云南省玉溪第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理(含解析)

云南省玉溪一中2020届高三上学期期中考试试题数学（理）一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}1)3(log |{2<+=x x A ,}24|{-<<-=x x B ,则=⋃B AA.}23|{-<<-x xB.}14|{-<<-x xC.}1|{-<x xD.}4|{->x x 2.“34=m ”是“直线024=-+-m my x 与圆422=+y x 相切”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在ABC ∆中,若A a B c C b sin cos cos =+,则角A 的值为 A.3π B.6π C.2πD.32π4.已知定义域为]22,4[--a a 的奇函数)(x f 满足2sin 2020)(3++-=b x x x f , 则=+)()(b f a fA.0B.1C.2D.不能确定5.设m ,n 为空间两条不同的直线, α,β为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若α⊥m ,β//m ,则βα⊥; ②若α⊂m ,α⊂n ,β//m ,β//n ,则βα//; ③若α//m ,α//n ,则n m //; ④若α⊥m ,β//n ,βα//,则n m ⊥. 其中所有正确命题的序号是 A.①②B.②③C.①③D.①④6.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A.0360种B.1440种C.2400种D.0480种7.如图1，在矩形OABC 内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为 A.3e B.31-e C.33e - D.34e- 8.已知0log log log 532<==z y x ,则x 2,y 3,z5的大小顺序为A.y x z 325<< B.z x y 523<< C.z y x 532<< D.x y z 235<<9.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面0100米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了0100米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……,所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若乌龟恰好领先阿基里斯210-米时,乌龟爬行的总距离为A.901104-B.9001104-C.901105-D.9001105-10.已知1010)sin(=-βα,552sin =β,]23,[ππα∈,]2,4[ππβ∈,则=+βαA.45π B.47π C.45π或47π D.45π或23π11.在ABC ∆中, 1=CA ,2=CB ,32π=∠ACB ,点M 满足2+=,则=⋅A.0B.2C.32D.412.已知1F ,2F 分别为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点,点P 是椭圆上位于第一象限内的点,延长2PF 交椭圆于点Q ,若PQ PF ⊥1,且PQ PF =1,则椭圆的离心率为 A.22-B.23-C.12-D.36-二、填空题：本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知向量)2,1(=a ,)2,2(-=b ,),1(λ=c,若)2//(b a c +,则=λ ．14.已知数列}{n a 满足11=a ,nn a a +-=+111,*∈N n ,则=2019a ． 15.已知正数x ,y 满足1=+y x ,则1914+++y x 的最小值是 ． 16.已知函数xxe x f =)(,x x x g ln )(=,若t x g x f ==)()(21,其中 0>t ,则21ln x x t的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.17.(本小题满分12分)设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,522-=+S a ,155-=S . （1）求数列}{n a 的通项公式; （2）求13221111++++n n a a a a a a . 18.(本小题满分12分)已知向量)sin ,cos 2(x x a =,)cos 32,(cos x x b -= ,且1)(-⋅=b a x f.（1）求)(x f 的单调递增区间;（2）先将函数)(x f y =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的21倍（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移12π个单位,得到函数)(x g y =的图象，求方程 1)(=x g 在区间]2,0[π∈x 上所有根之和.19.(本小题满分12分)已知三棱锥ABC P -（如图2）的展开图如图3,其中四边形ABCD 为边长等于2的正方形, ABE ∆和BCF ∆均为正三角形.（1）证明:平面PAC ⊥平面ABC ; （2）若M 是PA 的中点, 求二面角M BC P --的余弦值.20.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分別为a ,b ,c ,若43cos =A ,AB 2=,3=b .（1）求a ;（2）如图4，点M 在边BC 上,且AM 平分BAC ∠, 求ABM ∆的面积.21.(本小题满分12分)已知函数)ln 1()(x x x f +=, )1()(-=x k x g )(Z k ∈. （1）求函数)(x f 的极值;（2）对任意的),1(+∞∈x ,不等式)()(x g x f >都成立,求整数k 的最大值.(二)选考题:共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222)1()3(r y x =-+-（0>r ）,以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1)3sin(=-πθρ,且直线l 与圆C 相切. （1）求实数r 的值;（2）在圆C 上取两点M ,N ,使得6π=∠MON ,点M ,N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆,求OMN ∆面积的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数112)(-+-=x a x x f .（1）当2=a 时,b x f ≤)(有解,求实数b 的取值范围; （2）若2)(-≥x x f 的解集包含]2,21[,求实数a 的取值范围.答案一、 选择题：略二、填空题： 13. 52- 14. 2- 15. 325 16. ]1,(e -∞三、解答题：17.解：（1）设等差数列}{n a 的公差设为d , 522-=+S a ,155-=S ,∴5231-=+d a ,151051-=+d a ,解得11-==d a . ………………4分 ∴n n a n -=---=)1(1,*∈N n . ………………6分（2）111)1(111+-=+=+n n n n a a n n………………8分13221111++++∴n n a a a a a a )1(1321211+⨯++⨯+⨯=n n1113121211+-++-+-=n n 1n+=n …………………12分 18.解:（1）函数1cos sin 32cos 2)(2-⋅-=x x x x f)62sin(2π--=x …………………4分令πππππk x k 2236222+≤-≤+,Z k ∈ 即ππππk x k +≤≤+653,Z k ∈, ∴函数的单调增区间为]65,3[ππππk k ++,Z k ∈. …………6分（2）由题意知)62sin(4x 6)12(4sin 2)(πππ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=x x g , ………8分 由1)(=x g ,得21)6sin(4x -=+π, ]2,0[π∈x ,∴]613,6[64x πππ∈+ ∴6764x ππ=+或61164x ππ=+, ∴4x π=或125x π=,故所有根之和为321254πππ=+. ………………12分 19.解:（1）证明:如图取AC 的中点O ,连结BO PO .2===PC PB PA ,∴1=PO ,1===CO BO AO , 在PAC ∆中,PC PA =,O 为AC 的中点, ∴AC PO ⊥. 在POB ∆中,1=PO , 1=OB ,2=PB ,∴222PB OB PO =+,∴OB PO ⊥.O OB AC =⋂,AC ,OB ⊂平面ABC ,∴⊥PO 平面ABC ,⊂PO 平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面ABC ． ……………5分（2）解:由（1）⊥PO 平面ABC 知: OB PO ⊥,OC PO ⊥, 又OC OB ⊥,则如图所示，以O 为原点,OC ,OB ,OP 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系, 则)0,0,0(O ,)0,0,1(C ,)0,1,0(B ,)0,0,1(-A ,)1,0,0(P ,)21,0,21(-M ,)0,1,1(-=BC ,)1,0,1(-=PC ,)1,0,3(-=, ……………7分xz yMOCABPOPAC设平面MBC 的法向量),,(1111z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n BC n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0212301111z x y x ,令11=x ,得)3,1,1(1=n . ………9分设平面PBC 的法向量),,(2222z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022PC n BC n ,即⎩⎨⎧=-=-002222z x y x ,令12=x ,得)1,1,1(2=n . ………11分 设二面角M BC P --的平面角为θ,则333353115,cos cos 212121=⨯=⋅⋅>=<=n n n n n nθ.∴二面角M BC P --的余弦值为33335. ………………12分 20.解:(1)由正弦定理知B b A a sin sin =，∴AA a 2sin 3sin =, ∴24323cos 23=⨯==Aa . ………………………4分（2） 43cos =A ,∴47sin =A ,∴811cos 22cos cos 2=-==A A B ,∴873sin =B ,∴1675sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C , …………7分 由正弦定理知A a C c sin sin =,∴25sin sin ==A C a c…………9分 AM 平分BAC ∠,∴ 56===c b AB AC BM CM ,∴11102115115=⨯==BC BM , …………11分∴17677587325111021sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=∆B AB BM S ABM . ……12分 21.解:（1） )ln 1()(x x x f +=,0>x ,∴x x f ln 2)(+=', …………1分 当10x <<时,0)(<'x f ,当1x >时, 0)(>'x f , …………3分 C∴当21e x =时, )(x f 取得极小值，极小值为22221)1ln 1(1)1(ee e ef -=+=, )(x f 无极大值． ………………………5分（2） 对任意的),1(+∞∈x ,不等式)()(x g x f >都成立,∴)1()ln 1(->+x k x x 在),1(+∞∈x 上恒成立，即0)1()ln 1(>--+x k x x 在),1(+∞∈x 上恒成立，令)1()ln 1()(--+=x k x x x h , 1>x ∴x k x h ln 2)(+-=', ………6分 ①当02≥-k 时,即2≤k 时, 0)(>'x h 在),1(+∞∈x 上恒成立，∴)(x h 在),1(+∞上单调递增，∴1)1()(=>h x h∴2≤k 都符合题意,此时整数k 的最大值为2. ……………8分②当2>k 时,令0)(='x h ,解得2-=k e x ,∴当21-<<k e x 时, 0)(<'x h ,当2->k e x 时, 0)(>'x h ,k e e h x h k k +-==--22min )()(,则02>+--k e k , ……………10分令k ek p k +-=-2)(∴1)(2+-='-k e k p ,)2(>k ,0)(<'k p 在),2(+∞∈k 上恒成立, ∴k e k p k +-=-2)(在),2(+∞上单调递减，又04)4(2<+-=e p ,03)3(>+-=e p ,∴存在)4,3(0∈k 使得0)(0=k p ,故此时整数k 的最大值为3.综上所述: 整数k 的最大值为3. …………………12分22.解:（1）直线l 的极坐标方程为1)3sin(=-πθρ,转化为直角坐标方程为023=+-y x . ………………2分直线l 与圆C 相切, ∴圆心)1,3(到直线023=+-y x 的距离d 满足r d =+-⨯=2133，解得2=r . …………………4分（2）由（1）得圆的方程为4)1()3(22=-+-y x .转化为极坐标方程为)3sin(4πθρ+=．设),(1θρM ,)6,(2πθρ+N , … 5分6sin 2121πρρ=∆MON S )2sin()3sin(4πθπθ++=3)32sin(2++=πθ …………8分故当12πθ=时, OMN ∆的面积取到最大值为32+. …………10分23.解:（1）当2=a 时,1221222121212)(=---≥-+-=-+-=）（）（x x x x x x x f当且仅当0)22(12(≤--x x ）, 即121≤≤x 时取等号, …………2分 ∴1)(min =x f , b x f ≤)(有解, ∴只需1)(min =≥x f b ,∴实数b 的取值范围为),1[+∞. ……………………4分（2）当]2,21[∈x 时, 012≥-x ,02≤-x , 2)(-≥x x f 的解集包含]2,21[∴x x a 331-≥-对]2,21[∈x 恒成立, ……………7分当1=x 时, R a ∈, 当121<≤x 时, x x a 33)1(-≥-, 即3≥a ,当21≤<x 时, x x a 33)1(-≥-, 即3-≥a , ……………9分 综上所述: 实数a 的取值范围为),3[+∞. ……………10分。

玉溪一中高2020届高三上学期第2次月考理科数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{42}M x x =-<<，2{60}N x x x =--<，则M N ⋂= A ．{43}x x -<< B ．{42}x x -<<- C ．{22}x x -<< D ．{23}x x << 2．设复数1z i =+(i 是虚数单位)，则复数1z z+在复平面内所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在△ABC 中，“0CA CB >u u u r u u u rg”是“△ABC 为锐角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若1cos 21sin 22αα+=，则tan 2α=A ．54B ．54-C ．43D ．43-5．《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．图1是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则结束程序时，输出的n 为 (参考数据：3 1.7321≈，sin150.2588≈o ，sin 7.50.1305≈o ) 图1A ．6B ．12C ．24D ．486．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =g ，则1102log a =A ．4-B ．5-C ．6-D ．7- 7．设0.50.4a =，0.50.6b =，0.30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b<<8．已知正数,,,a b c d 满足1a b +=，1c d +=，则11abc d+的最小值是 A ．10 B ．9 C．．9．给出下列四个命题，其中不正确的命题为 ①若cos cos αβ=，则2,k k Z αβπ-=∈； ②函数2cos(2)3y x π=+的图象关于直线12x π=对称；③函数cos(sin ),y x x R =∈为偶函数； ④函数sin y x =是周期函数.A ．①③B ．②④C ．①②③④D ．①②④10．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 2cos b C c B a -=，且2B C =，则△ABC 的形状是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形11．已知函数21,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩,若方程()f x a =有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)12．已知直线y kx b =+与曲线ln(2)y x =和曲线ln(1)y x =+都相切，则k = A ．ln 2B ．1ln 2C ．1ln 2 D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．3(21)x dx -=⎰________.14．2019年3月10日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三号乙运载火箭托举“中星6C ”卫星成功发射升空。

绝密★启用前云南省玉溪一中2020届高三年级上学期第四次月考数学(理)试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知集合}031{≤-+=x x x A ,}40{<<=x x B ,则=⋃B A A. {}41<≤-x x B. {}30≤<x x C. {}30<<x x D. {}41<<-x x2.设i iz ++=11,则=z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2 3.已知命题p :对任意R x ∈,总有22x x >;:q "1">ab 是"1,1">>b a 的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是A.q p ∧⌝)(B.q p ∧C.)(q p ⌝∧D.)()(q p ⌝⌝∧ 4.一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积是A.64B.72C.80D.1125.执行如图2所示的框图,若输入5=N ,则输出的S 等于图1A.43 B.54 C.65 D.76 6.在四面体OABC 中,E 为OA 中点,31=,若=,=,=,则= A. 323121-- B. 343121+-- C. 313221++- D. 323121++- 7.定义在R 上的奇函数)(x f 满足)1()1(x f x f +=-,且当]1,0[∈x 时,x x x f 24)(2-=,则当]2,2[-∈x 时,方程1)(2=x f 的解的个数为A. 2B. 3C. 4D. 68. 如图3,矩形ABCD 中,AB=4,BC=2,E 为边AB 的中点,沿DE 将△ADE 折起,点A 折至A 1处（A 1∉平面ABCD ）,若M 为线段A 1C 的中点,则在△ADE 折起过程中,下列说法错误的是A .始终有MB //平面A 1DEB.不存在某个位置,使得A 1C ⊥平面A 1DEC.三棱锥A 1￣ADE 体积的最大值是322 D.一定存在某个位置,使得异面直线BM 与A 1E 所成角为30˚9.如图4,用与底面成45˚角的平面截圆柱得一椭圆截面,则该椭圆的离心率为 A.33 B.31 C.23 D.22 10.玉溪某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,则平均储存时间为8x 天,且每件产品每天的储存费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 A.60件 B.80件C.100件D.120件图2 图3图4。