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把速度矢量vA和vB的始端移至一点,求出速度矢量的改变量
Δ v=vB-vA,如图甲、乙所示。
图乙中的矢量三角形与图甲中的三角形△OAB是相似三角形,
用v表示vA和vB的大小，用Δ l表示弦AB的长度，则有:
v l l ，故v v。 v r r 所以加速度 a v l v。 t t r l v2 而当Δ t趋近于零时, 表示线速度的大小v,于是得到 a n 。 t r
【解析】选D。速度变化率就是物体的加速度的大小,因为物体 做匀速圆周运动,所以速度的变化率就是物体的向心加速度的大
v2 小。由 a n ，v 2r 可得an=4πm/s2,D项正确。 r T
2.(多选)由于地球自转,比较位于赤道上的物体1与位于北纬 60°的物体2,则( )
A.它们的角速度之比ω 1∶ω 2=2∶1 B.它们的线速度之比v1∶v2=2∶1 C.它们的向心加速度之比a1∶a2=2∶1 D.它们的向心加速度之比a1∶a2=4∶1
【题组通关】 【示范题】(2014·深圳高一检测)如图所示为质点P、Q做匀速 圆周运动时向心加速度随半径变化的图线。表示质点P的图线 是双曲线的一支,表示质点Q的图线是过原点的一条直线。由图 线可知( )
A.质点P的线速度大小不变 B.质点P的角速度大小不变 C.质点Q的角速度随半径变化 D.质点Q的线速度大小不变
4.变速圆周运动的向心加速度:
做向心加速度表示速度方向变化的快慢,切向
加速度表示速度大小变化的快慢。
【微思考】 (1)在匀速圆周运动中,物体的加速度就是向心加速度吗?加速 度一定指向圆心吗? 提示:在匀速圆周运动中,物体的加速度就是向心加速度,加速 度一定指向圆心。 (2)在变速圆周运动中,物体的加速度就是向心加速度吗?加速 度一定指向圆心吗? 提示:在变速圆周运动中,物体的加速度不是向心加速度,加速 度不指向圆心,向心加速度指向圆心。
t
于匀变速运动,圆周运动是变加速运动,D错。
二、对向心加速度公式的理解 1.向心加速度公式:
v2 (1)基本式:①an= ; ②a n= ω 2r 。 r 2 4 (2)拓展式:①an= 2 r ;②an=ω v。 T
拓展延伸
2.推导:设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动,在某时刻t位
于A点的速度为vA,经过很短的时间Δ t后运动到B点,速度为vB,
一、对向心加速度方向及意义的理解
深化理解
1.物理意义:描述线速度改变的快慢,只表示线速度的方向变化 的快慢,不表示其大小变化的快慢。 2.方向:做匀速圆周运动的物体,其速度的大小(速率)不变,方 向不断改变,所以加速度a没有与v同方向的分量,它必然沿半径 方向指向圆心,故称之为向心加速度。
3.圆周运动的性质:不论向心加速度an的大小是否变化,an的方 向是时刻改变的,所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变,圆 周运动一定是非匀变速曲线运动。“匀速圆周运动中”的“匀 速”应理解为“匀速率”。
比;由an=rω2知:ω一定时,an∝r。从图像可知,质点P的图线是 双曲线的一支,即an与r成反比,可得质点P的线速度大小是不变 的。同理可知:质点Q的角速度是不变的。
【通关1+1】 1.一物体以4m/s的线速度做匀速圆周运动,转动周期为2s。则该 物体在运动过程中的任一时刻,速度变化率的大小为( A.2m/s2 B.4m/s2 C.0 D.4π m/s2 )
【资源平台】备选角度:传动装置中的向心加速度
【示范题】(多选)如图所示,皮带传动装
置中,右边两轮连在一起共轴转动,图中
三轮半径分别为r1=3r,r2=2r,r3=4r;A、
B、C三点为三个轮边缘上的点,皮带不打滑。向心加速度分别
为a1、a2、a3,则下列比例关系正确的是(
(1)地球上各地的角速度大小、线速度大小是否相同? (2)地球上各地的向心加速度大小是否相同?
提示:(1)地球上各地自转的周期都是24h,所以地球上各地的角 速度大小相同,但由于各地自转的半径不同,根据v=ωr可知各 地的线速度大小不同。 (2)地球上各地自转的角速度相同,半径不同,根据an=ω2r可知, 各地的向心加速度大小因自转半径的不同而不同。
【解题探究】(1)写出向心加速度的公式。
v2 提示:向心加速度公式为an= 或an=ω2r。 r
(2)根据图像判断向心加速度随半径r变化的函数关系。 提示:质点P的向心加速度与半径r成反比;质点Q的向心加速度 与半径r成正比。
2 v 【规范解答】选A。由an= 知:v一定时,an∝ 1 ,即an与r成反 r r
【自我思悟】 1.匀速圆周运动和匀速直线运动的相同点和不同点是什么? 提示:相同点:速度的大小不变。不同点:前者速度的方向时刻 变化,后者不变;前者具有加速度,后者没有加速度。 2.圆周运动的向心加速度为什么指向圆心? 提示:多个实例证明匀速圆周运动的合外力指向圆心 ,由牛顿第 二定律知其加速度(即向心加速度)也指向圆心。
4 20
)
D.小球在π s内通过的路程为零
a =2 rad/s，A R 1 2 s 内通过 对；周期T= =π s，B对；小球在t= 圆 4 4
【解析】选A、B。由a=ω2R得角速度ω=
周，位移大小为 2R 2 m ，C错；小球在π s内通过的路 程为一个圆周的长度2πR=2π m，D错。
【题组通关】
【示范题】下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A.向心加速度的方向始终指向圆心
B.向心加速度的方向保持不变 C.在匀速圆周运动中,向心加速度是恒定的 D.在匀速圆周运动中,向心加速度的大小不断变化
【解题探究】(1)向心加速度的物理意义是什么? 提示:加速度是表示速度变化快慢的物理量,向心加速度仅表示 物体速度方向变化的快慢,不表示物体速度大小变化的快慢。 始终指向圆心 。 (2)向心加速度方向为_____________
【解析】选B、C。同在地球上,物体1与物体2的角速度相等,A错。 设物体1的轨道半径为R,则物体2的轨道半径为Rcos60°,所以 v1∶v2=ωR∶ωRcos60°=2∶1,B对。a1∶a2=ω2R∶ω2Rcos60° =2∶1,C对,D错。
3.(多选)一个小球以大小为a=4 m/s2的向心加速度做匀速圆周 运动，半径R=1 m，则下列说法正确的是( A.小球运动的角速度为2 rad/s B.小球做圆周运动的周期为π s C.小球在t= s 内通过的位移大小为 m
再由v=rω 得an=ω 2r。
3.向心加速度的大小与半径的关系:
(1)当半径一定时,向心加速度的大小与角速度的平方成正比,
也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。 (2)当角速度一定时,向心加速度与运动半径成正比。 (3)当线速度一定时,向心加速度与运动半径成反比。
(4)an与r的关系图像:如图所示。由an-r图像可以看出:an与r成 正比还是反比,要看ω 恒定还是v恒定。
3.做匀速圆周运动的两物体甲和乙,它们的向心加速度分别为 a1和a2,且a1>a2,下列判断正确的是( A.甲的线速度大于乙的线速度 B.甲的角速度比乙的角速度小 C.甲的轨道半径比乙的轨道半径小 D.甲的速度方向比乙的速度方向变化快 )
【解析】选D。由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关 系,故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系,A、B、C错。 向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量,a1>a2,表明 甲的速度方向比乙的速度方向变化快,D对。
5 向心加速度
1.理解匀速圆周运动中的速度变化量和向心加速
学习
目标
度的概念。
2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
3.能够运用向心加速度公式求解有关问题。
一、感受圆周运动的向心加速度 变速 运动,_____ 变速 运动必 1.圆周运动必有加速度:圆周运动是_____
有加速度。
2.匀速圆周运动的加速度方向:
二、向心加速度
圆心 的加速度。 1.定义:做匀速圆周运动的物体具有的指向_____
v2 2.大小:(1)an= r ;(2)an=____ ω 2r 。
圆心 与线速度方向_____ 垂直 。 3.方向:沿半径方向指向_____,
【自我思悟】 1.地球在不停地公转和自转,关于地球的自转,思考以下问题:
【素养升华】 向心加速度公式的应用技巧 向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系 ,必须 在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较 转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时 ,应按以 下步骤进行: (1)先确定各点是线速度大小相等,还是角速度相同。 (2)在线速度大小相等时,向心加速度与半径成反比,在角速度 相同时,向心加速度与半径成正比。
2.关于向心加速度的物理意义,下列说法正确的是( A.它描述的是线速度大小变化的快慢 B.它描述的是线速度方向变化的快慢 C.它描述的是物体运动的路程变化的快慢 D.它描述的是角速度变化的快慢
)
【解析】选B。加速度始终与线速度方向垂直,故向心加速度只 表示线速度的方向改变的快慢,不表示线速度的大小改变的快 慢,A、D错误,B正确。圆周运动中,线速度是描述物体运动路程 变化快慢的物理量,C错误。
【规范解答】选A。向心加速度的方向时刻指向圆心,线速度的 方向时刻沿圆周的切线方向,故向心加速度的方向始终与线速 度的方向垂直,A正确;向心加速度的大小不变,方向时刻指向圆 心,不断变化,故B、C、D错误。
【通关1+1】 1.(多选)(2014·廊坊高一检测)下列说法中正确的是( 物体没有加速度 B.做匀速圆周运动的物体,虽然速度大小不变,但方向时刻都在 改变,所以必有加速度 C.做匀速圆周运动的物体,加速度的大小保持不变,所以是匀变 )
A.匀速圆周运动的速度大小保持不变,所以做匀速圆周运动的
速曲线运动
D.匀速圆周运动的加速度大小虽然不变,但方向始终指向圆心, 加速度的方向发生了变化,所以匀速圆周运动既不是匀速运动, 也不是匀变速运动
