多边形边角关系(经典)

第9章三角形与多边形一、教学目标本章的主要内容是三角形和多边形的有关概念及其边角的性质。

教材先从瓷砖的铺设提出问题,接着研究三角形和多边形的有关边角的性质,最后探究正多边形在拼地板中的运用及其隐含的数学道理。

本章的教学目标是:1．了解三角形的内角、外角及其主要线段（中线、高、角平分线）等概念。

2．会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。

3．了解三角形的稳定性。

4．了解几种特殊的三角形与多边形的特征，并能加以简单地识别。

5．探索并掌握三角形的外角性质与外角和。

6．理解并掌握三角形的三边关系。

7．探索、归纳多边形的内角和外角和公式，并能运用于解决计算问题。

8．体验探索、归纳过程，学会合情推理的数学思想方法。

9．在直观感知、操作确认的基础上，体验证明的必要性，初步学会说理.10．欣赏丰富多彩的图案,体验数学美，提高审美情趣.二、教材特点1．本章由“瓷砖的铺设"导入,接着研究三角形和多边形的性质,最后运用三角形和多边形的有关性质探索拼地板的问题，体现了数学来源于实践,又应用于实践的特点。

2．在呈现方式上，改变“结论——例题——练习”的陈述模式，而是采用“问题——探究——发现”的研究模式，并采用多种探究方法：对“三角形的外角性质及外角和”同时采用拼图和数学说理的方法；对“三角形的三边关系"采用画图的方法；对“多边形的内角与外角和”采用计算与归纳说理的方法.3．在直观感知、操作确认的基础上，适当地进行数学说理，将两者有机地结合起来,让学生体验证明的必要性，学会初步说理。

4．渗透计算器的应用，有意识地让学生运用计算器探索多边形的内角和外角和。

5．通过教材的“问题型”呈现和探索性、开放性习题的练习,力图改变学生的学习方式，让学生自主探索、合作学习。

6．第1课时认识三角形（1）教学目的1。

理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念.2。

会将三角形按角分类.3。

理解等腰三角形、等边三角形的概念。

相似多边形基本知识相似多边形是数学中一个重要的概念，它在几何学和实际应用中都具有广泛的应用。

相似多边形具有相同的形状，但是大小可以不同。

在本文中，我们将介绍相似多边形的定义、性质以及如何确定相似多边形之间的关系。

一、相似多边形的定义相似多边形是具有相同形状但大小不同的多边形。

即使边长和内角都不相等，只要多边形的形状相同，就可以称它们为相似多边形。

相似多边形通过对应边的比值来确定彼此之间的关系。

例如，若多边形A和多边形B的边比为a:b，那么我们可以表示为A∼B，表示多边形A与多边形B相似。

二、相似多边形的特性相似多边形具有以下一些特性：1. 边的比例关系：相似多边形的对应边的比值相等，即A∼B，则对应边AB的比值等于a:b。

2. 角的对应关系：相似多边形的内角相等，即A∼B，则对应角的度数相等。

3. 面积的比例关系：相似多边形的面积比等于边长比的平方，即A∼B，则多边形A的面积与多边形B的面积的比等于(a/b)²。

三、判断相似多边形的条件在实际问题中，我们需要根据已知条件判断两个多边形是否相似。

常见的判断相似多边形的条件包括：1. 边比例相等：两个多边形的对应边的比值相等。

2. 角度相等：两个多边形的对应角度相等。

3. 边角关系：如果两个多边形的对应边比例相等，并且对应角度相等，那么它们是相似的。

四、相似多边形的应用相似多边形在实际应用中有着广泛的用途。

以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，相似多边形可以用来计算建筑物的比例关系，从而确定合适的尺寸和比例。

2. 地图制作：在地图制作中，相似多边形可以用来表达地图上不同地区的比例关系，帮助人们更好地理解地理信息。

3. 电影特效：在电影特效中，相似多边形可以用来生成虚拟世界的模型，通过调整大小和比例来创造逼真的效果。

4. 工程测量：在工程测量中，相似多边形可以用来测量难以直接测量的物体的尺寸，通过相似性关系来推算出实际尺寸。

边角边的判定方法引言在几何学中，边角边是指一个多边形的两条边和夹角的组合。

在解决几何问题时，我们常常需要判断一个图形是否为边角边，以便进行后续推导和计算。

本文将介绍边角边的判定方法，并给出详细的步骤和示例。

边角边的定义在一个多边形中，如果两条边与它们夹角之间的第三条边相等或成比例，那么这两条边与夹角就构成了一个边角边。

判定方法要判断一个图形是否为边角边，可以根据以下步骤进行：1.观察图形：首先要仔细观察给定的图形，并标记出所需判断的两条边和夹角。

确保没有遗漏或错误地标记了其他部分。

2.测量长度：使用测量工具（如尺子）测量所需判断的两条边和夾角之间的第三条邊。

确保测量结果准确无误。

3.判断相等性：比較这三个长度是否相等。

如果它们完全相等，则说明图形是一个完全相等于一般多邊形或正方型的边角边。

如果它们成比例，则说明图形是一个成比例的边角边。

4.判断比例：如果三个长度不完全相等但成比例，可以通过计算它们的比值来判断。

将第一条边与第三条边的长度相除，再将第二条边与第三条边的长度相除，得到两个比值。

如果这两个比值相等，则说明图形是一个成比例的边角边。

5.举例验证：为了进一步验证判断结果，可以选择一些已知为边角边的图形进行对比。

将所测量的长度与这些已知图形进行对比，如果它们吻合，则说明判断正确。

示例以下是一个示例问题及解答过程：给定一个多邊形 ABCD，其中 AB = BC = 5cm，∠ABC = 60°。

请判断这个多邊形是否为一个边角边。

解答过程：1.观察图形：观察多邊形 ABCD，并标记出所需判断的两条邊 AB 和 BC，以及夾角∠ABC。

2.测量长度：使用尺子测量 AB、BC 和 AC 的长度分别为 5cm、5cm 和7.07cm（约）。

3.判断相等性：由于 AB = BC = 5cm，并且∠ABC 是直角（90°），所以这个多邊形是一个正方形，也是一个边角边。

4.判断比例：由于AC ≠ AB 和AC ≠ BC，我们需要计算比值。

共边定理和共角定理
共边定理和共角定理是几何学中两个重要的定理，它们都是关于多边形的定理。

这两个定理分别描述了多边形边数和内角数之间的关系。

共边定理指出，相邻两条边之间会有一个内角，那么在n条边的多边形中，边数和内角数之间的关系是n（n-3）/2，也就是说，当n 边形中有n条边时，内角数为n（n-3）/2。

这就是共边定理。

共角定理指出，多边形的n个内角之和为（n-2）180°，这就是共角定理。

以上就是共边定理和共角定理的基本定义，接下来我们将研究它们之间的关系。

共边定理和共角定理之间有一定的关联，当已知n条边多边形的内角数之和时，可以推导出它的边数。

因为我们已经知道共角定理：多边形的n个内角之和为（n-2）180°，且共边定理：n条边的多边形的内角数为n（n-3）/2。

所以若要求出边数，应当将（n-2）180°和n（n-3）/2分别等于，然后求解出n的值，即可求出多边形的边数。

此外，共边定理和共角定理还可以用于检验多边形是否有效。

一个多边形若是有效的，那么它应该符合共边定理和共角定理。

也就是说，若一个多边形边数和它的内角数之和不符合共边定理和共角定理，则该多边形是无效的。

共边定理和共角定理也可以用来求解多边形的面积，这里提出的
方法叫做“三角法”：如果一个多边形的所有边都可以通过已知的点形成三角形，那么通过共边定理和共角定理就可以将这些三角形重新拼接成一个完整的多边形，这样，就可以根据每个三角形的面积计算出整个多边形的面积。

总之，共边定理和共角定理是几何学中重要的定理，它们与多边形有着紧密的联系，可以帮助我们求解多边形的边数、内角数、面积等问题。

知识要点1 多边形的有关概念（1）多边形：在平面内，由一些首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

（2）内角：多边形相邻两边组成的角叫作它的内角。

如图所示，∠A ，∠B ，∠C ，∠D ，∠E 是五边形ABCDE 的5个内角。

（3）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角，如图所示，∠1是五边形的一个外角。

（4）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

如图所示，AC 是五边形ABCDE 的一条对角线。

（5）凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫做凸多边形，否则叫凹多边形，我们初中阶段主要学习凸多边形。

（6）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形。

例1、判断下列说法是否正确。

（1）所有的角都相等的多边形是正多边形； （ ）（2）所有的边都相等的多边形是正多边形。

（ ）（3）所有的多边形都有对角线。

（ ）例2、从十边形的一个顶点作对角线,把十边形分成 个三角形.知识要点2 多边形对角线的条数在n 边形中选定一个顶点，与它不相邻的顶点有(n-3)个，即可连成(n-3)条对角线。

依此类推，从n 个顶点出发可连n(n-3)条线。

但每条线都被算了两次，帮还要除以2，故凸n 边形一共可引出2)3( n n 对角线。

第9讲 多边形的边角和对角线A B D C E A B D C E AB DC E 1例3、过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形有k 条对角线，则(m −k)n =______________[巩固练习]1、若从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则它是______边形；2、有一个十八边形，它共有______条对角线，若有一个多边形有35条对角线，则它为_________边形；3、记凸多边形对角线的条数为a n (n ≥4)。

如：a 4=2，则a 6=_______，a n =_____ a 2015−a 2012=________________知识要点3 多边形的内角和多边形的内角和：(n －2)×180°例4、从凸n 边形的一个顶点引出的所有对角线有m 条，若m 等于这个凸n 边形对角线条数的13，那么此n 边形的内角和为 .例5、如图，已知长方形ABCD ，一条直线将该长方形ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M 和N ，则M+N 不可能是（ ）A 、360°B 、540°C 、720°D 、630°[巩固练习]1、一个凸多边形中除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个多边形的内角和为 .2、凸n 边形中，有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是 .3、在凸多边形的所有内角中，锐角的个数最多是c例6、小林从点P 向西走12m 后，向左转，转动的角度为α，再走12m ，如此重复，小林共走了108m 回到点P ，则α=____________[巩固练习]（1）一个多边形的内角和是外角的2倍，则这个多边形的边数为_____（2）在凸多边形的所有外角中，钝角的个数最多是 ;知识要点5 星形角度和例7、如图延长凸五边形12345A A A A A 的各边相交得到5个角，（1）求12345,,,,B B B B B ∠∠∠∠∠的和？（2）若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，这时n 个角的度数是多少？[巩固练习]如图，A++++++n 90B C D E F G ∠∠∠∠∠∠∠=︒，求n .例8、在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形。

解码专训一：巧用多边形的内(外)角和求边角问题名师点金：多边形的内角和与外角和定理属于多边形中的基础知识，常与方程、不等式综合运用来求角的度数或多边形的边数．多边形的有关概念1．下列说法正确的是()A．若干条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做多边形B．连结多边形两个顶点的线段叫做多边形的对角线C．从n边形的一个顶点可以引(n－2)条对角线D．n边形共有n（n－3）2条对角线利用多边形的内角和或外角和定理求边数2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形3．(中考·娄底)一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．4．已知两个多边形的内角总和是900°，且边数之比是1∶2，求这两个多边形的边数．利用多边形的内角和或外角和定理求角的度数5．在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比为2∶3∶4∶3，则∠D等于()A．60°B．75°C．90°D．120°6．(中考·北京)如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝________．(第6题)7．如图，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．(第7题)用不等式思想解有关多边形的边数及角的问题8．一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求：(1)这个多边形的边数；(2)除去的那个内角的度数．求不规则图形的内角和9．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．(第9题)多边形中的截角问题10．一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形，新多边形的内角和是其外角和的6倍，那么原多边形的边数是多少？解码专训二：平行四边形判定的五种常用方法名师点金：平行四边形的判定方法有多种，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，灵活选择恰当的方法，从而简化解题过程．利用两组对边分别平行判定1．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分∠ABC，交AD的延长线于点F，那么四边形BFDE是否为平行四边形？说明你的理由．(第1题)利用两组对边分别相等判定2．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，并且BE＝DF，证明：四边形AECF是平行四边形．(第2题)利用一组对边平行且相等判定3．(中考·桂林)如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；(2)对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM.(第3题)利用两组对角分别相等判定4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？(第4题)利用对角线互相平分判定5．如图，AB、CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，点E、F分别是OC、OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形．(第5题)解码专训三：平行四边形的性质与判定的五种常见题型名师点金：平行四边形的性质与判定定理的应用，是中考的重点内容之一，主要从四边形的边、角、对角线等方面进行比较，对四边形的边、角进行计算或推理论证，题型多样，命题以简单题为主，有向解决实际问题方面发展的趋势．利用性质与判定证明平行四边形1．(中考·龙岩)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.(1)求证：AE＝CF；(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．(用两种不同的方法证明)(第1题)利用性质与判定判断线段的关系2．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB 于F，连结EF、AD，那么是否有下列结论？说明理由．(1)AD与EF互相平分；(2)BF＝AE.(第2题)利用性质与判定探究图形的形状3．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连结MF，EN，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论．(第3题)利用性质与判定探究四边形中的动点问题4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC＝6厘米．点P、Q分别为从点A、C同时出发，点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．几秒后，四边形ABQP为平行四边形？(第4题)利用性质与判定求解翻折问题5．如图，四边形ABCD是长方形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上，设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．(1)求证：四边形AECG是平行四边形；(2)若AB＝4 cm，BC＝3 cm，求线段EF的长．(第5题)解码专训四：平行四边形与图形变换名师点金：本章主要学习平行四边形的性质与判定，结合前面学过的平移、旋转与轴对称，可利用图形变换的性质，解决平行四边形中简单的推理与计算问题．平行四边形与平移1．将图①中的平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，再将△ADC沿着AC 方向平移，得到图②中的△A1D1C1，连结AD1，BC1.除△ABC与△C1D1A1外，你还可以在图中找出哪几对全等的三角形(不能另外添加辅助线和字母)？请选择其中的一对加以证明．(第1题)平行四边形与旋转2．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.(1)求线段OA1的长和∠AOB1的度数；(2)连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；(3)求四边形OAA1B1的面积．(第2题)3．已知：如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA，BC的延长线于点E，F，交AB，DC于点M，N.(1)观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△________，请加以证明；(2)在(1)中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？(第3题)平行四边形与轴对称4．△ABO在平面直角坐标系中的位置如图①，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，AB＝1，OB＝2，以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连结AD并延长交OC于点E.(1)求点B的坐标；(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；(3)如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．(第4题)解码专训五：构造平行四边形巧解证明题名师点金：在解决与四边形有关的几何问题时，若能够根据题设条件和图形特征，运用平行四边形具有的对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，添加适当的辅助线，巧妙地构造出平行四边形，就会化难为易，化繁为简．证两线段相等1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，BE∥DF，BD∥EF，DF交AC于G.求证：AG＝EG.(第1题)证两线段互相平分2．如图，在平行四边形ABCD中，E，G，F，H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH.求证：EF与GH互相平分．(第2题)证两线段平行3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O任作一直线分别交AB，CD于点G，H.求证：GF∥EH.(第3题)证线段的和差关系4．如图，在四边形BCED中，DE∥BC，延长边BD，CE交于点A，在边BD上截取BF＝AD，过点F作FG∥BC交EC于点G.求证：DE＋FG＝BC.(第4题)解码专训六：巧用三角形的中位线名师点金：三角形的中位线是初中几何中的重要内容，通常可以利用它来证明线段的位置关系和数量关系．在实际运用中，有些问题虽没有直接给出中位线或看似与三角形中位线定理无关，但通过巧添辅助线就可运用其解决相关问题．利用三角形的中位线求线段长度或角的度数1．在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是()A．8 B．10(第2题)C．12 D．142．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝60°，则∠FEG＝________．利用三角形的中位线证线段的位置关系3．如图，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AE＝BF，AF与BE相交于点M，CE与DF相交于点N.求证：MN∥BC.(第3题)4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC ＝BD ，M 、P 、N 分别是边AB 、BC 、CD 的中点，Q 是MN 的中点．(1)求证：PQ ⊥MN ； (2)判断△OEF 的形状．(第4题)利用三角形的中位线证线段的倍分关系5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 的中点，求证：CD ＝2CE.(第5题)利用三角形的中位线证线段的和差关系6．如图，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F ，求证：MF ＝12(AC －AB)．(第6题)利用三角形的中位线证线段的不等关系7．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ≠CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF<12(AB ＋CD)．(第7题)解码专训七：思想方法荟萃方程思想名师点金：对于所要求的数学问题，通过列方程(组)来解决的一种解题策略就是方程思想．在一些几何图形中，利用设未知数、列方程(组)求解可使问题更简单易解．1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE ＝4，AF ＝5，四边形ABCD 的周长为36，求AB ，BC 的长．(第1题)转化思想名师点金：平行四边形可被其对角线分成几个三角形(或特殊三角形)，在解决有关的计算题与证明题时，常将四边形中的问题转化到三角形中，然后用三角形知识来解决．另外，证明线段或角相等时，若不能直接证得结论，可通过转化为平行四边形的对边、对角或证三角形全等的形式来证明．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线交AD 于点E，交BC于点F，若▱ABCD的面积为30 cm2，求图中阴影部分的面积．(第2题)3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O与AB交于点E，与CD交于点F，GH过点O与AD交于点G，与CB交于点H.求证：GF＝EH.(第3题)构造法名师点金：构造法是根据题设条件或结论具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助该数学模型来解决原数学问题的解题方法．对于某些问题，常采用构造平行四边形的方法，从而利用平行四边形的性质使问题变得简单．4．如图，AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.(第4题)答案解码专训一1．D 2.B3．6点拨：设多边形的边数为n，由题意得(n－2)·180°＝360°×2.所以n ＝6.4．解：设这两个多边形的边数分别是n，2n.根据多边形的内角和定理，得(n－2)·180°＋(2n－2)·180°＝900°，解得n＝3.所以2n＝6.所以，这两个多边形的边数分别是3，6.5．C 6.360°7．解：如图，连结AD，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.又∵∠C＝120°，∴∠BAD＋∠ADC＝150°.∵CD∥AF，∴∠CDA＝∠DAF.∴∠BAF＝150°.∵∠CDE＝∠BAF，∴∠CDE＝150°.∴在六边形ABCDEF中，∠F＝720°－∠BAF－∠B－∠C－∠CDE－∠E＝720°－150°－90°－120°－150°－80°＝130°.(第7题)8．解：(1)设这个多边形的边数为n，则其内角和为(n－2)·180°.依题意，得2 570°＜(n－2)·180°＜2 570°＋180°.解得16518＜n＜17518.因为n≥3，且n是整数，所以n＝17，即这个多边形的边数为17.(2)除去的那个内角的度数为(17－2)×180°－2 570°＝130°.点拨：由于除去一个内角后，其余内角之和为2 570°，因此该多边形的内角和比2 570°大，比2 570°＋180°小．可列出关于边数的不等式，先确定边数的范围，再求边数．(第9题)9．解：如图，连结CD.∵∠1＋∠3＋∠4＝180°，∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°，∴∠1＝∠A＋∠ACF＋∠ADB.∵∠1＝∠2，∠2＋∠B＋∠E＋∠F＝360°，∴∠A＋∠B＋∠ACF＋∠ADB＋∠E＋∠F＝360°.因此，所求的度数为360°.10．解：设新多边形的边数是n，根据多边形的内角和定理，得(n－2)·180°＝6×360°.解得n＝14.一个多边形截去一个角后，所得新多边形的边数可能不变，也可能减少1，还可能增加1，所以原多边形的边数是13或14或15.解码专训二1．解：四边形BFDE为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∠ADC＝∠ABC，∴FD∥BE，∠2＝∠3，∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠1＝12∠ADC，∠2＝12∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．2．证明：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.同理可得△ADF≌△CBE，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．3．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，EB∥DF.又∵EB＝12AB，DF＝12CD，∴EB＝DF，∴四边形EBFD为平行四边形．(2)∵四边形EBFD为平行四边形，∴∠ABN＝∠CDM.∵AB∥CD，∴∠BAN＝∠DCM.又∵AB＝CD，∴△ABN≌△CDM. 4．解：四边形BFDE是平行四边形．理由：在▱ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C. ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝12∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．5．证明：∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.∵∠AOC＝∠BOD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC＝OD.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OE＝12OC，OF＝12OD，∴OE＝OF.又∵OA＝OB，∴四边形AFBE是平行四边形．解码专训三BC，∴∠3＝∠4.1．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，又∵AD＝CB，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE＝CF.(2)方法一：由(1)知△ADE≌△CBF，∴DE＝BF.∵∠1＝∠2，∴DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．方法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠BAE ＝∠DCF.∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE＝DF.∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．点拨：(2)题方法不唯一．2．解：两个结论都成立，理由如下：(1)∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AD与EF互相平分．(2)在▱AFDE中，AE＝DF，AC∥DF，∴∠C＝∠FDB.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠B＝∠FDB，∴BF＝DF＝AE.3．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C.∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)解：四边形MFNE是平行四边形．证明如下：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF.又∵M，N分别是BE，DF的中点，∴ME＝FN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠FBE.∴∠CFD＝∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四边形MFNE是平行四边形．规律总结：(2)题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论．本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质判断另一个四边形的形状，再利用平行四边形的判定方法判定这个四边形是平行四边形．4．解：设x 秒后，四边形ABQP 是平行四边形． 则AP ＝x 厘米，CQ ＝2x 厘米，BQ ＝(6－2x)厘米．∵AD ∥BC ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 是平行四边形． ∴x ＝6－2x ，解得x ＝2.∴2秒后，四边形ABQP 是平行四边形．5．(1)证明：由题意可得∠GAH ＝12∠DAC ，∠ECF ＝12∠ACB. ∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB.∴∠GAH ＝∠ECF ， ∴AG ∥CE ，又∵AE ∥CG ，∴四边形AECG 是平行四边形．(2)解：由勾股定理可得AC ＝5 cm ，由题意可得CF ＝BC ＝3 cm ，∴AF ＝2 cm ，设EF ＝BE ＝x cm ，则AE ＝(4－x)cm ，∴(4－x)2＝22＋x 2，解得x ＝32. ∴EF ＝32 cm .解码专训四1．解：△AA 1D 1≌△C 1CB ，△AD 1C 1≌△C 1BA. 选证△AA 1D 1≌△C 1CB ：由平行四边形和平移的性质，得AA 1＝C 1C ，A 1D 1＝CB ，∠ACB ＝∠C 1A 1D 1， ∴∠AA 1D 1＝∠C 1CB. 在△AA 1D 1和△C 1CB 中，⎩⎨⎧AA 1＝C 1C ，∠AA 1D 1＝∠C 1CB ，A 1D 1＝CB ，∴△AA 1D 1≌△C 1CB.2．(1)解：由旋转的性质得OA 1＝6，∠AOB 1＝90°＋45°＝135°.(2)证明：∵∠AOA 1＝∠OA 1B 1＝90°，∴OA ∥A 1B 1.又∵OA ＝AB ＝A 1B 1，∴四边形OAA 1B 1是平行四边形．(3)解：S 四边形OAA 1B 1＝OA·OA 1＝6×6＝36. 3．解：(1)BOM ；DON证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BO ＝DO ，AB ∥CD ，∴∠MBO ＝∠NDO ，∠BMO ＝∠DNO. ∴△BOM ≌△DON.(2)其中一个三角形可由另一个三角形绕点O 旋转180°后得到或以点O 为对称中心作中心对称得到．点拨：(1)题答案不唯一．4．(1)解：由勾股定理得OA ＝22－12＝3， ∴点B 的坐标为(3，1)．(2)证明：∵∠OAB ＝90°，∴AB ⊥x 轴． ∵y 轴⊥x 轴，∴AB ∥y 轴，即AB ∥CE. ∵∠AOB ＝30°，∴∠OBA ＝60°. ∵D 是OB 的中点，∴OD ＝DB ＝1. ∵AB ＝1，∴AB ＝DB.∴△ABD 是等边三角形，∴∠ADB ＝60°. ∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°， ∴∠ADB ＝∠OBC ，∴AE ∥BC ， ∴四边形ABCE 是平行四边形．(3)解：设OG ＝x ，则由题意可得GA ＝GC ＝2－x.由勾股定理得，OG 2＋OA 2＝GA 2，即x 2＋(3)2＝(2－x)2，解得x ＝14，即OG ＝14.解码专训五(第1题)1．证明：∵BE ∥DF ，BD ∥EF ， ∴四边形BEFD 是平行四边形． ∴EF ＝BD.∵D 为AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴EF ＝AD.如图，连结DE ，AF ，∵EF ∥AD ， ∴四边形ADEF 是平行四边形． ∴AG ＝EG.2．证明：如图，连结HE ，EG ，GF ，FH.(第2题)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AD ＝CB. ∵BG ＝DH ， ∴AH ＝CG. 又∵AE ＝CF ， ∴△HAE ≌△GCF ， ∴HE ＝FG. 同理可证HF ＝EG.∴四边形EGFH 是平行四边形． ∴EF 与GH 互相平分．(第3题)3．证明：如图，连结GE ，FH. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AB ∥CD ，∴∠BAO ＝∠DCO. 又∵∠AOG ＝∠COH ， ∴△AOG ≌△COH ， ∴OG ＝OH.∵E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴OE ＝12OB ＝12OD ＝OF ，∴四边形EHFG是平行四边形．∴GF∥EH.(第4题)4．证明：如图，过点F作FM∥AC交BC于点M，则四边形FMCG是平行四边形，∠BFM＝∠A.∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B.又BF＝AD，∴△BFM≌△DAE，∴BM＝DE.∵四边形FMCG是平行四边形，∴FG＝MC，∴DE＋FG＝BM＋MC＝BC.解码专训六1．B 2.20°3．证明：连结EF，在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵AE＝BF，∴DE＝CF.∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．∴点M、N分别是EB和EC的中点．∴MN是△EBC的中位线．∴MN∥BC.点拨：本题借助平行四边形的性质，先证明MN是△EBC的中位线，然后利用三角形中位线定理证明结论．4．(1)证明：如图，连结PM和PN，∵M、P分别是边AB、BC的中点，∴PM是△BAC的中位线．∴PM ∥AC ，PM ＝12AC.同理，PN ∥BD ，PN ＝12BD.∵AC ＝BD ，∴PM ＝PN.∵Q 是MN 的中点，∴PQ ⊥MN.(2)解：△OEF 是等腰三角形．∵PM ∥AC ，PN ∥BD ，∴∠OFE ＝∠PMN ，∠OEF ＝∠PNM.∵PM ＝PN ，∴∠PMN ＝∠PNM ，∴∠OFE ＝∠OEF.∴△OEF 是等腰三角形．(第4题)(第5题)5．证明：如图，取CD 的中点F ，连结BF ，则CD ＝2CF.∵AB ＝BD ，∴BF 是△ADC 的一条中位线，∴BF ∥AC ，BF ＝12AC.∴∠2＝∠ACB.∵AB ＝AC ，∴∠1＝∠ACB ，∴∠1＝∠2.∵E 是AB 的中点，∴BE ＝12AB ， ∵BF ＝12AC ，且AB ＝AC ，∴BE ＝BF.在△BCE 和△BCF 中，⎩⎨⎧BE ＝BF ，∠1＝∠2BC ＝BC ，，∴△BCE ≌△BCF(SAS)，∴CE ＝CF.∵CD ＝2CF ，∴CD ＝2CE.(第6题)6．证明：如图，延长AB 、CF 交于点E.∵CF ⊥AF ，∴∠AFE ＝∠AFC ＝90°.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1＝∠2.在△AEF 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AF ＝AF ，∠AFE ＝∠AFC ，∴△AEF ≌△ACF(ASA)．∴AE ＝AC ，EF ＝CF.又∵M 为BC 的中点，∴MF 为△BEC 的中位线．∴MF ＝12BE ＝12(AE －AB)＝12(AC －AB)．(第7题)7．证明：如图，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME 和MF.∵M 、E 分别是BD 、AD 的中点，∴ME 是△ABD 的中位线．∴ME ＝12AB.同理，MF ＝12CD.在△MEF 中，ME ＋MF>EF ，∴12AB ＋12CD ＝12(AB ＋CD)>EF ，即EF<12(AB ＋CD)．解码专训七1．解：在▱ABCD中，CD＝AB.∵▱ABCD的面积＝BC·AE＝CD·AF，AE＝4，AF＝5，∴4BC＝5CD，即BC＝54CD.又2(AB＋BC)＝36，∴AB＋BC＝18，即BC＋CD＝18，∴54CD＋CD＝18，解得CD＝8.∴BC＝10.即AB＝8，BC＝10.2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，DC＝BA.∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA.∴S△ABC ＝S△CDA＝12S▱ABCD＝12×30＝15(cm2)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，AD∥BC.∴∠OED＝∠OFB，∠EDO＝∠FBO. ∴△DOE≌△BOF，∴S△DOE ＝S△BOF.∴S阴影部分＝S△BOF＋S△AOE＋S△COD＝S△DOE＋S△AOE＋S△COD＝S△CDA＝15 cm2.(第3题)3．证明：如图，连结GE，HF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠4，∴△AEO≌△CFO(ASA)，∴OE＝OF.同理可证△OCH≌△OAG，∴OH＝OG.∴四边形GEHF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．∴GF＝EH.点拨：本题把要证明相等的两条线段转化为平行四边形的对边加以证明．4．证明：如图，延长AD至N，使DN＝AD，连结BN，CN，则四边形ABNC 是平行四边形．(第4题)∴BN＝AC，BN∥AC，∴∠BNA＝∠NAC.∵AE＝FE，∴∠FAE＝∠AFE.∵∠AFE＝∠BFN，∴∠BFN＝∠BNF.∴BN＝BF，∴BF＝AC.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

（三角形的“五心三线段” ｛多边形的概念与性质 ［多边形的镶嵌、\prepare1. 判断：三角形的高是一条直线.（ ）2. 判断：三角形的三条高必交一点.（ ）3. 判断：所有内角都相等的多边形是正多边形.（)4.正六边形的一个内角等于度.【解析】错，错，错，120. 删叶卄“五心”（1）三角形的“三线段”指的是三角形的角平分线.中线、高.⑵三角形的“五心”指的是三角形的内心、重心、垂心、外心、旁心.①三角形的三条角平分线的交点叫做内心.② 三角形的三条中线的交点叫做重心.③ 三角形的三条高所在的直线的交点叫做垂心.④ 三角形的三条边的中垂线的交点叫做外心.⑤ 三角形的任意两个外角的外角平分线和第三个内角平分线的交点叫做旁心.（虽然课本没有, 但中考中出现了很多与旁心相关的题）锐角三角形的内心直角三角形的内心 钝角三角形的内心 三角形内切岡的恻心锐角三角形的重心直角三角形的重心 钝角三角形的重心【例1】⑴如图1, 30平分Z4BC, ⑵如图2, BO 平分ZABC, ⑶如图3, BO 平分乙CBD , CO 平分ZACD,写出ZA 与ZO 之间的等童关系.CO 平分ZACB,写出ZA 与上O 之间的等童关系. CO 平分ZBCE,写出ZA 与ZO 之间的等量关系.角平分线 中线 高钝角三角形的垂心说角三角形的垂心直角三角形的垂心 钝角三角形的外心Z0+Z1+22 = 180°ZA+(180°- 2Z1) + (180° - 2Z2) =180° 【变式】如下图，ZAEB=ZCEB, ZADB=ZCDB,写出ZA, ZB, ZC 之间的等童关系.【解析】用上一讲的结论：■乙2 3 4,.・.2Z5=ZA +ZC . ZC=Z1+Z2 + ZB【例2】已知BD 、CE 是A4BC 的两条高，直线BD 、CE 交于点O,且D.E.A.O 互不重合，ZBOC = a, 请用a^ZBAC的度数.【解析】1•锐角三角形的情形：ZBAC = lSO°-a.二、Z4为钝角三角形的锐角，如图：ZBAC = a.2 直角三角形不符合的情形；3 钝角三角形的情形：一、ZA 为钝角三角形的钝角，如图：ZBAC = lSO°-a.【解析】（D由外角定理: 2Z1+ZA = 2Z2 Z1 + ZO=Z2 ,・・・ZO =丄乙4.由三角形内角和定理:2Z1 + 2Z2+ZA = 18O° Z1+Z2+ZO = 180°,・・・込9。