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第三章 微分中值定理与导数的应用第一讲 微分中值定理(The Mean Value Theorem)微分中值定理是微分学的核心，她具有非常广泛的应用，是研究函数性态的有力工具。

本节介绍三大中值定理。

一 罗尔中值定理：1． 极值的定义：设)(x f 在区间I 上有定义，I x ∈0且存在I x U ⊂)(0，对任意)(0x U x ∈，())()()()(00x f x f x f x f ≥≤，则称0x 是)(x f 的极大值点（极小值点）。

)(0x f 是极大值（极小值），通称为极值。

注：极值和最值的本质区别：极值是局部概念（相对于某个邻域内）最值是整体概念（相对于整个定义域）● 极值只可能在定义域的内部取到，而最值可能在内部，也可能在端点处取到。

● 极值不是唯一的，最值（如果存在）则一定是唯一的。

● 极值不一定是最值，最值也不一定是极值，当最值在定义域内部取到时，最值就一定是极值。

2． 费马引理（Fermat ）：函数)(x f 在区间I 上有定义，如果)1()(x f 在0x 点可导; )2(0x 是)(x f 的极值点.则0)(0'=x f .说明： （1）几何意义：)(x f 在0x 点存在切线，若0x 是极值点，则切线是平行于x 轴的。

（2）理论证明：只要证明0)()(lim00=--→x x x f x f x x ，即0)()(0'0'==-+x f x f .3．驻点：通常把0)(0'=x f 的点0x 称为)(x f 的驻点（临界点、稳定点）● 驻点不一定是极值点。

如：3x y =，0=x 不是极值点，在该点的两侧单调增加。

● 极值点不一定是驻点，如：x y =，0=x 是极小值点，但在该点不可导。

4．罗尔定理(Rolle)：如果函数)(x f 满足)1(],[b a 上连续； )2(),(b a 内可导； )3()()(b f a f =. 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf .● 几何意义：连续光滑曲线（无缝隙的光滑曲线）若两端点的函数值相等，则在曲线上至少存在一点，使得函数在该点的切线平行于x 轴。

第三章 导数及其应用高考考纲(1) 导数概念及其几何意义 ① 了解导数概念的实际背景， ② 理解导数的几何意义．(2) 导数的运算① 能根据导数定义求函数y C =(C 为常数)，y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y =的导数．② 能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数．∙ 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C )′＝0(C 为常数)；(x n )′＝nx n -1，n ∈N +； (sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-；(e )e x x '=；()ln x x a a a '=（a ＞0，且a ≠1）； 1(ln )x x '=；1(log )log e a a x x '=（a ＞0，且a ≠1）．∙ 常用的导数运算法则：法则1：[]()()()()u x v x u x v x '''±=±． 法则2：[]()()()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+．法则3：2()()()()()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦．(3) 导数在研究函数中的应用① 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次) ；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) ．(4) 生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题． (5) 定积分与微积分基本定理的含义① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． ② 了解微积分基本定理的含义．第一节 变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数．三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．类型一 利用导数的定义求函数的导数[例1] 用定义法求下列函数的导数．(1)y ＝x 2； (2)y ＝4x 2.[自主解答]根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx .1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．类型二 导数的运算[例2] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；[自主解答]求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；类型三 导数的几何意义[例3]曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答]若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． [自主解答]导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．3．(1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．(2)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12 D ．1易错题思考[典例] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[尝试解题]1.在解答本题时有两个易误点：(1)审题不仔细，未对点(1，0)的位置进行判断，误认为(1，0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系.2.解决与导数的几何意义有关的问题时，应注意：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数、(理)复合函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握.针对训练1．(2012·广州模拟)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( ) A.278B ．－2C ．2D ．－2782．已知曲线y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 的切线条数为________．第二节导数在函数中的应用1．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．1.f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．类型一运用导数解决函数的单调性问题[例1]已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．[自主解答]求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．1．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)是否存在a 使函数f (x )为R 上的单调递减函数，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．类型二 运用导数解决函数的极值问题[例2] (2012·江苏高考)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． [自主解答]求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f ′(x )＝0根的两侧导数的符号来判断f ′(x )在这个根处取极值的情况．2．设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．类型三 运用导数解决函数的最值问题 [例3] 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． [自主解答]本题条件不变，求f (x )在区间[0,1]上的最大值． [自主解答]求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．导数是解决函数问题的重要工具，利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的最优化问题，是高考考查的热点，在解答题中每年必考，常与不等式、方程结合考查，试题难度较大，因此对该部分知识要加大训练强度，提高解题能力．导数的应用问题答题模板[典例] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息 观察条件―→曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有公共切线―――――――――――→两曲线在x ＝1处的纵坐标及导数相同⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求a ，b 的值―――――――→需要建立关于a ，b 的方程组将⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)用a ，b 表示即可 3．建联系，找解题突破口解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)―――――――→先求f ′(x )和g ′(x )f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ―――――→将x ＝1代入 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝b ＋1，2a ＝3＋b ，⇒a ＝b ＝31．审条件，挖解题信息观察条件―→a 2＝4b ――――――――――――――――――→可消掉一个参数，使f (x )与g (x )含有同一个参数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋14a 2x2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求函数f (x )＋g (x )的单调区间及其在区间(－∞，－1]上的最大值 ――――――→f (x )＋g (x )含x 3及参数a 应利用导数解决――――――――→由h26−−−−−−−−−−→－及－与－，－的系，求最值讨论区间关[教你准确规范解题]—————————————————[万能模板]———————————用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答： 第一步求函数f (x )的导数f ′(x )第二步求函数f (x )在给定区间上的单调区间 第三步求函数f (x )在给定区间上的极值 第四步求函数f (x )在给定区间上的端点值第五步比较函数f (x )的各极值与端点值的大小，确定函数f (x )的最大值和最小值 第六步反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．如本题的关键点是确定函数f (x )的单调区间；易错点是忽视对参数a 的讨论第三节 导数的综合应用类型一 利用导数研究恒成立问题及参数求解[例1] 已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.(1)当a ＝－1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [自主解答]利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题． (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．1．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．类型二 利用导数证明不等式问题[例2] 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[自主解答]在本例条件下，是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[自主解答]利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h (x )>0.2．已知f (x )＝x ln x .(1)求g (x )＝f (x )＋kx (k ∈R)的单调区间；(2)证明：当x ≥1时，2x －e ≤f (x )恒成立．类型三 利用导数研究生活中的优化问题[例3] 某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，顶点B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x 的取值范围；(2)要规划建设的仓库是高度与AB 的长度相同的长方体建筑，问AB 的长度为多少时仓库的库容量最大．(墙地及楼板所占空间忽略不计)[自主解答]利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y ＝f (x )； (2)求出函数的导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t <9，18t ＋594，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10<t ≤12，求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．转化与划归思想在导数研究函数中的应用[典例] (2012·山西四校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋m (a >0)． (1)若a ＝1时函数f (x )有三个互不相同的零点，求实数m 的取值范围；(2)若对任意的a ∈[3,6]，不等式f (x )≤1在[－2,2]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解][题后悟道] 所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．解答本题利用了转化与化归思想，第(1)问中把函数的零点问题转化为g (x )＝－x 3－x 2＋x 与y ＝m 图象的交点；第(2)问中把问题转化为求f (x )在[－2,2]的最大值，利用最大值小于等于1，进一步转化为m ≤9－4a －2a 2在a ∈[3,6]恒成立，从而可求m 的范围．针对训练11 设函数f (x )＝13x 3＋x 2＋x ，g (x )＝2x 2＋4x ＋c .当x ∈[－3,4]时，函数f (x )与g (x )的图象有两个公共点，求c 的取值范围．。

令f′(x)=0，得驻点x1=1，x2=3
x
( ，1)
1
(1，3)
3
(3, )
f x
＋
0
－
0
＋
f x
↗
4
↘
0
↗
知，f(1)=4为函数f(x)的极大值。
f(3)=0为f(x)的极小值。
第二节 函数的极值
解法2
因为该函数的定义域为（-∞，+∞），
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
（4）列表讨论：
x
(, 0)
(0, )
f x
0
－0＋ຫໍສະໝຸດ f x↘-5
↗
所以，当
x 0时， y极小值 = 5
例2 求
1 3
f ( x) x 4 x 4 的极值.
3
解（1）函数的定义域为 ,
（2）求导数 f ( x) x 4
2
（3）令 f ( x) 0，得驻点 x1 2, x2 2 （将定义域分成三个区间）
y 2x 3
y 2 0
引入2
导数与单调性的关系
1
y x 1
2
1
y 0
2
3.1
函数单调性的判别法
3.1.1单调性的判定定理
定
设函数 f ( x) 在 (a, b) 内可导，
理 (1)如果在 (a, b) 内， f ( x) 0 则函数 f ( x)在 (a, b)内单调增加，
于是，当
即，当
x0
x0
时，有
时，有
f ( x) f (0) 0
sin x x

第三章：一元函数积分学及其应用教学目的与要求 1．理解不定积分和定积分的概念及性质。

2．掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。

3．会求简单的有理函数的积分。

4．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton ）-莱布尼兹（Leibniz ）公式。

5．了解广义积分的概念。

6．了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。

7．掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法 所需学时：20学时（包括：18学时讲授与2学时习题）第一节：不定积分的概念与性质1、原函数概念引例 在下列括号中填入适当的函数： （1）(cos =x c x +sin )' （2） (2=x c x +331)' 上例中的问题是：已知)()(x f x F =' 求 )(x F定义1 若在区间I 上，对任意x 有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 是)(x f 在I 上的原函数。

例如：x x sin )(cos -='，则x cos 是x sin -的一个原函数；又x x e e =')(，则x e 是xe 的一个原函数。

原函数存在定理： 若)(x f 是连续函数，则)(x f 必有原函数。

由x x e e =')(有x x e e ='+)2(，x x e c e ='+)(，因此可知xe 的原函数不止一个，而是无穷多个。

说明：（1）若)(x f 有一个原函数)(x F ，则)(x f 就有无穷多个原函数c x F +)(（c 为任意常数），即c x F +)(是)(x f 的全部原函数；（2）)(x f 的任意两个原函数之差是一个常数。

设)()(x f x F ='，)()(x f x =Φ'，则有[]0)()()()()()(=-='-Φ'='-Φx f x f x F x x F x 由前面所学定理知 c x F x =-Φ)()(2、不定积分 定义 2 在区间I上，函数()f x 的全体原函数的集合，称为()f x 在I上的不定积分，记为()f x dx ⎰,其中“⎰”称为积分号，)(x f 称为被积函数 ，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量.由不定积分的定义可知：求()f x 的不定积分就是求()f x 的所有原函数.若()F x 为()f x 的一个原函数，则()=()f x dx F x C +⎰.其中C 为任意常数，称之为积分常数.简言之，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数，再加上任意常数C 即可. 例1 求下列不定积分.（1）2x dx ⎰ （2）sin xdx ⎰ （3）x e dx ⎰解 （1）因为321()3x x '=，所以313x 是2x 的一个原函数，于是 2313x dx x C =+⎰. （2）因为(cos )sin x x '-=，所以cos x -是sin x 的一个原函数，于是sin cos xdx x C =-+⎰.（3）因为()xx ee '=，所以xe是xe 的一个原函数，于是x x e dx e C =+⎰. 例2 已知某曲线上任意点),(y x 处切线斜率为2x ，并且曲线过点)1,0(，求曲线方程。