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1．2．2组合第一课时组合与组合数公式预习课本P21～24，思考并完成以下问题1．组合的概念是什么？2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？3．组合数有怎样的性质？[新知初探]1．组合的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念、公式、性质[点睛]排列与组合的联系与区别联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23．()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．()(4)C35＝5×4×3＝60．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．C2n＝10，则n的值为()A．10B．5C．3D．4答案：B3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A．504种B．729种C．84种D．27种答案：C4．计算C28＋C38＋C29＝________．答案：120组合的概念[典例]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解](1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[活学活用]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；(3)10个人相互写一封信，共写了几封信； (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题． (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．有关组合数的计算与证明[典例] (1)计算C 410－C 37·A 33； (2)证明：m C m n ＝n C m －1n －1．[解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0．(2)证明：m C m n＝m ·n ！m ！(n －m )！ ＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1．关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －m C m n －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n 进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n ＝C n －mn简化运算．[活学活用]1．计算：C 38－n 3n ＋C 3n n ＋21的值．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9．5≤n ≤10．5．∵n ∈N *，∴n ＝10．∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466． 2．求使3C x －7x －3＝5A 2x －4成立的x 值．解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！，即3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40． ∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2． 经检验知x ＝11时原式成立． 3．证明下列各等式． (1)C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1； (2)C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ．解：(1)右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！[(n ＋1)－(m ＋1)]！＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ＝左边，∴原式成立．(2)左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C3n ＋4＋C 4n ＋4)＋…＋C m －1n ＋m －1＝…＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，∴原式成立．简单的组合问题[典例] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加． [解] (1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果． [活学活用]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56．(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21． (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35．层级一 学业水平达标1．C 58＋C 68的值为( )A ．36B ．84C ．88D ．504解析：选A C 58＋C 68＝C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84． 2．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C 选项A 是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C 是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D 是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C ．3．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．4B ．14C ．4或6D ．14或2解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( )A ．220个B ．210个C ．200个D ．1 320个解析：选A C 312＝220，故选A ．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C 25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C 23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C 25·C 23＝30种．故选C ．6．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________． 解析：原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821 ＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315．答案：7 3157．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________．解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．答案：208．不等式C 2n －n <5的解集为________．解析：由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，∴n 2－3n －10<0．解得－2<n <5．由题设条件知n ≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4．故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18>3C x 8．解：(1)原方程等价于m (m －1)(m －2)＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，∴4＝m －3，m ＝7．(2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x ≤8，∴x ≤8，且x ∈N *，∵C x －18>3C x8，∴8！(x －1)！(9－x )！>3×8！x ！(8－x )！．即19－x>3x ，∴x >3(9－x )，解得x >274，∴x ＝7,8．∴原不等式的解集为{7,8}．10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．层级二 应试能力达标1．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是( )A ．{6,7,8,9}B ．{0,1,2,3}C ．{n |n ≥6}D ．{7,8,9}解析：选A∵C 4n >C 6n，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9． ∴n 的集合为{6,7,8,9}．2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B 由题意，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18种． 3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C 24·C 25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C 45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( ) A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．5．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5．答案：{5}6．某书店有11种杂志，2元1本的有8种，1元1本的有3种．小张买杂志用去10元钱，则不同买法的种数为________(用数字作答)．解析：由已知分两类情况： (1)买5本2元的买法种数为C 58．(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C 48·C 23．故不同买法种数为C 58＋C 48·C 23＝266． 答案：2667．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91．8．已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{0,1,2,3}，f 是从A 到B 的映射． (1)若B 中每一元素都有原象，则不同的映射f 有多少个？ (2)若B 中的元素0无原象，则不同的映射f 有多少个？(3)若f 满足f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＝4，则不同的映射f 又有多少个？ 解：(1)显然映射f 是一一对应的，故不同的映射f 共有A 44＝24个．(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A 中每一个元素的象都有3种可能，只有把A 中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f 有34＝81个．(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，∴不同的映射有：1＋C 24A 22＋C 24A 22＋C 24＝31个．。
1.2.2 组合第1课时组合与组合数公式学习目标1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？[答案]①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.(×)2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．(√)3．C35＝5×4×3＝60.(×)4．C2016＝C12017＝2017.(√)2017类型一组合概念的理解例1给出下列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．反思与感悟 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C 35＝10. (2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A 29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C 29＝36(种)．类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明例2 (1)计算C 410－C 37·A 33； 考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算(1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0. (2)求证：C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1.考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用(2)证明 因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n ， 左边＝C m n ，所以左边＝右边，所以原式成立． 反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n ！m ！(n －m )！计算． (3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. 跟踪训练2 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32017的值为( )A ．C 42017B ．C 52017 C ．C 42018－1D ．C 52017－1(2)计算C 98100＋C 199200＝________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 [答案] (1)C (2)5150[解析] (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32017 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32017－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32017－1＝… ＝C 42017＋C 32017－1＝C 42018－1. (2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5150.命题角度2 含组合数的方程或不等式 例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8； (2)解不等式C 4n >C 6n .考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7， ∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2，∴C m 8＋C 5－m 8＝C 28＋C 38＝C 39＝84. (2)由C 4n >C 6n，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4.考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4，即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x －3)(x －6)＝5×4×2＝8×5. 所以x ＝11或x ＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x ＝11. 类型三 简单的组合问题例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法． 考点 组合的应用题点 无限制条件的组合问题 [答案] (1)45 (2)21 (3)90[解析] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45(种)． (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计算原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)． 反思与感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． (2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用． 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是()A．3B．2C．1D．0考点组合的概念题点组合的判断[答案] B[解析]①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是() A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算[答案] D[解析]由C n4知n＝0,1,2,3,4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×32＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．3．若C n12＝C2n－3，则n等于()12A．3B．5C．3或5D．15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题[答案] C[解析]由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有()A．15种B．30种C．45种D．90种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题[答案] C[解析]分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C13·C25＋C23·C15＝45(种)选法．5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条．考点组合的概念题点组合的判断[答案]1020[解析]从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C25＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A25＝20.所以有向线段共有20条．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)组合数的两个性质：性质1：C m n＝C n－mn；性质2：C m n＋1＝C m n＋C m－1n.。
1.2.2组合第1课时组合及组合数公式学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？梳理组合的概念一般地，从n个不同的元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成______，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式从3,5,7,11中任取两个数相除，思考1可以得到多少个不同的商？思考2如何用分步乘法计数原理求商的个数？思考3你能得出C24的计算公式吗？梳理(1)组合数的概念从n个不同元素中任意取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号________表示．(2)组合数公式及其性质组合数公式C m n＝__________________＝__________性质①C m n＝________；＝________；②C m n＋C m－1n③C0n＝____类型一组合的有关概念例1给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？反思与感悟区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题，要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．跟踪训练1判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？类型二组合数公式与性质的应用命题角度1有关组合数的计算与证明例2(1)计算：C410－C37·A33；＋C3n21＋n的值；(2)求C38－n3n(3)证明：m C m n＝n C m－1.n－1反思与感悟(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.跟踪训练2(1)计算C98100＋C199200＝________.(2)计算C34＋C35＋C36＋…＋C32 015的值为() A．C42 015B．C52 015C．C42 016－1 D．C52 015－1命题角度2含组合数的方程或不等式例3(1)已知1C m5－1C m6＝710C m7，求Cm8＋C5－m8；(2)解不等式：C4n>C6n.反思与感悟(1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n∈N＋.(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3(1)若1C3n－1C4n<2C5n，则n的集合为______．(2)解方程C x－2x＋2＋C x－3x＋2＝110A3x＋3.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是() A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}3．若C2n＝21，则n！3！(n－3)！的值为()A．6 B．7 C．35 D．704．不等式C2n－n<5的解集为________．5．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘．(1)列出所有的取法，并分别指出乘积为偶数与奇数的取法；(2)不同的乘积结果有多少个？1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．2．巧用组合数公式解题(1)涉及具体数字的可以直接用nn－mC m n－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n进行计算．(2)涉及字母的可以用C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n＝C n－mn简化运算．答案精析问题导学知识点一思考 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理 一组知识点二思考1 A 24＝4×3＝12.思考2 第1步，从这四个数中任取两个数，有C 24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A 22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C 24A 22＝12.思考3 因为A 24＝C 24A 22，所以C 24＝A 24A 22＝6. 梳理 (1)所有组合 C m n(2)n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！n ！m ！(n －m )！C n －m n C m n ＋1 1 题型探究例1 解 (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．跟踪训练1 解 (1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．例2 (1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ 38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5， ∵n ∈N ，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(3)证明 m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.跟踪训练2 (1)5 150 (2)C例3 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21.∵0≤m ≤5，∴m ＝2，∴C m 8＋C 5－m 8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎨⎧ n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6， 又n ∈N ＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．跟踪训练3 (1){5,6,7,8,9,10,11}(2)解 原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3， 即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3， ∴(x ＋3)！5！(x －2)！＝110·(x ＋3)！x ！， ∴1120(x －2)！＝110·1x (x －1)(x －2)！， ∴x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3.又∵0≤x －3≤x ＋2且x ＋3≥3，x ∈N ＋，∴x ≥3且x ∈N ＋，∴x ＝4.当堂训练1．C 2.D 3.C 4.{2,3,4}5．解 (1)由于乘法满足交换律，所以本题与次序无关，是组合问题，现规定用数对(a ，b )表示每一种取法，并且(a ，b )与(b ，a )是同一种取法．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(1,9)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(3,9)，(6,9)．其中乘积为偶数的取法有(1,2)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(6,9)，乘积为奇数的取法有(1,3)，(1,9)，(3,9)．(2)1×2＝2,1×3＝3,1×6＝2×3＝6,1×9＝9,2×6＝12,2×9＝3×6＝18,3×9＝27,6×9＝54，所以不同的乘积结果有8个．。
1．2.2组合第1课时组合与组合数公式[目标] 1.能分析组合的意义，并能正确区分排列、组合.2.能记住组合数的计算公式，组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题．[重点] 掌握组合数公式，能用组合数公式及其性质进行计算、化简．[难点] 组合与排列的区别与联系．知识点一组合的概念[填一填]一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．[答一答]1．组合与排列的概念有何异同点？提示：共同点：都是“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素”；不同点：组合“不管顺序并成一组”，而排列是要“按照一定顺序排成一列”．2．从a，b，c，d中选取2个，ab与ba是同一个组合吗？提示：是，组合与顺序无关．知识点二 组合数与组合数公式[填一填][答一答]3．在组合数公式C m n 中，m ，n 应满足什么条件？ 提示：m ，n ∈N *，且m ≤n . 4．一个组合与组合数有何区别？提示：一个组合与组合数是两个不同的概念，根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数．解题时应分清求组合还是组合数．5．组合数公式C m n ＝A m n A m m与C mn ＝n ！m ！(n －m )！在作用上有什么不同？ 提示：C m n ＝A m n A m m一般用于求值、计算，而C mn ＝n ！m ！(n －m )！一般用于化简、证明，但二者上述作用不是绝对的，有时要相结合使用．1．对组合的三点认识(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素自然也是不同的，即“从n个不同的元素中取出m个元素”．(2)组合的特性是：元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．(3)相同的组合：根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，也是相同的组合．2．组合数两个性质的应用要注意性质C m n＋1＝C m n＋C m－1n的顺用、逆用、变形用．顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式C m－1n＝C m n＋1－C m n的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用.类型一组合的概念【例1】判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1)某铁路上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个同学．【分析】判断一个问题是组合问题还是排列问题，关键看元素之间是否与顺序有关．【解】(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．(2)由于书不同，每人拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．,排列问题与组合问题的区别是元素之间是否有顺序问题，元素与顺序无关是组合问题，元素与顺序有关是排列问题.有甲、乙、丙、丁四人相见，他们相互握手1次，问他们握手共有多少种不同的组合？解：将甲、乙、丙、丁按照一定顺序排好，然后按顺序用如图所示的方法将各个组合逐个写出：由图可知他们握手的组合有：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁6种．类型二 组合数的计算与证明【例2】 (1)求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1(2)证明：C m n ＝nn －m C m n －1. 【分析】 (1)首先确定n 的值；(2)按组合数公式的阶乘形式展开． 【解】 (1)由组合数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，所以4≤n ≤5，又因为n ∈N *，所以n ＝4或5.当n ＝4时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 05＋C 46＝16.(2)证明：n n －m C m n －1＝n n －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n .(1)式子n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！可表示为( D )A ．A 100n ＋100B ．C 100n ＋100C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100解析：分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n .故n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！＝101·n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)101！＝101C 101n ＋100.(2)证明：m C mn ＝n C m －1n －1证明：m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.所以原式成立． 类型三 组合的简单应用【例3】 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？ (3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【分析】 首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45. (2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法，即C 26＋C 24＝21种．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数.在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏.某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？解：需分两步：第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C 812种选法；第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C 47种选法． 根据分步乘法计数原理，此人有C 812·C 47＝17 325种不同的投资方式．规范解答系列：组合数性质巧用【例4】 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 013的值为( ) A ．C 42 014B ．C 52 014C ．C 42 014－1D ．C 52 014－1(2)求证：C n m ＋2＝C n m ＋2C n －1m ＋C n －2m . 【解析】 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 013 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 32 013－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 013－1＝… ＝C 42 013＋C 32 013－1＝C 42 014－1.(2)证明：由组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n可知，右边＝(C n m ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C n m ＋1＋C n －1m ＋1＝C n m ＋2＝左边．所以原式成立．【★★答案★★】 (1)C (2)见解析【解后反思】 本题是组合数公式和组合数性质的应用，多个组合数的和化简为一个组合数的关键在于掌握性质2两边的上、下标的特征，并注意观察和分析待化简的组合式的特征．(1)计算C 98100＋C 199200； (2)已知C 3n ＋618＝C 4n －218，求n ； (3)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值． 解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150.(2)由题意得3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＝18－(4n －2)，解得n ＝2或n ＝8.而3n ＋6≤18且4n －2≤18，即n ≤4，且n ∈N *， ∴n ＝8不合题意，应舍去，∴n ＝2.(3)根据题意C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，变形可得，C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ，由组合数的性质，可得C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，即C 7n ＋1＝C 8n ＋1，故8＋7＝n＋1，解得n ＝14.1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有( C ) ①由1,2,3,4构成的2个元素集合； ②五个队进行单循环比赛的分组情况； ③由1,2,3组成两位数的不同方法数； ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④2．若C x 6＝C 26，则x 的值为( C )A ．2B ．4C ．4或2D ．3解析：由组合数性质知x ＝2或6－x ＝2，即x ＝2或4.3．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝165.解析：由组合数性质知C 22＋C 23＝C 34，C 34＋C 24＝C 35，…， ∴C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 311＝11×10×93×2×1＝165.4．若C 4n ＝C 6n ，则C 8n ＝45.解析：∵C 4n ＝C 6n ，∴n －4＝6，∴n ＝10， ∴C 8n ＝C 810＝C 210＝45. 5．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； 解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×(6＋5×42×1)＝32.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
1.2.2 组合(陈莉)一、教学目标【核心素养】通过学习组合与组合数公式，更进一步的提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力．【学习目标】（1）判断具体问题是组合还是排列（2）组合数公式的推导（3）组合数公式的应用【学习重点】1明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题.2理解组合的概念，组合数公式，组合数公式的简单应用.【学习难点】组合数公式的推导，组合数公式的简单应用.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1 阅读教材P21－P26，思考：组合的内容是什么？组合数有哪些应用？任务2 默写组合数公式的具体内容2．预习自测1.组合的概念①从全班40人中选出5人组成班委会．②从全班40人中选出5人分别担任班委中的5个不同职务．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？解：②是排列，①中选出的5人无需排列，②中选出的5人有顺序．2．组合数公式与性质①计算组合数=37C ；②计算=+3626C C .解：35 35（二）课堂设计1．知识回顾（1）分类加法计数原理；（2）分步乘法计数原理；（3）排列的概念；（4）排列数的定义.2．问题探究问题探究一 排列与组合的区别和联系引导学生通过实例，辨析“有序（排列）”与“无序（组合）”.引入：判断下列问题是组合还是排列①设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e}，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？③2017年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？ 答案：①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．②因为甲站到乙站与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同问题探究二 组合数公式的推导引例：从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acddba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =． （2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；。
1.2.2 组合（1）教学目的：1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别.3．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.举一反三、融会贯通.教学重点：组合的概念和组合数公式.教学难点：组合的概念和组合数公式.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪情境设置一、问题1（1）、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？二、问题2有6本不同的书：（1）取出3本分给三个同学每人1本，有几种不同的分法？（2）取出4本给甲，有几种不同的取法？三、温故而知新什么叫做排列？排列的特征是什么？一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.新知探究一、组合定义1、一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不论次序地构成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2、排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别．3、排列与组合，它们有什么共同点、不同点？共同点:都要“从n 个不同元素中任取m 个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．4、什么是两个相同的排列？ 什么是两个相同的组合？二、组合数1、从n 个不同元素中取出m （m ≤n ））个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记为即时体验例1.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A ={a ,b ,c ,d ,e }，则集合A 的含有3个元素的子集有多少个?（组合问题）（2)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?（组合问题）(3)从4个风景点中选出2个去游览,有多少种不同的方法?（组合问题）四、计算组合数1、引入：从4个不同元素a 、b 、c 、d 中取出3个元素的组合数是多少？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组合排列dcb cdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acddba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =． 2、求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,可看作以下2个步骤得到:第1步,从这n 个不同元素中取出m 个元素,共有种不同的取法; 第2步,将取出的m 个元素做全排列,共有种不同的排法. m nC mn C mm A根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅．3、组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 即时体验例2．计算：（1）47C ；（2）710C ； （1）解：4776544!C ⨯⨯⨯=＝35； （2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120． 解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 例3．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅， 所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C 巩固练习：1．（1）从9名同学中选两名同学担任正副班长，共有多少种不同的选法.（2）若选出两名代表参加一个会议，共有多少种不同的选法.（1）72种（2）36种2．(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?（1）45条（2）90条3．在10件产品中,有8件合格品,2件次品.从这10件产品中任意抽出3件(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?（1）310C(2)1228C C ( 3) 310C -38C课堂小结：①主要学习了组合、组合数的概念.②利用组合和排列的关系得到了组合数公式. 板书设计：（略）教学反思：。
1.2.2组合第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n个不同元素中任取m个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C m n 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( )(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( )(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( )(4)C 35＝5×4×3＝60.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________.(3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1组合的有关概念例1给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解](1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题．(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1]判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？(2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？(4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题．(4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题．探究2组合数及组合数性质的运用例2(1)计算：C410－C37·A33；(2)已知1C m5－1C m6＝710C m7，求Cm8；(3)求C38－n3n＋C3n21＋n的值；(4)证明：m C m n＝n C m－1n－1.[解](1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m！(5－m)！5！－m！(6－m)！6！＝7×(7－m)！m！10×7！，即m！(5－m)！5！－m！(6－m)(5－m)！6×5！＝7×m！(7－m)(6－m)(5－m)！10×7×6×5！，∴1－6－m6＝(7－m)(6－m)60，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m8＝C28＝28.(3)∵⎩⎨⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！ ＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1. 拓展提升(1)像排列数公式一样，公式 C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C mn ＝n ！m ！(n －m )！及C m n ＝A mnA m m一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式A m n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程．(4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1；②求证：C m n ＝m ＋1n －m C m ＋1n. (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎨⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5.当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5，当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C m n ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！， 所以C m n ＝m ＋1n －m C m ＋1n. (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ [解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解(1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是()A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C.3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( )A ．A 310种B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B.4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________．答案 {6,7,8,9}解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎨⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C510－C56＝246种选派方法．。
1.2.2 组合（第1课时）组合及组合数公式学案（人教B版高中数学选修2-3）1.2.2组合第1课时组合及组合数公式学习目标1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题知识点一组合的定义思考从3,5,7,11中任取两个数相除；从3,5,7,11中任取两个数相乘以上两个问题中哪个是排列与有何不同特点答案是排列，中选取的两个数是有顺序的，中选取的两个数无需排列梳理组合的概念一般地，从n个不同的元素中，任意取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合知识点二组合数与组合数公式从3,5,7,11中任取两个数相除，思考1可以得到多少个不同的商答案A4312.思考2如何用分步乘法计数原理求商的个数答案第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA12.思考3你能得出C的计算公式吗答案因为ACA，所以C6.梳理1组合数的概念从n个不同元素中任意取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号C表示2组合数公式及其性质组合数公式C 性质CC；CCC；C11从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C.2从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积3C54360.4CC2017.类型一组合的有关概念例1给出下列问题1从a，b，c，d 四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法2从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法3a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场4a，b，c，d四支足球队争夺冠.亚军，有多少种不同的结果在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题考点组合的概念题点组合的判断解1两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题2两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题3单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题4冠亚军是有顺序的，是排列问题反思与感悟区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题，要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题跟踪训练1判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果1集合0,1,2,3,4的含三个元素的子集的个数是多少2某小组有9位同学，从中选出正.副班长各一个，有多少种不同的选法若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法考点组合的概念题点组合的判断解1由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合这是一个组合问题，组合的个数是C10.2选正.副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A9872，所以选正.副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C36种类型二组合数公式与性质的应用命题角度1有关组合数的计算与证明例21计算CCA；2求CC的值；3证明mCnC.考点组合数性质题点用组合数的性质计算与证明1解原式CA7652102100.2解9.5n10.5，nN，n10，CCCC466.3证明mCmnnC.反思与感悟1涉及具体数字的可以直接用公式C计算2涉及字母的可以用阶乘式C计算3计算时应注意利用组合数的两个性质CC；CCC.跟踪训练21计算CC________.2计算CCCC的值为ACBCCC1DC1考点组合数性质题点用组合数的性质计算与证明答案151502C解析1CCCCxx150.2CCCCCCCCCCCCC1CC1C1.命题角度2含组合数的方程或不等式例31已知，求CC；2解不等式CC.考点组合数性质题点含组合数的方程或不等式问题解1，，即.1，即m223m420，解得m2或21.0m5，m2，CCCCC84.2由CC，得又nN，该不等式的解集为6,7,8,9反思与感悟1解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略nN.2与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数.组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的mN，nN，且nm确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意跟踪训练3解方程3C5A.考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题解原式可变形为3C5A，即5x4x5，所以x3x654285.所以x11或x2舍去经检验符合题意，所以方程的解为x11.1给出下列问题从甲.乙.丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种其中组合问题的个数是A0B1C2D3考点组合的概念题点组合的判断答案C解析与顺序有关，是排列问题，均与顺序无关，是组合问题，故选C.2集合Mx|xC，n0且nN，集合Q1,2,3,4，则下列结论正确的是AMQ0,1,2,3,4BQMCMQDMQ1,4考点组合数公式题点组合数公式的应用答案D解析由C知，n0,1,2,3,4，因为C1，C4，C6，CC4，C1，所以M1,4,6故MQ1,43若C21，则的值为A6B7C35D70考点组合数公式题点组合数公式的应用答案C解析C21，21，解得n7或n6舍去，35，故选C.4不等式Cn5的解集为________考点组合数性质题点含组合数的方程或不等式问题答案2,3,4解析由Cn5，得n5，即n23n100，解得2n5，由题设条件知n2，且nN，则n2,3,4，故原不等式的解集为2,3,45从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘1列出所有的取法，并分别指出乘积为偶数与奇数的取法；2不同的乘积结果有多少个考点组合数公式题点组合数公式的应用解1由于乘法满足交换律，所以本题与次序无关，是组合问题，现规定用数对a，b表示每一种取法，并且a，b与b，a是同一种取法从1,2,3,6,9中任取两个不同的数，不同的取法有1,2，1,3，1,6，1,9，2,3，2,6，2,9，3,6，3,9，6,9其中乘积为偶数的取法有1,2，1,6，2,3，2,6，2,9，3,6，6,9，乘积为奇数的取法有1,3，1,9，3,92122,133,16236,199,2612,293618,3927,6954，所以不同的乘积结果有8个1排列与组合的联系与区别1联系二者都是从n个不同的元素中取mmn个元素2区别排列问题中元素有序，组合问题中元素无序2巧用组合数公式解题1涉及具体数字的可以直接用CC进行计算2涉及字母的可以用C计算3计算时应注意利用组合数的性质CC简化运算.。
组合第课时组合与组合数公式．理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点)[基础·初探]教材整理组合与组合数的概念阅读教材～上面倒数第一行，完成下列问题．．组合的概念≤)个元素合成一般地，从个不同元素中取出(，叫做从个不同元素中一组取出个元素的一个组合．．组合数的概念从个不同元素中取出(≤的个数，叫做从个不同元所有不同组合)个元素的素中取出个元素的组合数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) ()从，，三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为.() ()从甲、乙、丙名同学中选出名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．( ) ()从甲、乙、丙名同学中选出名，有种不同的选法．( ) ()现有枚年抗战胜利周年纪念币送给人中的人留念，有多少种送法是排列问题．( )【解析】()√因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．()√由组合数的定义可知正确．()×因为选出名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．()√因为从甲、乙、丙人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共个组合，即有种不同选法．()×因为将枚纪念币送与人并无顺序，故该问题是组合问题．【答案】()√()√()×()√()×教材整理组合数公式及性质阅读教材探究～探究与发现，完成下列问题．组合数公式及其性质()公式：＝＝.()性质：＝，＋＝.()规定：＝.．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是．【解析】甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为＝＝.【答案】．＝，＝.【解析】＝＝，＝＝.【答案】．方程＝的解为．【解析】由题意知(\\(＝－，－≤，≤))或(\\(＝－(－(，－≤，≤，))解得＝或.【答案】或．从这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为. 【导学。
1．2．2组合第一课时组合与组合数公式预习课本P21～24，思考并完成以下问题1．组合的概念是什么？2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？3．组合数有怎样的性质？[新知初探]1．组合的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念、公式、性质[点睛]排列与组合的联系与区别联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23．()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．()(4)C35＝5×4×3＝60．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．C2n＝10，则n的值为()A．10B．5C．3D．4答案：B3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A．504种B．729种C．84种D．27种答案：C4．计算C28＋C38＋C29＝________．答案：120[典例]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解](1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[活学活用]判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (2)从7本不同的书中取出5本给某个同学； (3)10个人相互写一封信，共写了几封信； (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题． (2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题． (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．有关组合数的计算与证明[典例] (1)计算C 410－C 37·A 33； (2)证明：m C m n ＝n C m －1n －1．[解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5 ＝210－210＝0． (2)证明：m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1．关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －m C m n －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n ＝C n－mn简化运算．[活学活用]1．计算：C 38－n 3n ＋C 3n n ＋21的值．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9．5≤n ≤10．5．∵n ∈N *，∴n ＝10．∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466． 2．求使3C x －7x －3＝5A 2x －4成立的x 值．解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！， 即3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40．∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2． 经检验知x ＝11时原式成立． 3．证明下列各等式． (1)C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1； (2)C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ．解：(1)右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！[(n ＋1)－(m ＋1)]！＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n！m！(n－m)！＝C m n＝左边，∴原式成立．(2)左边＝(C0n＋1＋C1n＋1)＋C2n＋2＋C3n＋3＋…＋C m－1n＋m－1＝(C1n＋2＋C2n＋2)＋C3n＋3＋…＋C m－1n＋m－1＝(C2n＋3＋C3n＋3)＋…＋C m－1n＋m－1＝(C3n＋4＋C4n＋4)＋…＋C m－1n＋m－1＝…＝C m－2n＋m－1＋C m－1n＋m－1＝C m－1n＋m＝右边，∴原式成立．简单的组合问题[典例]在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．[解](1)C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．[活学活用]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56．(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21． (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35．层级一 学业水平达标1．C 58＋C 68的值为( )A ．36B ．84C ．88D ．504 解析：选A C 58＋C 68＝C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84．2．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C 选项A 是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C 是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D 是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C ．3．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．4B ．14C ．4或6D ．14或2解析：选C由题意知⎩⎨⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( )A ．220个B ．210个C ．200个D ．1 320个解析：选A C 312＝220，故选A ．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C 25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C 23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C 25·C 23＝30种．故选C ．6．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________． 解析：原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821 ＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315．答案：7 3157．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________． 解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．答案：208．不等式C 2n －n <5的解集为________． 解析：由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，∴n 2－3n －10<0． 解得－2<n <5．由题设条件知n ≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4．故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18>3C x 8．解：(1)原方程等价于m (m －1)(m －2)＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，∴4＝m －3，m ＝7．(2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x ≤8，∴x ≤8，且x ∈N *，∵C x －18>3C x 8，∴8！(x －1)！(9－x )！>3×8！x ！(8－x )！． 即19－x>3x ，∴x >3(9－x )，解得x >274，∴x ＝7,8．∴原不等式的解集为{7,8}．10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．层级二 应试能力达标1．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是( )A ．{6,7,8,9}B ．{0,1,2,3}C ．{n |n ≥6}D ．{7,8,9}解析：选A ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6， ⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6.⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6，⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9． ∴n 的集合为{6,7,8,9}．2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B 由题意，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18种． 3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C 24·C 25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C 45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( ) A ．18对 B ．24对 C ．30对D ．36对解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．5．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5．答案：{5}6．某书店有11种杂志，2元1本的有8种，1元1本的有3种．小张买杂志用去10元钱，则不同买法的种数为________(用数字作答)．解析：由已知分两类情况： (1)买5本2元的买法种数为C 58．(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C 48·C 23．故不同买法种数为C 58＋C 48·C 23＝266． 答案：2667．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91．8．已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{0,1,2,3}，f 是从A 到B 的映射． (1)若B 中每一元素都有原象，则不同的映射f 有多少个？ (2)若B 中的元素0无原象，则不同的映射f 有多少个？(3)若f 满足f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＝4，则不同的映射f 又有多少个？ 解：(1)显然映射f 是一一对应的，故不同的映射f 共有A 44＝24个．(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A 中每一个元素的象都有3种可能，只有把A 中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f 有34＝81个．(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，∴不同的映射有：1＋C 24A 22＋C 24A 22＋C 24＝31个．。
1．2.2组合整体设计教材分析排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序．教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通．学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列．在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题．排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述．也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程．据笔者观察，有些同学之所以在学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法)．要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题．久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．过程与方法通过具体实例，体会组合数的意义，总结排列数A m n与组合数C m n之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合的概念和组合数公式．教学难点：组合的概念和组合数公式．教学过程引入新课提出问题1：回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列的概念和排列数公式．活动设计：教师提问．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．5．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N ，m≤n)．6．阶乘：n！表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘．规定0！＝1.7．排列数的另一个计算公式：A m n＝n！(n－m)！.设计意图：检查学生的掌握情况，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：分析下列两个问题是不是排列问题，为什么？问题(1)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题(2)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？活动设计：学生自己分析，教师提问．活动成果：问题(1)中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题(2)只要求选出2名同学，是与顺序无关的，不是排列．我们把这样的问题称为组合问题．设计意图：引导学生通过具体实例找出排列与组合问题的不同，引出组合的概念．探索新知提出问题1：结合上述问题(2)，试总结组合和组合数的概念．活动设计：学生小组讨论，总结概念．活动成果：1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C m n表示．设计意图：培养学生的类比和概括能力．理解新知提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？(5)10个人互通电话一次，共打了多少个电话？活动设计：小组交流，共同分析．活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．设计意图：通过具体实例比较排列和组合，加深对组合的理解．提出问题2：试找出排列和组合的区别和联系．活动设计：小组交流，教师提问，学生补充．活动成果：1．区别：(1)排列有顺序，组合无顺序．(2)相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．2．联系：(1)都是从n 个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；(2)排列可以看成先组合再全排列．设计意图：加深对排列组合的理解，为推导组合数公式奠定基础．提出问题2：你能类比排列数的推导过程和排列与组合的联系推导出从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数C 34是多少吗？活动设计：小组交流，共同推导．活动成果：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34可以求得，故我们可以考察一下C 34和A 34的关系，如下：组合 排列abc→abc ，bac ，cab ，acb ，bca ，cbaabd→abd ，bad ，dab ，adb ，bda ，dbaacd→acd ，cad ，dac ，adc ，cda ，dcabcd→bcd ，cbd ，dbc ，bdc ，cdb ，dcb由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C 34个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A 33种方法．由分步乘法计数原理得：A 34＝C 34·A 33，所以，C 34＝A 34A 33. 设计意图：从具体实例出发，探索组合数的求法．提出问题3：你能想出求C m n 的方法吗？活动设计：小组交流，共同推导．活动成果：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C m n ，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数A m n ；②求每一个组合中m 个元素的全排列数A m m ，根据分步乘法计数原理得：A m n ＝C m n ·A m m .得到组合数的公式：C m n ＝A m n A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C m n ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m ∈N ，且m≤n)． 规定：C 0n ＝1.设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出组合数公式．运用新知类型一：组合数公式的应用1计算：(1)C 47； (2)C 710.解：(1)C 47＝7×6×5×44！＝35； (2)解法1：C 710＝10×9×8×7×6×5×47！＝120.解法2：C 710＝10！7！3！＝10×9×83！＝120. 【巩固练习】求证：C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n. 证明：∵C m n ＝n ！m ！(n －m)！， m ＋1n －m ·C m ＋1n ＝m ＋1n －m ·n ！(m ＋1)！(n －m －1)！＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m)(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m)！， ∴C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n. 【变练演编】设x ∈N *，求C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值．解：由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x≤4， ∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4.当x ＝2时原式的值为4；当x ＝3时原式的值为7；当x ＝4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11.类型二：简单的组合问题例2一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？思路分析：对于(1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于(2)，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C 1117＝12 376.(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1117种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C 111种选法．所以教练员做这件事情的方式种数为C 1117×C 111＝136 136.【巩固练习】(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段条数为C 210＝10×91×2＝45.(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A 210＝10×9＝90. 【变练演编】(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n(n>3)边形有多少条对角线？解答：(1)凸五边形的五个顶点中，任意两个顶点的连线是凸五边形的一条对角线或是一条边，所以，凸五边形的对角线条数为C 25－5＝5.(2)凸n 边形的n 个顶点中，任意两个顶点的连线是凸n 边形的一条对角线或是一条边，所以，凸n 边形的对角线条数为C 2n －n ＝n(n －3)2. 【达标检测】1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：(1)从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？(2)从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为( )A ．42B ．21C ．7D ．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有( )A ．15对B ．25对C ．30对D ．20对 答案：1.(1)是组合问题 (2)是排列问题 2.B 3.A课堂小结1．知识收获：组合概念、组合数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．A ，B ，C ，D ，E 5个足球队进行单循环比赛，(1)共需比赛多少场？(2)若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？2．空间有10个点，其中任何4点不共面，(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？3．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？4．写出从a ，b ，c ，d ，e 这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合．答案：1.(1)10 (2)20 2.(1)C 310＝120 (2)C 410＝210 3.C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝24－1＝15.4．a ，b ，c ，d a ，b ，c ，e a ，b ，d ，e a ，c ，d ，e b ，c ，d ，e.【拓展练习】5．第19届世界杯足球赛于2010年夏季在南非举办，共32支球队有幸参加，他们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，共有8C24＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．设计说明本节课是组合的第一课时，主要目标是学习组合的概念，探究组合数公式，并利用组合数公式解决简单的计数问题．主要特点是：类比排列数公式的推导方法，抓住排列和组合的区别和联系，利用排列数公式推导出组合数公式．本节课的设计充分体现教师所提问题的主导作用和学生根据问题自主探究的主体地位，学生在与教师和与同学的思维碰撞中自主学习、自主探究．备课资料在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合．有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有A88种方法．错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法．正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有：C38＝56种排法．(设计者：殷贺)。
1.2.2组合（1）教学目标：1. 理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2. 能正确认识组合与排列的联系与区别.教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式.教学过程：一、复习与引入：1．复习排列的有关内容：排列的概念、排列数公式.（以上由学生口答）．2．提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的.引出课题：组合．．． 二、新课讲解：1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.说明：1．不同元素；2．“只取不排”——无序性；3．相同组合：元素相同.练习：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（组合问题）（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？（排列问题）2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从4个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C ，那么又如何计算m n C 呢？ 3．组合数公式的推导：（1）提问：从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组合排列dcb cdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acddba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =． （2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；②求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅．（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且．三、例题例1．计算：（1）47C ；（2）710C ； （1）解：4776544!C ⨯⨯⨯=＝35； （2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120． 解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 例2．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值.解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈，∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．例3．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？解：90222426=⋅⋅C C C ．引申：从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成2类：第一类 2名男生和2名女生参加，有225460C C =中选法；第二类 3名男生和1名女生参加，有315440C C =中选法.依据分类计数原理，共有100种选法.错解：211546240C C C =种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多.例4．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C四、课堂练习1．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（）A ．42B ．21C ．7D ．62．如果把两条异面直线看作“一对”，则在六棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（） A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对3．设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素，且{}A B a =，求集合A 、B ，则本题的解的个数为（）A ．42B ．21C ．7D ．34.已知C 2x ＝28，则x 的值为( )A.9B.8C.7D.6 5.以下四个式子中正确的个数是( )(1)C m n ＝!m A m n ；（2）A m n ＝ｎ11--m n A ；（3）C m n ÷C 1+m n ＝mn m -+1；(4)C 11++m n =11++m n C m n A.1个B.2个C.3个D.4个 6.方程组272136y x y x A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩的解是（） A.x =17,y =2 B.x =-16,y =2 C.x =16,y =2 D.x =17,y =167．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有种不同的选法.8．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有种不同的选法.答案：1、B 2、B 3、D 4、B 5、C 6、A 7、30 8、15五、课堂小结：六、板书设计：七、教后记：。
1.2.2 组合一、教学目标 【核心素养】通过学习组合与组合数公式，更进一步的提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力． 【学习目标】（1）判断具体问题是组合还是排列 （2）组合数公式的推导 （3）组合数公式的应用 【学习重点】1明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题. 2理解组合的概念，组合数公式，组合数公式的简单应用. 【学习难点】组合数公式的推导，组合数公式的简单应用.二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1 阅读教材P21－P26，思考：组合的内容是什么？组合数有哪些应用？ 任务2 默写组合数公式的具体内容 2．预习自测 1.组合的概念①从全班40人中选出5人组成班委会．②从全班40人中选出5人分别担任班委中的5个不同职务． 以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？解：②是排列，①中选出的5人无需排列，②中选出的5人有顺序． 2．组合数公式与性质①计算组合数=37C ；②计算=+3626C C .解：35 35 （二）课堂设计1．知识回顾（1）分类加法计数原理；（2）分步乘法计数原理； （3）排列的概念； （4）排列数的定义. 2．问题探究问题探究一 排列与组合的区别和联系引导学生通过实例，辨析“有序（排列）”与“无序（组合）”. 引入：判断下列问题是组合还是排列①设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e}，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？ ②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？③2017年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？ 答案：①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．②因为甲站到乙站与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题． 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 问题探究二 组合数公式的推导引例：从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列．．是先组合再排列．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且规定: 01n C =.例1．计算：（1）47C ；（2）710C ；【知识点：组合数公式】 详解：（1） 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35； （2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120． 解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 点拨：正确运用组合数公式.例2．求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C ． 【知识点：组合数公式】证明：∵)!(!!m n m n C m n -=111!(1)!(1)!m nm m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+--＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m nm n C m n m C点拨：做组合类证明题一定要准确使用组合数公式.例3．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x CC的值【知识点：组合数公式】解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．点拨：含参数的组合题，明确参数范围.问题探究三 组合数公式的应用 例4 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 【知识点：排列组合，分步计数原理；数学思想：分类讨论】解：(1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有1117C ＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法； 第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）. 点拨：对于（1），根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（2），守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．例5．（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？ 【知识点：排列组合；数学思想：分类讨论】解：(1）以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有2101094512C⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）点拨：与其他数学问题结合的组合问题，需要对空间点线和面的准确认识 3．课堂总结 【知识梳理】1. 区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．2.写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，如本题的作图法，这样做直观、明了、清楚，可防重复和遗漏． 【重难点突破】1.组合数公式的推导过程体现了众多数学思想方法的应用，教学的关键是引导学生研究组合与排列的关系，发现排列可以分为“先取元素，再作全排列”两个步骤，即A C A =m m m n n m，从而化解难点．2.通过对具体实例的对比分析，亲身经历组合概念的形成过程，明确排列与组合的关系；在用列举法列出组合、排列的过程中体会组合数与排列数、计数原理的关系，并参与体验组合数的应用，体会将实际问题化归为组合问题的方法． 4．随堂检测1．判断下列问题是排列问题还是组合问题：①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？ 【知识点：排列组合】解：(1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的． ③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．2．若266x C C =，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．4或2D ．3 【知识点：组合数公式】解：由组合数性质知x ＝2或x ＝6－2＝4，故选C.3．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种 【知识点：排列组合，分步计数原理】解：甲选修2门有24C ＝6种选法，乙、丙各有34C ＝4种选法．由分步乘法原理可知，共有6×4×4＝96种选法4．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．222583C C C ++B ．222323C C C C ．222583A A A ++D ．216C 【知识点：排列组合】 解：A (三)课后作业 基础型 自主突破1．①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中确定4个去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中组合问题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【知识点：排列组合】解：选C.①与顺序有关，是排列问题；②③均与顺序无关，是组合问题．故选C.2．若266x C C =，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．4或2D ．3 【知识点：组合数公式】解：由组合数性质知x ＝2或x ＝6－2＝4，故选C.3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条 【知识点：排列组合】 解：D4．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A 、B 、O 、AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有______种． 【知识点：排列组合】 解：9能力型 师生共研5．集合M ＝{x |4n x C =，n ≥0且n ∈N }，集合Q ＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是( )A ．M ∪Q ＝{0，1，2，3，4}B ．Q ⊆MC ．M ⊆QD ．M ∩Q ＝{1，4} 【知识点：排列组合】解：D 由4n x C =知，n ＝0，1，2，3，4，又041C =，144C =，2443621C ⨯==⨯，31444C C ==，441C =.∴M ＝{1，4，6}．故M ∩Q ＝{1，4}．6．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有( ) A ．36种 B ．30种 C ．42种 D ．60种 【知识点：排列组合，分步计数原理】解：A 法1(直接法)：选出的3名志愿者中含1名女生有1226C C 种选法，含2名女生有2226C C 种选法，∴共有12222626C C C C +＝36种选法． 法2(间接法)：若选出的3名全是男生，则有36C 种选法，∴至少有一名女生的选法数为38C －36C ＝36种．7．方程22171616x x x C C C +-=的解集是________． 【知识点：组合数公式】解：{5} 因为1171616x x x C C C -=+，所以1221616x x C C -+=，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A ，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B ，若213B A =，则这组学生共有________人． 【知识点：排列组合】解：15 设有学生n 人，则24213n n A C =，解之得n ＝15.9．解不等式211123x x x x C C --++＜【知识点：组合数公式】解：因为211123x x x x C C --++＜，所以321123x x C C ++＜，所以2(1)(1)3(1)32121x x x x x⨯+-⨯+⨯⨯⨯＜，所以1332x -＜，所以112x ＜，因为1312x x +⎧⎨+⎩≥，≥,所以x ≥2，所以2≤x <112，又x ∈N *，所以x ＝2，3，4，5. 所以不等式的解集为{2，3，4，5}．探究型 多维突破10．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？ （2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：（1）解：90222426=⋅⋅C C C ． （2）解：问题可以分成2类：第一类 2名男生和2名女生参加，有225460C C =中选法； 第二类 3名男生和1名女生参加，有315440C C =中选法依据分类计数原理，共有100种选法11．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法． 解法二：（间接法）10036310=-C C 自助餐1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有( )A ．27种B ．24种C ．21种D ．18种 【知识点：排列组合，数学思想：分类讨论】解：C 分两类：一类是2个白球有26C ＝15种取法，另一类是2个黑球有24C ＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．故选C.2．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A ．12种B ．24种C ．30种D ．36种【知识点：排列组合，分步计数原理】解：B 依题意，满足题意的选法共有24C ×2×2＝24(种)． 3．计算：34567789C C C C +++＝( ) A ．120 B ．150 C ．180D ．210 【知识点：组合数公式】解：D 根据公式111n n n m m m C C C ++++=知，原式＝456889C C C ++＝5699C C +＝610C ＝410C ＝210.4．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法． 【知识点：排列组合，分步计数原理】解：10 每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有25C ＝10种5．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：A 根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有24C 种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有34C 种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法2344C C +＝10种． 6．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：A 分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有12213434C C C C +＝30 种选法．7．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有_______个． 【知识点：排列组合，分步计数原理】 解：328．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有__________种(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：50 把6名同学分成两组，一组最多4人，有分法223362631252C C C C += (种)，每一种分法对应着两种安排方案，因此共有不同的安排方案2×25＝50(种)．9．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有__________个 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此进满足条件的偶数共有3412A C ＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3413A C ＝72(个)，所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)10．已知平面M 内有4个点，平面N 内有5个点，则这九个点最多能确定： (1)多少个平面？(2)多少个四面体？【知识点：空间点线面基本关系，排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论，数形结合】 解：(1)可分三类．第一类：平面M 中取一点，N 中取两点，最多可确定1245C C 个； 第二类：平面M 中取两点，N 中取一点，最多可确定2145C C 个；第三类：平面M 和平面N ，共2个．故最多可确定平面12214545C C C C +＋2＝72(个)．(2)法一(直接分类法)：分三类．第一类：平面M 内取一个点，N 内取三个点，最多可确定1345C C 个． 第二类：平面M 内取两个点，N 内取两个点，最多可确定2245C C 个． 第三类：平面M 内取三个点，N 内取一个点，最多可确定3145C C 个． 故最多可确定平面1345C C ＋2245C C ＋3145C C ＝120(个)． 法二(间接法)：49C －45C －44C ＝120(个)．11．为了提高学生参加体育锻炼的热情，宏达中学组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛)，问要进行多少场比赛？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：第一轮每组6个队进行单循环赛，共有26C 场比赛，4个组共计426C 场．第二轮每组取前两名，共计8个组，应比赛28C 场，由于第一轮中在同一组的两队不再比赛，故应减少4场，因此第二轮应比赛28C －4场．综上，两轮比赛共进行426C ＋28C －4＝84场．12．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ (1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本.【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：(1)分三步：先选一本有16C 种选法；再从余下的5本中选2本有25C 种选法；对于余下的三本全选有35C 种选法，由分步乘法计数原理知有16C 25C 35C ＝60(种)选法.(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有16C 25C 33C 33A ＝360(种)选法.(3)先分三步，则应是222426C C C 种选法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了(AB ，CD ，EF)，则222426C C C 种分法中还有(AB 、EF 、CD)，(CD 、AB 、EF)、(CD 、EF 、AB)、(EF 、CD 、AB)、(EF 、AB 、CD)共有33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB 、CD 、EF 的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分配方式有33222426A C C C ＝15(种). (4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有33222426A C C C 33A ＝90(种).。
小初高K12学习教材1.2.2 组合学习目标：1、通过实例理解组合的概念，能用计数原理推导组合数公式；2、会用组合数公式解决简单的实际问题。
一、主要知识：1、组合的定义： 。
2、组合数： ；3、组合数公式：（1）；（2）。
4、组合数的性质：（1）；（2）。
二、典例分析：〖例1〗：计算：（1）4331073C C A -；（2）328532C C -；（3）321132-+--+x x x x C C 。
〖例2〗：（1）已知56711710m m m C C C -=，求m 的值；（2）解不等式：46n n C C >； （3）化简：33132171312112n n n n n n n n C C C C ---+++++++；（4）化简：2222345100C C C C ++++。
〖例3〗：“抗震救灾，众志成城”，在“5·12”抗震救灾中，某医院从10医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科志家。
问：（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？〖例4〗：（1）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。
（2）以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对。
小初高K12学习教材 三、课后作业：1、9796959898982C C C ++=（ ）A 、9799CB 、97100C C 、9899CD 、98100C2、某校高一年级有5个班，高二年级有7个班，高三年级有4个班，分年级进行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行的比赛场数为（ ）A 、222574C C C ++B 、222574C C C C 、222574A A A ++ D 、216C 3、某科技小组有六名学生，现从中选出三名去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、54、北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）A 、44414106A A A B 、44414106C C CC 、4441410633C C C AD 、4443141063C C C A5、高三某班6名同学站成一排照相，其中甲、乙不能相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法数共有（ ）A 、120B 、240C 、210D 、1056、某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不位，则不同的调整方案的种数有（ ）A 、35B 、70C 、210D 、1057、某球队有2名队长和10名队员，现选派5人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有 种不同的选法。
