备战2017高考数学(精讲精练精析)专题8.2点、直线、平面平行与垂直的判定与性质试题文(含解析)

专题8.2 点、直线、平面平行与垂直判定与性质【三年高考】1. 【2021高考浙江理数】互相垂直平面αβ，交于直线l .假设直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 那么〔 〕 A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】C 【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．应选C ．2．【2021高考新课标2理数】 ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有以下四个命题： 〔1〕如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.〔2〕如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥.〔3〕如果//,m αβα⊂，那么//m β.〔4〕如果//,//m n αβ，那么m 与α所成角和n 与β ． (填写所有正确命题编号〕 【答案】②③④④.3．【2021高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：〔1〕直线DE ∥平面A 1C 1F ； 〔2〕平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .4．【2021高考新课标1卷】如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．〔I 〕证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； 〔II 〕求二面角E -BC -A 余弦值．【解析】〔I 〕由可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ．又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．CABDEF5．【2021高考新课标3理数】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，ADBC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 中点．〔I 〕证明MN平面PAB ；〔II 〕求直线AN 与平面PMN 所成角正弦值.【解析】〔Ⅰ〕由得，取BP 中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，.又BC AD //，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .〔Ⅱ〕取BC 中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE .以A 为坐标原点，AE 方向为x 轴正方向，建立如下图空间直角坐标系xyz A -，由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，，(0,2,4)PM =-，，.设(,,)n x y z =为平面PMN 法向量，那么，即，可取(0,2,1)n =，于是||85|cos ,|25||||n AN n AN n AN ⋅<>==. 6. 【2021 高考安徽，理5】m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，那么以下命题正确是〔 〕 〔A 〕假设α，β垂直于同一平面，那么α与β平行 〔B 〕假设m ，n 平行于同一平面，那么m 与n 平行〔C 〕假设α，β不平行，那么在α内不存在与β平行直线 〔D 〕假设m ，n 不平行，那么m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D7. 【2021 高考福建，理7】假设,l m 是两条不同直线，m 垂直于平面α，那么“l m ⊥ 〞是“//l α 〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】假设l m ⊥，因为m 垂直于平面α，那么//l α或l α⊂；假设//l α，又m 垂直于平面α，那么l m ⊥，所以“l m ⊥ 〞是“//l α 必要不充分条件，应选B ．8.【2021 江苏高考，16】如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 中点为D ，E BC C B =11 .求证：〔1〕C C AA DE 11//平面； 〔2〕11AB BC ⊥.9.【2021 高考四川，理18】一个正方体平面展开图及该正方体直观图示意图如下图，在正方体中，设BC 中点为M ，GH 中点为N〔1〕请将字母,,F G H 标记在正方体相应顶点处〔不需说明理由〕 〔2〕证明：直线//MN 平面BDH 〔3〕求二面角A EG M --余弦值.【解析】〔1〕点F 、G 、H 位置如下图.AB CD EA 1B 1C 1MDC ABEFH GOMDCAB EFH GN OM DCABEFHGP K N10. 【2021高考广东卷理第7题】假设空间中四条直线两两不同直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，那么以下结论一定正确是〔 〕A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 位置关系不确定 【答案】D【解析】如以下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，D 1C 1B 1A 1DCBA14//l l ；取AD 为1l ，AB 为4l ，那么14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，那么1l 与4l 异面，因此1l 、4l 位置关系不确定，应选D.11.【2021辽宁高考理第4题】m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，以下说法正确是〔 〕A ．假设//,//,m n αα那么//m nB ．假设m α⊥，n α⊂，那么m n ⊥C ．假设m α⊥，m n ⊥，那么//n αD ．假设//m α，m n ⊥，那么n α⊥【答案】B12.【2021高考江苏第16题】如图在三棱锥-P ABC 中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 中点，,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===，求证〔1〕直线//PA 平面DEF ； 〔2〕平面BDE ⊥平面ABC .B【三年高考命题回忆】纵观前三年各地高考试题,始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直性质和判定作为考察重点，且线线垂直判定、线面垂直判定、面面垂直判定与性质、是高考热点，在难度上也始终以中等偏难为主，而直线与平面平行判定，以及平面与平面平行判定高考大题全国卷中很少涉及，而在小题中考察，主要考察是对概念，定理理解与运用.【2021年高考复习建议与高考命题预测】由于在新课标教材中将立体几何要求进展了降低，重点在对图形及几何体认识上，实现平面到空间转化，是知识深化和拓展重点，因而在这局部知识点上命题，将是重中之重.高考对这局部知识考察侧重以下几个方面： 1．从命题形式来看，涉及立体几何内容命题形式最为多变. 除保存传统“四选一〞选择题型外，还尝试开发了“多项选择填空〞、“完型填空〞、“构造填空〞等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题那么设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考察线线、线面、面面位置关系，后面几问考察空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求〞，强调作图、证明和计算相结合.2．从内容上来看，主要是：考察直线和平面各种位置关系判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题与解答题第一步； 3．从能力上来看，着重考察空间想象能力，即空间形体观察分析和抽象能力，要求是“四会〞：①会画图——根据题设条件画出适合题意图形或画出自己想作辅助线(面)，作出图形要直观、虚实清楚；②会识图——根据题目给出图形，想象出立体形状和有关线面位置关系；③会析图——对图形进展必要分解、组合；④会用图——对图形或其某局部进展平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考察逻辑思维能力、运算能力和探索能力.从高考试题来看，线线垂直判定、线面垂直判定、面面垂直判定与性质、线面角等是高考热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考察线面垂直、面面垂直判定与性质，考察线面角概念及求法；而主观题不仅考察以上内容，同时还考察学生空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力．直线与直线、直线与平面、平面与平面平行性质和判定作为考察重点，题型既有选择题、填空题又有解答题，在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进展了降低，重点在对图形及几何体认识上，实现平面到空间转化，示知识深化和拓展重点，因而在这局部知识点上命题，将是重中之重.预测2021年高考，将以多面体为载体，第一问以线面垂直，面面垂直为主要考察点，第二问可能给出一个角，求点位置或设置一个探索性命题，突出考察空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题能力．复习建议;证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.【2021年高考考点定位】高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直性质和判定作为考察重点.〕考题既有选择题，填空题，又有解答题；在考题上特点为：热点问题为平面根本性质，考察线线、线面和面面关系论证，此类题目将以客观题和解答题第一步为主，考察逻辑思维能力、运算能力和探索能力. 【考点1】空间点、直线、平面之间位置关系 【备考知识梳理】1．平面概述：〔1〕平面两个特征：①无限延展 ②平〔没有厚度〕；〔2〕平面画法：通常画平行四边形来表示平面；〔3〕平面表示：用一个小写希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形两个相对顶点字母表示，如平面AC. 2．三公理三推论:公理1：假设一条直线上有两个点在一个平面内，那么该直线上所有点都在这个平面内： A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂l公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点集合是一条过这个公共点直线.公理3：经过不在同一直线上三点，有且只有一个平面.推论一：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面 3．空间直线:〔1〕空间两条直线位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.相交直线和平行直线也称为共面直线.异面直线画法常用有以下三种：aba ba bβααα〔2〕平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立.即公理4：平行于同一条直线两条直线互相平行.〔3〕异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点直线，和这个平面内不经过此点直线是异面直线.推理模式：,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线.异面直线所成角：①定义：设,a b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线'a a ，'b b ，把'a 与'b 所成锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成角(或夹角)．②范围：. 4．直线和平面位置关系〔1〕直线在平面内〔无数个公共点〕； 〔2〕直线和平面相交〔有且只有一个公共点〕；〔3〕直线和平面平行〔没有公共点〕——用两分法进展两次分类. 它们图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，aA α=，//a α.aαaAαaα5．两个平面位置关系有两种：两平面相交〔有一条公共直线〕、两平面平行〔没有公共点〕 【规律方法技巧】 1．求异面直线所成角方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角常用方法． (2)补形法：即采用补形法作出平面角． 2．证明共面问题两种途径(1)首先由条件中局部线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两局部，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．3．证明共线问题两种途径：(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．4．证明共点问题常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【考点针对训练】1. 【2021届湖南师大附中高三上入学摸底】如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1各条棱长都相等，那么异面直线AB 1和A 1C 所成角余弦值大小为A. B ．－ C ． D ．－ 【答案】A2. 【2021年湖南师大附中高三三模】如图，假设Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1点，F 为线段BB 1上异于B 1点，且EH ∥A 1D 1，那么以下结论中不正确是〔 〕A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．四边形EFGH 可能为梯形【答案】D【解析】假设平面EFGH 法向量为n ，那么有FG n EH n ⊥⊥,，又因为1111////C B D A EH ，所以11C B n ⊥，GF C B GF GF C B C B 111111面，面∈∈，且n 不是面GF C B 11法向量，由11C B n ⊥，FG n ⊥可知，11//C B FG ，那么EH FG EH FG =,//，可见四边形FG E H 是矩形，所以A ，B ，C 选项都正确，正确选项为D.【考点2】直线与平面、平面与平面平行判定与性质【备考知识梳理】1. 线面平行判定定理：如果不在一个平面内一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒． bab a ααP P定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．abβα3.两个平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行.定理模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内两条相交直线，那么这两个平面互相平行. 推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒4.两个平面平行性质〔1〕如果两个平面平行，那么其中一个平面内直线平行于另一个平面；〔2〕如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.易错点：1．直线与平面平行判定中易无视“线在面内〞这一关键条件．2．面面平行判定中易无视“面内两条相交线〞这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．【规律方法技巧】1. 证明线线平行方法：〔1〕平行公理；〔2〕线面平行性质定理；〔3〕面面平行性质定理；〔4〕向量平行.要注意线面、面面平行性质定理成立条件.2.线面平行证明方法：〔1〕线面平行定义；〔2〕线面平行判断定理；〔3〕面面平行性质定理；〔4〕向量法：证明这条直线方向向量和这个平面内一个向量互相平行；证明这个直线方向向量和这个平面法向量相互垂直.线面平行证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行. 证明直线与平面平行关键是设法在平面内找到一条与直线平行直线；利用几何体特征，合理利用中位线定理、线面平行性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；3.面面平行证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，那么它们必相交，在导出矛盾；②面面平行判断定理；③利用性质:垂直于同一直线两个平面平行；平行于同一平面两个平面平行；④平行于同一个平面两个平面平行.//,////αβαγβγ⇒；⑤向量法：证明两个平面法向量平行.4.两个平面平行性质有五条：〔1〕两个平面平行，其中一个平面内任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，那么线面平行〞.用符号表示是：αβ，a α，那么a β.〔2〕如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，那么线线平行〞.用符号表示是：αβ，a αγ=，b βγ=，那么a b .〔3〕一条直线垂直于两平行平面中一个平面,它也垂直于另一个平面.这个定理可用于证线面垂直.用符号表示是：αβ，a α⊥，那么a β⊥.〔4〕夹在两个平行平面间平行线段相等〔5〕过平面外一点只有一个平面与平面平行5.证明空间线面平行需注意以下几点：①由想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.②立体几何论证题解答中，利用题设条件性质适当添加辅助线〔或面〕是解题常用方法之一.③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论.关键在于对题目中条件思考和分析，掌握做此类题一般技巧和方法，以及如何巧妙进展平行之间转化.6．“升降维〞思想直线是一维，平面是二维，立体空间是三维.运用降维方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进展研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为，从而使问题得到解决.运用升维方法把平面或直线中概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习〞重要方法.平面图形翻折问题分析与解决，就是升维与降维思想方法不断转化运用过程.7．反证法：反证法是立体几何中常用间接证明方法.其步骤是：①否认结论；②进展推理；③导出矛盾；④肯定结论．用反证法证题要注意：①宜用此法否；②命题结论反面情况有几种.【考点针对训练】1. 【2021届辽宁大连八中、二十四中高三模拟】四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为平行四边形， 45=∠ABC ，2=AB ，22=BC ，SC SB =.〔1〕设平面SCD 与平面SAB 交线为l ，求证：AB l //；〔2〕求证：BC SA ⊥.2.【2021届河南省新乡卫辉一中高考押题一】Rt ABC ∆中，03,4,90,2,2AB BC ABC AE EB AF FC ==∠===，将AEF ∆沿EF 折起，使A 变到A '，使平面A EF '⊥平面EFCB ．〔1〕试在线段A C '上确定一点H ，使//FH 平面A BE '；〔2〕试求三棱锥A EBC '-外接球半径与三棱锥A EBC '-外表积．【考点3】直线与平面、平面与平面垂直判定与性质【备考知识梳理】1．线线垂直判断线线垂直方法：所成角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中一条，必垂直于另一条.三垂线定理：在平面内一条直线，如果它和这个平面一条斜线射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. aPαOA三垂线定理逆定理：在平面内一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线射影垂直.推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭.注意：⑴三垂线指,,PA PO AO 都垂直α内直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直判定和性质定理⑵要考虑a 位置，并注意两定理交替使用.2．线面垂直：定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面垂线，平面α叫做直线l 垂面,直线与平面交点叫做垂足.直线l 与平面α垂直记作：l α⊥.直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.3．面面垂直两个平面垂直定义：相交成直二面角两个平面叫做互相垂直平面.两平面垂直判定定理：〔线面垂直⇒面面垂直〕如果一个平面经过另一个平面一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两平面垂直性质定理：〔面面垂直⇒线面垂直〕假设两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线直线垂直于另一个平面.【规律方法技巧】1.证明线线垂直方法：〔1〕异面直线所成角为直角；〔2〕线面垂直性质定理；〔3〕面面垂直性质定理；〔4〕三垂线定理和逆定理；〔5〕勾股定理；〔6〕向量垂直.要注意线面、面面垂直性质定理成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质传递性，垂直关系多样性.2.线面垂直证明方法：〔1〕线面垂直定义；〔2〕线面垂直判断定理；〔3〕面面垂直性质定理；〔4〕向量法：证明这个直线方向向量和这个平面法向量相互平行.线面垂直证明思考途径：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.3.面面垂直证明方法：①定义法；②面面垂直判断定理；③向量法：证明两个平面法向量垂直.解题时要由相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中条件思考和分析，掌握做此类题一般技巧和方法，以及如何巧妙进展垂直之间转化.4.证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应性质定理.两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直性质定理；在垂直关系证明中，线线垂直是问题核心，可以根据平面图形通过计算方式〔如勾股定理〕证明线线垂直，也可以根据垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直性质定理，这个定理是两个平面垂直，结论是线面垂直．5.证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内两条相交直线；而证明异面线线垂直，很多题都要通过线面垂直来证明；对相交直线垂直证明，一般考虑用平面几何里方法.常见有以下几种，假设是等腰三角形，那么底边上中线与底边垂直；假设是锥形、菱形〔正方形〕，那么对角线互相垂直；假设是矩形，那么邻边互相垂直；有时还用到以下结论：如以下图，在矩形ABCD 中，假设，那么AF DE ⊥； F CD A BE假设告诉了线段长度，或者是告诉了边与边之间关系，那么用勾股定理.6．在解决直线与平面垂直问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直互相转化．注意以下几点：①由想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.②立体几何论证题解答中，利用题设条件性质适当添加辅助线〔或面〕是解题常用方法之一.③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论.④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑.应用时常需先认清所观察平面及它垂线，从而明确斜线、射影、面内直线位置，再根据定理由两直线垂直得出新两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用方法之一.7．面面垂直性质定理是作辅助线一个重要依据．我们要作一个平面一条垂线，通常是先找这个平面一个垂面，在这个垂面中，作交线垂线即可．每一垂直判定就是从某一垂直开场转向另一垂直最终到达目.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.8.易错点：〔1〕证明线面垂直时，易无视面内两条线为相交线这一条件．〔2〕面面垂直判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易无视．〔3〕面面垂直性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．【考点针对训练】1. 【2021届海南省农垦中学高三第九次月考】如图，在四棱锥ABCD P -中，CD BC CD AB CD BC AB ⊥===,//,4,2,1，AB PA ABCD PAB ⊥⊥，平面平面．〔1〕求证：PAC BD 平面⊥；〔2〕点F 在棱PD 上，且，，若平面5//=PA FAC PB 求三棱锥D F C -A 体积D F C V -A ．〔2〕作FO MO M AD FM ,，连接于⊥,由〔1〕知：ABCD PAD 平面平面⊥，AD ABCD PAD =⋂平面平面,PA FM ADC FM //，平面⊥∴,FO FAC PBD PBD PB FAC PB =⋂⊂平面，平面平面，平面// ,PAB FMO PB FO 平面平面//,//∴∴,54,//===∴DB DO DA DM PA FM AB MO ,又4,5=∴=FM PA ,4212-=⋅-⋅+==∆∆DC AB BC DC AB S S S ABC ABCD ADC 梯形, 2.【2021届广西柳州市高三下4月模拟】如图，在三棱锥ABC P -中，PAB ∆和CAB ∆都是以AB 为斜边等腰直角三角形.〔1〕求证：PC AB ⊥；〔2〕假设22==PC AB ，求三棱锥ABC P -体积.【应试技巧点拨】1.线线平行与垂直证明证明线线平行方法：〔1〕平行公理；〔2〕线面平行性质定理；〔3〕面面平行性质定理；〔4〕向量平行.要注意线面、面面平行性质定理成立条件. 证明线线垂直方法：〔1〕异面直线所成角为直角；〔2〕线面垂直性质定理；〔3〕面面垂直性质定理；〔4〕三垂线定理和逆定理；〔5〕勾股定理；〔6〕向量垂直.要注意线面、面面垂直性质定理成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质传递性，垂直关系多样性.线面平行与垂直位置关系确定，也是高考考察热点，在小题中考察关系确定，在解答题考察证明细节. 线面平行证明方法：〔1〕线面平行定义；〔2〕线面平行判断定理；〔3〕面面平行性质定理；〔4〕向量法：证明这条直线方向向量和这个平面内一个向量互相平行；证明这个直线方向向量和这个平面法向量相互垂直.线面平行证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.线面垂直证明方法：〔1〕线面垂直定义；〔2〕线面垂直判断定理；〔3〕面面垂直性质定理；〔4〕向量法：证明这个直线方向向量和这个平面法向量相互平行.线面垂直证明思考途径：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.〔1〕面面平行证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，那么它们必相交，在导出矛盾；②面面平行判断定理；③利用性质:垂直于同一直线两个平面平行；平行于同一平面两个平面平行；④向量法：证明两个平面法向量平行.〔2〕面面垂直证明方法：①定义法；②面面垂直判断定理；③向量法：证明两个平面法向量垂直.解题时要由相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中条件思考和分析，掌握做此类题一般技巧和方法，以及如何巧妙进展垂直之间转化.二年模拟1. 【2021届河南省郑州一中高三考前冲刺五】βα,是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线给出以下命题： ①假设,,βα⊂⊥m m 那么βα⊥；②假设ββαα∥∥n m n m ,,,⊂⊥，那么βα∥；③如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么n 与α相交；④假设,,,βαβα⊄⊄=n n m n m ，且∥ 那么n ∥α且β∥n .其中真命题是〔 〕A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】D2. 【2021届浙江省义乌市5月模拟】三个平面,,αβγ，假设βγ⊥，α与γ相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内直线，那么以下结论正确是〔 〕A ．,a ααγ∃⊂⊥B ．,//a ααγ∃⊂C ．,b b βγ∀⊂⊥D ．,//a b βγ∀⊂【答案】B【解析】很容易运用反例验证答案A, C, D 都是不正确,故应选答案B.3. 【2021届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟】直线,l m 和平面α，那么以下结论正确是〔 〕A ．假设,l m m α⊂∥,那么l α∥B ．假设,l m αα⊥⊂,那么l m ⊥C ．假设,l m l α⊥⊥,那么m α⊥D ．假设,l m αα⊂∥,那么l m ∥【答案】B【解析】假设,l m m α⊂∥,那么l α∥或l α⊂；假设,l m αα⊥⊂,那么l m ⊥；假设,l m l α⊥⊥,那么m α⊥或m α⊂；假设,l m αα⊂∥,那么l m ∥或,l m 异面；因此选B.4. 【2021届福建省厦门市高三5月月考】设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，那么以下命题正确是〔 〕①假设,m ααβ⊥⊥，那么//m β；②假设,//,m n ααββ⊥⊂，那么m n ⊥；③,,//m n m n αβ⊂⊂，那么//αβ；④假设,,n n m αββ⊥⊥⊥，那么m α⊥.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】D【解析】对于①可以有β⊂m ,故不成立；关于③可以有βα ，所以不成立,故应选D.5. 【2021届山东省潍坊一中高三下三轮冲刺模拟二】,αβ是两个不同平面，,,a b c 是三条不同直线，那么以下条件中，是//a b 充分条件个数为〔 〕①//,,//a b αβαβ⊂； ②//a c 且//b c ；③,,,//,//c a b a b αβαββα=⊂⊂；④a c ⊥且b c ⊥. A ．2 B ．0 C ．3 D ．1【答案】A6. 【2021届云南昆明高三适应性检测三】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，,M N 分别是1111,A D A B 中点，过直线BD 平面α平面AMN ，那么平面α截该正方体所得截面面积为〔 〕。

专题8.4 直线、平面平行垂直的判定及其性质【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 已知直线a ，b 和平面α，且a ⊥α，b ∥α，则a 与b 的位置关系为________．【解析】因为a ⊥α，所以a 垂直于α内的任意直线．因为b ∥α，所以b 可以平移至α内，所以a ⊥b . 2．给出下列条件：①l 与平面α内的两条直线垂直；②l 与平面α内的无数条直线垂直；③l 与平面α内的某一条直线垂直；④l 与平面α内的任意一条直线垂直．其中能判定直线l ⊥平面α的有________(填序号)．【解析】只有④能满足直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，故④满足题意．3． 若PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，PA ，AC ，BD ，则所形成的平面中一定互相垂直的平面有________对．【解析】如图所示，由于PD ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面PDB ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PBC ⊥平面PDC .故一定互相垂直的平面有7对．题组二 常错题4．“直线a 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a 与平面α垂直”的____________条件．5．如图所示，O为正方体ABCD­ A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是________(填序号)．①A1D；②AA1；③A1D1；④A1C1.【解析】连接B1D1，由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1⊂平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.6．已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________________________．【解析】在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；在空间中，直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能．题组三常考题7．已知平面α，β交于直线l，若直线n⊥β，则n与l的位置关系为________．【解析】由平面α，β交于直线l，得到l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.8．在如图所示的四棱锥P­ ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC 的中点，则DE与平面PBC的位置关系为________．【解析】因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.由底面ABCD为矩形，得BC⊥CD，又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.又DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.9．如图，在四棱锥P­ ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC，则平面PAB与平面PAC的位置关系为________．【知识清单】考点1 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫a αb αl ⊥a l ⊥ba ∩b ＝A ⇒l ⊥α考点2 平面与平面垂直的判定与性质1平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MN AB βAB ⊥MN⇒AB⊥α考点3 线面、面面垂直的综合应用1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一直线的两平面平行． 2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．【考点深度剖析】近年来，高考题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖多变，灵活性强．立体几何试题一般都是综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，全面考查线面关系．【重点难点突破】考点1 直线与平面垂直的判定与性质【1-1】设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的________条件 【答案】充分不必要【解析】当l ⊥α时，l ⊥m 且l ⊥n .但当l ⊥m ，l ⊥n 时，若m 、n 不是相交直线，则得不到l ⊥α. 即l ⊥α是l ⊥m 且l ⊥n 的充分不必要条件．.【1-2】(2014·常州模拟)给出下列命题：(1)若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，则另一条直线也与直线m 垂直；(4)若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中所有真命题的序号为________． 【答案】(1)(3)(4)【1-3】设α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．【答案】①③④⇒②(或②③④⇒①)【解析】逐一判断．若①②③成立，则m 与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确． 【思想方法】证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．【温馨提醒】证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键． 考点2 平面与平面垂直的判定与性质【2-1】(2014·合肥模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α其中正确的命题是________(填写序号)．【答案】①③【解析】对于②，直线m 与平面β可能平行或相交；对于④，直线m 可能也在平面α内．而①③都是正确的命题．【2-2】如图，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE ⊥PC ，AF ⊥PB ，给出下列结论：①AE ⊥BC ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是________．【答案】①②④【解析】①AE ⊂平面PAC ，BC ⊥AC ，BC ⊥PA ⇒AE ⊥BC ，故①正确，②AE ⊥PB ，AF ⊥PB ⇒EF ⊥PB ，故②正确，③若AF ⊥BC ⇒AF ⊥平面PBC ，则AF ∥AE 与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．【2-3】(2013·重庆高考)如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P ­BDF 的体积．所以V P ­BDF ＝V P ­BCD －V F ­BCD ＝2－14＝74.【思想方法】判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a α⇒α⊥β)．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【温馨提醒】空间的位置关系，特别是平行与垂直的位置关系是整个立体几何的基础，也是立体几何的重点，是考查空间想象能力的“主战场”，所以空间直线、平面的位置关系，特别是线面、面面的平行与垂直关系的判定与证明，成为立体几何复习的重点内容之一，每年的高考数学试题对立体几何的考查，一方面以选择题、填空题的形式直接考查线线、线面、面面的位置关系，另一方面以多面体、棱柱、棱锥为载体，判断与证明几何体内线面的平行与垂直关系．考点3 线面、面面垂直的综合应用【3-1】如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是__________(填序号)①平面ABC⊥平面ABD②平面ABD⊥平面BCD③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE【答案】③【3-2】【2013年海安模拟】如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．【答案】①④【解析】由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE ⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．【3-3】【2014年江苏】如图，在三棱锥P ABC中，,,D E F分别为棱,,PC AC AB的中点，已知PA AC，6PA =，8,5BC DF ==求证：（Ⅰ）直线//PA 平面DEF（Ⅱ）平面BDE ⊥平面ABC【思想方法】1. 垂直关系的转化：2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．【温馨提醒】解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．【易错试题常警惕】1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．。

考点33 直线、平面平行的判定及其性质
一、简答题
1.(2017·全国乙卷文科·T18)如图,在四棱锥P ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD.
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P ABCD的体积为8
3
,求该四棱锥的侧面
积.
【命题意图】本题主要考查空间位置关系的证明,空间几何体的体积及侧面积的计算.【解析】(1)因为∠BAP=90°,所以AB⊥PA,
因为∠CDP=90°,所以CD⊥PD,因为AB∥CD,所以
AB⊥PD,又PA∩PD=P,
所以AB⊥平面PAD,
因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为点E.
由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,
可得PE⊥平面ABCD.
设AB=x,则由已知可得x,PE=
2
x.
故四棱锥P ABCD的体积V P ABCD=1
3 AB·AD·PE
=1
3
x3.
由题设得1
3
x3=
8
3
,故x=2.
从而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2.
可得四棱锥P ABCD 的侧面积为
12PA ·PD+12PA ·AB+12PD ·DC+12
BC 2sin60°=6+2. 关闭Word 文档返回原板块。

版高考数学一轮总复习解析几何中的平行与垂直问题解析在版高考数学一轮总复习解析几何中，平行与垂直问题是考试中常见的题型之一。

在解析几何中，平行与垂直是两种特殊的关系，对于学生来说，掌握这些关系的判定方法和性质是非常重要的。

本文将重点介绍解析几何中的平行与垂直问题的解析方法和应用。

一、平行的判定方法在解析几何中，平行是指两条直线或两个平面永不相交。

我们可以通过判定斜率和方向向量来确定两条直线是否平行。

具体而言，如果两条直线的斜率相等且方向向量不相等，则可以判定这两条直线是平行的。

以直线的方程为例，设直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2，其中k1和k2分别为两条直线的斜率，b1和b2分别为两条直线的截距。

如果k1 = k2且(k1 ≠ 0或k2 ≠ 0)，则可以判定直线L1与直线L2是平行的。

同样的方法也适用于判断平面是否平行。

假设平面P1的方程为Ax + By + Cz + D1 = 0，平面P2的方程为Ax + By + Cz + D2 = 0，如果A1/A2 = B1/B2 = C1/C2且(A1/A2 ≠ 0或B1/B2 ≠ 0或C1/C2 ≠ 0)，则可以判定平面P1与平面P2是平行的。

除此之外，有时候我们还可以利用向量的性质来判断平行关系。

对于直线而言，如果两条直线的方向向量共线，则可以判断这两条直线是平行的。

对于平面而言，如果两个平面的法向量平行，则可以判断这两个平面是平行的。

二、垂直的判定方法在解析几何中，垂直是指两条直线或两个平面相互成直角的关系。

垂直关系的判定方法与平行关系类似，同样可以通过斜率和方向向量来确定。

对于直线而言，如果两条直线的斜率之积为-1，则可以判断这两条直线是垂直的。

设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，如果k1 * k2 = -1，则可以判断直线L1与直线L2是垂直的。

同样的方法也适用于判断平面是否垂直。

假设平面P1的法向量为(n1, m1, p1)，平面P2的法向量为(n2, m2, p2)，如果n1*n2 + m1*m2 + p1*p2 = 0，则可以判断平面P1与平面P2是垂直的。

8.5直线、平面垂直的判定及其性质考情分析近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点，在难度上也始终以中等偏难为主。

基础知识1判断线线垂直的方法：①所成的角是直角，两直线垂直；②垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条；③垂直于同一平面的两条直线平行。

2．线面垂直：①定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。

直线l与平面α垂直记作：l⊥α。

②直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

③直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3．面面垂直：①两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

②两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（线面垂直⇒面面垂直）。

③两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（面面垂直⇒线面垂直）。

注意事项1.垂直问题的转化关系 线线垂直面面垂直判定性质线面垂直判定性质2. (1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ；④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b .(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； ②判定定理1： ⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β； ⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.(3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥题型一 直线与平面垂直的判定与性质【例1】下列命题中错误的是( )A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b ＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误，故选D.【变式1】 如图，已知BD ⊥平面ABC ，MC 綉12BD ，AC ＝BC ，N 是棱AB 的中点． 求证：CN ⊥AD .证明 ∵BD ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴BD ⊥CN .又∵AC ＝BC ，N 是AB 的中点．∴CN ⊥AB .又∵BD ∩AB ＝B ，∴CN ⊥平面ABD .而AD ⊂平面ABD ，∴CN ⊥AD .题型二 平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在三棱锥D －ABC 中，若AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则平面ADC 与平面BDE 的关系是________．答案：垂直解析： ⎭⎪⎬⎪⎫AD ＝DC AB ＝BC E 为AC 的中点⇒DE ⊥AC 且BE ⊥AC .故AC⊥平面BDE .故平面ADC ⊥平面BDE .【变式2】 如图所示，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点． 证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .证明∵A1B1⊥平面B1C1CB，BM⊂平面B1C1CB，∴A1B1⊥BM，由已知易得B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，∴B1M2＋BM2＝B1B2，∴B1M⊥BM.又∵A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M.而BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M.考向三平行与垂直关系的综合应用【例3】已知平面α，β和直线m，给出下列条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β(填所选条件的序号)．答案：(1)③⑤(2)②⑤解析：(1)∵α∥β，m⊂α，∴m∥β.(2)∵α∥β，m⊥α，∴m⊥β.【变式3】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB ＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明(1)设AC与BD交于点G.因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1. 所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)如图，连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，所以四边形CEFG 为菱形．所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC .又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，所以BD ⊥平面ACEF .所以CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G .所以CF ⊥平面BDE .考向四 线面角【例4】如图，四棱锥PABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．(1)证明∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)解设AC∩BD＝O，连接OE.由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝12PD.又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.在Rt△AOE中，OE＝12PD＝22AB＝AO，∴∠AEO＝45°.即AE与平面PDB所成的角为45°.求直线与平面所成的角，一般分为两大步：(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．【训练4】如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB ＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．(1)证明因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ，PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD .(2)解 如图，连接CQ ，DP .因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC .因此CQ ⊥EB ，又AB ∩EB ＝B ，故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ， 所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角，在Rt △DPA 中，AD ＝5，DP ＝1，sin ∠DAP ＝55. 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 重难点突破【例4】如图，在四棱锥PABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ；(2)平面BEF ⊥平面PAD .解析(1)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD .又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)如图，连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD ＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.巩固提高1.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( )A. l∥m，l⊥αB. l⊥m，l⊥αC. l⊥m，l∥αD. l∥m，l∥α答案：C解析：设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.2.设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A. 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB. 若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC. 若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD. 若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β答案：C解析：与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行，故A错；对于B，存在n∥α情况，故B错；D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m ⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.3.平面α⊥平面β的一个充分条件是( )A. 存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB. 存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC. 存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD. 存在一条直线l，l⊥α，l∥β答案：D解析：由A项可推出α∥β；由B项可推出α∥β；由C 项可推出α∥β或α⊥β，均不是α⊥β的充分条件．故应选D.4.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )A. PA⊥ADB. 平面ABCDEF⊥平面PBCC. 直线BC∥平面PAED. 直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°答案：A解析：因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥AD，故A正确；B 项中两个平面不垂直；C项中，AD与平面PAE相交，BC∥AD，故C错；D项中，PD与平面ABCDEF所成的角为45°，故D错．故选A.5.如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( )A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④答案：B解析：由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①对；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB ＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②对；易知DA＝DB＝DC，又由②知③对；由①知④错．故选B.第 11 页。

专题2 点、直线、平面平行与垂直的判定与性质【三年高考】1. 【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面； （2）11AB BC ⊥.【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析（1）由三棱锥性质知侧面11BB C C 为平行四边形,因此点E 为1B C 的中点，从而由三角形中位线性质得//DE AC ，再由线面平行判定定理得C C AA DE 11//平面（2）因为直三棱柱111C B A ABC -中1CC BC =，所以侧面11BB C C 为正方形，因此11BC B C ⊥，又BC AC ⊥，1AC CC ⊥（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得11AC BB C C ⊥平面,从而1AC BC ⊥，再由线面垂直判定定理得11BC AB C ⊥平面,进而可得11AB BC ⊥试题解析：（1）由题意知，E 为1C B 的中点， 又D 为1AB 的中点，因此D //C E A ．又因为D E ⊄平面11C C AA ，C A ⊂平面11C C AA ， 所以D //E 平面11C C AA ．（2）因为棱柱111C C AB -A B 是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面C AB ．因为C A ⊂平面C AB ，所以1C CC A ⊥．又因为C C A ⊥B ，1CC ⊂平面11CC B B ，C B ⊂平面11CC B B ，1C CC C B =，所以C A ⊥平面11CC B B ．又因为1C B ⊂平面11CC B B ，所以1C C B ⊥A ．因为1C CC B =，所以矩形11CC B B 是正方形，因此11C C B ⊥B ． 因为C A ，1C B ⊂平面1C B A ，1CC C A B =，所以1C B ⊥平面1C B A ．又因为1AB ⊂平面1C B A ，所以11C B ⊥AB ． 【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理2．【2013江苏，理16】)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .【答案】(1)详见解析；(2)详见解析3. 【2014江苏，理16】如图在三棱锥-P ABC 中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===，求证（1）直线//PA 平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC .【答案】证明见解析． 【解析】试题分析：（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直.4．【2016高考浙江理数改编】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则直线,,m n l 中垂直关系是 ． 【答案】n l ⊥ 【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．5．【2016高考新课标2理数】 ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④考点：空间中的线面关系.6．【2016高考山东文数改编】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，b内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面b相交”的．（在充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选填）【答案】充分不必要条件【解析】试题分析：“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，但“平面α和平面β相交”⇒“直线a和直线b相交”，所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.-中，PA⊥平面A B C D，AD BC，7．【2016高考新课标Ⅲ文数】如图，四棱锥P ABCPA BC===，4==，M为线段AD上一点，23AB AD AC=，N为PC的中点．AM MD（I）证明MN平面PAB；-的体积.（II）求四面体N BCM【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）453． 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N BCM -的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . ......3分 又BC AD //，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB . ........6分（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为PA 21. ....9分 取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆BCM S ， 所以四面体BCM N -的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N . .....12分 考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解． 8.【2016高考北京文数】（本小题14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III ）存在.理由见解析.（II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ， 所以C AB ⊥A ． 因为C P ⊥平面CD AB ， 所以C P ⊥AB ． 所以AB ⊥平面C PA ． 所以平面PAB ⊥平面C PA ．考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等. 9．【2016高考山东文数】（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .（I ）已知AB =BC ，AE =EC .求证：AC ⊥FB ；（II ）已知G ,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC . 【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ））根据BD EF //，知EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，得到AC DE ⊥，AC BD ⊥，从而⊥AC 平面BDEF ，证得FB AC ⊥.（Ⅱ）设FC 的中点为I ，连HI GI ,，在CEF ∆，CFB ∆中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面//GHI 平面ABC ，进一步得到//GH 平面ABC .试题解析：（Ⅰ））证明：因BD EF //，所以EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，因为E EC AE ,=为AC 的中点，所以AC DE ⊥；同理可得AC BD ⊥，又因为D DE BD = ，所以⊥AC 平面BDEF ，因为⊂FB 平面BDEF ，FB AC ⊥。

2017年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第八章立体几何第05节直线、平面垂直的判定与性质【最新考纲解读】内容要求备注A B C立体几何1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在表中分别用A、B、C表示）。

了解:要求对所列知识的含义有初步的，感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关问题中识别和认识它.理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明，用数学语言表达，利用所学的知识内容对有关问题作比较，判断，讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。

掌握：要求对所列的知识内容能够推导证明,利用所学知识对问题能够进行分析，研究，讨论，并且加以解决。

2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些√空间位置关系的简单命题．【考点深度剖析】纵观近几年高考题,始终围绕着垂直关系命题，这突出了垂直关系在立体几何中的重要地位，体现了能力命题的方向．特别是线面垂直,集中了证明和计算的中心内容．空间中的垂直关系作为高考命题的重点，客观题、大题都有考查，以客观题形式考查命题的真假判断,在解答题中以分层设问或条件形式呈现，以证明问题为主，主要考查线面垂直的判定及性质、面面垂直的判定及性质，以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题，考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力．【课前检测训练】1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”）．（1)“直线l垂直于平面α内的无数条直线"是“l⊥α”的必要不充分条件．（2)若直线a⊥平面α，直线b∥α,则直线a与b垂直．（3）异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0，错误!］．(4）若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则a∥b.（5)若平面α⊥平面β，直线a⊥平面β，则a∥α。

（6)若直线a⊥平面α,直线a平面β，则α⊥β.答案：(1)√（2）√（3)×（4）√（5)×（6）√。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解7.4直线、平面垂直的判定与性质考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直错误!⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行错误!⇒a∥b2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直错误!⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直错误!⇒l⊥α3.空间角(1)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．②范围：⎣⎡⎦⎤0，π2.(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角的平面角的范围：[0，π]．微思考1．若平面α⊥β，且α∩β＝l，若直线m⊥l，则m与平面β一定垂直吗？提示不一定，当m⊂α时，m⊥β.2．空间中任一直线m，在平面α内是否存在无数条直线与m垂直？提示存在．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)垂直于同一个平面的两个平面平行．(×)(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)(4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面．(√)题组二教材改编2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．3．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析依题意，由l⊥β，l⊂α，可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β，因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.4.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________对．答案3解析∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，∴平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.又AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.题组三易错自纠5．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的______条件．答案必要不充分6．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，P A，PB⊂平面P AB，∴PC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面P AD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明∵AB⊥平面P AD，AE⊂平面P AD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积；(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.(1)解如图所示，取DE的中点M，连接PM，由题意知，PD ＝PE ，∴PM ⊥DE ，又平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE ∩平面BCDE ＝DE ，PM ⊂平面PDE ， ∴PM ⊥平面BCDE ，即PM 为四棱锥P －BCDE 的高．在等腰直角三角形PDE 中，PE ＝PD ＝AD ＝2， ∴PM ＝12DE ＝2，而直角梯形BCDE 的面积S ＝12(BE ＋CD )·BC ＝12×(2＋4)×2＝6， ∴四棱锥P －BCDE 的体积 V ＝13PM ·S ＝13×2×6＝2 2.(2)证明取BC 的中点N ，连接PN ，MN ，则BC ⊥MN ， ∵PB ＝PC ，∴BC ⊥PN ，∵MN ∩PN ＝N ，MN ，PN ⊂平面PMN ， ∴BC ⊥平面PMN ，∵PM ⊂平面PMN ，∴BC ⊥PM ， 由(1)知，PM ⊥DE ，又BC ，DE ⊂平面BCDE ，且BC 与DE 是相交的，∴PM⊥平面BCDE，∵PM⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.思维升华(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化①两种方法：(ⅰ)面面垂直的定义；(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．②一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2)面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．跟踪训练2(2020·江苏)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C 的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.证明(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.题型三垂直关系的综合应用例3(2020·红河州模拟)在四棱锥P－ABCD中，△P AD是等边三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，AD ＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为87，求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)存在，当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由△P AD是等边三角形，可得PM⊥AD，由平面P AD⊥平面ABCD，PM⊂平面P AD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，则CD＝2a，PD＝2a，由PM⊥MC，可得PC＝PM2＋MC2＝3a2＋a2＝2a，由S△PCD＝12·2a·4a2－12a2＝72a2＝87，可得a＝4，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝13S四边形ABCD ·PM＝13×12×(4＋8)×4×43＝32 3.思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．跟踪训练3如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF ∥平面SEC ； (2)求证：平面ASB ⊥平面CSB ；(3)在棱SB 上是否存在一点M ，使得BD ⊥平面MAC ？若存在，求BMBS 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明取SC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F ，G 分别是SB ，SC 的中点，∴FG ∥BC ，FG ＝12BC ，∵四边形ABCD 是菱形，E 是AD 的中点， ∴AE ∥BC ，AE ＝12BC ，∴FG ∥AE ，FG ＝AE ，∴四边形AFGE 是平行四边形， ∴AF ∥EG ，又AF ⊄平面SEC ，EG ⊂平面SEC ， ∴AF ∥平面SEC .(2)证明∵△SAD 是等边三角形，E 是AD 的中点， ∴SE ⊥AD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，又E 是AD 的中点， ∴AD ⊥CE ，又SE ∩CE ＝E ，SE ，CE ⊂平面SEC ，∴AD ⊥平面SEC ，又EG ⊂平面SEC ， ∴AD ⊥EG ，又四边形AFGE 是平行四边形， ∴四边形AFGE 是矩形， ∴AF ⊥FG ，又SA ＝AB ，F 是SB 的中点，∴AF ⊥SB ，又FG ∩SB ＝F ，FG ，SB ⊂平面SBC ， ∴AF ⊥平面SBC ，又AF ⊂平面ASB ， ∴平面ASB ⊥平面CSB .(3)解假设在棱SB 上存在点M ，使得BD ⊥平面MAC ， 连接MO ，BE ，则BD ⊥OM ，∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，△SAD 为正三角形， ∴BE ＝7，SE ＝3，BD ＝2OB ＝23，SD ＝2，SE ⊥AD ， ∵侧面SAD ⊥底面ABCD ，侧面SAD ∩底面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ， ∴SE ⊥平面ABCD ， ∴SE ⊥BE ，∴SB ＝SE 2＋BE 2＝10，∴cos ∠SBD ＝SB 2＋BD 2－SD 22SB ·BD ＝33020，又在Rt △BMO 中，cos ∠SBD ＝OB BM ＝33020，∴BM ＝2103，∴BM BS ＝23. 课时精练1．(2021·海南模拟)设α和β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列说法不正确的是() A ．若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β B ．若m ⊥α，n ⊂β，α∥β，则m ⊥n C ．若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ∥n 答案A解析m ∥α，n ∥β，m ∥n ，并不能推出α∥β，这时α和β可能相交，故A 错误； 若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β，又n ⊂β，则m ⊥n ，B 正确； 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，又n ⊥β，则α⊥β，C 正确； 若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β，又n ⊥β，则m ∥n ，D 正确．2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且直线m ⊂α，直线n ⊂β，则下列命题为真命题的是()A ．“m ⊥n ”是“n ⊥α”的充分条件B ．“m ∥n ”是“m ∥β”的既不充分也不必要条件C ．“α∥β”是“m ∥n ”的充要条件D ．“m ⊥n ”是“α⊥β”的必要条件 答案B解析n⊥α能得到n⊥m，但n⊥m不能得出n⊥α，A错；m∥n时，m也可能在平面β内，不能得出m∥β，反之，m∥β，β内的直线也不一定与m平行，即不能得出m∥n，∴“m∥n”是“m∥β”的既不充分也不必要条件，B正确；α∥β时，m，n可能是异面直线，不一定平行，m∥n时，α，β也可能相交，不一定平行，C错；两个平面垂直，分别在这两个平面内的两条直线可能相交，可能平行，不一定垂直，D错．3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．4.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AE D．平面PDE⊥平面ABC答案D解析因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面P AE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B，C均正确．5．(多选)(2021·济宁模拟)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为()答案AD解析对于AD项，根据正方体的性质可得l⊥MN，l⊥MP，可得l⊥平面MNP.而BC项，无法得出l⊥平面MNP.6．(多选)如图，P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是()A．BC⊥平面P ACB．AE⊥EFC．AC⊥PBD．平面AEF⊥平面PBC答案ABD解析对于A，P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则P A⊥BC，又由圆的性质可知AC⊥BC，且P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，则BC⊥平面P AC.所以A正确；对于B，由A项可知BC⊥AE，由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF⊂平面PCB，所以AE⊥EF，所以B正确；对于C，由B项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；对于D，由B项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC.所以D正确．7．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是_____．答案垂直解析∵DA⊥平面α，AC⊂平面α，∴DA⊥CA，在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA，且DA∩BA＝A，DA，BA⊂平面ADB，∴CA⊥平面DAB，DB⊂平面DAB，∴CA⊥DB.8．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β.(填所选条件的序号)答案(3)(5)(2)(5)解析根据面面平行的特征可得，若m⊂α，α∥β，则m∥β；根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若m⊥α，α∥β，则m⊥β.9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析∵P A⊥底面ABCD，∴BD⊥P A，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ， 而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，AD ⊥AB ，∠BCD ＝45°，将△ABD 沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为A ′，并且平面A ′BD ⊥平面BCD .则给出下面四个命题，正确的是____________．(把正确结论的序号都填上)①A ′D ⊥BC ；②三棱锥A ′－BCD 的体积为22； ③BA ′⊥CA ′；④平面A ′BC ⊥平面A ′DC . 答案③④解析如图所示，取BD 的中点E ，连接A ′E .又因为A ′B ＝A ′D ， 所以A ′E ⊥BD ， 所以A ′E ⊥平面BCD ， 所以A ′E ⊥BC .若A ′D ⊥BC ，则可得到BC ⊥平面A ′BD ，故BC ⊥BD ，与已知矛盾，故①错误． 三棱锥A ′－BCD 的体积V ＝13×12×2×2×22＝26，故②错误．在直角三角形A ′CD 中，A ′C 2＝CD 2＋A ′D 2，所以A′C＝ 3.在三角形A′BC中，A′B＝1，BC＝2，A′C＝3，满足BC2＝A′B2＋A′C2，所以BA′⊥CA′.故③正确．又BA′⊥DA′，所以BA′⊥平面A′DC，所以平面A′BC⊥平面A′DC，故④正确．11.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.12．如图，三棱锥P ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在点M ，求出PM MC 的值；若不存在，请说明理由． 解(1)由题知AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin60°＝32， 由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P ABC 的高．又P A ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36. (2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 及AC ⊂平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN .又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12， 从而NC ＝AC －AN ＝32. 由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.13.(2020·韶关模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是棱PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，下列说法不正确的是()A．OE∥P A B．平面P AC⊥平面PBDC．PB⊥平面EFD D．BD⊥ED答案D解析∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵E是棱PC的中点，∴P A∥OE，故A正确；∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又AC⊥BD，PD∩DB＝D，PD，BD⊂平面PDB，∴AC⊥平面PBD，又AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PDB，故B正确；∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，由四边形ABCD是正方形，得BC⊥CD，又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD，又DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE.∵PD ＝DC ，E 是PC 的中点，∴DE ⊥PC ，∵PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE ⊥平面PBC ，∵PB ⊂平面PBC ，∴PB ⊥DE ，又EF ⊥PB ，DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ，∴PB ⊥平面EFD ，故C 正确；由DE ⊥平面PBC ，知DE ⊥EB ，故D 错误．14．(2020·大庆模拟)已知四条边长均为23的空间四边形ABCD 的顶点都在同一个球面上，若∠BAD ＝π3，平面ABD ⊥平面CBD ，则该球的体积为__________． 答案2053π 解析如图所示，设E 是△ABD 的外心，F 是△BCD 的外心，过点E ，F 分别作平面ABD 与平面BCD 的垂线OE ，OF ，相交于点O ，由空间四边形ABCD 的边长为23，∠BAD ＝π3， 所以△ABD 与△BCD 均为等边三角形，又平面ABD ⊥平面CBD ，所以O 为四面体ABCD 外接球的球心，又AE ＝23(23)2－(3)2＝2，所以OE ＝1，所以外接球的半径为R ＝22＋12＝5，所以外接球的体积为V ＝4πR 33＝4π3×(5)3＝205π3.15.(2020·广州模拟)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面四边形ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，P ，Q 分别是线段BS ，AD 的中点，点R 在线段SD 上．若AS ＝4，AD ＝2，AR ⊥PQ ，则AR ＝________.答案455解析如图，取SA 的中点E ，连接PE ，QE .∵SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥AB ，而AB ⊥AD ，AD ∩SA ＝A ，∴AB ⊥平面SAD ，又P ，E 分别是SB ，SA 的中点，∴PE ∥AB ，故PE ⊥平面SAD ，又AR ⊂平面SAD ，∴PE ⊥AR .又∵AR ⊥PQ ，PE ∩PQ ＝P ，∴AR ⊥平面PEQ ，∵EQ ⊂平面PEQ ，∴AR ⊥EQ ，∵E ，Q 分别为SA ，AD 的中点，∴EQ ∥SD ，则AR ⊥SD ，在Rt △ASD 中，AS ＝4，AD ＝2，可求得SD ＝25，由等面积法可得AR ＝455. 16.(2020·黄山模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝3，AD ＝CD ＝1，∠ADC ＝120°，点M 是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上，且PN ＝14PB .(1)证明：MN ∥平面PDC ；(2)在线段BC 上是否存在一点Q ，使得平面MNQ ⊥平面P AD ，若存在，求出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明在四边形ABCD 中，由AB ＝BC ＝3，AD ＝CD ＝1，可得△ABD ≌△CBD ，可得AC ⊥BD ，且M 为AC 的中点，由AD ＝CD ＝1，∠ADC ＝120°，可得DM ＝CD cos60°＝12，AC ＝2CD sin60°＝3， 则BM ＝32×3＝32， 由DM BM ＝PN BN ＝13，可得MN ∥PD ， 而MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，可得MN ∥平面PDC .(2)解过M 作ME ⊥AD ，垂足为E ，延长EM 交BC 于Q ，连接NQ ，NE ，如图，由P A ⊥平面ABCD ，EQ ⊂平面ABCD ，可得P A ⊥EQ ，又EQ ⊥AD ，可得EQ ⊥平面P AD ，EQ ⊂平面MNQ ，可得平面MNQ ⊥平面P AD ，故存在这样的点Q .在Rt △DME 中，∠EMD ＝90°－60°＝30°，在△BQM 中，∠QBM ＝∠BMQ ＝30°，∠BQM ＝120°，由BM ＝32，BQ sin30°＝BM sin120°， 可得BQ ＝BM 3＝32，即Q 为BC 的中点， 则Q 为BC 的中点时，平面MNQ ⊥平面P AD .。