2019年全国普通高等学校招生统一考试(王后雄终极押题)数学(理)押题卷共3套(有答案)

2019届高考全国统一试卷押题卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，则A B =（ ）A ．{}2x x >-B ．{}21x x -<≤C ．{}2x x ≤-D ．{}1x x ≥【答案】A【解析】∵{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，∴根据集合并集的定义可得{}2A B x x =>-， 故选A ． 2．复数2iiz +=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】∵()()22i i 2i 12i i i z +-+===--， ∴复数2iiz +=在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限，故选D ． 3．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】B【解析】由三视图知三棱锥的侧棱AO 与底OCB 垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，∴6OA =， ∴棱锥的体积11246832V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．4．设实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()0,1A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x z =-+，直线3y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上截距最小，∴min 3011z =⨯+=，故选A ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】执行程序框图，1n =时，11133S ==⨯；3n =时，11213355S =+=⨯⨯； 5n =时，11131335577S =++=⨯⨯⨯；7n =时，11114133557799S =+++=⨯⨯⨯⨯， 9n =，满足循环终止条件，退出循环，输出的n 值是9，故选C ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14 C ．7 D ．2【答案】B【解析】∵563542a a a a a +=+=+，∴42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 7．下列判断正确的是（ ）A ．“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件B ．函数()f x =的最小值为2C ．当α，β∈R 时，命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆否命题为真命题D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”【答案】C【解析】当4x =-时，2x <-成立，()ln 30x +<不成立，∴A 不正确； 对()2f x =≥1=时等号成立，3，∴()2f x =>，的最小值不为2，∴B 不正确；由三角函数的性质得 “若αβ=，则sin sin αβ=”正确，故其逆否命题为真命题，∴C 正确； 命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，∴D 不正确，故选C ． 8．已知函数()32cos f x x x =+，若(a f =，()2b f =，()2log 7c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】D【解析】∵函数()32cos f x x x =+，∴导数函数()32sin f x x '=-，可得()32sin 0f x x '=->在R 上恒成立，∴()f x 在R 上为增函数，又∵222log 4log 73=<<<b c a <<，故选D ．9．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点， 则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ） AB ．1CD【答案】C【解析】各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，棱长为2， 以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A，)M，)B，()0,1,0N ，()13,1,1A M=-，()BN =，设异面直线1A M 与BN 所成角为θ，则11cos 5A MBN A M BNθ⋅===⋅，∴tan θ=．∴异面直线1A M 与BN C ．10．齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（ ） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为A ，B ，C ，田忌上等、中等、下等马分别为a ，b ，c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B b ，(),B c ，(),C c ，共6种， ∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C ． 11．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线()0x a a =>对称，且当x a ≥时，()2e x a f x -=． 若A ，B 是函数()f x 图像上的两个动点，点(),0P a ，则当PA PB ⋅的最小值为0时，函数()f x 的最小值为（ ） A ．12e- B ．1e -C ．32e-D ．2e -【答案】B【解析】如图，显然PA PB ⋅的模不为0，故当PA PB ⋅最小值为0时，只能是图中的情况，此时，PA PB ⊥，且PA ，PB 与函数图象相切，根据对称性，易得45BPD ∠=︒， 设()00,B x y ，当x a ≥时，()2e x a f x -'=，∴()020e 1x a f x -'==，∴02x a =， ∵(),0P a ，∴PD a =，∴BD a =，即()2,B a a ，∴22e a a a -=，∴1a =，∴当1x ≥时，()2e x f x -=，递增，故其最小值为1e -，根据对称性可知， 函数()f x 在R 上最小值为1e -．故选B ．12．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右顶点为A ，B ．P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当()2233ln ln 3a m n b mn mn⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ） A ．15BC ．45D【答案】D【解析】(),0A a -，(),0B a ，设()00,P x y ，则()2220202b a x y a -=，则00y m x a =+，00y n x a =-，∴2202220y b mn x a a==--， ∴()3222222222233ln ln 36ln 236ln 333a a b a a a b m n b bb mn mn b a b b b a a a ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++=-++=-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪--⎪⎝⎭， 令1a t b=>，则()322236ln 3f t t t t t =-+-．()()()2322232436t t t t t f t t t -+-+-'==，∴当2t =时，函数()f t 取得最小值()2f ．∴2a b =，∴e =，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线22:1C x y -=的右焦点为F ，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_____． 【答案】1【解析】双曲线22:1C x y -=的1a b ==，∴c)F，设双曲线的一条渐近线方程为y x =，则F到渐近线的距离为1d ==，故答案为1．14．412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是_______．【答案】24【解析】()()4124144C 2C 2rrrr r r r T x x x ---+==，∴240r -=，∴2r =，∴22214C 224T +==．15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，1n n a S +=，*n ∈N ，则5a =_____．【答案】32【解析】n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，1n n a S +=，*n ∈N ，①则当2n ≥时，1n n a S -=，② -①②得1n n n a a a +-=，∴12n na a += (常数）， 则数列{}n a 是从第二项起，公比2的等比数列，求得214a S ==，∴()2224n n a n -=⋅≥，故()()241 422n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩，当5n =时，54832a =⨯=，故答案为32． 16．已知G 为ABC △的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ．若AP AB λ=，则当ABC △与APQ △的面积之比为209时，实数λ的值为________． 【答案】34或35【解析】设AQ xAC =，∵P ，G ，Q 三点共线，∴可设()1AG AP AQ μμ=+-，∴()1AG AB xAC λμμ=+-， ∵G 为ABC △的重心，∴()13AG AB AC =+，∴()11133AB AC AB xAC λμμ+=+-，∴()13113xλμμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相乘得()119x λμμ=-①，∵1sin 21sin 2ABC APQAB AC AS S AP AQ A =△△，920x λ=②，②代入①即()20181μμ=-解得49μ=或59，即35λ=或34，故答案为34或35．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，内角A ，B，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知π3A =，222b c a +=．（1）求a的值；（2）若1b =，求ABC △的面积． 【答案】（1（2 【解析】（1）由题意，得222b c a +=-．∵2222cos b c a bc A +-=．∴2cos bcA =， ∵π3A =，∴a A == （2）∵a sin sin a b A B =，可得1sin 2B =． ∵a b >，∴π6B=，∴ππ2C A B =--=，∴1sin 2ABC S ab C ==△．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BMD ；（2）当PA =AM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ．∵M ，O 分别为PC ，AC 中点，∴PA MO ∥．∵PA ⊄平面BMD ，MO ⊂平面BMD ，∴PA ∥平面BMD ．（2）如图，取线段BC 的中点H ，连结AH ．∵ABCD 为菱形，π3ABC ∠=，∴AH AD ⊥．分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， ∴()0,0,0A，)1,0B-，)C，(P，12M ⎝⎭．∴312AM ⎛= ⎝⎭，()0,2,0BC =，(3,1,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =m ．由0BC PC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得200y y =⎧⎪+=．取1z =，∴()1,0,1=m ．设直线AM 与平面PBC 所成角为θ．∴32sin cos ,AM AM AMθ⋅====⋅m m m ∴直线AM 与平面PBC ． 19．（12分）在2018年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾，这些小龙虾标有等级代码．为得到小龙虾等级代码数值x 与销售单价y 之间的关系，经统计得到如下数据：（1）已知销售单价y 与等级代码数值x 之间存在线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.1)；（2）若莫斯科某个餐厅打算从上表的6种等级的中国小龙虾中随机选2种进行促销，记被选中的2种等级代码数值在60以下（不含60）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望．参考公式：对一组数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋯⋯，其回归直线y bx a =+的斜率和截距最小二乘估计分别为：1221ˆni i i n ii x y nx y b xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-．参考数据：618440i i i x y ==∑，62125564i i x ==∑．【答案】（1）0.2.9ˆ8y x =+；（2）分布列见解析，1．【解析】（1）由题意，得384858687888636x +++++==，16.818.820.822.82425.821.56y +++++==，616221684406632150.225564663636ˆi i i xy x y b x x ==-⋅-⨯⨯==≈-⨯⨯-∑∑．，21.50ˆˆ.2638.9a y bx =-=-⨯=． 故所求线性回归方程为0.2.9ˆ8yx =+． （2）由题意，知X 的所有可能取值为0，1，2．∵()023326C C 10C 5P X ===，()113326C C 31C 5P X ===，()203326C C 12C 5P X ===，∴X 的分布列为∴()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=．20．（12分）已知长度为4的线段的两个端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足3BP PA =，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点()0,1H 的直线2y x t =+与曲线C 相交于两点M ，N ．若直线HM 与HN 的斜率之和为1，求实数t 的值．【答案】（1）2219x y +=；（2）3．【解析】（1）设(),P x y ，(),0A m ，()0,B n ．∵3BP PA =，∴()()(),3,33,3x y n m x y m x y -=--=--，即333x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，∴434m x n y⎧=⎪⎨⎪=⎩，又4AB =，∴2216m n +=．从而221616169x y +=．∴曲线C 的方程为2219x y +=．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ．联立22219y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()223736910x tx t ++-=． 由()()2236437910t t ∆=-⨯⨯->，可得t <又直线2y x t =+不经过点()0,1H ，且直线HM 与HN 的斜率存在， ∴1t ≠±，∴t 1t ≠±．∴123637tx x +=-，2129937t x x -=．∵()()12121212124111HM HNx x t x x y y k k x x x x +-+--+=+=， ∴()()121212414411x x t x x tx x t +-+=-=+．解得3t =，∴t 的值为3． 21．（12分）已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a ∈R ．（1）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，若关于x 的不等式()1e 1x f x x bx x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）(],2-∞．【解析】（1）由题意，知()()()22e 1e e xx xax x a x f x a x x x ---=--='+． ∵当0a <，0x >时，有e 0x ax -<．∴当1x >时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>． ∴函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．（2）由题意，当1a =时，不等式()1e 1x f x x bx x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭恒成立．即()e ln 11x x x b x -+-≥恒成立，即ln 11e x x b x x-≤--恒成立． 设()ln 1e xx g x x x =--．则()22221ln 1e ln e x xx x x g x x x x -+=-+='． 设()2e ln x h x x x =+，则()()212e x h x x x x'=++．∵当0x >时，有()0h x '>．∴()h x 在()0,+∞上单调递增，且()1e 0h =>，1ln 202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭． ∵函数()h x 有唯一的零点0x ，且0112x <<． ∴当()00,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增． 即()0g x 为()g x 在定义域内的最小值，∴0000ln 11e x x b x x -≤--． ∵()00h x =，得0000ln e x x x x =-，()011*2x <<， 令()e x k x x =，112x <<．∴方程()*等价于()()ln k x k x =-，112x <<． 而()()1e x k x x +'=在()0,+∞上恒大于零，∴()k x 在()0,+∞上单调递增． 故()()ln k x k x =-等价于ln x x =-，112x <<． 设函数()ln m x x x =+，112x <<．易知()m x 单调递增． 又11ln 2022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110m =>，∴0x 是函数的唯一零点．即00ln x x =-，001e x x =．故()g x 的最小值()()000000000ln 111e 1x x x g x x x x x x -=--=--=． ∴实数b 的取值范围为(],2-∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线错误！未找到引用源。

秘密★启用前2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅱ）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}1,2- 2．已知i 为虚数单位,复数1z i =+,则1z z-的实部与虚部之差为( )A ． 1B ．0C1D3．下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI ）数据折线图，（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（ ）A. 2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%B. 2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%C . 2018年2月CPI 环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D . 2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ） A ．()71887-人 B ．()91887-人 C ．()718887+-人D ．()9418887+-人 5．根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用()1,2,,10i A i =⋅⋅⋅表示第i 个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是（ ）A ．iB B A =+B ．2i B B A =+C ．()2i B B A A =+- D ．22i B B A =+6．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<8. 如图网格纸的最小正方形边长为1，粗线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A ． 32B ．643C ． 323D ． 89. 设点1F ，2F 分别为椭圆22:195x yC +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） A ．12B ．3C ．5D ．810．若1x 是方程1x xe =的解，2x 是方程ln 1x x =的解，则12x x =（ ） A ．1 B ．1- C ．eD ．1e11. 某人5次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为,,9,10,11x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．412. 已知2()+x x f x e e ax =-，0,()2,x f x ∀≥≥均有则a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[3,)+∞第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若实数,x y 满足02601x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =-的最大值为______________．14. 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3人作出如下预测：甲说：我不是第三名； 乙说：我是第三名； 丙说：我不是第一名；若甲、乙、丙三位同学的预测有且只有一个正确，由此判断获得第一名的同学是______________．15. 在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为DC 边上的中点，P 为线段AE 上的动点，设向量AP DB AD λμ=+，则λμ+的最大值为_____________．16．某工厂现将一棱长为3四面体毛坯件，切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为______________．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试理科数学（押题卷3)注意事项：1.本试卷分选择题、填空题和解答题三部分.满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置上。

3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合 A={0>6|2x x x -},B= {2<|x x }，则=)(B C A R A.[0,2) B.(2,6] C. (6,+∞) D. [2,+∞)2.若复数 z=(l-3i)(2+i)，则A.复数z 的虚部为5B. 10||=zC.在复平面内，复数z 所对应的点位于第三象限D. z 2为纯虚数3.某公司的财务人员将该公司2018年一月至十二月的月收入情况（万元）统计如下图所示，则下列说法错误的是A.该公司2018年的月平均收人高于120万元B. 2018年中，该公司有6个月的收入不低于150万元C.该公司2018年月收入的极差为97万元D.该公司七月份的月收入增长率为全年最高4.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≤-03103y y x y x ,则 1-=x y z 的取值范围为A. (-∞,-3)∪(53,+∞)B.[-3, 53]C.(-∞,-3)∪(23,+∞) D. [-3,23] 5. “刍童”，九章算术注曰：上、下底面皆为长方形的草垛,下图中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某“刍童”的三视图，则该“刍童”的表面积为 A. 101632+ B. 111632+ C. 101832+ D. 111632+ 6.若函数12)3ln(3ln )(-++-=x x x f ，则 A.函数)(x f 为偶函数，且在（-3,0)上单调递减 B.函数)(x f 为偶函数，且在（-3,0)上单调递增C.函数)(x f 为奇函数，且在(0,3)上单调递增D.函数)(x f 为奇函数，且在（0,3)上单调递减7.运行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为4,输出的x 的值的和为9837，则判断框中可以填A. x >2 000?B. x >5 000?C. x >8 000?D. x >20 000?8.已知O 是坐标原点，直线03:1=-y x l ，若直线21,l l 关于y 轴对称，点M ，N 分别在直线21,l l 上,且4-=⋅OM ，则线段MN 的中点的轨迹方程为A. 12622=+y xB. 12622=+x yC. 16222=-y xD. 16222=-x y9.已知函数3cos 32cos sin 2)(2+-=x x x x f .若0)(4)(21=+x f x f ，且λππ≤-∈2121,],,[,x x x x ，则实数λ的取值范围为A. ),2[+∞π，B. ),34[+∞πC. ),23[+∞πD.),2[+∞π10.已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=0<,0>,12)(x e m x x x e x f x(e 为自然对数的底数），若有且仅有三个不同的实数321,,x x x ，满足e x xf x x f x x f -===332211)()()(，则实数m 的取值范围为 A.(-e ，0) B. )21,0( C.(0,1) D. (0，e)11.面积为4的正方形ABCD 中，M 是线段AB 的中点，现将图形沿MC ，MD 折起，使得线段 MA ，MB 重合，得到一个四面体A-CDM(其中点B 重合于A)，则该四面体外接球的表面积为A. π19B. 338πC.319π D. 619π12.已知点P 是左、右焦点分别为F 1，F 2的椭圆C: 12222=+by a x (a>b>0)上的一点，且A 是∠PF 1F 2与∠PFA 的角平分线的交点，且)(4421R ∈=+λλ，若椭圆C 的离心率为52，则=λ 。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（）A．B．C．D．【答案】D【解析】复数．故选：D2．已知集合，，若，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，所以，因为,，所以,故选D.3．函数的部分图象大致为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】，定义域为，，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除两个选项.，排除D选项，故选A.4．已知向量与向量的模均为2，若，则它们的夹角是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，故选A.5．已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将的坐标代入双曲线方程得，解得，故，所以离心率为，故选B.6．在中，角的对边分别为，已知，且，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理得，由于，故上式化简得，由于是三角形内角，故.由余弦定理得，故，所以三角形的面积为.故选B.7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.“更相减损术”便出自其中，原文记载如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.”其核心思想编译成如示框图，若输入的，分别为45，63，则输出的为（）A．2 B．3 C．5 D．9【答案】D【解析】通过阅读可以知道，这是利用更相减损术求45，63的最大公约数，63，45的最大公约数是9.也可以按照循环结构来求解，如下表：循环次数 a b初始45 63第一次45 18第二次27 18第三次9 18第四次9 9第五次输出a=9因此本题选D.8．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有（）A．种B．种C．种D．种【答案】D【解析】(1)若甲选《春秋》，则有种情况；(2)若甲不选《春秋》，则有种情况；所以名同学所有可能的选择有种情况.故选D9．已知函数的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，则下列区间为的单调递增区间的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数，向左平移个单位长度，可得再把所得图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，，令2kπ≤2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数y＝g（x）的一个单调递增区间为：[，]．故选：A．10．已知高为3的正三棱柱的每个顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．【答案】B【解析】设三棱柱的底面边长为a，则此三棱柱的外接球的半径，又由已知有，所以，联立得：，分别取BC、、的中点E、F、G，连接GF、EF、EG，因为，，则或其补角为异面直线与所成角，又易得：，，在中，由余弦定理得：，又为锐角即异面直线与所成角的余弦值为，故选：B．11．若函数，函数有两个零点，则k的值是（）A．0或B．0或C．0或1 D．【答案】C【解析】由得，当时，，则当时，，，，，则，此时为减函数，且，当时，，作出函数的图象如图，要使与有两个不同的交点，则或1，故选：C．12．已知直线l：x-y+3=0和点A（0，1），抛物线y=x2上一动点P到直线l和点A的距离之和的最小值是（）A．2 B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，过点P作PB⊥l，垂足为点B，过点P作PC垂直于抛物线的准线m：x=-1，垂足为点C，易知抛物线的焦点为点A（0，1），则点P到A的距离等于点P到抛物线的准线m：x=-1的距离，及|PA|=|PC|，则|PA|+|PB|=|PC|+|PB|，将直线l的方程与抛物线的方程联立，消去y得，x2-4x-12=0，解得或，则直线l交抛物线于点M（-2，1）和点N（6，9）．问题为求|PB|+|PC|的最小值，当点P位于点M时，|PB|+|PC|取得最小值，且最小值为点M到直线m的距离为2．故选：A．非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若曲线在处切线的斜率为2，则实数的值为____.【答案】【解析】由题意，函数的导数为，当时，，令，解得.故答案为.14．若满足约束条件，则的最大值是_____．【答案】5【解析】作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数z＝x+2y为，联立，解得A（1，2），由图可知，当直线z＝x+2y过点（1，2）时，z取得最大值5．故答案为：5．15．在平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点,且,则的值是______.【答案】【解析】∵在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P （a，b），∴由任意角的三角函数的定义得，sinα＝b，cosα＝a．∵，可得：sinα+cosα，∴两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα，可得：1+2sinαcosα，解得：2sinαcosα，∴si n2α＝﹣2sinαcosα．故答案为：．16．已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为_____________.【答案】【解析】因为等边面积为，所以，因为轴截面的面积为8，所以，从而圆锥的表面积为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和为. （Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比即，解得：或，又的各项为正，，故（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得..,.18．一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）四月后20天总利润更大【解析】（Ⅰ）四月前10天订单中百合需求量众数为255，平均数频率分布直方图补充如下：（Ⅱ）设订单中百合花需求量为（支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，可能取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴20天中相应的天数为2天，6天，8天，4天.①若空运250支，当日利润为，，当日利润为，，当日利润为，，当日利润为，20天总利润为元.②若空运255支，当日利润为，，当日利润为，，当日利润为，，当日利润为，20天总利润为元.∵，∴每天空运250支百合花四月后20天总利润更大.19．已知点在椭圆上，，是长轴的两个端点，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由已知可得，解得，又点在椭圆上，即，解得，所以椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设，当直线垂直于轴时，点在以为直径的圆上，不合题意，因此设直线的方程为，代入椭圆方程消去得，则有，即，，且判别式，即，又点总在以为直径的圆内，所以必有，即有，将，代入得，解得，所以满足条件的直线的斜率的取值范围是．20．如图，三棱柱中，，，，且平面⊥平面.（1）求三棱柱的体积.（2）点在棱上，且与平面所成角的余弦值为（），求的长．【答案】（1）1；（2）【解析】（1）如图，在平面内过作与交于点，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，所以为与平面所成角，由公式，解得，所以，，又的面积为，所以三棱柱的体积为.（2）由（1）得在中，为中点，连接，由余弦定理得，解得，所以，（或者利用余弦定理求）以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，所以设，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，即.，又因为与平面所成角的余弦值为，所以，解得或，又因为，所以.21．已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】(Ⅰ) (1)若，在上单调递增；(2)若，在上单调递增；在上单调递减；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ) ,(1)若，则，函数在上单调递增；(2)若，由得；由得函数在上单调递增；在上单调递减.(Ⅱ)由题设，对任意的恒成立即对任意的恒成立即对任意的恒成立 ,由(Ⅰ)可知，若，则，不满足恒成立,若，由(Ⅰ)可知，函数在上单调递增；在上单调递减.，又恒成立，即,设，则函数在上单调递增，且，，解得的取值范围为 .（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.23．已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1），由于函数y=,是减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值.（2）.。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，又，．故选：B．2．已知复数满足 (是虚数单位)，则复数的模 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，故，故本题选B．3．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取，立方寸=升，则商鞅铜方升的容积约为（）A．升B．升C．升D．升【答案】B【解析】由三视图得，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，（如图所示）故其体积（立方寸），（升），故选:B4．已知α为锐角，且tan，则cos（2）=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】5．二项式的展开式中的系数是，则( )A．1 B．C．D．【答案】B【解析】由题意，二项式的展开式中的通项公式，令，解得，所以含项的系数为，解得故选：B．6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】单调递增均存在单调递减区间，由此可得正确本题正确选项：7．过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】A【解析】设右焦点为F′，∵，∴E是PF的中点，∴PF′＝2OE＝a，∴PF＝3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2＝4c2，∴e＝＝，故选：A．8．执行如图的程序框图，则输出的S的值是( )A．126 B．C．30 D．62【答案】D【解析】模拟程序的运行，可得：，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为62．故本题选D．9．已知等差数列{a n}的公差d≠0，S n为其前n项和，若a2，a3，a6成等比数列，且a4＝﹣5，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵等差数列的公差，，，成等比数列，且，∴，，解得，，当时，，则，令且，解得，即时，取得最小值，且，故选A．10．如图，在长方体，且异面直线所成角的余弦值为，则该长方体外接球体积为A．B．C．D．【答案】B【解析】∵异面直线所成角的余弦值为，且，∴，在中，设.∵，∴，∴，∴则长方体外接球直径为，半径为故选：B11．已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由，得，∴，则椭圆方程为，设，则，把A，B的坐标代入椭圆方程得：，①-②得：，∴．∴直线l的斜率为．故选：C．12．已知且，函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】对任意实数，都有成立，∴函数在上为增函数，∴当时，，则，且，当时，，当时，即时，函数的对称轴，此时函数在上单调递增，在单调递减，不满足题意，当时，即时，函数的对称轴，此时函数在上单调递增，即，解得，综上所述的值范围为，故选：A．非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．已知向量，，若，则_____________．【答案】【解析】依题意，由于，所以，. 14．设函数在点处的切线方程为，则______．【答案】3【解析】函数的导数为，得在点处的切线斜率为，因为函数在点处的切线方程为，所以，解得.故答案为：15．若存在等比数列，使得，则公比的取值范围为___．【答案】【解析】，.当时，易知满足题意，但；当时，，解得，综上，.故答案为16．已知函数在上是单调递增函数，则的取值范围为__________．【答案】【解析】函数=由故在区间是单调递增的，当k=0，在区间是单调递增函数，则，而所以所以故答案为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知在中，，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的周长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）15.【解析】（Ⅰ）∵，∴，∴，∴；（Ⅱ）∵，∴，∵,，∴，∴，∴，∴的周长为15.18．在某公司举行的一次真假游戏的有奖竞猜中，设置了“科技”和“生活”这两类试题，规定每位职工最多竞猜3次，每次竞猜的结果相互独立．猜中一道“科技”类试题得4分，猜中一道“生活”类试题得2分，两类试题猜不中的都得0分．将职工得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于4分就认为通过游戏的竞猜，立即停止竞猜，否则继续竞猜，直到竞猜完3次为止．竞猜的方案有以下两种：方案1：先猜一道“科技”类试题，然后再连猜两道“生活”类试题；方案2：连猜三道“生活”类试题．设职工甲猜中一道“科技”类试题的概率为0.5，猜中一道“生活”类试题的概率为0.6．(1)你认为职工甲选择哪种方案通过竞猜的可能性大?并说明理由．(2)职工甲选择哪一种方案所得平均分高?并说明理由．【答案】（1）职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大；（2）职工甲选择方案1通过竞猜的平均分高【解析】猜中一道“科技”类试题记作事件A，猜错一道“科技”试题记作事件；猜中一道“生活”类试题记作事件B，猜错一道“生活”试题记作事件；则，，（1）若职工甲选择方案1，通过竞猜的概率为：.若职工甲选择方案2，通过竞猜的概率为：∵∴职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大.(2) 职工甲选择方案1所得平均分高，理由如下：若职工甲选择方案1，X的可能取值为：0,2,4，则，，，数学期望若职工甲选择方案2，X的可能取值为：0,2,4，，数学期望因为，所以职工甲选择方案1所得平均分高.19．如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE 沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE；（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE为等边三角形，所以OD⊥AE，OB⊥AE,即在△PAE中，OP⊥AE，∴AE⊥平面POB，AE⊂平面ABCE，所以平面POB⊥平面ABCE；（Ⅱ）在平面POB内作PQ⊥OB=Q，∴PQ⊥平面ABCE．∴直线PB与平面ABCE夹角为，又∵OP=OB，∴OP⊥OB，O、Q两点重合，即OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，∴，，设平面PCE的一个法向量为，则，即，设，则y=-1，z=1，∴，由题意得平面PAE的一个法向量，设二面角A-P-EC为α，．即二面角A-P-EC为α的余弦值为．20．已知抛物线E：，圆C：．若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；在的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使为坐标原点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在定点【解析】由题意可得抛物线的焦点，当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为，即，由圆心到直线的距离为，当直线与圆相切时，，解得，即直线方程为；可设直线方程为，，，联立抛物线方程可得，则，，x轴上假设存在点使，即有，可得，即为，由，，可得，即，即，符合题意；当直线为，由对称性可得也符合条件．所以存在定点使得．21．已知函数.（1）证明：当时，；（2）若有极大值，求的取值范围；【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：当时，，，令，则.∴当时，，单调递减；当时，，单调递增. ∴当时，.∴当时，，在上单调递增.∴当时，，即.（2）解：由题设得.由有极大值得有解，且.令，则.由得.∴当时，，单调递减；当时，，单调递增. ∴.当，即时，，即，此时，在上单调递增，无极值；当，即时，∴，.由（1）知：，即.∴存在，，使.∴当时，，即单调递增；当时，，即单调递减；当时，，即单调递增.∴是唯一的极大值点.综上所述，所求的取值范围为.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）过作曲线的切线，切点为，过作曲线的切线，切点为，求.【答案】（1）（2）2【解析】（1）由，得，即，故曲线的极坐标方程为.（2）由（1）知，曲线表示圆心为，半径为的圆.因为A（0，3），所以，所以.因为，所以.故.23．已知函数的最小值为．（1）求实数的值；（2）若，设，且满足，求证：．【答案】（1）（2）见证明【解析】（1）显然，在上单调递减，在上单调递增（2）证明：由于，且当且仅当，即当，时取等号故。

x 2 3 cos
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为

y

2
sin

，其中 为参数，在以坐标原点 O

(2 2, )
为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 P 的极坐标为
4 ，直线 l 的极坐标方程为
sin( ) 4 2 0
4
．
（Ⅰ）求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程；
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
封
密
不
订
装
只
卷
此
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）
1．己知集合 A {x | x 1} ， B {x | x 0}，则 ðR( A B)
4 D． 5
x2 y2 1 4．已知双曲线 m 的离心率大于 2 ，则实数 m 的取值范围为
(1 , ) A． 2
B．[1, )

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！2019年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1{|24}4x A x =≤≤，{|B y y ==，则A B =（ ） A ．{2} B ．{0}C ．[2,2]-D ．[0,2]【答案】B 【解析】由1244x ≤≤，得22x -≤≤，即[2,2]A =-，由y =，得2x =，所以0y =，所以{0}B =，所以{0}A B =．故选B ．2．若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（ ）A ．25BC ．5D ．17【答案】C【解析】由(1)42z i i -=+，得42124iz i i+-==-，所以34z i =-，所以5z =． 3．从[6,9]-中任取一个m ，则直线340x y m ++=被圆222x y +=截得的弦长大于2的概率 为（ ） A ．23B ．25C ．13D ．15【答案】A【解析】，当弦长大于2时，圆心到直线l 的距离小于1，即||15m <，所以55m -<<，故所求概率5(5)29(6)3P --==--． 4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ） A ．47尺 B ．1629尺 C ．815尺 D ．1631尺 【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项15a =，前30项的和30390S =，求公差d ． 由等差数列的前n 项公式可得，30293052390d ⨯⨯+=，解得1629d =． 5．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的 半径为3，则制作该手工制品表面积为（ ）A ．5πB ．10πC ．125π+D ．2412π+【答案】D【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一， 且圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，故每部分的表面积为11112436591262424πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故两部分表面积为2412π+．6．从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间，频率分布直方图如图所示，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ）A ．a 的值为0.004B ．平均数约为200C ．中位数大约为183.3D ．众数约为350【答案】C【解析】由(0.00240.00360.00600.00240.0012)501a +++++⨯=，解得0.0044a =，故A 错；由A 可知，0.0044a =，所以平均数为0.002450750.0036501250.0060501750.004450⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2250.0024502750.001250325186+⨯⨯+⨯⨯=，故B 错误；居民月用电量在[50,150)的频率为：(0.00240.0036)500.3+⨯=， 居民月用电量在[150,200)的频率为：0.0060500.3⨯=， ∴这100户居民月用电量的中位数大约为0.50.315050183.30.3-+⨯≈，故C 正确； 由频率分布直方图可知，众数大约为175，故D 错误． 7．已知252(231)(1)ax x x++-的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ） A ．10- B ．7-C ．10D ．9【答案】D【解析】令1x =，则有56(1)0a -=，所以1a =， 又52(1)1x-展开式的通项为21015(1)k k k k T C x -+=-，令4k =，则常数项为45210C =， 令5k =，则常数项为5511C -=-，故展开式的常数项为1019-=．8．已知双曲线C 的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为3y x =±，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．3或2D ．2或3【答案】D【解析】当双曲线的焦点在x 轴上时，设C 的方程为22221(0,0)x ya b a b-=>>，则其渐近方程为b y x a =±，所以b a =22222213b c a e a a-==-=，所以2e =； 当双曲线的焦点在y 轴上时，设C 的方程为)0,0(12222>>=-b a a yb x ，则其渐近方程为x b a y ±=，所以3=b a ，所以31=a b ，所以22a b =222a a c -=3112=-e ，所以233e =． 9．已知正项数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，且有223526324002a a a a +=-，2410S S =，则第2019项的个位数为（ ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．9【答案】C【解析】由223526324002a a a a +=-，得223355232400a a a a ++=，即()23532400a a +=，又0n a >，所以53a a +=180，从而180)421=+q q a （，由2410S S =，得)(10214321a a a a a a +=+++，即)(92143a a a a +=+，所以())(921221a a q a a +=+，所以92=q ，又0q >，所以3q =，代入180)421=+q q a （，得21=a ，所以()()5045042018422019232331881a =⨯=⨯⨯=⨯，故其个位数为8．10．已知函数2()f x x ax =+的图象在12x =处的切线与直线20x y +=垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为15，则判断框中t 的值可以为（ ）A ．1314B ．1415C ．1516D ．1617【答案】B【解析】()2f x x a '=+，则()y f x =的图象在12x =处的切线斜率112()k f a '==+， 由于切线与直线20x y +=垂直，则有1()(1)12a -+=-，则1a =，所以2()(1)f x x x x x =+=+，所以111()1f k k k =-+，所以111(1)()223S =-+-++11)1(k k -+，由于输出的k 的值为15，故总共循环了15次， 此时1111115(1)()()223151616S =-+-++-=，故t 的值可以为1415．11．已知函数)2,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 在]32,2[ππ-上至少存在两个不同的21,x x 满足4)()(21=x f x f ，且函数)(x f 在]12,3[ππ-上具有单调性，)0,6(π-和π127=x 分别为函数)(x f 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A ．函数)(x f 图象的两条相邻对称轴之间的距离为4πB ．函数)(x f 图象关于直线3π-=x 对称C ．函数)(x f 图象关于点)0,12(π-对称D ．函数)(x f 在)2,6(ππ上是单调递减函数 【答案】D【解析】由于函数()f x 在[,]312ππ-上具有单调性，所以5123122T πππ+=≤，即512ππω≤，所以512≤ω， 又由于函数)(x f 在]32,2[ππ-上至少存在两个不同的21,x x 满足4)()(21=x f x f ，所以27326T πππ+=≥，即726ππω≥，所以127ω≥，故有121275ω≤≤， 又(,0)6π-和712x π=分别为函数()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴， 所以2174126k T ππ+=+，k Z ∈，所以2(21)3k ω+=，k Z ∈，所以2ω=， 故()2sin(2)f x x φ=+， 又(,0)6π-为函数()f x 图象的一个对称中心，所以2()6k πφπ⨯-+=，k Z ∈， 所以3ππϕ+=k ，Z k ∈，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以)32sin(2)(π+=x x f ．由于函数)(x f 的周期为π，所以相邻两条对称轴之间的距离为2π，故A 错误； ()23f π-≠±，且()012f π-≠，故B ，C 错误； 由于函数)(x f 的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ127,12k k ，Z k ∈，当0=k 时，得其中的一个单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ127,12，而⊂)2,6(ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ127,12，故D 正确． 12．已知函数()f x 在(0,1)恒有()2()xf x f x '>，其中()f x '为函数()f x 的导数，若,αβ为锐角三角形的两个内角，则（ ） A ．)(sin sin )(sin sin 22βααβf f > B ．)(cos sin )(sin cos 22βααβf f > C ．)(cos cos )(cos cos 22βααβf f > D ．)(cos sin )(cos sin 22βααβf f >【答案】B【解析】令2()()f x g x x =，则243()2()()2()()x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==，由于(0,1)x ∈，且()2()xf x f x '>，所以()0g x '>，故函数()g x 在(0,1)单调递增．又βα,为锐角三角形的两个内角，则022ππαβ>>->，所以1sin sin()02παβ>>->， 即0cos sin 1>>>βα，所以)(cos )(sin βαg g >，即ββαα22cos )(cos sin )(sin f f >， 所以)(cos sin )(sin cos 22βααβf f >．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试理科数学（押题卷1)注意事项：1.本试卷分选择题、填空题和解答题三部分，满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置上。

3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足(z+3)(l + i) = 4 + 3i(i 为虚数单位），则|z| = A. 21 B. 22C.1D. 22.已知集合 A={032|2≤--x x x }，B={23|-=x y y }，则 =A. [-1,2)B. [-1,3]C. (0,3]D. (2,3]3.随着经济和社会的发展，大气污染危害着生态环境和人类健康，公众对空气质量的要求也越来越高。

AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好。

AQI 指数值与空气质量的对应关系如下表：2018年某市环保部门为了改善空气环境，统计了该市6月1日至12日AQI 指数值，如下图所示：则下列叙述正确的是A.这12天的AQI 指数值的中位数是100B.这12天的AQI 指数值的平均值是100C.这12天中有5天空气质量“优良”D.从6月4日到9日，空气质量越来越好4.已知平面向量b a ,满足1||,1||==b a ，且10)3)(2(=-+b a b a ，则向量a 在b 方向上的投影是A. -1B. 21-C.1D. 215.函数)2<||0,>)(sin()(πϕωϕω+=x A x f 的部分图象如图所示，如果将)(x f y =的图象向左平移4π，则得到A.x y sin 2-=B.x y sin 2=C.x y cos 2=D.x y cos 2-=6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=0,20<,2)(22x x x x x x x f 在[-2,3]上随机取一个数a ，则0)()(≤+-a f a f 的概率为 A.52 B. 41 C. 53 D. 547.已知函数21cos )cos(sin 3)(2-++=x x x x f π，则函数)(x f 的一个单调减区间为 A. ],65[ππ B. ]65,3[ππ C. ]6,32[ππ-- D. ]2,2[ππ- 8. 5]12[-x的展开式中，2-x 的系数是 A. 80 B.-80 C. 40 D.-409.某家工厂在室内（正方体内）建造了一个四棱锥形容器 贮藏稻谷，此四棱锥的三视图如右图所示，其中每个小格是边长为1 的正方形，则该四棱锥的体积为A.2B.34 C. 38 D.3210.记][)(x x x f --=,其中][x 表示不大于x 的最大整数，⎪⎩⎪⎨⎧-≥=0<,10,)(x xx kx x g ，若方程)()(x g x f =在[-5,5]上有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围是A.5161≤≤k B. 51<61≤k C. 41<k <51 D. 41<k 51≤ 11. 已知双曲线)4<m <1(11422=-+-my m x 4的焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的离心率为 A.2 B.3C. 2D.5 12.若关于x 的不等式0ln 2≥--x x ax >0恒成立，则实数a 的取值范围是 A.(1,+∞)B.[1,+ ∞) C.(e,+∞)D. [e,+∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷理科数学本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．·已知集合{}2|5 A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B =（ ） A ．{}1-B ．{}7C ．{}1,3-D ．{}1,7-2．·已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．·元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ） A ．34B ．78C ．1516D ．31324．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．5．()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,06．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．-5B ．7C ．-11D ．137．四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．50πB ．100πC ．200πD ．300π8．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=-+π＜＜的图像向右平移得到函数()g x 的图像关于直线12x π=） A ．725-B ．34-C ．725D ．349．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）A ． B．C ．D ．10．在ABC △中，点D 满足34BD BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221t λμ=-+的最小值是（ ） A．10B．4C ．910D ．41811．·()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[)1,3B ．(]1,3C ．[)2,3D ．()3,+∞12．如图，已知抛物线2y =的焦点为F ，直线l 过点F且依次交抛物线及圆(222x y-+=于A ，B ，C ，D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

秘密★启用前2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅱ）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}1,2- 【答案】B 【解析】，，则，故选B.2．已知i 为虚数单位,复数1z i =+,则1z z-的实部与虚部之差为( )A ． 1B ．0C1 D【答案】D 【解析】：复数1z i =+，∴111111,,--1222i z z i z i z+=-∴-=-，虚部，实部虚部 【点睛】：该小题几乎考查了复数部分的所有概念,是一道优秀试题。

3．下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI ）数据折线图，（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（ ）A. 2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%B. 2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%C. 2018年2月CPI 环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D. 2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点 【答案】C【分析】对照表中数据逐项检验即可.【详解】观察表中数据知A,B,D 正确，对选项C ，2018年2月CPI 环比上涨2.9%，同比上涨1.2%，故C 错误，故选：C【点睛】本题考查折线图，准确识图读图理解题意是关键，是基础题.4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ） A ．()71887-人 B ．()91887-人 C ．()718887+-人D ．()9418887+-人 【答案】D【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有： ()()45456789481818888888888187-+++++=+=+--，故选D ．5．根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用()1,2,,10i A i =⋅⋅⋅表示第i 个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是（ ）A ．iB B A =+B ．2i B B A =+C ．()2i B B A A =+- D ．22i B B A =+【答案】B 【解析】由()()()222122n x x x x x x sn-+-+⋅⋅⋅+-=()222212122n n x x x x x x x nx n ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++=22222222212122n n x x x nx nx x x x x n n ++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+==- 循环退出时11i =，知221A x i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭．∴2221210B A A A =++⋅⋅⋅+，故程序框图①中要补充的语句是2i B B A =+．故选B ． 6．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ，当0x =时，4π，则2π时，4π3，π，排除A ，故选D ． 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ）A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<- D ．()()()0.6323log 13f f f <-<【答案】C【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ．8. 如图网格纸的最小正方形边长为1，粗线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A ．32B ．643C ．323D ． 8【答案】B【解析】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，∴该四棱锥的体积为16444433⨯⨯⨯=，故选B ．9. 设点1F ， 2F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） A ．12B ．3C ．5D ．8【答案】B【解析】∵点1F ，2F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点；即()12,0F -，()22,0F ，29a =，25b =，24c =，2c =， 设()00,P x y ，()100,2PF x y =---，()200,2PF x y =--， 由12PF PF m ⋅=可得22004x y m +=+，又∵P 在椭圆上，即2200195x y +=，∴20994m x -=， 要使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则99094m -<<，解得15m <<，∴m 的值可以是3．故选B ．10．若1x 是方程1x xe =的解，2x 是方程ln 1x x =的解，则12x x =（ ）A ．1B ．1-C ．eD ．1e【答案】A【解析】：11x xxe e x =⇔=，1ln 1ln x x x x =⇔=，设1y x=与ln x y e y x ==和分别交于121211(,),(,)A x B x x x ,由对称性得211212211111ABx x k x x x x x x -==-=-⇔=-,故选A 11. 某人5次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为,,9,10,11x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D【解析】：这是一道最新数学素养考题的体现，据题意有2220(10)(10)8x y x y +=⎧⎨-+-=⎩，按一般同学的常规思路解出,x y ，导致运算量大而出错，其实由点到直线的距离公式知：x y -=20x y +=与圆22(10)(10)8x y -+-=的交点到直线0x y -=x y -242x y -==,故选D 。

2019年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷（终极押题全国I卷）（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】复数z=复数的虚部为．故选：A．2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题，求得集合，所以故选D3．某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如图所示的折线图年收入的各种用途占比统计如图所示的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为A．100000元B．95000元C．90000元D．85000元【答案】D【解析】由已知得，2017年的就医费用为元，年的就医费用为元，该教师2018年的家庭总收入元．故选：D．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据题意，设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．故选B．5．已知点在曲线上移动，设曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，函数，则，因为，所以，即，又因为，结合正切函数的图象与性质，可得，故选C.6．已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意：当时，最小值为：本题正确选项：7．《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正视图，侧视图可知，底面长方形的长，宽分别为4，2，故四棱锥的高为，所以外接球的直径为，所以．故选：D．8．已知抛物线：的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若，的中点在轴上的射影分别为，，且，则抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，设，则，联立直线和抛物线的方程得，所以，所以抛物线的准线方程为x=-3.故选：C9．已知函数，且，则不等式的解集为A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，可知时，，所以，可得解得．不等式即不等式，可得：或，解得：或，即故选：C．10．我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》．这篇注记内提出了数学史上著名的“割圆术”．在“割圆术”中，用到了下图（圆内接一个正六边形），如果我们在该圆中任取一点，则该点落在弓形内的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设圆的半径为R，则，，设事件A为“在该圆中任取一点，则该点落在弓形内“，由几何概型中的面积型可得：，故选：D．11．已知双曲线的焦距为，若点与点到直线的距离之和为，且，则离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】直线l的方程为是，即bx-ay﹣ab＝0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．，S＝+．由S，即得•a≥2c2．于是得4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得．由于e＞1，所以e的取值范围是e∈．故选：D．12．棱长为4的正方体的顶点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE＝30°由题意，设CO＝x，则AO＝4x，C1O，OE OA＝2x，∴C1E2x，令y2x，则y′0，可得x，∴x，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（）．故选：B．非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．设变量，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】画出可行域，如图阴影部分所示:表示（x,y）与A（-2，0）连线的斜率，由题可知当经过点B时斜率最大，此时点B为方程组的解，，解得B（1，2），故的最大值为故答案为14．已知等比数列的前项和为，且，，则______．【答案】【解析】等比数列的前n项和为，且，，由等比数列的性质得：，解得，．故答案为：．15．若二项式展开式的常数项为，则实数的值为__________．【解析】二项式展开式的通项为，，令，得，常数项为，，得，故答案为.16．已知函数在上恰有一个最大值点和两个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，函数，；由，得；又在上恰有一个最大值点和两个零点，则，解得，所以的取值范围是故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知在中，内角的对边分别为，为锐角，且满足.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若,的面积为，求.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）∵，∴由∴∵为锐角，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵的面积为，∴（1）由余弦定理得：∴（2）由（1）、（2）解得18．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，，E，F为AB的三等分点，且将和分别沿DE、CF折起到A、B两点重合，记为点P．证明：平面平面PEF；若，求PD与平面PFC所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】，，四边形CDEF是平行四边形，，≌，，，，，，，，面PEF，面PFC，平面平面PEF．在平面PEF内作，垂足为O，取CD的中点M，由知平面PEF，故FC，平面CDEF，，，，，，，，OF，OM两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，是等边三角形，0，，0，，2，，2，，0，，2，，2，，设y，是平面PFC的法向量，则，取，得0，，设PD与平面PFC所成角为，则，与平面PFC所成角的正弦值为．19．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图．（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足X[70，79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足≤10的人数，求Y的分布列和数学期望．【答案】（1）（2），分布列见解析【解析】（1）设该名学生考核成绩优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知在30名同学的成绩中，优秀的为：85,89,90,90,91,92,93，共有7名同学，所以，所以可估计这名学生考核优秀的概率为．（2）由题意可得的所有可能取值为，因为成绩的学生共有8人，其中满足的学生有人，所以，，，．所以随机变量的分布列为所以，即数学期望为．20．已知椭圆的离心率为，下顶点为，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.（I）求椭圆的方程；(II)经过点的直线与椭圆交于不同的两点 (均异于点)，试探求直线与的斜率之和是否为定值，证明你的结论.【答案】（I）；(II) 证明见解析.【解析】（Ⅰ）由题设知，由椭圆的定义知：的周长为，解得.故因此，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由题设知，当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，则.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得.由题意知，因此设，则，故有直线的斜率之和为即直线的斜率之和为定值2.21．已知函数，且时有极大值.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若为的导函数，不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（注：）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】（Ⅰ）由，因为在时f(x)有极大值，所以，从而得或，时，，此时，当时，，当时，，∴在时f(x)有极小值，不合题意，舍去；时，，此时，符合题意.∴所求的.（Ⅱ）由（1）知，所以等价于等价于，即，记，则,由，得x＞k+1，所以在(0,k+1)上单调递减，在(k+1,+∞)上单调递增，所以，对任意正实数恒成立，等价于，即，记因为在(0,+∞)上单调递减，又，，∵，∴k=1,2,3,4，故k的最大值为4.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于两点，求；若点M是曲线C的动点，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）,【解析】（1）由得，可得．（2）将代入到得，设对应的参数分别为，∴，∴．又因为直线l的普通方程为，设，点M到直线的距离，∴．23．已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，即=，不等式即为或或，即有或或，则为或，所以不等式的解集为{ 或}；（2）又若恒成立，则即或解得：或∴实数的取值范围是.。

A ．()M P S)P S C ．()U MP C S)U P C S【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是S ，属于集合S )U P C S 故选：图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．对应的点到直线1y x =+的距离是75g μ/m )的日均值折线图，则下列说法不正确的是（A. 这天中有天空气质量为一级B. 从日到日 2.5PM 日均值逐渐降低天中日均值的中位数是日从图可知从日到日从图可知，这天中日，所以由图可知，这天中日均值的中位数是【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要A ．2π3C ．2π 【答案】B6-⎣B,6x π⎡∈-⎢⎣A.12PF F ∴△22x y -=ABC -中，0,2=9-=16-,PAH AH h Rt PBH BH h ABH 中有，同理在中有在中由余弦定理得：2022234112cos309-9162316,233BH BA BH h h h h -=+--⨯⨯-⨯⇒=，即 41111,33=故选第Ⅱ卷5分，共20分）(1,3)cos cos 2a b a b ===方向上的投影为0x y -≤⎧15. 已知函数()1x x f x e e -=--，则关于x 的不等式【答案】1x x ⎧⎫>-⎨⎬三点共线，23sin60,2AE DE O ABC ===为正的中心，2,设圆柱的底面半径为r,高为h,,则有()0r <22θ= cos3【解析】（1）依题意，2|1||24|x x x ++->，当1x <-时，原式化为2142x x x --+->，即2330x x +-<，解得312x -<<-；当12x -≤≤时，原式化为2142x x x ++->，即250x x +-<，解得1x -≤< 当2x >时，原式化为2124x x x ++->，即2330x x -+<，无解. 综上所述，所求不等式的解集为.…………………………………………………………………5分 （2）由题意可知，[0,3]x ∈时，2|1||2|x x x m ++-≥+恒成立．当02x ≤≤时，23x m +≤，得2min (3)1m x ≤-=-；当23x ≤≤时，221x m x +≤-，得2min (+21)4m x x ≤--=-.综上所述，实数m 的取值范围为(,4]-∞-．…………………………………………………………………10分。

2019年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷（终极押题浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合,或,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为,或所以故选：A.2．曲线的方程为，则曲线的离心率为（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】因为曲线的方程为，所以，，则，，，双曲线的离心率，故选A．3．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．4 C．-4 D．-4i【答案】C【解析】因为，所以虚部为-4，选C.4．《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正视图，侧视图可知，底面长方形的长，宽分别为4，2，故四棱锥的高为，所以外接球的直径为，所以．故选：D．5．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，定义域为，，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除两个选项.，排除D选项，故选A.6．已知直线n与平面α，β，若n⊂α，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“n⊥β，n⊂α，则“α⊥β”，若n⊂α，α⊥β，则n不一定垂直β，也可能平行，故n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选：A．7．已知实数满足则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示：z表示动点P（x，y）与定点A（3，1）连线的斜率．当连线经过B时斜率最大，此时,解B(8,5)则z当连线经过C时斜率最小，此时,解C(8,-1)，则z故的取值范围为故选：D8．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由的分布列可得：的期望为，，所以的方差，因为所以当且仅当时，取最大值，又对所有都成立，所以只需，解得，所以.故选D9．已知三棱锥的所有棱长为是底面内部一个动点包括边界，且到三个侧面，，的距离，，成单调递增的等差数列，记与，，所成的角分别为，，，则下列正确的是A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意知正四面体的顶点在底面的射影是正三角形的中心，则，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线的夹角，由于是公共的，因此题意即比较与，，夹角的大小，设到，，的距离为，，则，其中是正四面体相邻两个面所成角，所以，，成单调递增的等差数列，然后在中解决问题由于，结合角平分线性质可知在如图阴影区域不包括边界从图中可以看出，、所成角小于所成角，所以，故选D．10．已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距离d2，由d2r2，且，得22+S n＝2a n+2，∴4+S n＝2（S n﹣S n﹣1）+2，即S n+2＝2（S n﹣1+2）且n≥2；∴{S n+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n＝2a n+2，取n＝1，解得＝2，∴S n+2＝（+2）•2n﹣1，则S n＝2n+1﹣2；∴（n≥2）．＝2适合上式，∴．设，，所以.所以，若对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立.设，因为，所以，故的最大值为因为，所以.故选:B非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为__________．【答案】分【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．，解得，“立春”时日影长度为：分．故答案为．12．在ABC V 中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ．若， 3a =， 2c =，则cos C = __________； ABC V 的面积为__________． 【答案】7922 【解析】∵， 3a =， 2c =，∴3b a ==，∴，，∴ABC V 的面积．13．二项式61(3)x x-的展开式中，常数项等于__________；二项式系数和为__________. 【答案】,540-64 【解析】，常数项为当026=-r 时，即3=r 时，所以，二项式系数为.14．如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为_____ 弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，_____.【答案】2 0 【解析】 由弧长公式得：，即所对的圆心角的大小为2弧度，由三角函数定义可建立以点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴的直角坐标系，易得：，，设，则，则，又，所以，当即时，取得最大值，故答案为：2，0．15．从5名男医生名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有______种数字回答．【答案】70【解析】解：直接法：一男两女，有种，两男一女，有种，共计70种间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，都是女医生有种，于是符合条件的有种．故答案为：70．16．已知函数．若在上是单调函数，则______；若对任意实数k，方程都有解，则a的取值范围是______．【答案】0【解析】作出函数的图象，在上是单调函数，可得，而的对称轴为，可得在R上递增，即有；对任意实数k，方程都有解，即恒有解，即直线和的图象恒有交点，可得的值域为R，由时，时，；时，递增，且，不成立；由，解得或，当时，由图象可得的值域为R，当时，由图象可得的值域不为R，综合可得a的范围是故答案为：0，17．已知直线l过椭圆C：的左焦点F且交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点若，过点O作直线AB的垂线，垂足为H，则点H为______．【答案】或【解析】由椭圆C：，可得，若直线l无斜率，直线l方程为，此时，，∴，不符合题意．若直线l有斜率，设直线l的方程为，联立方程组，消元得：，设，，则，，，，，∴，化为：．解得．∴直线l的方程为，或，经过O且与直线l垂直的直线方程为：联立，．解得，或．故答案为：，或．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角．Ⅰ求的值；Ⅱ求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，．Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，．由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，，，．．19．如图，在直三棱柱中，，，，为线段的中点，为线段上一动点（异于点），为线段上一动点，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（I）证明：因为，为线段的中点，所以，在直三棱柱中，易知平面，，而；平面，；又因为，；所以平面，又平面；所以平面平面；（II）由（I）可建立如图空间直角坐标系，因为所以，则，，设，所以，因为，，所以，，解得：（异于点） ,设平面的法向量为，则即，可取，设直线与平面所成角为，则,直线与平面所成角的正弦值为.20．设数列的前项和为，且满足：．（1）若，求的值；（2）若成等差数列，求数列的通项公式．【答案】(1) 或．(2)【解析】（1）因为，所以，即，解得或．（2）设等差数列的公差为．因为，所以，①，②．③②-①，得，即，④③-②，得，即，⑤⑤-④，得，即．若，则，与矛盾，故．代入④得，于是．因为，所以，所以，即，整理得，于是．因为，所以，即．因为，所以．所以数列是首项为，公差为的等差数列．因此，．21．抛物线的焦点F为圆C：的圆心．求抛物线的方程与其准线方程；直线l与圆C相切，交抛物线于A，B两点；若线段AB中点的纵坐标为，求直线l的方程；求的取值范围．【答案】（1） ,；（2）或；②【解析】解：（1）由圆配方可得：，可得圆心．抛物线的焦点．，解得．抛物线的准线方程为：．抛物线的方程为（2）设直线的方程为：，，直线与圆相切，，化为：．，或．联立，化为：，．，或．即，解得或所以可得的范围为或，．线段中点的纵坐标为，，，，解得或，故直线的方程为或②.设，或当时，单调递增，，当时，单调递减，．的取值范围是．22．已知函数在处取得极小值．（1）求实数的值；（2）设，讨论函数的零点个数．【答案】（1）（2）当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.【解析】（1）函数的定义域为，函数在处取得极小值，得当时，则时，；当时，在上单调递减，在上单调递增时，函数取得极小值，符合题意（2）由（1）知，函数，定义域为则：令，得；令，得在上单调递减，在上单调递增当时，函数取得最小值当，即时，函数没有零点；当，即时，函数有一个零点；当，即时，存在，使在上有一个零点设，则当时，，则在上单调递减，即当时，当时，取，则存在，使得在上有一个零点在上有两个零点，综上可得，当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.。