平行线的判定(三线八角)

第2讲三线八角定平行——平行线及其判定学习目标1.理解三线八角的意义，掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法入门测单选题练习1.三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）.A．a⊥b B．a∥bC．a⊥b或a∥b D．无法确定【答案】B【解析】题干解析:解：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b．故选B．练习2.（2021春∙封开县期末）如图，已知∠2=110°，要使a∥b，则须具备另一个条件（）A．∠3=70°B．∠3=110°C．∠4=70°D．∠1=70°【解析】题干解析:当∠3=70°，∠2=110°时，∠2+∠3=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），填空题练习1.下列说法中：（1）在同一平面内，经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）两个相等的角是对顶角；（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°；（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（5）三条直线两两相交，一定有三个交点．正确的说法是．（填入你认为正确的说法的序号）【答案】（3）、（4）【解析】题干解析:解：（1）在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（1）错误；（2）对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故（2）错误；（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°，故（3）正确；（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确；（5）三条直线两两相交，有三个交点或一个交点，故（5）错误；故答案为：（3），（4）．练习2.如图，共有___组平行线段．【答案】9【解析】题干解析:图中的平行线段有AD∥EF；BD∥EF；DE∥FB；DE∥FC；DF∥AE；DF∥EC；DE∥BC；DF∥AC；EF∥AB．共有9对．解答题练习1.我们已经掌握“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”这一判定两直线平行的方法．如图，已知直线AB和直线外一点C，请按照上述方法利用三角尺过点C画AB的平行线．（保留作图痕迹，不用写作法）．【答案】解：如图所示：EF为所求作的图形．【解析】题干解析:利用直角三角板过点C作CD⊥AB，再利用直角三角板过点C作EF⊥CD．情景导入中国最早的风筝据说是有古代哲学家墨翟制作的，风筝的骨架构成了多种关系的角。

第七章 平面图形的认识（二）一、知识点：1、“三线八角”① 如何由线找角：一看线，二看型。

同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型。

② 如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。

2、平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

简述：平行于同一条直线的两条直线平行。

补充定理：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。

简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。

34、图形平移的性质：图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。

5、三角形三边之间的关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。

若三角形的三边分别为a 、b 、c ，则b a c b a +<<-6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。

注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。

②高、角平分线、中线的应用。

7、三角形的内角和：三角形的3个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

8、多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）•180°；任意多边形的外角和等于360°。

第八章幂的运算幂（power）指乘方运算的结果。

a n指将a自乘n次(n个a相乘）。

把a n看作乘方的结果，叫做a的n次幂。

对于任意底数a,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有:aｍ•a n=a m+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)aｍ÷a n=a m-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)(aｍ)n=a mn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)(ab)n=a n a n (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)a0=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)a-n=1/a n (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.复习知识点：1.乘方的概念:a中，a 叫做底数，求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

一、考点突破本讲内容在中考中非常重要，但是难度不大，多以填空题、选择题和计算题的形式出现，在解答题中经常用到本节内容。

主要考查对平行线的概念、平行公理、平行公理的推论和平行线的判定方法的应用。

二、重难点提示重点：掌握平行线的判断和性质定理。

难点：根据平行线的判断和性质解题。

一、知识脉络图二、知识点拨1. “三线八角”：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角。

2. 平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。

3. 平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4. 平行线的判定：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等。

那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

5. 熟悉常见的几种两条直线平行的结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行。

（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行。

6. 一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

能力提升类例1 已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥DG。

一点通：垂直于同一条直线的两条直线平行，根据平行线的性质定理和判定定理解题。

解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，∴∠1＝∠BAD，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BAD，∴AB∥DG。

点评：本题中出现了两个推理的理由“两直线平行同位角相等”和“内错角相等两直线平行”，前者是平行线的性质定理，后者是平行线的判定定理。

例2 已知DE∥BC，∠DEF＝∠B，猜想：∠A与∠AEF的数量关系，并说明理由。

一点通：已知平行线，根据平行线的性质，得到与已知角相互关联的角（同位角、内错角、同旁内角）。

初一数学寒假班（教师版）- 1 -- 2 -同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a ，b 被直线l 所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做 同位角．（如15∠∠和）（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如35∠∠和）（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为同旁内角．（如36∠∠和） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．知识结构三线八角及平行线的判定模块一：三线八角的意义知识精讲1 2 3 4 5 6 7 8- 3 -【例1】填空【例1】如图，∠2与∠3是_______角．∠2与∠4是_______角． ∠2与∠5是_______角． ∠1与∠5是_______角． ∠3与∠5是_______角． ∠3与∠7是_______角． ∠3与∠8是_______角．∠2与∠8是_______角．【难度】★【答案】邻补角、对顶角、同旁内角、同位角、内错角、同位角、同旁内角、内错角． 【解析】考查线八角的角的概念． 【总结】考查三线八角的本概念．【例2】填空(1)∠B 和∠1是两条直线________和_______被第三条直线_______所截构成的_______角． (2)∠ACB 与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (3)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (4)∠3与∠B 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (5)∠2与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． 【难度】★【答案】（1）BC 、DE 、AB 、同位角；（2）BC 、DE 、AC 、同位角；（3）BA 、CA 、DC 、内错角； （4）DC 、BC 、BA 、同旁内角； （5）DC 、AC 、DE 、内错角． 【解析】考查线八角的角的概念． 【总结】考查三线八角的本概念．【例3】如图，同旁内角有()对． A ．4对 B ．3对C ．2对D ．1对【难度】★ 【答案】B【解析】任意两个角都互为同旁内角，共3对．例题解析1234 8 765 7612354ABCDE- 4 - 【总结】考查同旁内角的概念．【例4】如图，同位角共有()对． A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【难度】★【答案】B【解析】同位角像F 形，由F 形找同位角． 【总结】考查同位角的概念．【例5】如图，是同位角关系的是()．A ．∠3和∠4B ．∠1和∠4C ．∠2和∠4D ．不存在【难度】★【答案】B【解析】A 是内错角；B 内错角；C 同旁内角． 【总结】考查同位角的概念．【例6】如图，内错角共有()对． A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【难度】★★【答案】D【解析】∠EDB 与∠DBC 、∠EDB 与∠DBA 、 ∠FDB 与∠DBC 、∠FDB 与∠DBA ，共4对 【总结】考查内错角的概念．【例7】如图，同旁内角共有()对． A ．10对B ．8对C ．6对D ．4对【难度】★★【答案】C【解析】四边形内有4组，四边形上方和右边各有一组， 共6组．【总结】考查同旁内角的判定．【例8】如图，∠1与∠2是两条直线____和____被第三条直线______所截构成的_____角．∠3与∠4是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．【难度】★★【答案】AD 、BC 、AC 、内错角；AB 、CD 、AC 、内错角． 【解析】内错角像字母Z ．【总结】考查内错角的特点及判定．2341 ABC EFD A BCEFD1432ABCD- 5 -【例9】 如图，∠C 的同位角有_____________________，同旁内角是____________________，∠1与∠2是___________角．直线AB 和CD 被AD 所截，∠A 的内错角是___________，∠A 与∠ADC 是_______角． 【难度】★★【答案】∠ADE 、∠BDE ；∠ABC 、∠DBC 、∠ADC 、∠BDC ； 内错角；∠ADE ；同旁内角．【解析】同位角像字母F ，内错角像字母Z ，同旁内角像字母U ． 【总结】考查基本角的特点．【例10】如图，∠1的同位角是∠______，∠1的内错角是∠______，∠1的同旁内角是∠_____， ∠1的对顶角是∠______，∠1的邻补角是∠______．【难度】★★★【答案】∠DEB 、∠EBH ；∠AEF 、∠IBF ；∠BEF 、∠EBF ； ∠CFG ；∠CFD 、∠GFH ．【解析】同位角像字母F ，内错角像字母Z ，同旁内角像字母U ， 找的时候要注意找全． 【总结】考查基本角的特点及概念．【例11】 如图，DC 垂直于AE ，已知∠DCE 的同位角是它的一半，∠B =2∠ACB ，试判断△ABC 的形状．【难度】★★★【答案】等腰直角三角形．【解析】∵DC ⊥AE ，∴∠DCE =90°∠DCE 的同位角是∠BAC ，由题已知∠BAC =45°， ∴∠B +∠ACB =180°-45°=135°又∵∠B =2∠ACB ∴∠B =90°，∠ACB =45° ∴△ABC 为等腰直角三角形 【总结】考查同位角的概念及三角形的类型判定．1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．知识精讲模块二：平行线的意义和性质ABCDE12AB DE FCG1H IABC DE2、平行线的基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）平行线之间的距离处处相等；（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．例题解析【例12】已知直线a//b，b//c，那么a________c．【难度】★【答案】平行【解析】平行于同一条直线的两直线平行．【总结】考查平行线的传递性．【例13】a、b、c是直线，且a//b，b⊥c，则a与c的位置关系是________．【难度】★【答案】垂直【解析】∵a∥b，b⊥c，∴a⊥c．【总结】考查直线的位置关系．【例14】下列说法中，正确的是（）．A．两直线不相交则平行B．两直线不平行则相交C．若两线段平行，那么它们不相交D．两条线段不相交，那么它们平行【难度】★【答案】C【解析】两条直线还可能重合，所以A、B错；D错误．【总结】考查同一平面内线段、直线的位置关系．【例15】在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★【答案】C【解析】第三条直线与这两条直线都相交，所以有两个交点．【总结】考查直线的位置关系及交点个数．- 6 -- 7 -【例16】下列说法中，错误的有（）．①若a 与c 相交，b 与c 相交，则a 与b 相交； ②若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【难度】★★【答案】A【解析】①a 与b 可能平行，错误；②平行线的传递性，正确；③这个点必须不在已知直线 上，错误；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，错误． 【总结】考查同一平面内两直线的位置关系．【例17】如图，按要求画平行线．（1）过P 点画AB 的平行线EF ； （2）过P 点画CD 的平行线MN ． 【难度】★★ 【答案】如右图． 【解析】如右图．【总结】考查基本的作图能力．【例18】如图，点A ，B 分别在直线1l ，2l 上， （1）过点A 画到2l 的垂线段； （2）过点B 画直线CD ∥1l ． 【难度】★★ 【答案】如右图． 【解析】如右图．【总结】考查基本的作图能力，此题中注意垂线段是一条线段，不要画成直线．平行线的三种判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．知识精讲模块三：平行线的判定CDEFMN- 8 - 简单地说，同位角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单地说，内错角相等，两直线平行．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单地说，同旁内角互补，两直线平行．【例19】如图，请写出能判定CE ∥AB 的一个条件______________． 【难度】★【答案】∠DC E=∠A 等．【解析】可以通过同位角相等两直线平行来判定．【总结】考查平行线的判定定理的运用，答案不唯一，只要成立即可．【例20】如图，AB ∥CD ， AC ⊥BC ，∠BAC =65°，则∠BCD =_______度． 【难度】★【答案】25°． 【解析】因为AB ∥CD （已知），所以ACE BAC ∠=∠（两直线平行，内错角相等），因为∠BAC =65°（已知）， 所以65ACE ∠=（等量代换）． 因为AC ⊥BC （已知）， 所以90ACB ∠=（垂直的意义） 因为180ACE ACB BCD ∠+∠+∠=（邻补角的意义）， 所以180659025BCD ∠=--=（等式性质）． 【总结】考查平行线的性质及邻补角性质的综合运用．【例21】如图，下列说法错误的是（ )．A ．∠1和∠3是同位角；B ．∠1和∠5是同位角；C ．∠1和∠2是同旁内角；D ．∠5和∠6是内错角．【难度】★【答案】B 【解析】同位角像字母Z ． 【总结】考查同位角的概念．【例22】已知，△ABC 中，DE 垂直于AC 于E ，△ACB=90°，试说明DE△BC 的理由． 【难度】★★【答案】略． 【解析】因为DE ⊥AC （已知），所以90AED ∠=（垂直的意义）．例题解析CA BD E ABCDE 12 34 5 6 ABC DE- 9 -因为∠ACB =90°（已知），所以∠ACB =∠AED （等量代换）， 所以DE ∥BC （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．【例23】如图，∠5=∠CDA =∠ABC ，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD +∠CDA =180°，填空：∵∠5=∠CDA （已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行） ∵∠5=∠ABC （已知）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行） ∵∠2=∠3（已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行） ∵∠BAD +∠CDA =180°（已知）∴_______//_______（同旁内角互补，两直线平行） ∵∠5=∠CDA （已知），又∵∠5与∠BCD 互补，∠CDA 与_______互补（邻补角定义） ∴∠BCD =∠6（等角的补角相等）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行） 【难度】★★【答案】AD 、BC ；AB 、CD ；AB 、CD ；AB 、CD ；∠6；AD 、BC ． 【解析】解题时要看清题目，根据条件判断出哪一组直线平行，不能混淆． 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【例24】如图，AB ⊥BC ，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，那么BE 与DF 平行吗?为什么? 【难度】★★ 【答案】平行【解析】因为AB ⊥BC （已知），所以∠ABC =90°（垂直的意义），即3490∠+∠=（角的和差） 因为∠2=∠3（已知）， 所以2490∠+∠=（等量代换）因为∠1+∠2=90°（已知）， 所以∠1=∠4（同角的余角相等）， 所以BE ∥DF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的综合运用，注意分析题目中条件．AB CDEF4321435261ABCD E【例25】如图，∠2=3∠1，且∠1+∠3=90°，试说明//AB CD．【难度】★★【答案】略【解析】因为∠2=3∠1（已知），∠2+∠1=180°（邻补角的意义），所以∠1=45°，∠2=135°（等式性质）．又因为∠1+∠3=90°（已知），所以∠3=45°（等式性质），所以∠2+∠3=180°（等式性质），所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理的运用．【例26】已知∠1=∠2，DE平分∠BDC，DE交AB于点E，试说明AB//CD．【难度】★★【答案】略．【解析】因为DE平分∠BDC（已知），所以∠2=∠EDC（角平分线的意义）因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠EDC（等量代换）所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线的意义的综合运用．【例27】已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，试说明PQ//MN．【难度】★★【答案】略【解析】因为AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN（已知）所以∠1=12∠QAB，∠2=12∠ABN（角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（互余的意义）所以∠QAB+∠ABN=180°（等式性质）所以PQ∥MN（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定及角平分线的意义的综合运用，注意分析条件，得出角度间的关系．【例28】如图，直线AB分别与直线CD、EF交于点O、点E，GO⊥OH，OH平分∠AOC，且∠EDO与∠GOB互余，试说明OH //EF．【难度】★★★【答案】略【解析】因为GO⊥OH（已知），所以90GOH∠=（垂直的意义），因为OH平分∠AOC（已知），A BCDEFGHOABCP Q M N21A BC DEF123ABCDEFG21- 10 -所以AOH COH ∠=∠（角平分线的意义）．因为180BOC COA ∠+∠=（邻补角的意义），所以∠GOB +∠HOC =90°（等式性质） 因为∠EDO +∠GOB =90°（已知）所以∠EDO =∠HOC （同角的余角相等）所以OH ∥EF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及同角的余角相等的综合运用，解题时认真分析，找出角度间的关系．【例29】如图，∠ABE =∠E +∠D ，试说明AB //CD 的理由． 【难度】★★★【答案】略【解析】因为180D E ECD ∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°） 又180ECD DCB ∠+∠=（邻补角的意义） 所以∠DCB =∠E +∠D （等式性质） 因为∠ABE =∠E +∠D （已知） 所以∠DCB =∠ABE （等量代换）， 所以AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及三角形内角和的综合运用，综合性较强，解题时要认真分析．【习题1】观察图，下列说法中，正确的是（ ）．A ．3∠和4∠是内错角B ．1∠和4∠是同位角C ．5∠和2∠是内错角D ．4∠和6∠是同旁内角 【难度】★【答案】D【解析】考查同位角、内错角和同旁内角的概念及判定．【习题2】如图，能使AB ∥CD 的条件是()．A. ∠1=∠BB ．∠3=∠AC ．∠1+∠2+∠B =180°D ．∠1=∠A【难度】★【答案】C【解析】同旁内角互补，两直线平行，C 选项满足条件． 【总结】考查平行线的判定定理的运用．随堂检测ABCDE1 7 3 56 24321ABCDE- 12 - 53486721【习题3】一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度是()A ．第一次向左拐，第二次向右拐B ．第一次向右拐，第二次向左拐C ．第一次向右拐，第二次向右拐D ．第一次向左拐，第二次向左拐【难度】★【答案】A【解析】B 向左拐了50°，C 、D 都朝相反方向开去． 【总结】考查平行线的判定定理在实际问题中的运用． 【习题4】如图，在下列条件中，能判定AB //CD 的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠1=∠4D ．∠3=∠4 【难度】★ 【答案】C【解析】A 错误；B 能推出AD ∥BD ；D 错误． 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题5】如图，图中所标号的8个角，是∠1的同位角的是_________；∠3的内错角是 _________；∠7的同旁内角是_________；∠4的同位角是_________；∠6的内错角是_________；∠2的同旁内角是_________．【难度】★【答案】∠2；∠5；∠6、∠8；∠3、∠7； ∠4；∠5．【解析】考查同位角、内错角、同旁内角的概念．【习题6】如图，已知直线b ⊥a ，c ⊥a ．那么直线b 与c 平行吗？如果平行，请给出证明；如果不平行，举出反例．【难度】★★ 【答案】平行．【解析】因为b ⊥a ，c ⊥a （已知）， ∴∠1=∠2=90°（垂直的意义）， ∴b ∥c （同位角相等，两直线平行）．【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．3030501305013050130abc123421ABCDF E21DCBA【习题7】如图，已知AC ⊥AE ，BD ⊥BF ，∠1=35°，∠2=35°，AC 与BD 平行吗?AE 与BF平行吗?为什么? 【难度】★★ 【答案】平行．【解析】因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），因为AC ⊥AE ，BD ⊥BF （已知）， 所以90DBF CAE ∠=∠=（垂直的意义） 所以∠NBF =∠BAE （等式性质） 所以AE ∥BF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．【习题8】如图，∠1+∠2=180°．AE 与FC 会平行吗? 说明理由． 【难度】★★【答案】平行．【解析】因为∠1+∠2=180°（已知），∠2+∠BDC =180°（邻补角的意义） 所以∠1=∠BDC （同角的补角相等） 所以CF ∥AE （同位角相等，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题9】根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理） （1）∵∠1=∠4（已知）∴_________∥_________（）（2）∵∠ABC +∠_________=180°（已知）∴AB ∥CD （）（3）∵∠_________=∠_________（已知）∴AD ∥BC （）（4）∵∠5=∠_________（已知）∴AB ∥CD （）【难度】★★【答案】（1）AB ∥CD 、内错角相等，两直线平行； （2）∠BCD 、同旁内角互补，两直线平行； （3）∠2=∠3、内错角相等，两直线平行； （4）∠ABC 、同位角相等，两直线平行． 【解析】考查平行线的判定定理的综合运用．ABC DEF 12NM54321ABCDE- 14 -【习题10】已知DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∠DEH =∠GFC ，试说明EH ∥FC 的理由．【难度】★★ 【答案】略．【解析】因为DE ⊥BC ，FG ⊥BC （已知） 所以∠DEC =∠FGC =90°（垂直的意义）所以∠GFC +∠FCG =90°（三角形内角和等于180°）因为∠DEH =∠GFC （已知）， 所以∠HEC =∠FCG （等角的余角相等） 所以EH ∥FC （内错角相等，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题11】 已知∠EDC +∠B =180°，∠EDC =∠A ，试说明AE //BC 的理由． 【难度】★★【答案】略【解析】因为∠EDC +∠B =180°，∠EDC =∠A （已知） 所以∠A +∠B =180°（等量代换）所以AE ∥BC （同旁内角互补，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题12】已知：∠ABC ＝∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，12∠=∠．试说明DE ∥BF 的理由． 【难度】★★ 【答案】略【解析】因为BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC （已知） 所以112ADC ∠=∠，12ABF ABC ∠=∠（角平分线的意义）因为∠ABC ＝∠ADC （已知），所以∠1=∠ABF （等式性质） 因为∠1=∠2（已知）， ∴∠2=∠FBA （等量代换） 所以DE ∥BF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线意义的综合运用．【习题13】已知直线a ，b ，c 被直线d 所截，01334180∠=∠∠+∠=，，试说明a ∥c ．【难度】★★【答案】略． 【解析】因为∠1=∠3（已知）ABCDE 82453671a bcd BCD EF GH 12ABCDEF2431EDCBA所以a ∥b （同位角相等，两直线平行）因为∠3+∠4=180°（已知），∠3+∠5=180°（邻补角的意义） 所以∠4=∠5（同角的补角相等） 所以b ∥c （同位角相等，两直线平行） 所以a ∥c （平行的传递性）【总结】考查平行线的判定定理及平行的传递性的综合运用．【作业1】下列说法中正确的是（ ）A ．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两条直线平行【难度】★【答案】D【解析】A 这个点必须是直线外的点，错误；B 同位角相等的前提是两直线平行，错误； C 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，错误；故选D 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业2】在同一平面内，若a ⊥b ，c ⊥b 则a 与c 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对【难度】★【答案】A【解析】垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业3】如图，∠ADE 和∠CED 是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．互为补角【难度】★【答案】B 【解析】内错角像字母Z ．【总结】考查内错角的特点及判定．【作业4】如图，属于内错角的是（）A ．∠1和∠2B ．∠2和∠3C ．∠1和∠4D ．∠3和∠4【难度】★课后作业- 16 - α【答案】D【解析】内错角像字母Z ． 【总结】考查基本角的特点．【作业5】下列有关垂直相交的说法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直； ③同一平面内， 一条直线不可能与两条相交直线都垂直； 其中说法正确个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【难度】★★【答案】B【解析】①、③正确，②要在同一平面内才成立，故选C ． 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业6】下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）A ．①、②是正确的命题B ．②、③是正确命题C ．①、③是正确命题D ．以上结论皆错【难度】★★【答案】A【解析】①正确；②两直线平行，同旁内角互补，此时又相等，所以两个角分别为90°， 即垂直，正确；③这个点必须是直线外的一点，错误，故选A ． 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业7】如图，能与α∠构成同旁内角的角有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【难度】★★【答案】A 【解析】同旁内角像字母U【总结】考查基本角的特点及判定．NMFEDCBAHGNMFE DCB A【作业8】如图，AB ⊥BD ，CD ⊥MN ，垂足分别是B 、D 点，∠FDC =∠EBA ．（1）判断CD 与AB 的位置关系； （2）BE 与DF 平行吗?为什么? 【难度】★★【答案】（1）平行 （2）平行【解析】（1）因为AB ⊥BD ，CD ⊥MN （已知），所以CD ∥AB （垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；（2）因为∠CDM =∠ABM 90 （垂直的意义），又∠FDC =∠EBA （已知）， 所以∠MDF =∠MBE （等式性质） 所以BE ∥DF （同位角相等，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理及垂直的综合运用．【作业9】 如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，试说明DG //BC 的理由． 【难度】★★ 【答案】略【解析】因为CD ⊥AB ，EF ⊥AB （已知），所以EF ∥CD （垂直于同一条直线的两条直线互相平行） 所以∠2=∠DCB （两直线平行，同位角相等）因为∠2=∠1（已知）， 所以∠1=∠DCB （等量代换） 所以DG ∥BC （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业10】如图，AB 、CD 被EF 所截，MG 平分∠BMN ，NH 平分∠DNM ，已知∠GMN +∠HNM =90°，试问：AB ∥CD 吗？请说明理由．【难度】★★★ 【答案】平行．【解析】因为MG 平分∠BMN ，NH 平分∠DNM （已知） 所以∠BMN =2∠GMN ，∠DNM =2∠HNM （角平分线的意义）因为∠FMG +∠HNM =90°（已知） 所以∠BMN +∠DNM =180°（等式性质） 所以AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理及角平分线的综合运用．12ABCDE FG- 18 -【作业11】 如图， ∠B =∠C ，∠A =∠D ，试说明AE //DF ． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】因为180A B AEB ∠+∠+∠=，180C D CFD ∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°） 又1180AEB ∠+∠=，2180CFD ∠+∠=（邻补角的意义） 所以1A B ∠=∠+∠，2C D ∠=∠+∠（等式性质）因为∠B =∠C ，∠A =∠D （已知）， 所以12∠=∠（等式性质）， 所以AE ∥DF （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及三角形内角和定理的综合运用，综合性较强，建议老师选择性讲解．【作业12】如图，已知：∠B +∠D ＝∠BED ．AB 与CD 平行吗，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】过点E 作EF ∥AB ，则∠B =∠BEF （两直线平行，内错角相等）因为∠BED =∠BEF +∠FED =∠B +∠D （已知）， 所以∠FED =∠D （等式性质）所以CD ∥EF （内错角相等，两直线平行） 所以AB ∥CD （平行的传递性）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，教师可选择性的讲解．21ABCDE FABCDEF。

翰林教育授课案卷学生姓名年级初一辅导科目数学辅导教师袁慧授课时间年月日时至时课题三线八角及平行的条件教学构想教学目标熟练识别三线八角，并会用同位角、内错角、同旁内角判定两直线平行教学重点熟练识别三线八角，并会用同位角、内错角、同旁内角判定两直线平行教学难点熟练识别三线八角，并会用同位角、内错角、同旁内角判定两直线平行教学环节(120分钟）一、认识同位角1、【画一画】两条直线AB、 CD与直线EF相交，交点分别为E F如图8.1-4则称直线AB 、CD 被直线EF所截，直线EF为截线。

图8.1-4【说一说】二条直线AB 、CD 被直线EF所截可得8个角，即所谓“三线八角”。

这八个角中对顶角、邻补角各有哪些？【分析】这八个角中有对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8。

邻补角有：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠5与∠6，∠6与∠7，∠7与∠8，∠8与∠5。

【总结】同位角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的同侧，且在第三条直线的同旁翰林教育授课案卷教学环节（12 0分钟）的二个角叫同位角。

如图中的∠1与∠5分别在直线AB、 CD的上侧，又在第三条直线EF的右侧，所以∠1与∠5是同位角，它们的位置相同，在图中还有∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7也是同位角。

【练习】如图8.1-5中，同位角各有多少对？2、认识同位角的注意点看两个角是不是同位角，（1）看它们是不是在一条直线的同侧，（2）看截它们的两条直线是什么，这两个角是不是在截它们的直线的同旁。

也就是说，是否满足“F”型。

二、探索“同位角相等，两直线平行”1、操作引入：（1）利用三角板和直尺画平行线：（2）观察：∠1与∠2相等时，所画的直线a、b是否平行？（3）探索：∠1与∠2不相等，所画的直线a、b平行吗？cba1a1b1a21211111211b1c图8.1—6c翰 林 教 育 授 课 案 卷N1PMQF ED CBA定义：两条直线a 、b 被第三条直线所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角。

平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北 南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。

三线八角、平行线的判定【知识点归纳】 一、三线八角：1、同位角：如果其中的两个角都在第三条直线l 的同旁，且又在直线a 、b 的同一侧，这两个角叫做同位角．．．. （类似字母“F ”） 如3∠与7∠等。

2、内错角：如果其中的两个角分别在第三条直线l 的两旁，且又在直线a 、b 之间，这两个角叫做内错角．．．. （类似字母“Z ”） 如2∠与8∠等。

3、同旁内角：如果其中的两个角都在第三条直线l 的同旁，且又在直线a 、b 之间，这两个角叫做同旁内．．．角．. （类似字母“C ”） 如3∠与8∠等。

（请找出其它的同位角、内错角、同旁内角）二、平行线的定义及判定方法1、平行线的定义：同一平面内．．．．．不相交的两条直线叫做平行线。

“平行”用符号“∥”表示.2、结论：（1）平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（2）平行线的基本性质： 经过直线．．外．的一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 3、平行线的判定方法：（1） 同位角相等，两直线平行. （2） 内错角相等，两直线平行.（3） 同旁内角互补，两直线平行.4、结论：同一平面内．．．．．，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. （为什么？）（同位角相等，两直线平行）例1. 如图，1∠和B ∠是直线________和_________被直线_________所截而成的____________；A ∠和1∠是直线________和________ 被直线_________所截而成的____________； 1∠和2∠是直线_________和_________被直线_________所截而成的____________.（第1题） （第2题）例2. 看图填空：（1）∵3∠=∠A （已知），∴ ___ ∥ ___ . （ ）； （2）∵2∠4∠=（已知），∴ ______∥ _______ . （ ）； （3）∵︒=∠+∠1806C (已知），∴ ___ ∥ ___ （ ）.例3. 如图，已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，︒=∠70A ，︒=∠40ABE ，BF 平分EBC ∠.试说明AD ∥BF 的理由.（第3题）BC1. 如图所示，同位角共有（ ）A .6对B .8对C .10对D .12对2. 如图所示，图中1∠与2∠是_________与_________被________所截得的_________角；3∠和4∠是_________与_________被__________所截得的_________角.3. 如图所示，下列条件中，能判断直线21//l l 的是（ ） A.32∠=∠B.31∠=∠C.18054=∠+∠ D.42∠=∠4. 如图，已知21∠=∠，43∠=∠，说明：EF AB //。

§2.2～§2.3平行线的判定和性质一. 知识回顾1．在同一平面内，两条直线的位置关系是2．在同一平面内， 两条直线的是平行线。

3．“三线八角”：图中的同位角有： 内错角有：同旁内角有：4．平行线的判定：同位角 ，两直线平行；内错角 ，两直线平行； 同旁内角 ，两直线平行。

5．平行的传递性：平行于同一直线的两直线 。

6．垂直于同一直线的两直线 。

7．平行线的性质：两直线 ，同位角相等； 两直线平行，内错角 ； 两直线平行，同旁内角 。

二．基础训练1．如图1所示，同位角共有（ ）A ．6对B ．8对C ．10对D ．12对图1 图2 图32．如图2所示，与∠C 互为同旁内角的角有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图所示，∠1与∠2是内错角的是（ ）4．如图3所示，∠DCB 和∠ABC 是直线____•和_____•被直线____•所截而成的_____角。

5．如图4所示，能与∠1构成同位角的角有_____个。

图4 图5 图66．如图5所示，∠A=105°，∠B=75°，则_____∥_____，理由是 。

7．如图6所示，∠1=∠2，则_____∥ ， 理由是___ 。

8．如图7所示，下列条件中不能判定DE ∥BC 的是（ ）A ．∠1=∠CB ．∠2=∠3C ．∠1=∠2D ．∠2+∠4=180°FE D C BA图7 图8 图99．如图8所示，已知∠A=∠1，∠D=∠2，则AB 与CD 的位置关系是___ ___。

10.如图9所示,如果∠D=∠EFC,那么( )A.AD ∥BCB.EF ∥BCC.AB ∥DCD.AD ∥EF11.如图10所示,下列条件中,能判断AB ∥CD 的是( )A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD12.如图11所示,能判断AB ∥CE 的条件是( ) A.∠A=∠ACE B.∠A=∠ECD C.∠B=∠BCA D.∠B=∠ACE34DC BA21EDCBA图10 图1113.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互( )A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交 14.在同一平面内,直线a,b 相交于P,若a ∥c,则b 与c的位置关系是______.15.在同一平面内,若直线a,b,c 满足a ⊥b,a ⊥c,则b 与c 的位置关系是______.16.如图12所示,BE 是AB 的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.(1)由∠CBE=∠A 可以判断______∥______,根据是。