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鲁班的思路是这样的: 茅草是齿形的; 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头 的工具; 它也可以是齿形的.
这个推理过程是 归纳推理吗?
为了回答“火星上是否有生命?” 这个问题,科学家们把
火星与地球作类比,发现火星具有一些与地球类似的特征 如:
地球
•行星、围绕太阳运行、
绕轴自转
•有大气层 •一年中有四季的变更
ax=1(a≠0)
x 1 a
(4)在加法中,任意实数与0相加都不改变大小;任意
实数与1的积都等于原来的数,即
a+0=a
a1a
“平面内,两组对边分别相等的四边形是平
行四边形” ;
“平面内,同时垂直于一条直线的两条直线
互相平行” .
类 比
• “空间中,两组对边分别相等的四边形是
平
• 行四边形”;
• “空间中,同时垂直于一条直线的两条直
线
猜想是错误的
• 互相平行”.
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果,具有发现的功能
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
•温度适合生物的生存
•有生命存在
火星
•行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
•有大气层
•一年中有四季的变更
•大部分时间的温度适合地
球上某些已知生物的生存
•可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程:
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
1,类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征,和其中一类对象的某些
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理举例
构成几何体的元素数目:四面体 三角形
几何中常见的类比对象
圆
球
三角形
四面体(各面均为三角形)
四边形
六面体(各面均为四边形)
代数中常见的类比对象
复数 向量
方程 函数 不等式
交集,并集,补集 或,且,非运算
解:(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后,所得的 结果仍然是一个实数。 (2)从运算的角度考虑,加法和乘法都满足交换律和结
合律,即
a+b=b+a
ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c)
(ab)c=a(bc)
(3)从逆运算的角度考虑,加法和乘法都有逆运算,加
法的逆运算是减法,乘法的逆运算是除法。
方程 a+x=0 解 x=-a
合情推理的应用 数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常
常能帮助我们猜测和发现结论。
证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们
提供证明的思路和方向
在研究球体时,我们会自然的联想到圆,对于圆,我们已
经有了比较充分的研究,定义了圆的一些概念,发现了圆
的一些性质。由于球与圆在形状上和概念上都有类似的地
一个球等。
圆
球
弦
.
. 直径
截面圆 大圆
周长
表面积
面积
体积
圆的概念和性质
圆的周长 圆的面积
球的类似概念和性质 球的表面积
球的体积
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截
于弦.
面圆)圆心连线垂直于截面圆.
与圆心距离相等的两弦相等;与 圆心距离不等的两弦不等,距圆心 较近的弦较长.
与球心距离相等的两截面圆面 积相等;与球心距离不等的两 截面圆面积不等,距球心较近 的截面圆面积较大.
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
2,类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对
即
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
3,类比推理的几个特点
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测 正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础, 类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物 的特殊属性.
已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为 类比推理(简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’, (a,b,c与a’,b’,c’相似或相同)
所以B类事物可能具有性质d.
火星与地球类比的思维过程:
存在类似特征
由部分到整体、 个别到一观般察的、推分理析 归纳推理的基础
归纳推理的作用 注意
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
5、归纳推理的一般模式:
S1具有P, S2具有P, …… Sn具有P, (S1,S2,…,Sn是A类事物的对象)
所以A类事物具有P
类比推理
从一个传说说起:我国古代工匠鲁班(被认为是木匠业的 祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这 桩倒霉事却使他发明了锯子.
以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的 圆的方程为(x-x0)2+(y-
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为
y0)2=r2.
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
例3、类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质
析:实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算,都满足一定的运 算律,都存在逆运算,且0和1分别在乘法和加法中占有特殊的地位
方,即都具有完美的对称性,都是到定点的距离等于定长
的点的集合,因此我们推测对于圆的特征,球也可能具有。
如:圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离
等于半径;对于球,我们推测可能存在这样的平面,与球
只交于一点,该点到球心的距离等于球的半径;平面内不
共线的3点确定一个圆,由此猜测空间中不共面的4点确定
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有 发现的功能.
归纳推理和类比推理的共同点
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳、 类比
提出 猜想
合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、
分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜 想的推理,我们把它们统称为合情推理.
通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.
类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空
间中四面体性质的猜想.
SABC
1absinC 2
直角三角形
3个面两两垂直的四面体
∠C=90° 3个边的长度a,b,c 2条直角边a,b和1条斜边c
∠PDF=∠PDE=∠EDF=90° 4个面的面积S1,S2,S3和S 3个“直角面” S1,S2,S3和1 个“斜面” S