七年级数学下册2.2.1平方差公式课件(新版)湘教版

本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解
下列式子能平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎 样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能()第一个数不完全一样 ) (2) (a−b)(b−a) ; (不能) (3) (a+2b)(2b+a); (不能) (4) (a−b)(a+b) ; (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (5) (2x+y)(y−2x). (不能)
湘教版数学七年级（下）
本节内容
2.2.1
1、多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项
乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
讨论
2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？ 请你举例说明。
动脑筋 计算下列各式，你能发现什么规律：
(a + 1 )( a - 1) = a2- a + a - 12= a2- 12 ，
(-a + 1 )( -a - 1) = a2+a -a - 12=
，
(a + 2 )( a – 2) = a2- 2a + 2a - 22= a2- 22 ，
(-a + 2 )( -a – 2) = a2+2a -2a - 22=
，
(a + 3 )( a - 3) = a2- 3a + 3a -32= a2- 32 ，
(3) (1+2x)(1−2x)=1−2x2 不对. 应是：1-4x2 (4) (2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4 不对，应是：4a4-b4.

_平__方__差__.
(打“√”或“×”) ×
(1)两个数的和与两个数的差的积,等于两个数的平方差.( ) (2)(-a+b)(-a-b)=a2-b2.( √ )
(3)(a+b)(b-a)=a2-b2.( × )
(4)(3x+2y)(3x-2y)=3x2-2y2.( × )
•11、即使是普通孩子，只要教育得法，也会成为不平凡的人。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 •16、当在学校所学的一切全都忘记之后，还剩下来的才是教育。2021年10月19日星期二2021/10/192021/10/192021/10/19 •17、播种行为，可以收获习惯；播种习惯，可以收获性格；播种性格，可以收获命运。2021年10月 2021/10/192021/10/192021/10/1910/19/2021 •18、我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/192021/10/19October 19, 2021 •19、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/192021/10/192021/10/192021/10/19
2.2 乘法公式 2.2.1 平方差公式
1.理解平方差公式的结构特征.(重点) 2.会进行平方差公式的推导和应用.(重点、难点)
用多项式乘多项式的法则计算下列各式: x2-4
(1)(x+2)(x-2)=____. 9-y2

本课节内容 2.2
乘法公式
子目内容 2.2.1
平方差公式
动脑筋
计算下列各式，你能发现怎样的规律？
(a+1)(a-1)=a2-a+a-12 = a2 - 1 (a+2)(a-2)=a2-2a+2a-22= a2 - 4
(a+3)(a-3)=a2-3a+3a-32 = a2 - 9 (a+4)(a-4)=a2-4a+4a-42 =a2 -16
④(100+1)(100-1)
A. 1 个 B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
答案：D
8.下列式中,运算正确的是( )
①(22 a)2 = 4a2 ,
②(-
1 3
x
+
1)(1
+1 3ຫໍສະໝຸດ x)=1-
1 9
x2
,
③(m - 1)2(1 - m)3 =(m - 1)5 , ④ 2a × 4b × 8 = 2a+2b+3 .
（1）-2x-1y-2x+1y；
2
2
（2）(4a+b)(-b+4a).
（ 1） -2x-1y-2x+1y
2
2
解-2x-1y-2x+1y
2
2
=（-2x）2-1y2
= 4x2-14y22
（2）(4a+b)(-b+4a)
解 (4a+b)(-b+4a) = (4a)2 -b2 = 16a2 -b2
•
动脑筋
你觉得这个公式有什么特征？ 相乘的两个括号中有一对相同的数（式子）， 有一对互为相反数的数（式子） 在使用这个公式时应该注意什么？ 找清哪个是相同的，即公式中的a； 哪个是互为相反数的，即公式中的b 总结出平方差公式对我们有什么帮助？ 可以使我们在计算这种类型的多项式乘法时 更加快速和简便

2.2.1 平方差公式
1.用多项式乘多项式的法则计算下列各式： (1)(x＋2)(x－2)=_x_2-_4_. (2)(3＋y)(3―y)=_9_-_y_2 . (3)(m＋5n)(m―5n)=_m_2-_2_5_n_2_. 2.观察以上算式，两个因式第一个是两项的_和__，第二个是两项 的_差__，它们的积是这两项的_平__方__差__.
1.(2012·哈尔滨中考)下列运算中，正确的是( )
(A)a3·a4=a12
(B)(a3)4=a12
(C)a+a4=a5
(D)(a+b)(a-b)=a2+b2
【解析】选B.因为a3·a4=a7；(a3)4=a12；a与a4不是同类项，
不能合并；(a+b)(a-b)=a2-b2，所以A，C，D错误，B正确.
(2)(a-2b)(-a-2b)=(-2b+a)(-2b-a) ……………………………………………………………………4分 =(-2b)2 -a2=4b2-a2. …………………………………………6 分
【规律总结】 运用平方差公式进行计算的三步法
变形
将算式变形为两数和与两数差的积的形式
套公式 计算
套用公式，将结果写成两数平方差的形式
根据积的乘方计算.套用平方差公式时， 结果为（完全相同项）2-（互为相反数的 项）2
【跟踪训练】
1.计算(2a+b)(2a-b)的结果是( )
(A)4a2-b2
(B)b2-4a2
(C)2a2-b2
(D)b2-2a2
【解析】选A.(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
3.计算：(2x+3y)(2x-3y)=________. 【解析】(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2. 答案：4x2-9y2

③（m＋ 6n)( m－6n)= m22 － 3(66nn)22
观察 & 发现
观察以上的
算式及运算结果有什么特点？
你能猜想：(a+b)(a−b)=？
a
a b
b
你能从 这个游 戏中得 到一个 怎样的 等式？
(a+b)(a−b)=a −b 2 2 如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边
长为b的小正方形。
平方差公式
旧知回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
Zx.xk
（x ＋2)( x－3） =x2－3x ＋2X －6 =x2 －x －6
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题
①（x ＋ 4)( x－4）= xx22－－4126 ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=112－－(42a2)2
（1）图中的红色部分部分面积是__a_2___b__2__
（2）你能否将红色部分拼成一个完整的长方形图案吗？
你拼出的长方形的面积是_(_a____b__)__(a___b_)__
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积, 等于 这两数的平方差.
Z.x.x. K
结构特征： ●左边是两个二项式相乘,并且有一 项完全相同，另一项互为相反数. ●右边是这两项的平方差.
平方差公式
相同为a
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
1、找一找、填一填
(a+b)(a-b) 相同 相反 结果

(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)
=3x2－5x－10.
能力拓展： 1.(x－y)(x+y)(x2+y2)； 解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是_2_8_－__1_． 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这 块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认 为李大妈吃亏了吗？为什么？
(a+b)(a−b)
=
a2−b2
几何验证平方差公式
a+b
a
a-b a
b
b
b
b
(a b)(a b) a2 b2
a
a
b
a-b (a+b)(a-b)
a
b
b a-b
(a+b)(a-b)=a2-b2
a
a

（a）
（b）
典例剖析
例1 用平方差公式计算:
(1) (2x+1)(2x-1); (2) (x-2y)(x+2y).
典例剖析
例2 用平方差公式计算:
(1) (2x 1 y)(2x 1 y);
2
2
(2)(4a b)(b 4a).
(a+b)(a-b)=a2-b项符号相同, 另一项则符号相反.
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
观察以下多项式与多项式相乘，你发现什么特点？ 运算出结果后，你又发现什么规律？
计算下列多项式的积．
（1）（a＋1）（a－1）= a2－112 （2）（m＋2）（m－2）= m2－242
（3） （2a+1）（2 a−1）= 4a （2a）22 －121
湘教版七年级下册数学§2.2.1
平方差公式
想一想
老板,我要喷绘一张来宾 金秀圣堂山景区宣传图纸， 它的长为10.3米，宽为 9.7米.请您帮我快速计算 一下这张喷绘的面积是多 少？
10.3 ×9.7= ？
多项式与多项式是如何相乘的？
多项式乘法法则: 用一个多项式的每一项乘以另 一个多项式的每一项，再把所 得的积相加.
猜想：
(a＋b) (a－b) = a2－b2
请同学们计算验证
验证
(a+b)(a-b) = a2-b2
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2 = a2-b2
结论
我们把
(a+b)(a-b)= a2 -b2 .
叫做平方差公式. 即两个数的和与这两个数的差的 积等于这两个数的平方差.

(1)103 97
【解析】(1)103 97
(2)118 122 (2)118 122
(100 3)(100 3)
(120 2)(120 2)
1002 32
1202 22
9 991.
14 396.
【例4】下列式子的解法中，哪种简单？请选择：
a2 a b a b a2b2 解：原式 (a3 a2b)(a b) a2b2
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
不要等待机会，而要创造机会.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
【解析】选C.因为C中正确的算式应是(a+1)(a2-a+1)=a3+1.
2.（湖州·中考）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图
乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式
是
．
【解析】S甲=(a+b)(a-b), S乙= a2-b2, 所以(a＋b)(a－b)＝a2-b2． 答案：(a＋b)(a－b)＝a2-b2
3.计算:
(1)2.03 (1.97) (2)(a-3)(a+3)(a2 +9)
解析：(1)原式 (0.03 2)(0.03 2)