人教版九年级数学上册《点和圆的位置关系》课件

A. 点A在圆上
B. 点A在圆内
C. 点A在圆外
D. 无法确定
练习
若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3,4)，点P的坐标是(6,8)，你认为点 P的位置为( )
A. 在⊙A内
B. 在⊙A上
C. 在⊙A外
D. 不能确定
圆的确定
1. 过已知点A作圆，可作无数个，其圆心是除A外的任一点. 2. 过已知点A，B作圆，可作无数个，其圆心在连接A，B两点的线段 的垂直平分线上. 3. 圆的确定定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.
例
如图，我们要证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2.
解：假设∠1≠∠2，过点O作直线 ，使 EOB 2. 根据“同位角相等，两条直线平行”，可得 AB//CD. 这样，过点O就有两条直线 都平行于CD，这与平行公理 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1＝∠2.
2.经过三角形各顶点的圆叫做三 角形的外接圆.
3.三角形外接圆的圆心叫做三角 形的外心，这个三角形叫做这个 圆的内接三角形.
A
O C
B
三角形的外接圆
三角形的外接圆
A
圆的内接三角形
O
C
外心
B 三角形的外心
1.三边垂直平分线的交点
2.到三个顶点距离相等
三角形的外接圆
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
l2
即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们
以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知
C 直线垂直”相矛盾，
所以过同一条直线上的三点不能作圆．
反证法
什么是反证法？
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾 断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫 做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法.

画一画：
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，
再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的
位置关系. A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
●O
B
C
1.锐角三角形的外心位于三角形内, 2.直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点, 3.钝角三角形的外心位于三角形外.
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2、判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ). (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × ) (3)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( √ ) (4)经过三点一定可以确定一个圆( × )
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如图，已知 Rt△ABC 中 ， C 90
若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.
解：设Rt△ABC 的外接圆的外心
为O，连接OC，则OA=OB=OC.
∴O是斜边AB 的中点.
B
∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm.
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
问题2：过两个点能不能确定一个圆?
能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上。
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问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
经过A,B两点的圆的圆心在线段
AB的垂直平分线上.
F
经过B,C两点的圆的圆心在线段

(B在圆内，D在圆内，C在圆上)
人教版九年级上册数学课件点和圆的 位置关 系
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画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并 且小于或等于3cm的点组成的图形.
· 2cm O
人教版九年级上册数学课件点和圆的 位置关 系
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过一点可作几条直线？过两点呢？三点呢？
经过一点可以作无数条直线；
●A
●A
●B
过两点有且只有一条直线(直 位置关 系
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问题:确定一个圆需要多少个点?
一个点、两个点还是三个点呢？
人教版九年级上册数学课件点和圆的 位置关 系
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小结与归纳
◆用数量关系判断点和圆的位置关系。 ◆不在同一直线上的三点确定一个圆。
◆在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了 方程的思想，希望同学们能够掌握这种 方法，领会其思想。
人教版九年级上册数学课件点和圆的 位置关 系
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●O C
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？
人教版九年级上册数学课件点和圆的 位置关 系
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做一做
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，
再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的
2、平面上有两点A、B，经过已知点A、B 的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？
过两点画无数个。它们的圆心都在线段AB的垂直平 分线上。 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,以这点 到A或B的距离为半径作圆.

三角形外接圆的作法： 1.作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； 2.以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，
视察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
锐角三角形的外心位于三角形内；
课堂练习
1.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关 系只能是( D )
A.点在圆内 C.点在圆心上
B.点在圆上 D.点在圆上或圆内
2.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠ACB的度数是__7_0_°__．
解：∵∠OAB=20°，OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=20°， ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=140°， ∴∠ACB=12∠AOB=70°．
A
B
C
PQ R M
2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与 本来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( D )
A．第①块 C．第③块
B．第④块 D．第②块
3.如图，AB，CD是⊙O内非直径的两条弦.
求证：AB与CD不能互相平分.
合作探究
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C可以 作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在 线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直 平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l， l2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一 条直线上的三点不能作圆．

知1－练
例1 如图 24.2-1，已知⊙ O 的半径 r= 5 cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d=OD=3 cm，在直线 l 上有 P， Q， R 三点， 且有PD=4 cm， QD=5 cm， RD=3 cm，那么 P， Q， R 三点与⊙ O 的位置关系各是怎样的？

感悟新知
思路导引：
知1－练
感悟新知
知3－讲
3. 三角形外接圆的作法 作三角形任意两边的垂直平分 线，确定其交点；以该交点为圆心，以交点到三个顶 点中任意一点的距离为半径作圆即可.
感悟新知
特别提醒 三角形外心的位置：
锐角三角形的外心在三角形的内部； 直角三角形的外心是斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部.
知3－讲
感悟新知
感悟新知
解：如图 24.2-1，连接 OR， OP， OQ. ∵ PD=4 cm， OD=3 cm，且 OD ⊥ l， ∴ OP=5 cm=r. ∴点 P 在⊙ O 上 . ∵ QD=5 cm，∴ OQ= 34cm﹥5 cm. ∴点 Q 在⊙ O 外 . ∵ RD=3 cm， ∴ OR=3 2 cm<5 cm. ∴点 R 在⊙ O 内 .
感悟新知
知4－练
例4 如图 24.2-4， AB， CD 是⊙ O 内非直径的两条弦 . 求证： AB 与 CD 不能互相平分 .
感悟新知
知4－练
解题秘方：利用垂径定理的推论结合垂线的唯一性证明 . 证明： 如图 24.2-4，设 AB， CD 交于点 P，连接 OP. 假设 AB 与 CD 互相平分，则 CP=DP， AP=BP. ∵ AB， CD 是⊙ O 内非直径的两条弦， ∴ OP ⊥ AB， OP ⊥ CD. 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛 盾，∴假设不成立 .∴ AB 与 CD 不能互相平分 .

BC的垂直平分线上.
●O
经过A,B,C三点的圆的圆心应该这 ●B ┏
●C
两条垂直平分线的交点O的位置.
归纳结论：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
探究
过三点作圆
（1）如图作经过已知点A、B、C的圆，这样的圆你
能作出多少个？它们的圆心分布有什么特点？
A
B
C
AB
C
（2）如图作经过已知点A、B、C的圆，这样的圆
我国射击运动员在奥运会 上屡获金牌，为我国赢得荣誉， 右图是射击靶的示意图，它是 由许多同心圆（圆心相同，半 径不等的圆）构成的，你知道 击中靶上不同位置的成绩是如 何计算的吗？
问题探究
问题１：观察图中点A，点B，点C与圆O的位置关系？
A
O·
C
r
点A在圆O内，点B在圆O上，点C在圆O外.
B
问题２：设⊙O半径为 r , 说出点A，点B，点C与圆心O 的距离与半径的关系：
(B在圆内，D在圆内，C在圆上)
2.体育课上，小明和小雨的铅球成绩分别是6.4m和 5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？
过三点的圆
温馨提示：
确定圆的条件是圆心和半径。 已知圆过某一点，所以只需 先确定圆心，半径随之确定。 试试吧！
问题:多少个点可以确定一个圆呢? 解决: 步骤1:过一点,可以作多少个圆? 步骤2:过两点,可以作多少个圆? 步骤3:过三个点,可以作多少个圆?
典型例题
例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作
圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系
如何？(B在圆上，D在圆外，C在圆外)
A
D
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，

(三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题 策略的多样性，发展实践能力与创新精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和 结果．
人教版数学九年级上册点和圆的位置 关系课 件
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复习回忆
1.画圆的关键是确定什么？ 2.如何作线段的垂直平分线？
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（2）当三点共线时 不能作圆.
D
F
AB
C
E
G
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归纳总结
定理：
不在同一直线上的三 点确定一个圆
B
A
O C
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1.过一点能作几个圆？
新知探究
A
无数个 过A点的圆的圆心有何特点？ 平面上除A点外的任意一点
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2.过两点能作几个圆？
类比探究
钝角三角形外心在 △ABC的外面
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B
规律总结
A
O ● C
A
O ●
┐
BCA O ●Fra bibliotekBC锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
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点B在圆上
OB=r
点C在圆外
OC＞r
问题2：设⊙O 半径为r，说出来点A，点B，点C 与圆心O 的距离与半径的关系．
探究 问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径 ，能否判断点和圆的位置关系？ OA＜r 点A在圆内
OB=r 点B在圆上
OC＞r 点C在圆外
人教版九年级数学上册课件 24.2.1：点和圆的位置关系（共44张 PPT）
补充题
如图， 数轴上半径为1的⊙O 从原点O 开始以每秒1个单位 的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P 以每 秒2个单位的速度向左运动，经过2__或_______秒后，点P在⊙O 上．
过一个点作圆 我们知道，已知_圆__心___和_半__径____，可以确定一个圆． 问题1：经过一个已知点A能不能作圆，能作多少个圆？
练习 已知⊙O 的半径为5，M 为ON的中点，当OM＝3时，N点 与⊙O 的位置关系是N 在⊙O 的____外___部______．
人教版九年级数学上册课件 24.2.1：点和圆的位置关系（共44张 PPT）
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练习 ⊙O 直径为d，点A到圆心的距离为m，若点 A不在圆 外，则d与m的关系是_____________．
你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？
射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同 的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域．
这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩 用弹着点位置对应的环数来表示．
弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹 着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对 应的环数也就越高，射击的成绩越好．
点和圆的位置关系
我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击 靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成 的． 你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？

点和圆的位置关系
学习目标
1.理解点和圆的三种位置关系及判定方法，能熟练地运用判 定方法 判定点与圆的位置关系
2.掌握不在同一直线上的三点确定一个圆，能画出三角形的外接圆
新课导入
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉.下图是 射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同、半径不等的 圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
小结
过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆.圆心在以已知 两点为端点的线段的垂直平分线上.
过不在同一条直线上的三点确定一个圆
过三点 外心、三角形外接圆、圆的内接三角形
过在同一直线上的三点不能作圆
5． 正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm 为半径作⊙A，则点B在⊙A __上___ ；点C在⊙A _外___； 点D在⊙A _____ ．上
6． 已知AB为⊙O的直径P为⊙O 上任意一点，
则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为（ C）
A． 在⊙O内
B． 在⊙O 外
C． 在⊙O 上
D． 不能确定
点和圆的位置关系
A
B C
r
r
r
点P在圆外
d>r
点P在圆上
d=r
点P在圆内
d<r
思考
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ 以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，
P
l1
A
B
设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂
直平分线l1上，又在线段BC的垂直平O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的 距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与 ⊙O的位置关系是：点A在_圆__内__；点B在_圆__上__ ；点 C在____圆__外__ ．

人教版数学九年级上册
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
学习目标
1. 理解并掌握点和圆的三种位置关系。 2. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆 并掌握作图方法。 3. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念。
4. 了解反证法的证明思想。
问题情境
爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀
判定点和圆的位置关系
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与
⊙A的位置关系如何？
A
D
解：AD=4=r，故D点在⊙A上
AB=3<r，故B点在⊙A内 AC=5>r，故C点在⊙A外
B
C
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点 在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？ （直接写出答案）
A
D
B
C
练一练
1、⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为
8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：
点A在 圆内 ；点B在 圆上 ；点C在 圆外 。
2、⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在 圆上； 当OP ＜6 时点P在圆内；当OP ≤6 时，点P不在圆外。
3、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半
搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土
墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就
胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某
一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩
好？
点与圆的位置关系有
A
三种：点在圆内，点
C
在圆上，点在圆外.