16.4.3分式方程的应用复习

分式方程及应用复习教案一、教学目标1. 理解分式方程的概念和性质。

2. 掌握解分式方程的方法和技巧。

3. 能够应用分式方程解决实际问题。

二、教学内容1. 分式方程的概念和性质分式方程的定义分式方程的解法分式方程的解的性质2. 解分式方程的方法和技巧去分母法移项法合并同类项法化简法3. 分式方程的应用线性分式方程的应用非线性分式方程的应用分式方程在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：分式方程的概念和性质解分式方程的方法和技巧分式方程的应用2. 教学难点：解分式方程的方法和技巧的灵活运用分式方程在实际问题中的应用四、教学方法与手段1. 教学方法：讲授法：讲解分式方程的概念和性质、解分式方程的方法和技巧、分式方程的应用案例分析法：分析实际问题中的分式方程练习法：让学生通过练习题来巩固所学知识和技巧2. 教学手段：投影仪：展示分式方程的图像和实际问题练习题：提供给学生进行练习和巩固五、教学安排1. 第一课时：分式方程的概念和性质讲解分式方程的定义讲解分式方程的解法讲解分式方程的解的性质2. 第二课时：解分式方程的方法和技巧讲解去分母法讲解移项法讲解合并同类项法讲解化简法3. 第三课时：分式方程的应用讲解线性分式方程的应用讲解非线性分式方程的应用讲解分式方程在实际问题中的应用4. 第四课时：练习题讲解和总结讲解练习题总结分式方程的概念、方法和应用5. 第五课时：综合练习和拓展提供综合练习题给学生进行练习讲解拓展问题，引导学生思考分式方程在其他领域的应用六、教学评价1. 课堂参与度评价：观察学生在课堂上的积极参与程度，提问和回答问题的积极性。

2. 练习题完成情况评价：评估学生在练习题中的表现，包括解题的正确性、速度和思路。

3. 小组讨论评价：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及对分式方程的理解和应用。

4. 课后作业评价：评估学生课后作业的完成质量，包括解题的正确性、思路和书写规范。

七、教学反思在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和效果，根据学生的反馈和表现调整教学策略，以提高教学效果。

第16讲分式方程及其应用考点·方法·破译1.分式方程(组)的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母,将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时,可利用分拆思想,把分式化为“整式＋分式”的形式,化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式,再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程,或利用倒数法使方程更简便.2.分式方程增根在解分式方程时,通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程),这就扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.因此,解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数,或解是负数)时,要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).3.列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的,但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验,①检验是否是增根,②检验解是否符合实际意义.经典·考题·赏析【例1】解下列方程:⑴22xx-+－2164x-＝1⑵12x+－2244xx-－22x-＝4⑶45xx--＋89xx--＝78xx--＋56xx--【解法指导】对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式,找到最简公分母,然后将分式方程转化为整式方程,求解并验根.对于方程⑶如果按常规方法去分母则计算复杂,若注意到将这四个分式的分母均比分子小这个特点,先化简,如45xx--＝515xx-+-＝1＋15x-,按照上述变形,原方程可变为15x-＋19x-＝18x-＋16x-再移项后分组通分求解较简单.解: ⑴22xx-+－()()1622x x-+＝1(x－2) 2－16＝(x＋2) (x－2)x2－4x＋4－16＝x2－4x＝－2当x＝－2时(x＋2) (x－2)＝0,∴x＝－2是增根,原分式方程无解.⑵12x +＋()()2422x x x +-－22x -＝4x －2＋4x 2－2(x ＋2)＝4(x ＋2) (x －2) ∴x ＝10当x ＝10时, (x ＋2) (x －2) ≠0, ∴原分式方程的解为x ＝10.⑶原方程变形为515x x -+-＋919x x -+-＝818x x -+-＋616x x -+-1＋15x -＋1＋19x -＝1＋18x -＋1＋16x -∴15x -＋19x -＝18x -＋16x - 15x -－16x -＝18x -－19x - 两边分别通分得:()()156x x ---＝()()189x x ---∴(x －5) (x －6)＝(x －8) (x －9)∴x ＝7 检验知x ＝7是原方程的解.【变式题组】 ⑴12x x --＝12x-－2⑵2x x -＋2＝3(2)x x-⑶14x -－23x -＝32x -－41x -⑷12x +＋242x x -＋22x-＝1【例２】当m 为何值时,分式方程1m x +－21x -＝231x -会产生增根? 【解法指导】我们很容易测出分式方程可能产生的增根是x ＝1或x ＝－1,只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程,即可求出相应的字母的值.解:原方程去分母并整理得 (m －2) x ＝5＋m假设产生增根x ＝1,则有: m －2＝5＋m ,方程无解,所以不存在m 的值,使原方程产生增根x ＝1;假设产生增根x ＝－1,则有:2－m ＝5＋m ,解得m ＝－32. ∴m ＝－32时,分式方程1m x +－21x -＝231x -产生增根.【变式题组】 01.分式方程22x x -+－22x x +-＝2164x -的增根是__________. 02.若分式方程()()611x x +-－1mx -＝1有增根,则它的增根为( ) A.0 B.1 C.－1 D.1,－103.(绥化)若关于x 的方程23x -＝1－3m x -无解.则m 的值为___________. 04.分式方程1m x +－21x -＝232x -无解,则m 的值为___________.【例３】(杭州)已知关于x 的方程22x mx +-＝3的解是正数,则m 的取值范围是_________.【解法指导】求出方程的解x ＞0且x ≠2即可 解:22x mx +-＝3 2x ＋m ＝3x －6 x ＝m ＋6 ∴6062m m +>⎧⎨+≠⎩ ∴m ＞－6且m ≠－4【变式题组】 01.(孝感)关于x 的方程21x ax +-＝1的解是正数,则a 的取值范围是( ) A.a ＞－1 B. a ＞－1,且a ≠0 C. a ＜－1 D. a ＜－1,且a ≠－2 02.当m 为何值时,关于x 的方程22m x x --＝ 1x x +－ 12x x --的解是正数?【例４】(山东青岛)某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.⑴该商场两次共购进这种运动服多少套?⑵如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润不低于20%,那么每套售价至少是多少元?【解法指导】 ⑴设商场第一次购进x 套运动服,由题意得: 68000x －32000x＝10 解这个方程,得x ＝200,经检验, x ＝200是原方程的解. 2x ＋x ＝600∴商场两次共购进这种运动服600套.⑵设每套运动服的售价为y元.则有60032000680003200068000yx--+≥20%,y≥200∴每套运动服售价至少200元.【变式题组】01.(泰安)某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问计划每天加工服装多少套?在这个问题中,设计划每天加工x套,则根据题意可得方程为()A.160x＋()400120%x+＝18 B.160x＋()400160120%x-+＝18C.160x＋40016020%x-＝18 D.400x＋()400160120%x-+＝1802.(河池)铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又调拨11000元资金购进该品种苹果,但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元,购进苹果数量是试销的2倍.⑴试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折售完,那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?03.(广西梧州)由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程, 甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3:2,两队合做6天可以完成.⑴求两队单独完成此项工程各需多少天?⑵此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后,学校付给他们20000元报酬,若按各自完成的工程量分配这笔钱,问甲、乙两队各得到多少元?演练巩固·反馈提高01.(牡丹江)关于x 的分式方程5mx -＝1,下列说法正确的是( ) A.方程的解是x ＝m ＋5 B. m ＞－5时,方程的解是正数 C. m ＜－5时,方程的解是负数 D.无法确定02.(安徽)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成任务,则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( ) A.8 B.7 C.6 D.5 03.(上海)用换元法解分式方程1x x -－31x x -＋1＝0时,如果设1x x-＝y ,将原方程化为关于y 的整式方程,那么这个整式方程是( )A. y 2＋y －3＝0 B. y 2－3y ＋1＝0 C. 3y 2－y ＋1＝0 D. 3y 2－y －1＝004.有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜900㎏和1500㎏.已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300㎏,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田每亩收获蔬菜x ㎏,根据题意,可得方程( )A.900300x +＝1500x B. 900x ＝1500300x -C.900x ＝1500300x +D.900300x -＝1500x05.(牡丹江)若关于x 的分式方程1x a x --－3x＝1无解,则a ＝___________.06.方程1x x +＋3＝21x +的解为___________.07.若x ＝1是方程21x a +＋22x a -＝0的解,则a ＝___________.08.若A ＝1x x -,B ＝231x -＋1,当x ＝___________时,A ＝B.09.若x ＝3是方程102x +＋2k ＝0的解,则3k k +－269k -÷23k -的值为___________.10.如果关于x 的方程1＋2x x -＝224m x -的解,也是不等式组1222(3)8xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解,求m 的取值范围.11.关于x 的分式方程61x -＝()31x x x +-－k x有解,求k 的取值范围.12.要使关于x、y的二元一次方程组21620x ayx y+=⎧⎨-=⎩有正整数解,求整数a的值.13.某工程准备招标,指挥部接到甲、乙两个工程队的标书,从标书中得知:乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍,该工程若由甲队先做6天,剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.⑴求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天?⑵已知甲队每天的施工费用为0.67万元,乙队每天的施工费用为0.33万元,该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期,拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程,问:该工程预算的施工费用是否够用?若不够用,需要追加预算多少万元?请说明理由.14.(桂林)在我市某一城市美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标,经测算:甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天,剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.⑴乙队单独完成这项工程需要多少天?⑵甲队施工一天,需付工程款3.5万元,乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成,在不超过计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱,还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?培优升级·奥赛检测01.(江西决赛试题)若实数x 、y 、z 满足方程组:122232xyx y yzy z zxz x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩,则有( ) A. x ＋2y ＋3z ＝0 B. 7x ＋5y ＋3z ＝0 C. 9x ＋6y ＋3z ＝0 D.10x ＋7y ＋z ＝002.(天津初赛试题)某段公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成,已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为V 1、V 2、V 3,则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为( )A.1233V V V ++ B.1231113V V V ++ C.1231111V V V ++ D. 1233111V V V ++03.(第十八届“希望杯”初二)解分式方程31x +＋51x -＝21mx -会产生增根,则m ＝___________. 04.方程()11x x +＋()()112x x ++＋…＋()()120102011x x ++＝1＋1x 的解是___________.05.(全国初中数学竞赛试题)小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是_________分钟. 06.解下列方程:⑴ 12x x ++－17x +＝23x x ++－16x + ⑵ 432x x +-＋324x x -+＝207.已知方程组22xy x y +＝23,32yz y z -＝－9, 53xyzxy yz zx -+＝157恰好有一组解为x ＝a ,y ＝b ,z ＝C.求a 2＋b 2＋c 2的值.08.设x、y都是整数,1x－1y＝12010.求y的最大正整数的解.09.(莆田)国务院决定从2009年2月1日起,“家电下乡”在全国范围内实施,农民购买入选产品,政府按原价购买总额的13%给予补贴返还.某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电,已知购买冰箱的数量是电视机的2倍,且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额15000元.根据“家电下乡”优惠政策,每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元,求冰箱、电视机各购买多少台?⑴设购买电视机x台,依题意填充下列表格:项目家电种类购买数量(台)原价购买总额(元)政府补贴返还比例补贴返还总额(元)每台补贴返还金额(元)冰箱40000 13%电视机x 15000 13%⑵列出方程(组)并解答.10.(齐齐哈尔)某电脑公司经销甲种型号电脑,受经济危机影响,电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元,如果卖出相同数量的电脑,去年销售额为10万元,今年销售额只有8万元.⑴今年三月份甲种电脑每台售价多少元?⑵为了增加收入,电脑公司决定再经销乙种型号电脑,已知甲种电脑每台进价3500元,乙种电脑每台进价为3000元,公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台,有几种进货方案?⑶如果乙种电脑每台售价为3800元,为打开乙种电脑的销路,公司决定每售出一台乙种电脑,返还顾客现金a元,要使⑵中所有方案获利相同, a值应是多少?此时,哪种方案对公司更有利?。

丹桂分式方程《分式方程》复习指导一、课标要求1、了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程.2、了解产生增根的原因,会检验一个数是不是分式方程的增根。

3、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。

4、通过实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的思想，培养我们努力寻找解决问题的方法的进取心，体会数学的应用价值。

二、知识要点回顾1、分式方程的概念分式方程是分母中含有未知数的方程.①分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据，如2x1x=和x=1是不同的方程，前者是分式方程，后者是整式方程(一元一次方程)。

②判断一个方程是不是分式方程，应看这个方程的分母中是否含有未知数，而不是含不含有宇母。

如方程x1a=（a是常数，且a≠0，x是未知数)就不是分式方程。

2、分式方程的解的意义使分式方程左右两边相等的值叫做分式方程的解，也可以叫做根。

注意：①由于分式方程都可以化为一元一次的整式方程，故它的解至多一个，也可能无解；②可用代入法检验一个数是否是分式方程的解，或进一步确定待定常数。

3、如何解分式方程？（1）解分式方程的基本思想—-—“转化"思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了.（2）解分式方程的步骤：分式方程是转化为一元一次方程来求解,它是通过去分母实现转化的.主要步骤：去分母，去括号,移项，合并同类项,系数化为1，检验。

因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根。

4、去分母的技巧去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步,当分式方程中分式的分母是一次式时,可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母；当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解,再确定最简公分母，然后再去分母。

5、“增根"是怎样产生的？解分式方程时，由于在方程的左右两边同时乘含有未知数的公分母(含未知数的整式）,得到了一个整式方程，从而使原分式方程中未知数的取值范围扩大了。

分式方程及应用复习教案一、教学目标1. 理解分式方程的概念和性质2. 掌握解分式方程的基本方法3. 能够应用分式方程解决实际问题4. 提高学生的数学思维能力和解决问题的能力二、教学内容1. 分式方程的定义和性质2. 解分式方程的基本方法3. 分式方程的应用实例三、教学重点与难点1. 重点：分式方程的概念、性质和解法2. 难点：应用分式方程解决实际问题四、教学方法1. 讲授法：讲解分式方程的定义、性质和解法2. 案例分析法：分析分式方程的应用实例3. 练习法：让学生通过练习题巩固所学知识五、教学过程1. 引入：复习分式方程的概念和性质2. 讲解：讲解解分式方程的基本方法3. 案例分析：分析分式方程的应用实例4. 练习：让学生解答练习题5. 总结：回顾本节课所学内容，强调重点和难点教案内容待补充六、教学练习练习一：判断题1. 分式方程就是含有未知数的分式。

（）2. 分式方程的解就是使分式等于零的未知数的值。

（）3. 解分式方程时，可以直接将分式方程转化为整式方程。

（）练习二：选择题A. 去分母B. 去括号C. 移项D. 合并同类项）2. 下列哪个方程不是分式方程？（A. 2x + 3 = 7B. (x + 1)/2 = 3C. 3(x 1) = 2(x + 2)D. (x 2)/3 = 4）七、应用拓展案例一：小明种苹果树和梨树，苹果树的数量是梨树的3倍。

如果小明一共种了24棵树，苹果树和梨树各有多少棵？案例二：一家工厂生产A产品和B产品，生产A产品需要2小时，生产B产品需要3小时。

如果工厂每天有8小时的生产时间，工厂一天可以生产多少A产品和B产品？八、教学总结本节课我们复习了分式方程的概念、性质和解法，重点掌握了如何解分式方程和应用分式方程解决实际问题。

通过练习和案例分析，希望大家能够巩固所学知识，提高解题能力。

在的学习中，我们将继续深入探讨分式方程的更多应用，希望大家能够积极参与。

九、课后作业1. 请总结分式方程的概念和性质，并简要说明解分式方程的基本方法。

初中数学第十六章《分式》第二单元《分式方程及其应用》常见考点归类新人教版初中数学第十六章《分式》第二单元《分式方程及其应用》（常见考点归类）一、分式方程：1、分式方程的定义：已知下列方程：（1）123x +=；（2）113x x x =-+；（3）21134x x +-=+；（4）213x =+． 其中分式方程有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个2、解分式方程：1、22333x x x -+=--；2、21124x x x -=-- 3、增根问题：（补充）1、若分式方程223242mx x x x +=--+有增根，求m 的值； 2、若分式方程2221151k k x x x x x --+=--+有增根x =1-，求k 的值． 4、含有字母的分式方程问题：（补充）1、111x a b=+ 2、()n m m n m n x x+=+≠ 3、()20a b b a a b x a b +--=+≠ 5、待定系数法求值问题：（选学）1、已知()21(2)323x B C A x x x x -=++----，求A 、B 、C 的值． 2、已知()()231212x A B x x x x -=+-+-+，求A 、B 的值． 二、分式方程应用题：6、行程问题：1、教材31页第1题；变形1：某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达。

已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求这两种车的速度各是多少？变形2：某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果甲班只比乙班提前20分钟到达植树地点。

已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求这两种车的速度各是多少？（只列式，不求解）变形3：某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果乙班却比甲班提前20分钟到达植树地点。

分式知识点总结与分式方程的应用一、分式的定义和基本性质分式是指两个整数的比的形式，分子和分母都可以是整数。

分式的一般形式为a/b，其中a为分子，b为分母。

分式也可以是带有字母的表达式。

1.分式的定义：分式表示两个数的比。

分子表示比的被除数，分母表示比的除数。

2.分式的基本性质：①分式的值是确定的：分式的值只与分子和分母有关，而与分子和分母的选取方法无关。

②分式的约定：分式的分母不能为0，即b≠0。

③分式的约分：分式a/b可以约分为最简分式的条件是a和b都有因数c，这样a和b都可以被c整除。

④分式的最简形式：分式a/b的最简形式是分子分母互为质数⑤分式的倒数：若分式a/b不等于0，则它的倒数为b/a。

⑥分式的乘法：若a/c和b/d是两个非零分式，则a/c与b/d的乘积为(a·b)/(c·d)。

⑦分式的除法：分式a/b除以c/d可真分式以d/c乘，得(a·d)/(b·c)。

⑧分式的加法：根据通分的定义，可得a/c+b/d=(a·d+b·c)/(c·d)⑨分式的减法：根据通分的定义，可得a/c-b/d=(a·d-b·c)/(c·d)分式方程的一般形式为：分子中含有未知数的为分式方程。

例如：2/x=3/41.解分式方程的基本步骤：（1）去分母：将分式方程中的每个分式的分母去掉，得到一个整式方程。

（2）解整式方程：使用解整式方程的方法解方程。

（3）检验解：将求得的解代入原分式方程，检验是否满足。

2.分式方程的常见类型：（1）一次分式方程：分子和分母的最高次幂都是1（2）整式方程：分式方程中的分子和分母都是整式。

（3）二次分式方程：分子和分母的最高次幂都是2（4）退化分式方程：当方程中出现0/0的情况，方程可能退化为整式方程或无解。

3.分式方程的注意事项：（1）除法的解答有条件：可能有解，也可能无解。

（2）变量的取值范围：要满足约束条件。

《分式方程的应用》专题复习1.为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用4000元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用6400元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元．问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？2.甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．3. 某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元．(1)该商店第一次购进这种水果多少千克？(2)假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于950元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？4. (2021年5月21日，漾濞县发生6.4级地震，某市派出两个抢险救灾工程队赶到该县支援，甲工程队承担了2400米修道路任务，乙工程队比甲工程队多承担了600米的道路抢修任务，甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40米，结果两工程队同时完成任务．问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米？5. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%(不考虑其他因素)，那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？6. 星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去距该小区1800米的少年宫参加活动．为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达．求小芳的速度．7. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．(1)第一批饮料进货单价多少元？(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？8. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．(1)求A、B两种粽子的单价各是多少？(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？9. 泗水县为了落实中央的”强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．(1)这项工程的规定时间是多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？10. 某工程队接到了修建3000米道路的施工任务，修到一半的时候，由于采用新的施工技术，修建效率提高为原来的1.5倍，结果提前5天完成了施工任务，问原来每天修多少米道路？11. 随着网购的日益盛行，物流行业已逐渐成为运输业的主力，已知某大型物流公司有A、B 两种型号的货车，A型货车的满载量是B型货车满载量的2倍多4吨，在两车满载的情况下，用A型货车载1400吨货物与用B型货车载560吨货物的用车数量相同．(1)1辆A型货车和1辆B型货车的满载量分别是多少？(2)该物流公司现有120吨货物，可以选择上述两种货车运送，在满载的情况下，有几种方案可以一次性运完？12. 某服装厂准备加工380套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高10％，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？13. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独做需要3个月完成，当甲队单独施工1个月后，乙队加入共同施工，又工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工多少个月能完成全部工程．14. 某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．甲、乙两种图书每本的价格分别为多少元？15. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．(1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？16. 某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成这项工程需要120天，若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队合做，36天可完成．(1)乙队单独完成这项工程需要多少天？(2)甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.6万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，该工程是由甲队或乙队单独完成省钱，还是由甲、乙两队全程共同完成省钱？说明理由．17. 受疫情影响，某品牌洗手液市场需求量猛增，某商场用7000元购进一批洗手液后很快销售一空，随后商场又用2.4万元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批的3倍，但单价贵了1元．(1)求该商场购进的第一批洗手液的单价；(2)商场销售这种洗手液时，每瓶定价为15元，最后200瓶按8折售出．问这两笔生意中商场共获利多少元？18. 在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200m的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．19. 用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．20. 某超市购进A和B两种商品，已知每件A商品的进货价格比每件B商品的进货价格贵2元，用200元购买A商品的数量恰好与用150元购买B商品的数量相等．(1)求A商品的进货价格；(2)计划购进这两种商品共30件，且投入的成本不超过200元，那么最多购进多少件A商品？21. 星期天，小明和小军在同一小区门口同时出发，沿相同路线去离该小区1800米的青少年宫参加羽毛球训练，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行前往．已知小明的速度是小军的速度的1.2倍，小明比小军提前6分钟到达，求两人的速度．22. 某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？23. 某校九年级(2)班的师生步行到距离10km的山区植树，出发1.5ℎ后，李明同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点．假设李明同学骑车速度是队伍步行速度的2.5倍．(1)求李明同学骑车速度与队伍步行速度各是多少；(2)如果李明同学要提前10min到达植树地点，那么他骑车速度应是多少？24. 一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．求汽车前1小时的行驶速度．25. 为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同(1)求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？(2)该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则商店至少购进A类玩具多少个？26. 某工厂现有甲、乙两种机器同时开工制造口罩．甲种机器加工90个口罩所用的时间与乙种机器加工120个口罩所用的时间相等，已知甲、乙两种机器每秒共加工35个口罩，那么甲、乙两种机器每秒各加工多少个口罩？27. 某县发生6.4级地震，某市派出甲、乙两个抢险救灾工程队赶到该县支援，甲工程队承担了2400m抢修道路的任务，乙工程队比甲工程队多承担了600m的任务，甲工程队比乙工程队每小时少修40m，结果两工程队同时完成任务．甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米？28. 某商家用价值为100元的甲种涂料与价值为240元的乙种涂料配制成一种新涂料，总价值不变．新涂料每千克的售价比甲种涂料每千克的售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元．求这种新涂料每千克的售价．29. 俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用．已知用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元．(1)求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？(2)学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？30. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料．31. 甲、乙两人分别从距离目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度．32. 某公司会计欲查询乙商品的进价(如下表)，发现进货单已被墨水污染．商品进价(元/件)数量(件)总金额(元)甲7200乙3200李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件．(1)乙商品的进价是多少？(2)请你帮会计算出甲商品的进价及甲，乙商品的进货数量．33. 已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?34. 倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．(1)A，B两种健身器材的单价分别是多少元？(2)若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？35. 2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”.某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．(1)A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？(2)该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？36. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．(1)求甲、乙两种商品的每件进价；(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？37. 某厂街道在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区。

初中数学中考专题复习《分式方程的解法及应用》1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．知识点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.知识点解析：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.知识点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.知识点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.知识点解析：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.知识点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.例题1、下列方程中，是分式方程的是（ ）．A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数） 【答案】B ；【解析】A 、C 两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D 项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B 项中的方程符合分式方程的定义．【总结】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．例题2、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？ （1）21753997x x --= （2）352y y =- （3）31422y y ++- （4）221531x x x +=-- 【答案】解：（1）虽然方程里含有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；（2）具备分式方程的三个特征，是分式方程；（3）31422y y ++-没有等号，所以不是方程，它是一个代数式； （4）方程具备分式方程的三个特征，是分式方程．特别提醒：（3）题是一个代数式，不是方程，容易判断错误；【总结】整式方程与分式方程的区别在于分母里有没有未知数，有未知数的就是分式方程，没有未知数的就是整式方程．例题1、 解分式方程（1）10522112x x +=--；（2）225103x x x x-=+-． 【答案】解：（1）10522112x x +=--， 将方程两边同乘(21)x -，得10(5)2(21)x +-=-．解方程，得74x =．检验：将74x =代入21x -，得52102x -=≠．∴ 74x =是原方程的解．（2）225103x x x x -=+-， 方程两边同乘以(3)(1)x x x +-，得5(1)(3)0x x --+=．解这个方程，得2x =．检验：把2x =代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0．∴ 原方程的解是2x =．【总结】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根．举一反三： 【变式】解方程：21233x x x-=---． 【答案】解：21233x x x -=---， 方程两边都乘3x -，得212(3)x x -=---，解这个方程，得3x =，检验：当3x =时，30x -=，∴ 3x =是增根，∴ 原方程无解．例题2、解方程：1310414351x x x x -=-----． 【答案】解：方程的左右两边分别通分，得3131(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++=----，∴ 31310(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++-=----， ∴ 11(31)0(4)(3)(5)(1)x x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥----⎣⎦， ∴ 310x +=，或110(4)(3)(5)(1)x x x x -=----， 由310x +=，解得13x =-，由110(4)(3)(5)(1)x x x x -=----，解得7x =． 经检验：13x =-，7x =是原方程的根.【总结】若用常规方法，方程两边同乘(4)(3)(5)(1)x x x x ----，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．举一反三：【变式】解方程11114756x x x x +=+++++． 【答案】解：移项得11114567x x x x -=-++++， 两边同时通分得(5)(4)(7)(6)(4)(5)(6)(7)x x x x x x x x +-++-+=++++， 即11(4)(5)(6)(7)x x x x =++++， 因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．所以(4)(5)(6)(7)x x x x ++=++，229201342x x x x ++=++，2292013420x x x x ++---=，4220x --=，∴ 112x =-． 检验：当112x =-时，(4)(5)(6)(7)0x x x x ++++≠． ∴ 112x =-是原方程的根．例题1、m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？ 【思路】若分式方程产生增根，则(2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-，然后把2x =±代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值．【答案】解： 方程两边同乘(2)(2)x x +-约去分母，得2(2)3(2)x mx x ++=-．整理得(1)10m x -=-．∵ 原方程有增根，∴ (2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-．把2x =代入(1)10m x -=-，解得4m =-．把2x =-代入(1)10m x -=-，解得6m =．所以当4m =-或6m =时，方程会产生增根．【总结】处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解．举一反三：【变式】如果方程11322x x x-+=--有增根，那么增根是________．【答案】2x =；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母20x -=或20x -=可得2x =．所以增根是2x =．例题2、（1）若分式方程223242mx x x x +=--+有增根，求m 值； （2）若分式方程2221151k k x x x x x---=---有增根1x =-，求k 的值． 【思路】（1）若分式方程产生增根，则(2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-，然后把2x =±代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把1x =-代入解出k 的值.【答案】解：（1）方程两边同乘(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x mx x ++=-．∴ (1)10m x -=-．∴ 101x m=-． 由题意知增根为2x =或2x =-，∴ 1021m =-或1021m=--． ∴ 4m =-或6m =．（2）方程两边同乘(1)(1)x x x +-，得(1)(1)(5)(1)k x x k x --+=-+． ∴ 34x k =-． ∴ 43k x -=． ∵ 增根为1x =-，∴ 413k -=-．∴ 1k =．【总结】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．举一反三：【变式】已知关于x 的方程322133x ax x x -++=---无解，求a 的值． 【答案】解：方程两边同乘(3)x -约去分母，得(32)(2)(3)x ax x --+=--，即(1)2a x +=-．①∵ 30x -=，即3x =时原方程无解，∴ (1)32a +⨯=-，∴ 53a =-．②∵ 当10a +=时，整式方程(1)2a x +=-无解，∴ 当1a =-时，原方程无解．综上所述，当53a =-或1a =-时，原方程无解．例题1、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．【答案】解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种()2x +棵树．由题意可得60662x x =+，解这个方程，得20x =． 经检验20x =是原方程的根且符合题意． 所以222x +=(棵)．答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．【总结】解此题的关键是设出未知数后，用含x 的分式表示甲、乙两班种树所用的时间． 举一反三：【变式】两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快?【答案】解：设乙队单独施工1个月能完成工程的1x，总工程量为1．根据工程的实际进度，得1111362x++=． 方程两边同时乘以6x ，得236x x x ++=． 解这个方程得1x =．检验：当1x =时，6x ＝6≠0， 所以1x =是原分式方程的解．由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的13，可知乙队施工速度快． 答：乙队施工速度快．例题2、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．【思路】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（2）由工期不超过10天列出不等式组求出范围. 【答案】解：(1)设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设()20x -米．根据题意，得35025020x x =-．解得70x =． 经检验，70x =是原分式方程的解且符合题意． 故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．(2)设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队()1000y -米．由题意，得10,70100010,50yy ⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩ 解得500≤y ≤700．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米． 方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米． 方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米． 所以分配方案有3种．【总结】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力. 举一反三：【变式】一慢车和一快车同时从A 地到B 地，A ，B 两地相距276公里，慢车的速度是快车速度的三分之二，结果快车比慢车早到达2小时，求快车，慢车的速度. 【答案】解：(2)设快车速度为x /km h ，则慢车速度为23x /km h依题意，得276276223x x =-， 去分母，得276×2＝276×3－4x ，所以69x =， 经检验知69x =是原方程的解，所以2463x =，答：慢车、快车的速度分别为46 /km h 、69/km h ．【高效巩固练习A 】一.选择题1．下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A ．11=+x xB ．4132=+x xC ．52433=+x xD ．6516-=x x 2．解分式方程12112-=-x x ，可得结果( )． A.1x = B.1x =- C.3x = D.无解3．要使54--x x 的值和xx--424的值互为倒数，则x 的值为( )． A.0 B.－1 C.21D.14．已知4321--=+-y y x x ，若用含x 的代数式表示y ，则以下结果正确的是( )． A.310+=x y B.2y x =+ C.310xy -=D.72y x =--5．若关于x 的方程xkx --=-1113有增根，则k 的值为( )． A.3B.1C.0D.－16．完成某项工作，甲独做需a 小时，乙独做需b 小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )． A.)(54b a +小时 B.)11(54ba +小时 C.)(54b a ab+小时D.ba ab+小时 二.填空题7. 当x ＝______时，分式3x与26x-的值互为相反数． 8．仓库贮存水果a 吨，原计划每天供应市场m 吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．9．x ＝______时，两分式44-x 与13-x 的值相等． 10．当a ＝______时，关于x 的方程4532=-+x a ax 的根是1．11．若方程114112=---+x x x 有增根，则增根是______．12．关于x 的方程11=+x a的解是负数，则a 的取值范围为____________． 三.解答题13. 解下列分式方程： （1）11322x x x -=---；（2）257233212x x x x x -=+-+--；（3）2210121x x x x -+=-+-．14. 甲、乙两地相距50km ，A 骑自行车，B 乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B 中途休息了0.5小时还比A 早到2小时，求自行车和汽车的速度．15.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．【高效巩固练习A 答案与解析】一.选择题 1. 【答案】C ；【解析】C 选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.2. 【答案】D ；【解析】1x =是原方程的增根. 3. 【答案】B ； 【解析】由题意442154x x x x --⨯=--，化简得：2415x x -=-解得1x =-. 4. 【答案】C ；【解析】由题意()()()()1423x y x y --=+-，化简得：310y x =-，所以选C. 5. 【答案】A ；【解析】将1x =代入31x k =-+，得3k =. 6. 【答案】C ；【解析】由题意4114()55aba b a b÷+=⨯+，所以选C.二.填空题 7. 【答案】18；【解析】3206xx +=-，解得18x =. 8. 【答案】222am m+；【解析】原计划能供应am天，现在能供应2a m +天，则少供应222a m m +天.9. 【答案】－8；【解析】4341x x =--，解得8x =-. 10.【答案】173-；【解析】将1x =代入原方程，得85512a a +=-，解得173a =-.11.【答案】1x =；【解析】原方程化为：()22141x x +-=-，解得1x =，经检验1x =是增根.12.【答案】1a <且a ≠0；【解析】原方程化为110a x x a =+=-<，，解得1a <.x ≠-1，解得a ≠0. 三.解答题 13.【解析】解：(1)方程的两边都乘2x -，得113(2)x x =---． 解这个整式方程，得x ＝2．检验：当x ＝2时，x －2＝0，所以2是增根，所以原方程无解．(2)方程两边同乘(2)(1)x x --约去分母，得572(2)3(1)x x x -=-+-． 整理，得5757x x -=-．这个式子为恒等式. 检验：当1x =，2x =时，(2)(1)0x x --=， 所以1x =和2x =是增根．因此，原方程的解是1x ≠且2x ≠的任何实数． (3)方程两边同乘(2)(1)(1)x x x ++-， 得(2)2(1)(1)(2)(1)0x x x x x x +-+-+++=． 解此方程，得45x =-．检验：把45x =-代入(2)(1)(1)x x x ++-得4442110555⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-+⨯--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以原方程的解是45x =-． 14.【解析】解：设自行车的速度为/xkm h ，汽车的速度为2.5/xkm h ， 由题意，50500.522.5x x=++， 解方程得：12550 6.25x =+ 12x =经检验，12x =是原方程的根，2.530x =.所以自行车的速度为12/km h ，汽车的速度是30/km h . 答：自行车的速度为12/km h ，汽车的速度是30/km h . 15.【解析】解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为1x +，则：10(1)281x x x ++-=+．解方程得：3x =．经检验：3x =是原方程的根．所以个位上的数字为：1x +＝3＋1＝4． 所以这个两位数是：3×10＋4＝34． 答：这个两位数是34．【高效巩固练习B 】一.选择题1．下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ） A ．35435x x -+-=B ．ab b x b a a x +=- C ．2(1)11x x -=-D ．xn x nm n-= 2．若分式方程2()8(1)5x a a x +=--的解为,51-=x 则a 等于（ ） A ．65B ．5C ．65-D ．－53. 已知111,1,a b bc=-=-用a 表示c 的代数式为（ ）A ．11c b=- B ．11a c=- C ． a a c -=1 D ．1a c a-= 4．若关于x 的方程0111=----x xx m 有增根，则m 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．－15．将公式21111R R R +=（12R R R ，，均不为零，且2R R ≠）变形成求1R 的式子，正确的是（ ） A ．212RR R R R=-B ．212RR R R R =+ C ．1212RR RR R R +=D ．212RR R R R =- 6．若关于x 的方程323-=--x mx x 有正数解，则( )． A.m ＞0且m ≠3 B.m ＜6且m ≠3 C.m ＜0D.m ＞6二.填空题7．当m ＝______时，方程213m x-=的解为1．8．已知分式方程424-+=-x ax x 有增根，则a 的值为______． 9．关于x 的方程324+=-b xa 的解为______．10．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为v 千米/时，则它以最大航速顺流航行s 千米所需的时间是______．11．某人上山，下山的路程都是s ，上山速度1v ，下山速度2v ，则这个人上山和下山的平均速度是______．12．若一个分数的分子、分母同时加1，得12；若分子、分母同时减2，则得13，这个分数是______．三.解答题13.已知关于x 的方程233x mx x -=--有一个正数解，求m 的取值范围．14. 甲工人工作效率是乙工人工作效率的212倍，他们同时加工1500个零件，甲比乙提前18个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件?15. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600千米的普通公路，另一条是全长480千米的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度每小时快45千米，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．求该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度．【高效巩固练习B 答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.2. 【答案】B ；【解析】原式化简为101088x a ax a +=-+，将15x =-代入解得5a =.3. 【答案】D ；【解析】11c b =-，11b a =-，11111a c a a-==--. 4. 【答案】B【解析】将1x =代入10m x --=，解得2m =.5. 【答案】A ；【解析】2122111R R R R R RR -=-=，所以212RR R R R =-. 6. 【答案】B【解析】原方程化简为()23x x m --=，6x m =-，03x x >≠且，解得m ＜6且m ≠3.二.填空题7. 【答案】12；【解析】将1x =代入213m x -=，解得12m =. 8. 【答案】4；【解析】原式化简得()24x x a =-+，将4x =代入，解得4a =.9. 【答案】264a b x --=； 【解析】原方程化简为264a b x --=，所以264a b x --=. 10.【答案】20s v +； 11.【答案】12122v v v v +； 【解析】由题意上山和下山的平均速度为：12121222v v ss s v v v v =++. 12.【答案】511； 【解析】设这个分数为ab ，1112a b +=+，2123a b -=-，解之得：511a b ==，，所以这个分数是511. 三.解答题13.【解析】解：方程两边同乘(3)x -约去分母，得2(3)x x m --=．整理，得6x m =-．∵ 0,30,m x >⎧⎨-≠⎩ ∴ 60,630.m m ->⎧⎨--≠⎩解得6m <且3m ≠，∴ 当6m <且3m ≠时，原方程有一个正数解．14.【解析】解：设乙工人每小时加工x 个零件，甲工人每小时加工52x 个零件，由题意，得：150015001852x x =+ 整理得，55150015001822x ⨯=+⨯，解得50x =. 经检验，是50x =原方程的根.51252x =. 答：甲工人每小时加工125个零件，乙工人每小时加工50个零件.15.【解析】解：设客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为x 千米/时， 列方程得：600480245x x =⨯+． 解得：75x =．经检验75x =是原方程的解且符合题意．答：客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为75千米/时．。

知识点1、分式概念重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件难点：分式有意义、分式值为0的条件 分式的概念：形如B A ，其中分母B 中含有字母，分数是整式而不是分式. (1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义.(2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可.(3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零.易错易混点(1) 对分式的定义理解不准确；(2)不注意分式的值为零的条件；知识点2、分式的基本性质重点：正确理解分式的基本性质.难点：运用分式的基本性质，将分式约分、通分分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB=MB M A ⨯⨯，AB=M B M A ÷÷.(其中M 是不等于零的整式)分式中的A ，B ，M 三个字母都表示整式，其中B 必须含有字母，除A 可等于零外，B ，M 都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．求几个分式的最简公分母的步骤：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。

这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。

易错易混点分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。

中考复习分式方程的解法总结与应用中考复习：分式方程的解法总结与应用分式方程是中学数学的重要内容之一，掌握分式方程的解法对于中考复习至关重要。

本文将总结分式方程的解法，并且探讨其在实际问题中的应用。

一、分式方程解法的基本步骤解决分式方程的关键是将分母中的未知数消去，使方程变成一般的代数方程。

下面是分式方程解法的基本步骤：1. 化简分式：将分式进行约分，化简为最简形式。

2. 消去分母：由于分母不能为零，将分母中的未知数消去，得到一般的代数方程。

3. 解一般方程：根据具体的方程类型，采用合适的代数解法，解得未知数的值。

4. 检验解的有效性：将求得的解代入原方程，验证其是否满足。

二、常见分式方程类型及解法1. 一次分式方程：形如 ax + b / c = d，其中 a、b、c、d 分别为已知数或未知数。

解法：先将方程中等式两边乘以 c，消去分母，得到一般方程 ax + b = dc。

然后根据方程类型，使用合适的代数解法，解得未知数的值。

2. 二次分式方程：形如 (ax + b) / c + dx = e，其中 a、b、c、d、e 分别为已知数或未知数。

解法：首先移项，将方程转化为 (ax + b) / c = e - dx。

然后将分式的分子项移项，得到一般方程 ax + b = c(e - dx)。

最后根据方程类型，采用合适的代数解法，解得未知数的值。

三、分式方程的应用举例分式方程在实际问题中的应用非常广泛，下面以两个例子进行说明：1. 水池的填充问题：假设一个水池有两个进水口，一个自来水管每小时向水池注入 2 升水，另一个污水管每小时向水池注入 1.5 升水。

现在需要计算水池在多长时间内能够被注满。

解法：设注满水池所需时间为 t（小时）。

根据每个进水口的注水速率，可以建立如下的分式方程：2t / 1 + 1.5t / 1 = 1通过解方程可以求得 t 的值，即为水池被注满的时间。

2. 分工问题：甲、乙两人共同完成一项工作，甲单独完成工作需要10 天，乙单独完成工作需要 15 天。

分式方程知识点复习总结大全 重点：1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。

2理解分式的基本性质.3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算.6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质.9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.10利用分式方程组解决实际问题.难点： 1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数.9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.10会列分式方程表示实际问题中的等量关系.16.1 分式及其基本性质1.分式的概念：形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式。

其中 A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。

分母0 B ，分式BA才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式.分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 例1： （ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( )A.2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x 【答案】B.注意：1π 不是分式例2：已知242x x -+ ，当x 为何值时，分式无意义? 当x 为何值时，分式有意义?例3：（2011四川南充市） 当分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0（B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B2.分式的基本性质(1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.MB M A M B M A B A ÷÷=••=，0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式。