

1. 简化二次根式：当二次根式的被开方数可以被分解为完全平方数与非完全平方数的乘积时，可以进行简化。

例如：√18 = √(9 * 2) = 3√22. 二次根式的应用：二次根式在几何学、物理学等领域具有广泛应用。

例如，计算三角形的边长、面积等问题中常常涉及到二次根式的运算。

四、总结本文对二次根式的概念与运算进行了详细的介绍。

二次根式是一种特殊的无理数形式，具有根号作为符号。

21．1 二次根式（共四课时）第一课时:二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．a≥0）的式子叫做二次根式的概念；a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）1、用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（题目见教科书4页“思考”栏目）（1）所填的结果有什么特点？二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，（a≥0）•的式子叫做二次根式，议一议：（学生活动）1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0x>0）、例1．下列式子，哪些是二次根式，、1x（x≥0，y•≥0）．、1+x y例2．当x三、巩固练习当x在实数范围内有意义？四、应用拓展在实数范围内有意义？例3、当x1x+1的值．例4(1)已知，求xy(2)，求a2004+b2004的值．五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、课后练习一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． C．．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）D．以上皆不对A．5 B．15二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？+x2在实数范围内有意义？2．当xx_____．3134.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．第二课时：二次根式的意义和性质（1）教学内容1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标1、（a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．难点：用分类思想的方法导出a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？2、根据算术平方根的意义填空：2=；2=；2=；2=．一般地，你能得到什么结论？例1 计算（1）2；（2）2．）2（ 3）．2（ 4）．（2三、巩固练习计算下列各式的值：2）2）24）2（ 2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0） 2．23．（）2 4．2五、能力提高在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结1a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、课后练习一、选择题1次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-2（3）（1）2（4）（ 22(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（4）x（x≥0）（1）5 （2）3.4 （3）163=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5第三课时：二次根式的意义和性质（2）教学内容a（a≥0）教学目标1（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、通过具体数据的解答，探究（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．a（a≥0）．难点：探究结论．讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；例1 化简（1（2（3（4三、巩固练习教材P5练习2．四、应用拓展1、当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？2、当x>2．五、归纳小结1（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．2、让学生认识到当0a≥时，2=六、课后练习一、选择题1）．A．0 B．23 C．423D．以上都不对2．a≥0正确的是（）．AC．二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│第4课时：复习二次根式的意义和性质一、教学目标1、二次根式的意义2、二次根式的性质二、教学重点：根据二次根式的性质计算难点根据二次根式的性质计算三、复习回顾：二次根式二次根式的意义11。