1.3勾股定理的应用导学案

17.1 勾股定理投我以桃，报之以李。

《诗经·大雅·抑》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！第2课时勾股定理的应用一、新课导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理的意义，它具有广泛的实际应用，下面我们试用它来解决几个问题.2.学习目标（1）能应用勾股定理计算直角三角形的边长.（2）能应用勾股定理解决简单的实际问题.3.学习重、难点重点：运用勾股定理求直角三角形的边长.难点：从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中的有关问题.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P25例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：思考木板通过门框的方式有几种，并对照数据分析木板能否通过.（4）自学参考提纲：①因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于1m，所以木板横着不能从门框内通过.因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于2m，所以木板竖着也不能从门框内通过.所以试试斜着能否通过，对角线AC是斜着通过的最大长度，因此必须先求出AC长，再与木板的宽比较.②在Rt△ABC中，根据勾股定理：AC2=AB2+BC2=12+22=5，因此5 2.24AC =≈. 因为AC ≈2.24(>)2.2，所以木板能斜着从门框内通过. 2.自学：学生结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否分析出木板穿过门框的途径有哪些.②差异指导：指导寻找木板通过门框的途径；木板斜着通过需要怎样斜放时间隙是最大的.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化（1）归纳解题思路：把实际问题转化成长方形ABCD 的问题，再把长方形ABCD 转化成Rt △ABC ，运用勾股定理计算，求解.（2）练习：在上述问题中，若薄木板长3m ，宽1.5m ，木板能否从门框内通过？为什么？1.自学指导（1）自学内容：教材P25例2.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：思考图中的实际问题实质是直角三角形的问题，所以应从直角三角形来分析解决问题的办法.（4）自学提纲：①由梯子的原来位置构成的Rt △AOB ，可求得OB=1.②由梯子顶端下滑至C 的位置时，又构成Rt △COD ，且CD 长不变，OC=1.9，由勾股定理可求得OD ≈1.77.③可看出，BD=OD-OB ，求BD ，必先求出OB 、OD ，在Rt △AOB 中，222222.6 2.4 1.OB AB OA OB =-=-=，在Rt △COD 中，()22222 2.6 2.40.5 1.77OD CD OC OD =-=--≈，.BD=OD-OB ≈0.77.梯子的顶端A 沿墙下滑0.5米，梯子的底端B 外移0.77米.2.自学：学生结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否理解题意，梯子位置变化前后，什么不变，什么在变，学生是否清楚.②差异指导：由线段和差关系如何表示BD；梯子与墙面地面构成什么图形.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化：学会将实际问题转化为数学问题，建立几何模型求解.1.自学指导（1）自学内容：教材P26到P27练习以上的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：动手尝试作直角三角形中，由已知两边长去求第三边长.（4）自学提纲：①教材P26思考中的证明：先用勾股定理证得BC=B′C′，再用SSS公理判定△ABC≌△AB′C′.②长为13的线段是直角边为正整数3，2的直角三角形的边长.③在数轴上画出表示13的点，方法如下：在数轴上找到点A，使OA=3，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，OB为半径画弧与数轴的正半轴的交点C，点C即为表示13的点.④完成27练习题.2.自：请同学们结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生看书、动手中存在的问题障碍.②差异指导：指导学生分析作图方法及依据.(2)生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化(1)尺规作图方法.(2)总结在数轴上作出表示无理数的点的步骤.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：小组代表介绍自己在学习中的探索方法、收获和惑..2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生课堂学习的积极态度、成果及不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学内容是用勾股定理解决简单的实际问题，运用到的思想是数形结合的思想.在实际生活中，很多问题需要用到勾股定理去解决.因此在解决此类问题时，先要将它转化为数学问题，就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成，所以教师在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此处，教师还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（50分）1.(20分)求出下列直角三角形中未知的边.答案：AC= 8 AB=17 BC=1,AC=3BC=2,AC=22.(10分)直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为15.3.(10分)如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，现测得CB=60m,AC=20m.求A，B两点间的距离(结果取整数).()2222=-=-=≈解：AB BC AC m602040257第3题图第4题图4.(10分)如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4)，求这两点间的距离.2222解：=+=+=AB OA OB5441二、综合运用（20分）5.(10分)如图，∠BAC=90°,AD⊥BC,BC=4cm,∠B=60°,求AD,BD的长. 解：∵在Rt△ABC中∠B=60°，∴AB=12BC=2(cm).在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠B=60,∴BD=12AB=1(cm),223AD AB BD=-=(cm).6.(10分)在数轴上作出表示20的点.点A即为表示20的点.三、拓展延伸（30分）7.(15分)印度数学家什迦罗(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可见，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；诸君帮忙算一算，湖水如何知深浅？”请用学过的知识回答这个问题.(如图)解：设水深为h尺.由题意得：AC=12,BC=2,OC=h,∴OB=OA=OC+AC=h+12.由勾股定理得：OB2=OC2+BC2,即(h+12)2=h2+22,解得h=154.∴水深154尺8.(15分)有5个边长为1的正方形，排列成如下图形式，请把它适当分割后拼接成一个大正方形.(用虚线标示分割线，并简要写出分割拼接法).将五个小正方形按图1中虚线剪切为四个全等的直角三角形和一个小正方形，按图2的摆法拼接，则可得到一个面积为5的大正方形.【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。

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学科数学精英班级时间课题 1.3 勾股定理的应用(1) 小组姓名
学习目标1.学会用勾股定理解决简单的实际问题。

2.掌握用勾股定理确定几何体上的最短距离。

自主·前置1.填空.
（1）如果a=7，c=25，则b= 。

（2）平面上的最短线路：两点之间，最短。

2.测得一块麦田的三边长为9m,12m,15m,则这块麦田的面积为2
m。

活动·探究探究一：利用勾股定理解决实际问题
1.小美妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小美量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，她觉得一定是售货员搞错了。

你同意她的想法吗？你能解释这是为什么吗？（补充知识：电视屏幕尺寸大小是指屏幕对角线的长）
探究二：立体图形异面两点之间的距离问题
3.如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？。

《1.3勾股定理的应用》导学案【学习目标】1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题。

2、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力。

【重点】勾股定理的应用是现实生活中的“线路最短”问题，重点是将曲面或多面转化为平面，并注意立方体的展开图的不同方法。

.【难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.预习案一、预习自学1、下列各组数中，不是勾股数的是（）A、5,3,4B、12,13,5C、8,17,15D、8,12,152、如果线段a、b、c能组成直角三角形，那么它们的比可能是（）A、1:2:4B、5:12:13C、3:4:7D、1:3:5有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，AB你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?你知道这是为什么吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？探究案如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角1C处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当1445AB BC CC===，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点1B 到最短路径的距离．（4）若5,4,31===CC BC AB 时，你能求蚂蚁爬过的最短路径的长吗？巩固练习提高练习 （1）、有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒有多长？（2）、如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A 爬到B ？课堂小结：学习反思：。

1.3 勾股定理的应用1．学会用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题．2．在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法的理解．3．培养从空间到平面的想象能力，运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识．自学指导：阅读课本P13-14，完成下列问题.知识探究如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？容易得出四种方案：易算出：情形（1）中A →B 的路线长为：'AA d +，情形（2）中A →B 的路线长为：'2d AA π+所以情形（1）的路线比情形（2）要短．在情形（3）和（4）的比较中出现困难，可用剪刀沿母线AA ’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A →B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可． 如图：（1）中A →B 的路线长为：'AA d +．（2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ．（3）中A →B 的路线长为：AO +OB >AB ．（4）中A →B 的路线长为：AB ．得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来：怎样计算AB ？在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=，若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则22212(33),15AB AB =+⨯∴=．活动1 小组讨论李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB 边吗？BC 边与AB 边呢？解答：（2）222230402500AD AB +=+=22500BD =222AD AB BD ∴+=∴AD 和AB 垂直．活动2 跟踪训练1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h 的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h 的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？北东CB A解答：如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点，乙到达C 点．则:AB =2×6=12（km ）AC=1×5=5（km）在Rt△ABC中:22222251216913BC AC AB=+=+==．∴BC=13（km）．即甲乙两人相距13 km．2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．3220BA解答：2222152062525AB∴=+==.3．有一个高为1.5 m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？解答：设伸入油桶中的长度为x m．则最长时:2221.522.5xx=+=．．∴最长是2.5+0.5=3（m）．最短时: 1.5x=．∴最短是1.5+0.5=2（m）．答:这根铁棒的长应在2～3m之间．活动3 课堂小结你会应用勾股定理解决问题了吗？教学至此，敬请使用《名校课堂》相应部分.。

丹东市二十四中学八年级数学上勾股定理的应用主备：孙芬副备：李春贺曹玉辉审核: 2016/8/4一、学习准备：1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下列关系：那么，这个三角形是直角三角形。

2、两点之间，最短。

二、学习目标：1、应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，进一步发展应用意识。

三、学习提示：1、活动一：自主探究：如图，有一个圆柱体，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A有一只小蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少2、活动二，合作探究：完成P13做一做。

3、活动三，完成P13例1.练习：P14随堂练习，四、学习小结：你有哪些收获五、夯实基础：A1、一个有盖的长方体笔盒的长、宽、高分别是4cm 、3cm 、12cm 则它能放下的最长的笔为（ ）cm 。

A 、100、B 、11、C 、12、D 、132、一根旗杆在离地面米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）米。

A 、、B 、、C 、12、D 、83、一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7米。

（1)、这架云梯的顶端距地面有多高（2）、如果云梯的顶端下滑了四米，那么它的底部在水平方向上也滑动了四米么六、能力提升：如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A 处有一只小蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A 爬到B评价反思 ：书海浩瀚，扑进去其乐无穷。

叶辛。

AB。

学案
年级：八年级科目：数学章节：1.3勾股定理的应用第1课时编写人：
一、学习目标：
1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容学法指导
第一环节：情境引入
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B
处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，
你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
第二环节：合作探究
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条
路线最短呢？
（2）将圆柱的侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？
A
B
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
第三环节：做一做
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，
BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
例：如图，是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。

已知滑梯高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长。

1.3 勾股定理的应用学习目标：应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题。

预习案课前导学：一、自主预习（感知）1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A. 1.5,2,3;B. 7,24,25;C. 6,8,10;D. 9,12,15 2.若有两条线段，长度分别为5,13，第三条线段的平方为 时 ，这三条线段才能组成直角三角形。

3.圆柱的侧面展开图是________形，圆锥的侧面展开图是_______形。

4.圆的周长公式是 。

5.在一个圆柱石凳上，恰好一只在A 处的蚂蚁想吃到B 处的食物，想一想，蚂蚁爬行的最短路线是什么？自己做一个圆柱进行思考探索。

学习案知识点拨： 二、课堂探究 活动一：如果上面的圆柱高等于12厘米，底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3).活动二：一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm 、8cm 、 12cm ，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到顶的B 点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？小结：解决曲面上两点最短路线问题的方法是 . 活动三：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了一个长度为20厘米的卷尺，你能替他想办法完成任务吗12cm8cm8cmBABB课内训练：如图所示，有一高4㎝，底面直径为6㎝的圆锥。

现有一只蚂蚁在圆锥的顶A ，它想吃到圆锥底部B 点处的食物，需爬行的最短路程是多少？反馈案基础训练：1、在△ABC 中, ∠C=90°，c=25, b=15,则a= .2、三角形的三个内角之比为：１：２：３，则此三角形是 ．3、甲、乙两位探险者到沙漠探险，某日早晨8：00甲先出发他以6千米每小时的速度向正东行走，1小时后乙出发，以5千米每小时的速度向正北行走，上午10:00甲、乙二人相距多远？拓展延伸：1、如图，直线l 上有三个 正方形a,b,c,若a,c 的面积分别是5，11，则b 的面积为 。

第一章勾股定理第3节勾股定理的应用【学习目标】1、运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题，进一步发展学生的应用意识。

2、通过解决实际问题，使学生体会数学来源于生活，又应用于生活。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合．【学习重难点】重点：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用其解决生活实际问题．难点：利用建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．【学习过程】模块一预习反馈一、学习准备1、公理：两点之间，。

2、立体图形图形直角三角形问题解决。

3、如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是。

4、判断一组数是勾股数的条件是：①都是数；②满足条件。

5、阅读教材：第3节勾股定理的应用二、教材精读6、例1 一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B 点，则最少要爬行多少cm？归纳小结：立体图形转化为图形，再转化为问题，是解决此类问题的一般思路实践练习：如图所示，有一边长为8cm的正方体，在它的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？你能求出来吗？（17.92≈320）.三、教材拓展7、例2 如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？归纳小结：将空间问题转化为平面问题是解决此类问题的基本思路，要注意长方体展开图的多种情况，从中选择最合适的展开图。

模块二合作探究8、例3 有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到点B处，如图，已知杯子高8cm，点B距杯口3cm（杯口朝上），杯子底面半径为4cm，蚂蚁从点A爬到点B的最短距离是多少？（π取3）实践练习：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm，•A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是；模块三形成提升1、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，则竹竿高，门高.2、小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

丹东市二十四中学八年级数学上勾股定理的应用主备：孙芬副备：李春贺曹玉辉审核: 2016/8/4一、学习准备：1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下列关系：那么，这个三角形是直角三角形。

2、两点之间，最短。

二、学习目标：1、应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，进一步发展应用意识。

【三、学习提示：1、活动一：自主探究：如图，有一个圆柱体，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A有一只小蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少《2、活动二，合作探究：完成P13做一做。

3、活动三，完成P13例1.练习：P14随堂练习，A四、学习小结：你有哪些收获|五、夯实基础：1、一个有盖的长方体笔盒的长、宽、高分别是4cm、3cm、12cm则它能放下的最长的笔为（）cm。

A、100、B、11、C、12、D、132、一根旗杆在离地面米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（）米。

A、、B、、C、12、D、83、一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7米。

（1)、这架云梯的顶端距地面有多高（2）、如果云梯的顶端下滑了四米，那么它的底部在水平方向上也滑动了四米么(六、能力提升：如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只小蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到BB@A评价反思：书海浩瀚，扑进去其乐无穷。

叶辛。

勾股定理的应用导学案一、导言勾股定理是初中数学中的重要概念之一，也是数学中广泛应用的基本定理之一。

通过勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长、判断一个三角形是否为直角三角形等。

本文档将介绍勾股定理的基本原理、应用场景以及解题方法，帮助学生理解和掌握勾股定理的应用。

二、勾股定理的基本原理勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两边平方的和。

用公式表示即为：a² + b² = c²，其中a和b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

三、勾股定理的应用场景1. 求解直角三角形的边长勾股定理是求解直角三角形边长的常用方法。

当我们已知一个直角三角形的两个边长，可以利用勾股定理求解第三边的长度。

例如，如果已知一个直角三角形的一条直角边长为3，斜边长为5，我们可以利用勾股定理解得另一条直角边的长度为4。

2. 判断一个三角形是否为直角三角形勾股定理也可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。

如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，那么该三角形就是一个直角三角形。

例如，如果一个三角形的三边长分别为3、4和5，满足3² + 4² = 5²，那么该三角形就是一个直角三角形。

四、勾股定理的解题方法在使用勾股定理解题时，可以采用以下步骤：1. 确定已知条件：首先，确定已知的直角三角形的边长情况。

2. 应用勾股定理求解：根据已知条件，应用勾股定理的公式a²+ b² = c²，求解未知边的长度。

3. 确认解的合理性：在求解过程中，需要验证解是否符合实际情况和常理，确保解的合理性。

五、例题解析1. 一个直角三角形的直角边长分别为3和4，求斜边的长度。

根据勾股定理，已知直角边长为3和4，斜边的长度可以通过勾股定理求解。

应用公式可得：3² + 4² = c²，化简得到9 + 16 = c²，进一步计算得到25 = c²。

17.1.3 勾股定理的作图及典型计算（导学案）一、导学目标1.理解勾股定理的概念和原理；2.学会使用勾股定理解决实际问题；3.掌握勾股定理的作图方法。

二、知识回顾勾股定理是数学中一个重要的几何定理，它描述了直角三角形中两条直角边的长度关系。

勾股定理表达式如下：c2=a2+b2其中，c 为直角边，a 和 b 分别为另外两条直角边。

在实际问题中，我们常常需要使用勾股定理来求解未知边长或边长之间的关系，这就需要我们学会正确作图并运用勾股定理进行计算。

三、作图方法在求解直角三角形问题时，我们常常需要先作图，确保理解清楚图形关系。

以下是一些勾股定理的典型作图方法：1. 已知两边，求斜边若已知直角三角形的两条直角边的长度 a 和 b，我们可以按照以下步骤作图：（1）在纸上画出一条水平直线段 AB，长度为 a；（2）在 A 点上方作一条垂直直线段 AC，长度为 b；（3）连结 B 点和 C 点，得到直角三角形 ABC；（4）测量线段 BC 的长度，即为直角三角形的斜边。

2. 已知斜边和一条直角边，求另一条直角边若已知直角三角形的斜边 c 和一条直角边 a，我们可以按照以下步骤作图：（1）在纸上画出一条水平直线段 AB，长度为 a；（2）在 B 点上方作一条垂直直线段 BC，长度为 c；（3）连结 A 点和 C 点，得到直角三角形 ABC；（4）测量线段 AC 的长度，即为直角三角形的另一条直角边。

注意事项：•在作图过程中，应保持尺子与直线平行，以保证测量的准确性；•作图时尽量使用剩余的空白纸面，以便更好地测量线段长度。

四、典型计算例题 1已知一个直角三角形，其中一条直角边的长度为 3 cm，斜边的长度为 5 cm，请计算另一条直角边的长度。

解题步骤：1.根据已知条件，作图，画出直角三角形 ABC；2.连结 A 点和 C 点；3.测量线段 AC 的长度。

解答：根据作图，连接 A 和 C 点后，我们测量线段 AC 的长度为 4 cm。

《1.3勾股定理的应用》导学案【教学目标】1、能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题。

2、在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

3、在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性。

【教学重点】利用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。

【教学难点】正确选择勾股定理及直角三角形的判别方法解决实际问题。

【教学方法】探究式、启发式【教学流程】（一）自主梳理（独学）1、如图，小明要从点A 地到点B 地去，有几条路走？请同学们帮他选一条最近的路，并说明理由。

2、在直角三角形中，两条直角边a ，b 与斜边c 有何关系？（二）质疑释疑（对学）如图：有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面上圆的周长等于18cm 。

在圆柱下底面的点A 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 相对的点B 处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（1） 自己做一个圆柱，尝试从点A 到点B 沿圆柱测面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2） 如右图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A 到点B最短路线是什么？你画对了吗？AB（3）蚂蚁从点A 到点B ，想吃到点B 处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（三）合作交流（群学）李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？（四）、链接中考在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？（五）当堂检测（见训练单）（六）、课堂小结：（七）布置作业：A：基础训练 B: 能力提升课后反思：。

1.3 勾股定理的应用
一、学习目标
1、进一步体会勾股定理的应用
2、理解立体图形上的最短距离问题
二、课前预习
课前备好：用硬纸板制作一个圆柱体和一个长方体纸盒
（一）预习要求：仔细研读课本，结合导学案，完成预习内容。

用红笔在导学案上对不理解的问题进行标注，并把困惑问题写出来，以便课堂上合作交流。

（二）预习内容：
一、曲面上两点距离最短问题预习课本13页引例内容。

导学：圆柱的侧面展开图是，点B的位置应在长方形的边CD的处，点A到点B的最短距离为线段的长度。

A
A
思考：1.平面内，两点之间的最短距离怎样确定？
2.如上图，怎样确定线段AB的长度？
总结：解决曲面上两点之间的距离最短问题的思路是：把立体图形展开为，将曲面两点间最短距离问题转化为平面内问题。

二、有三边判断直角三角形的应用预习课本13页“做一做”的内容，
总结出“判断一个接近直角的角是否是直角的的方法？
三、精讲精练
例题1：如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE =6m，CD=2m，试求滑道AC的长。

例题2：一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮
蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
⑴在你的学具上画出几条线路，你认为将长方体侧面展开有几种方式？ B
12c m
A8cm
8cm
例题3：如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高线AD的长。

3220B A1.3 勾股定理的应用一、自主预习〔感知〕1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 。

如果用a,b 和c 表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2 + b 2= c 22、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b ，c 满足 那么这个三角形是直角三角形。

3、判断题(1).如果三角形的三边长分别为a,b,c ，那么 a 2 + b 2= c 2〔 〕(2)如果直角三角形的三边长分别为a,b,c ，那么a 2 + b 2= c 2〔 〕〔3〕由于，0.4，不是勾股数，所以以，，为边长的三角形不是直角三角形 〔 〕4、填空:(1).在△ABC 中, ∠C=90°，c=25,b=15,那么a=＿＿＿＿.(2). 三角形的三个内角之比为：１：２：３，那么此三角形是＿＿＿．假设此三角形的三边长分别为a,b,c,那么它们的关系是＿＿＿＿．〔3〕三条线段 m,n,p 满足m 2-n 2=p 2，以这三条线段为边组成的三角形为〔 〕。

二、合作探究〔理解〕1、课本P13页蚂蚁爬行最短路线问题2、课本P13页 做一做3、课本P13页例1三、轻松尝试〔运用〕1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h 的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？2．如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．3．有一个高为1.5 m ，半径是1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，铁棒在油桶外的局部为0.5 m ，问这根铁棒有多长？四、拓展延伸〔提高〕4如图，带阴影的矩形面积是多少？ 6如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少？五、收获盘点〔升华〕六、当堂检测〔达标〕∶∶00，甲、乙两人相距多远？2、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，铁棒在油桶外的局部是0.5米，问这根铁棒应有多长？3、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？七、课外作业〔稳固〕1、必做题：①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。