华东师大版初中数学电子教材-第27章(旧版)-二次函数1

灿若寒星
随堂练习
在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
怎么(1）y=3（(x是-1）)²+1
判 (3) s=3-2t ²
断
（是）
1 (2) y x
（不是）x
1 (4) y x2 x
? (5)y=(x+3)²-x² （不是）
（不是）
(6) v=10πr²
（是）
灿若寒星
随堂练习
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园 橙子的总产量最多？
X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Y/个
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
灿若寒星
想一想
行家看“门道”
在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果 园橙子的总产量最多？
则k的值一定是__0_或__3_
如果函数y=(k-3) xk2 +3kkx2+1是二次函
数,则k的值一定是______ 0
灿若寒星
小结 拓展 回 味 Biblioteka 穷定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数
. y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx ----灿若(寒星a≠0,b≠0,c=0).
二次函数素描述的关系

区别：开口方向不同
(3) 将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？
(3) 将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？
y
y 2x2
y x2
y 2x2
O
x y x2
结论：在抛物线 y ax2 a 0中， a 确定抛物线的形状和开口
方向，a 相等，抛物线的形状相同； a 越大，抛物线开口越小。
(1) 二次函数的概念：
形如 y ax2 bx c (a,b,c是常数，a 0 )函数叫做y是 x的二次函数.
其中: ① y是因变量，x是自变量；
② ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项。 a,b,c分别叫做二次项系数，一次项系数和常数项。
(2) 二次函数需满足三个条件：
二次函数 y ax2 a 0的图象和性质：
函数
y ax2 a 0
y ax2 a 0
y
y
图
象
O
x
O
x
顶点 坐标
性 开口
方向
对称 性
（0，0） 向上
Y轴或直线x=0
（0，0） 向下
Y轴或直线x=0
质
增减 性Biblioteka ① ②当x>0时，y随x的增大而增大；① 当x<0时，y随x的增大而减小。②
∴
k 2 5k 8 2
k 2 0
∴ 解之得：k=-3
(2) 有最大值，最大值为0，顶点坐标为(0,0)
(3) 抛物线的对称轴是y轴，当x>0时，y随x的增大而减小
例2：已知直线y=-2x+3与抛物线y=ax2相交于A、B两点， 且A点的坐标为(-3，m). (1) 求a、m的值； (2) 求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标； (3) X取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小； (4) 求A、B两点及二次函数的顶点构成的三角形的面积。

结束寄语
书山有路勤为径, 学海无涯苦作舟, 黑发不知勤学早, 白首方悔读书迟.
银行将本金和利息自动按一
年定期储蓄转存.如果存款
是100元,那么请你写出两年
后的本息和y(元)的表达式(
?
不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
你能答对吗
用总长为60m的篱笆围成矩形场 地，场地面积S(m²)与矩形一边长 a(m)之间的关系是什么？
解：S=a(
60 2
0
∴k=1时,y是x的一次函数。
(2) 当k2 - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时
y是x的二次函数
问题再探究
在种树问题中,种 多少棵橙子树,可 以y总=使-产5果x²量+园1最0橙0多x子+6？0的000,
x - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -
y
- - 60420
60480
AB长x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC长
18 16 14 12 10 8
6
4
2
面积y
18 32 42 48 50 48 42 32 18
▪ (2) X的值是否可以任意取?有限定范围吗?
▪ (3) 我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积 (y)也就随之确定,y是x的函数,试写出这个函数 的关系式.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).

(D)y 8(x 1)2 3 2
【解析】选C.根据图象知: 抛物线开口向下,顶点 (1 ,3),
2
∴答案B，D不符合.
把点(0,1)代入答案A，C检验,该点满足C.
5.(2012·安徽中考)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将 球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m) 与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点 的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距 离为18 m.
5.(2012·滨州中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c经过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点. (1)求抛物线y=ax2+bx+c的关系式; (2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.
【解析】(1)把A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入
【规律总结】 求与抛物线有关的问题的函数关系式的三个步骤及两点注意
1.三个步骤 (1)建立合适的平面直角坐标系; (2)依据条件求出二次函数的关系式; (3)利用二次函数的关系式解决有关问题.
2.两点注意 (1)在建立直角坐标系时,原点与横轴的位置应适当,否则会给解 题带来极大的不便. (2)列出实际问题的函数关系式时,应注意自变量的取值范围.
建立坐标系求实际问题中的函数关系式 【例2】某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑 物(如图所示)，大门的地面宽AB=4米，顶部 C离地面高度为4.4米.现在一辆装满货物的汽 车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货 宽度为2.4米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
【解题探究】(1)如何建立平面直角坐标系使二次函数的函数关 系式简单? 答:以C为坐标原点建立平面直角坐标系可以使二次函数关系式 简单,如图所示:

华东师大版数学九年级第27章第一节二次函数的教学设计一、设计思想根据新课标要求，在本课教中拟采用问题情况教学，学生活动参与，师生合作探究。

突出以学生的“数学活动为主线，激发学生学习的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。

二、教材分析二次函数是反映现实世界中变量之间的重要数学模型，是一种非常基本的初等函数。

学习二次函数可以把一元二次方程与将在高一学习的一元二次不等式的知识有机地联系起来。

本节课要学习的内容是二次函数的概念，是在回顾变量之间关系的基础上，通过具体实例中变量关系的特征，感受二次函数的特征和意义，从而形成对二次函数的初步认识，主要是通过分析实际问题，以用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，感受数学的广泛联系和应用价值。

在教学中，让学生通过观察、思考、合作、交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。

三、学情分析初三学生已具备一定自学与认知能力，在教学过程中，注意让学生在学习过程中逐步深化对概念的理解和认识，还要注意与学生已有知识的联系，比如函数概念、一次函数、反比例函数，用类比法探究新知，减少学生对新概念接受的困难，给学生充分的自主探究时间，让不同程度的学生得到适合自己的发展。

四、教学目标1、结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的一般形式。

2、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

3、探索具体问题中的数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型，体验数学来源于生活，又服务于生活的辩证观点。

五、数学重点与难点1、重点；对二次函数的理解，能够表示简单变量之间的二次函数关系。

2、难点：利用尝试求值的方法解决实际问题，抽象出实际问题中的二次函数关系。

六、教学策略与手段1、多媒体或幻灯片2、教学方法：问题解决法、引导发现法3、学法指导：引导学生通过实际情境及已有的知识和生活经验，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数模型的思想，调动学生的求知欲望，培养探索能力。

2.若y=(m2+m)xm2-2m+2为二次函数,则自变量x的系数和次数应分别 等于什么？m的值等于什么？ 答：x的系数不为0,即m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1；x的次数为2, 即m2-2m+2=2,解得m=0或m=2，所以m=2.
3.若y=(m2+m)xm2-2m+2为一次函数,则自变量x的系数和次数应分 别等于什么？m的值又等于什么？ 答：x的系数不为0,即m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1；x的次数为1, _即__m_2_-_2_m__+__2_=_1__,解__得__m__1_=_m__2_=__1_.所__以m=1.
AB长x(m) BC长(m) 面积y(m2)
1 2 3 4 5 6 7 89
1_8_ _1_6 _1_4 12 _1_0 _8_ _6_ _4_ _2_ _1_8 _3_2 _4_2 48 _5_0 _4_8 4_2_ _3_2 1_8_
通过填写表格可以发现当x的值为_5_时,y的值最大，为_5_0_． 即在问题1中垂直于墙的一边AB的长为_5_ m,另一边BC的长为 1_0_ m时,得到的矩形花圃的面积最大．
特别提醒:注意自变量在实际问题中的实际意义,准确确定自变 量的取值范围.
【规范解答】(1)y=240x2+120x+45；………………………2分
(2)由题意可得
240x2+120x+45=195，整理得8x2+4x-5=0.…………………5分
解得x1=14
11,x2
(舍1去1)1.………………………7分
2m3 2，
m4 0,
解得
m
1或
m
5， 3

第27章证明 (2)§ 27.1 证明的再认识 (2)阅读材料 (5)图形中的“裂缝” (5)§27.2 用推理方法研究三角形 (6)1. 等腰三角形 (6)2. 角平分线 (8)3. 线段的垂直平分线 (9)4. 逆命题、逆定理 (11)§ 27 .3用推理方法研究四边形............................................................. 错误！未定义书签。

1. 平行四边形................................................................................ 错误！未定义书签。

2. 矩形、菱形................................................................................ 错误！未定义书签。

3. 正方形........................................................................................ 错误！未定义书签。

4. 等腰梯形.................................................................................... 错误！未定义书签。

5. 中位线........................................................................................ 错误！未定义书签。

6. 反证法........................................................................................ 错误！未定义书签。

x>0 x y
x<0 x y
8
y 2x2
练习： 根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）,
对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
y Байду номын сангаас 2 x2 3
y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧， y随着x的增大而减小，当x= 0 时， 函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物
He is quick and eager to learn. Learning is learni ng and asking.
10
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11
谢谢您的观看与聆听
4
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
y x2
这条抛物线关于y轴 对称，y轴就是它的 对称轴。
对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点
y x2
y 2x2 y 2x2
5
(-2,4) (-1,1)
(2,4) (1,1)
y x2
y 2x2
a0图象在横轴的上方，开口向上，
线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。
（2）抛物线 y 2 x2在x轴的下 方（除顶点外），在对称轴的 3
左侧，y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着x的
增大而减小 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 0 ，
当x ≠ 0时，y<0.
9
Q&A问答环节

y 1 x2 3
y 1 x 32
3
Y
x=-3
O
X
由函数
y


1 3
x2
的性质,得到函数
y


1 3
x

32
的性质：
① 当x >-3 时，函数值y随x的增大而减小；
② 当x <-3 时，函数值y随x的增大而增大；
③ 当x =-3 时，函数取得最 大 值，最 大 值为 0 。
2
y 1 x 22
2
向上 向上 向上
X=0 X=2 X=-2
（0，0） （2，0） （-2，0）
y 1 x2 2
Y
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
这三个函数 的图象之间 有什么关系？
O
X
思考:
(1)
函数
y

1 2
x 22
的图象可由函数
过怎样的变化得到？
3 X
Y
y 1 x2 3
y 1 x 32
O
3
y 1 x 32
3 X
X=-3
X=3
开口方向 顶点坐标 对称轴
y 1 x2 3
y 1 x 32
3
向下 向下
（0，0） X=0 （-3，0） X=-3
y 1 x 32
3
向下
（3,0） X=3
由函数
y

1 2
x2
向左平移2个单位长度得到函数
y 1 x 22
2
y 1 x2 2
Y
y 1 x 22

第27章 二次函数要用长20m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m ，花圃的面积为y m 2，那么y =x (20-2x ).试问：x 为何值时，才能使y 的值最大？§27.1 二次函数问题1 （本章导图中的问题）如图27.1.1，要用总长为20 m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试（1） 设矩形花圃的垂直于墙的一边AB 的长为x m ，先取x 的一些值，算出矩形的另一边BC 的长，进而得出矩形的面积y m 2.试将计算结果填写在下表的空格中.（2） x 的值是否可以任意取？试指出它的取值范围.（3） 我们发现，当AB 的长（x ）确定后，矩形的面积（y ）也就随之确定，y 是x 的函数，试写出这个函数的关系式． 问题2图27.1.1某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 分 析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x 元 （0≤x ≤2），该商品每天的利润为y 元，y 是x 的函数． 我们可以得到：问题1中的函数关系式为y ＝x （20－2x ） （0＜x ＜10）即 y ＝－2x 2＋20x （0＜x ＜10）问题2中的函数关系式为y ＝（10－x －8）（100＋100x ） （0≤x ≤2），即 y ＝－100x 2＋100x ＋200 （0≤x ≤2）. 观 察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？ 概 括它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数叫做x 的二次函数（quadratic function ）． 练 习1. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm ．（1） 当它的一条直角边长为4.5 cm 时，求这个直角三角形的面积；（2） 设这个直角三角形的面积为S cm 2，其中一条直角边长为x cm ，求S 关于x的函数关系式．2. 已知正方体的棱长为x cm ，它的表面积为S cm 2，体积为V cm 3．（1） 分别写出S 与x 、V 与x 之间的函数关系式； （2） 这两个函数中，哪个是x 的二次函数？ 习题27.11. 设圆柱的高为6 cm ，底面半径r cm ，底面周长C cm ，圆柱的体积为V cm 3． （1） 分别写出C 关于r 、V 关于r 、V 关于C 的函数关系式； （2） 这三个函数中，哪些是二次函数？2. 正方形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式．这个函数是二次函数吗？3. 已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝－3．求a 、c 的值． 4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ．（1） 求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关系式；（2） 求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m 2）（第4题）§27.2 二次函数的图象与性质回顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质．在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图像入手．1. 二次函数y＝ax2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线．那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数y＝ax2的图像与性质．例1画二次函数y＝x2的图象．解列表．在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图27.2.1所示．图27.2.1像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）．它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．做一做（1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概括函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．观察y ＝x 2、y ＝2x 2的图象，可以看出：当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．图象的这些特点，反映了当a ＞0时，函数y ＝ax 2具有这样的性质：当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＝0时，函数 y＝ax 2取得最小值，最小值y ＝0． 思 考观察函数y ＝－x 2、y ＝－2x 2的图象，试作出类似的概括，当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2有些什么特点？它反映了当a ＜0时，函数y ＝ax 2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流．练 习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1） y ＝3x 2； （2） y ＝－31x 2．2.根据上题所画的函数图象填空．（1） 抛物线y ＝3x 2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x _________时，抛物线上的点都在x 轴的上方；（2） 抛物线y ＝－31x 2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x 轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．3.不画图象，说出抛物线y ＝－4x 2和y ＝41x 2的对称轴、顶点坐标和开口方向．4.记r 为圆的半径，S 为该圆的面积，有面积公式S ＝πr 2，表明S 是r 的函数．（1） 当半径r 分别为2、2.5、3时，求圆的面积S （π取3.14）；（2） 画出函数S ＝πr 2的图象．2. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质问题1试研究二次函数y ＝2x 2－4x ＋3的图象． 分 析将函数关系式配方，得y ＝2（x －1）2＋1．我们设法寻求它与y ＝2x 2图像的联系．为此，先看几个简单的例子．例2在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图像．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图27.2.2所示．图27.2.2观察当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概括通过观察，我们发现：当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1．反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）．据此，可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质：当x_____时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最____值，最____值y＝______．做一做先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y＝2x2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质． 思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31x 2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？你能说出函数y ＝－31x 2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？ 练 习1.已知函数y ＝－31x 2、y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2．（1） 分别画出它们的图象；（2） 说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试说出函数y ＝－31x 2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝－31x 2得到抛物线y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2？如果要得到抛物线y ＝－31x 2＋4，应将抛物线y ＝－31x 2作怎样的平移？3.试说出函数y ＝ax 2＋k （a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．例3 在如图27.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2和y ＝2（x －1）2的图象．解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．图27.2.3观 察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．思 考这两个函数的图象之间有什么关系？ 概 括通过观察、分析，可以发现：函数y ＝2（x －1）2与y ＝2x 2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数y ＝2（x －1）2的图象可以看作是将函数y ＝2x 2的图象向右平移1个单位得到的．它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是（1，0）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2（x －1）2的性质：当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______． 做一做在同一直角坐标系中画出函数y ＝2（x ＋1）2与函数y ＝2x 2的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数y ＝2（x ＋1）2的图象可以看成由函数y ＝2x 2的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数y ＝2（x ＋1）2的性质． 思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31（x ＋2）2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？试说出函数y ＝－31（x ＋2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质． 练 习1. 已知函数y ＝31x 2、y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2．（1） 在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2） 分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3） 分别讨论各个函数的性质．2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝31x 2得到抛物线y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2？3. 你能说出函数y ＝a （x －h ）2（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1， 即研究函数y ＝2（x －1）2＋1的图象和性质．分 析我们已经知道函数y ＝2（x －1）2的图象与函数y ＝2x 2的图象之间的关系．在此基础上，可以找到函数y ＝2（x －1）2＋1的图象与函数y ＝2（x －1）2的图象之间的关系． 试一试（1） 填写下表．（2） 从上表中，你能分别找到函数y ＝2（x －1）2＋1与函数y ＝2（x －1）2、y ＝2x 2的图象的关系吗？（3） 进一步，你能发现函数y ＝2（x －1）2＋1有哪些性质？做一做（1） 在图27.2.3中，再画出函数y ＝2（x －1）2－2的图象，并将它与函数y ＝2（x －1）2 的图象作比较．（2） 试说出函数y ＝－31（x －1）2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．练 习1.已知函数y ＝21x 2、y ＝21（x ＋2）2＋2和y ＝21（x ＋2）2－3．（1） 在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；（2） 分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试讨论函数y ＝21（x ＋2）2－3的性质．2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝21x 2得到抛物线y ＝21（x ＋2）2＋2和抛物线y ＝21（x －2）2－3？如果要得到抛物线y ＝21（x ＋2）2－6，那么应该将抛物线y ＝21x 2作怎样的平移？3.你能说出函数y ＝a （x －h ）2＋k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．4.不画出图象，直接说出函数y ＝－3x 2－6x ＋8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（提示：将－3x 2－6x ＋8配方，化为练习第3题中的形式）例4 画出函数y ＝－21x 2＋x －25的图象，并说明这个函数具有哪些性质．分析 因为 y ＝－21x 2＋x －25＝－21（x －1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，－2）．根据这些特点，我们容易画出它的图象． 解 列表．画出的图象如图27.2.4．图27.2.4由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝－2． 做一做（1） 请你按照上面的方法，画出函数y ＝21x 2－4x ＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2） 通过配方变形，说出函数y ＝－2 x 2＋8x －8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？思 考对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？ 练 习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．（1） y ＝3（x ＋3）2＋4； （2） y ＝－2（x －1）2－2；（3） y ＝21（x ＋3）2－2； （4） y ＝－32（x －1）2＋0.6．2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） y ＝2x 2＋4x ； （2） y ＝－2x 2－3x ；（3） y ＝－3x 2＋6x －7； （4） y ＝21x 2－4x ＋5．3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．（1） y ＝－2（x －1）2＋4； （2） y ＝21（x ＋2）2－5；（3） y ＝－31x 2－2x ＋1； （4） y ＝x 2－4x ＋7．应 用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决第2页提出的两个问题． 问题1 这个问题实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－2x 2＋20x （0＜x ＜10）取得最大值．将这个函数的关系式配方，得y ＝－2（x －5）2＋50．显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x ＝5时，函数取得最大值y ＝50．这时，AB ＝5（m ），BC ＝20－2x ＝10（m ）．所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m ，与墙平行的一边长10 m 时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2．问题2 实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－100x 2＋100x ＋200（0≤x ≤2）取得最大值．请同学们完成这个问题的解答．例5 用6 m 长的铝合金型材做一个形状如图27.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解 设做成的窗框的宽为x m ，则长为236x-m ．这里应有x ＞0，且236x -＞0，故0＜x ＜2．做成的窗框的透光面积y 与x 的函数关系式是y =x •236x -, 即 y =x x 3232+-.配方得 y ＝－23（x －1）2+23,所以当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝1.5．因为x ＝1时，满足0＜x ＜2，这时236x-=1.5．所以应做成宽1 m 、长1.5 m 的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m 2．练 习1. 求下列函数的最大值或最小值．（1） y ＝x 2－3x ＋4； （2） y ＝1－2x －x 2；（3） y ＝237272+-x x ； （4） y ＝100－5x 2；（5） y ＝－6x 2＋12x ； （6） y ＝－23x 2－4x ＋1．2. 有一根长为40 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？3. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x ，将它们的积表示为x 的函数）图27.2.53. 求二次函数的函数关系式问题2如图27.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB ）的薄壳屋顶．它的拱宽AB 为4 m ，拱高CO 为0.8 m ．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？图27.2.6分 析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图27.2.6，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 （a ＜0）． （1）因为AB 与y 轴交于点C ，所以CB ＝2AB＝2（m ），又CO ＝0.8 m ，所以点B 的坐标为（2，－0.8）．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入（1），得－0.8＝a ×22，所以 a ＝－0.2．因此，函数关系式是y ＝－0.2x 2．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式． 例6 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9．根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值． 例7 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．解 设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c ＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到⎩⎨⎧=+=+.939,324b a b a 解这个方程组，得a =23，b =-23 所以，所求二次函数的关系式是y=123232+-x x .注 意求二次函数的关系式，常运用待定系数法.首先应根据已知条件，写出适当的形式． 练 习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）； （2） 已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）； （3） 已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．2. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）． （1） 求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2） 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？3.将抛物线3212+--=x x y 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 习题27.21. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象．（1） y ＝31x 2＋2与y ＝31x 2－3；（2） y ＝－21（x ＋3）2与y ＝－21（x －1）2；（3） y ＝－3（x －2）2与y ＝－3（x －2）2＋1； （4） y ＝－（x ＋3）2－1与y ＝－（x ＋3）2＋2． 2. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． （1）y ＝x 2－3x －4； （2）y ＝2－4x －x 2；（3）y ＝21x 2－2x －1； （4）y ＝－43x 2＋6x －7；（5）y ＝2x 2－3x ； （6）y ＝－2x 2－5x ＋7．3. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标． （1）y ＝4x 2－4x ＋1； （2）y ＝－4x 2－9； （3）y ＝－4x 2＋3x ； （4）y ＝3x 2－5x ＋6．4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）； （2） 已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；（3） 已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1） 求这条抛物线所对应的函数关系式；（2） 如图，在对称轴右边1 m 处，桥洞离水面的高是多少？(第5题)§27.3 实践与探索生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题．请与同伴共同研究，尝试解决下面的问题．问题1某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8 m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图27.3.1（1）所示．图27.3.1根据设计图纸已知：在图27.3.1（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54．（1） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2） 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？问题2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图27.3.2．现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？ 分 析根据已知条件，要求ED 宽，只要求出FD 的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D 的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．你会求吗？ 问题3 画出函数432--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1） 图象与x 轴交点的坐标是什么？（2） 当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程432--=x x y 有什么关系?（3） 你能从中得到什么启发? 试一试根据问题3的图象回答下列问题．（1） 当x 取何值时，y ＜0？当x 取何值时，y ＞0？ （2） 能否用含有x 的不等式来描述（1）中的问题？ 练 习1. 画出函数y ＝x 2－2x －1的图象，求方程x 2－2x －1＝0的解．（精确到0.1）2. 你能否画出适当的函数图象，求方程3212+=x x 的解？问题4育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程3212+=x x 的解时，几乎所有学生都是将方程化为03212=--x x ，画出函数3212--=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．惟独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和的图象321+=x y ，如图27.3.3，认为它们交点A 、 B 的横坐标－23和2就是原方程的解．图27.3.2图27.3.3对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论． 做一做利用图27.3.4，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理．（1） x 2＋x －1＝0（精确到0.1）；（2） 2x 2－3x －2＝0．习题27.31. 如图，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约1.6m ；铅球落地在点B 处．铅球运行中在运动员前4 m 处（即OC ＝4）达到最高点，最高点高为3.2 m ．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？（精确到0.1米 ）2. 某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．（1） 写出售价x （元/件）与每天所得的利润y （元）之间的函数关系式； （2） 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？ 3. 利用函数的图象求下列方程的解．（1） x 2＋x －12＝0； （2）2x 2－x －3＝0． 4. 利用函数的图象求下列方程组的解．（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=;,23212x y x y （2）⎩⎨⎧-=--=.,132x x y x y图27.3.4 (第1题)小结一、知识结构二、概括1. 二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．要学会分析实际问题中的变量与变量间的关系，列出函数关系式，善于利用二次函数的图象和性质去解决问题．2. 二次函数的图象是研究二次函数性质的重要工具，注意把握二次函数图象的特点（对称轴、开口方向、顶点坐标），并由此发现和认识二次函数的一些性质，如：何时函数值y随自变量x的增加而增加（或减小）？何时函数取得最大（小）值？在学习二次函数时，要善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法（包括利用函数的图象求解方程与方程组）．3. 在研究二次函数的图象和性质时，首先抓住最简单的二次函数y＝ax2（a≠0）的图象和性质．对于一般的二次函数，常利用配方法，将函数关系式化为y＝a（x－h）2＋k（h、k为常数）的形式，抓住它与y＝ax2的图象之间的联系来研究．要注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归（化未知为已知，变复杂为简单）的思想方法．复习题A组1.填写表中的空格．2. 画出下列函数的图象，并根据图象写出它们的最大值或最小值． （1） y ＝1－3x 2； （2） y ＝x 2－4x ＋5； （3） y ＝x 2－6x ； （4） y ＝－3x 2＋6x －1．3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） y ＝x 2－2x －4； （2） y ＝1＋6x －x 2；（3） y ＝－x 2＋4x ； （4） y ＝41x 2－x ＋4．4. 已知函数y ＝2x 2－3x －2． （1） 画出函数的图象；（2） 观察图象，说出x 取哪些值时，函数的值为0． 5. 填空：（1） 抛物线y ＝x 2－3x ＋2与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____ ________；（2） 抛物线y ＝－2x 2＋5x －3与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____ ________．6. 已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2经过点（－1，0），求a 的值，并写出这条抛物线的顶点坐标.7. 求满足下列条件的对应的二次函数的关系式． （1） 抛物线经过（2，0）、（0，－2）和（－2，3）三点； （2） 抛物线的顶点坐标是（6，－4），且过点（4，－2）．B 组8. 已知二次函数y ＝（x －2）2－1．（1） 先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象； （2） 观察图象确定：x 取什么值时，① y ＝0；② y ＞0；③ y ＜0． 9. 说出下列函数的图象是将抛物线y ＝3x 2经过怎样的平移得到的．（1）232-=x y ； （2）2)21(3-=x y ；（3）4)21(32+-=x y ； （4）y ＝3x 2－6x ． ．10. 观察下面的表格．（1） 求a 、b 、c 的值，并在表内的空格中填上正确的数；（2） 设y ＝ax 2＋bx ＋c ，求这个二次函数的顶点坐标与对称轴． 11. 若抛物线y ＝x 2－x －2经过点A （3，a ）和点B （b ，0），求点A 、点B ．12. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）间有下述的函数关系式：s ＝0.01x ＋0.002x 2．现该车在限速140 km/h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ．请推测刹车时，汽车是否超速？C 组13. 如图，有一个抛物线形的水泥门洞．门洞的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m ．求这个门洞的高度．（精确到0.1 m ）(第13题)（第14题）14. 如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05 m ．（1） 建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；（2） 若该运动员身高1.8 m ，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m 处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？15. 某市经济开发区建区以来5年的财政收入情况如图所示，可以看出图中的折线近似于抛物线的一部分．（1） 试求出过A 、C 、D 三点的二次函数的关系式 （2） 利用（1）的结果，分别求出当x ＝2和x ＝5时该二次函数的函数值，并分别与点B 、点E 的纵坐标比较；（3） 利用（1）中的二次函数的关系式预测该开发区第6年的财政收入可能达到的数值．（精确到0.1亿元）（4）(第15题)。

第27章 二次函数
§27.1 二次函数
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的
意义，并了解二次函数的有关概念．

我们学习过哪些函数？
一次函数 y=kx+b(k≠0） 正比例函数 y=kx(k≠0）
反比例函数 y k (k 0) x
【做一做】 要用长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形
解：S=a( 60-a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.是函数关
系,
2
且是二次函数关系.
3.如果函数y= x k2 -3k+2+kx+1是二次函数,则k的值
是_0__或__3_. 4.如果函数y=(k-3) x k2 -3k+2 +kx+1是二次函数,则 k的值是___0___.
1.物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)与下落的时间 t(s)的关系是:h=4.9t2,填表表示物体下落的高度:
所以m=2.
【规律方法】 1.关于x的二次函数表达式y=ax²+bx+c的代数式一定是 整式,a,b,c为常数,且 a≠0.
2.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
1.定义：形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做 二次函数. 2.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx (a≠0,b≠0,c=0). 3.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是 2,自变量x的取值范围是全体实数.

有一座抛物线形拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O 离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横 截面是矩形CDEF，建立如图的直角坐标系。 Y （1）求此抛物线的解析式； （2）如果限定矩形的长CD O 为9米，那么矩形的高DE不 X 能超过多少米，才能使船通 F E 过拱桥； （3）若设EF=a，请将矩形 CDEF的面积S用含a的代数 B C M D A 式表示，并指出a的取值范围。
探究拓展: (2)
数学爱好者第127页，变式练习
已知一抛物线大门，其地面宽度AB=18m，如图， 一同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地 面立起一根1.7m的木杆，其顶端恰好顶在抛物线门上 的C处，根据这些条件，请你求出该大门的高h.
例1：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式 (1) 已知二次函数的图象经过点A(0,1),B(2,0),C(–1,2) (2) 已知抛物线的顶点为(1, –3),且与y轴交于点(0,1) (3) 已知抛物线与x轴交于点M(–3，0),N(5,0),且与y轴交 于点(0, –3).
分析:(1) 根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函 2 y ax bx ca 0 数关系式为一般式： (2) 根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为顶点 2 式 y a x h k 再根据抛物线与y轴的交点可求出a值； (3) 根据抛物线与x轴的两个交点坐标，可设函数关系式 为交点式： y a x x1 x x2 ,再根据抛物线与y轴的交点 可求出a值
(2) 如何设函数关系式呢？
A
y
﹒
O C B
x
设 y ax
2
(3) a的取值范围是什么？ (4) A、B、O三点的坐标分别 是什么？ a<0

在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
新课进行时
典例精析
例1 已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗? （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的 坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗?在二 次函数y=－x2的图象上吗?
6
课后作业
课后作业
1、完成教材本课时对应习题； 2、完成同步练习册本课时的习题。
文本
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谢谢欣赏
THANK YOU FOR LISTENING
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
o
x
新课进行时
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流。
1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
y
o
x
y=-x2
新课进行时
知识要点
二次函数y=ax2 的图象性质： 1. 顶点都在原点; 2. 图像关于y轴对称; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下．
们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右
边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
新课进行时
方法总结
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右 两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我 们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域 中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去 比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补 法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解。

行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y
(350-10x) -10x2+560x-7 350
(x-21)
3.长方形的周长为24cm,其中一边为xcm(x>0),面积为y cm2, 则这样的长方形中y与x的函数关系式.y=__________=_______. 【 的总函结数】 . 二次函数的概念:形如y=_______(_1(2a-,bx),c·是x常-数x,2a+1_2_x_0)
是( )
A.a≠0
B.a≠1
C.a≠1且a≠0
D.无法确定
【解析】选B.根据二次函数的定义,a-1≠0,即a≠1.
3.下列函数:①y=5x-5;②y=3x2-1;③y=4x3-3x2;④y=2x2-2x+1;
⑤
其中是二次函数的是________.
【 ②解 yy=析3x1x】22.-①1y是=二5x次-5函是数一; 次函数;
第27章 二 次 函 数 §27.1 二 次 函 数
1.理解二次函数的概念.(重点) 2.能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系.(重点、 难点)
解答下列问题: 1.某公司的生产利润原来是a万元,经过连续两年的增长达到 了y万元,如果每年增长的百分数都是x,则y与x的函数关系式 为y=_______=_________. 2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以 自行定价.若每件商品售价为x元,则可卖出(350-10x)件商品, 则销售a(该1+商x)品2 盈ax利2+y2元ax与+a售价x元的函数关系式为y=_______ __________=________________.
ax2+bx+c

第27章二次函数27.1二次函数27.2 二次函数的图象与性质第一课时y=ax2的图象与性质第二课时y＝ax2＋bx＋c的图象与性质①第三课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质②第四课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质③第五课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质④第六课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质⑤第七课时求二次函数的函数关系式①第八课时求二次函数的函数关系式(二)27.3 实践与探索27.3 实践与探索第27章二次函数27.1二次函数一、教学目标知识与技能：认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式。

过程与方法：通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系和求自变量的取值范围。

情感态度与价值观：培养学生探索新知的能力，鼓励学生通过观察、猜想、验证，主动地获取知识。

二、重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

三、难点：熟练地列出二次函数关系式。

四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。

五、教学过程：（一）、试一试对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC 的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。

形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．（二）、提出问题（p3问题2）分析：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?[(10－8－x)；(100＋100x)]4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

x
2.已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax-1经过的
象限是( )
A.第一、二、三象限
B.第二、三、四象限
C.第一、二、四象限
D.第一、三、四象限
【解析】选D.因为二次函数开口向上,所以a>0,所以直线经过
第一、三、四象限.
3.函数y=-7x2的图象在对称轴右边的部分,y随x的增大
x…
-2
-1 0 1
2
…
y … _1_6_ _4_ 0 _4_ _1_6_ …
在直角坐标系中描点,然后用光滑的_____顺次连结各点,得到
函数y=4x2的图象,如图所示.
曲线
【思考】(1)观察函数y=4x2的图象,这个函数的图象是一条___
(填“直”或“曲”)线.
曲
(2)函数y=4x2的图象是否是轴对称图形?若是,则它的对称轴是
故k的值为-3.
（2）因为k=-3， 所以二次函数关系式为y=-x2， 所以顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴．
【总结提升】二次函数y=ax2（a≠0）中a的两点作用 1.二次函数y=ax2的开口方向由a决定，当a＞0时，开口方向 向上，当a＜0时，开口方向向下. 2.二次函数y=ax2的开口大小由|a|决定，|a|越大，二次函数 y=ax2的开口越小；|a|越小，二次函数y=ax2的开口越大；|a| 的值相等，二次函数y=ax2 的开口大小相同.
【思考】(1)观察函数y=-x2与y=-x2+2的图象,它们的开口方向、
对称轴和顶点坐标分别为什么? 提示:这两个函数的图象的开口方向都向下,对称轴都是y轴;函数 y=-x2的图象的顶点坐标为(0,0),y=-x2+2的图象的顶点坐标 为(0,2).

(3)x取何值时，二次函数y=ax2的 y随x增大而增大？
(4)求抛物线与直线y=-2的两交点与顶点构成的三角形
的面积。
y
O x
y=-2
A
B
例3、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程
组
y=4x2 y=3x+1
O
x
回顾练习及提高：
1、二次函数 y x 2 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 减小. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 增大. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而减小.
最值 当x=0时,最小值为0. 当x=0时,最大值为0.
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口
，对称轴
是
，顶点是
描点,连线
x … -3 -2 -1 0 1
2 3…
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y
2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 -2
-4
-6
-8
-10 y=-x2
4x
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这条抛物线关于y轴 对称，y轴就是它的 对称轴。
C 对任一个实数y，有两个x和它对应。
y
D 对任意实数x，都有y＞0
o
x
例1、已知y =(m+1)x
是二次函数且其
图象开口向下
（1）求m的值和函数解析式。