初中生奥数竞赛模拟考试
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B
A A B
O
E C
D
初中生奥数竞赛模拟考试
数学笔试试卷
(考试时间：90分钟满分：120分)
友情提示：
本卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，Ⅰ卷为选择题，请将正确答案填涂到答题纸指定位置；Ⅱ卷为非选择题，请将正确答案填写到答题纸指定位置。
Ⅰ卷
一、选择题（每小题只有一项正确，每小题5分，共50分）
1．一次函数y cx b =+与二次函数2
y ax bx c =++在同一坐标系内的图象可能为（ ）：
2．已知一个长、宽、高分别为3、4、5的长方体（如图），一只小蚂蚁从点A 绕侧面环绕一周到达B 点，则这只小蚂蚁所走过的最短路程是（ ）
A ．221
B ．13
C ．12
D ．10
3.如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，
2,8,60,o AE cm EB cm DEB ==∠=则CD 等于（ ）
A ．421cm
B ．46cm
C ．82cm
D ．73cm
4．定义运算符号∆的含义是a
a b a b b
a b
≥⎧∆=⎨
<⎩，则方程
2(1)(41)4x x x -∆-+=的所有根的和为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．当x 取1111,,,...,,1,2,...,2016,2017,20182018201720162
时，计算代数式2
21x x +的值，再把所
有结果加起来，则这个总和为（ ）
A ．2017
B ．2018
C ．1
20172
D ．1
20182
6．如图所示，已知△ABC 中，AE ：EB =1:3，BD ：DC =3:2，AD 与CE 相交于F ，则
EF AF
FC FD
+
的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．3
5
D ．
2924
7．将自然数按如下顺序排列：
1 2, 3 4, 5, 6
7, 8, 9, 10 ... ...
问：2018位于第几行，第几个数？（ ）
A ．63，2
B ．63，4
C ．64，2
D ．64， 4
8．58中元旦文艺汇演中，有8位同学手举“追求卓越 报效祖国”的牌子，另有2位同学手捧鲜花，站成一排表演节目，要求“追求卓越”四字顺序一定，且不能分开，“报效祖国”四字顺序一定，也不能分开，“追求卓越 报效祖国”的顺序也是一定的，也就是说手捧鲜花的同学只能站两头或中间，则手捧鲜花的两名同学恰好站中间的概率是（ ）
A ．
1
5
B ．
16
C ．
110
D ．
14
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问：积及米为几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）斛
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
10．已知96p q +=，且方程20x px q ++=的两个实数根都是整数，则其最大的根是（ ）
A ．95
B ．96
C ．97
D ．98
y
o x
A
o x o x
o x
B
C
D
y
y
y
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Ⅱ卷
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．方程2
(21)
3620.x x ---+=的根为__________.
12．已知23
3y x
=-，则当0x >时，y 的取值范围是：_________________.
13．设a 为整数，且方程2310ax x -+=有两个正数根，且一根比1大，一根比1小，则a =________. 14．已知：a+b+c=0， abc≠0.
则代数式2
22222222
111
a b c b c a c a b
++=+-+-+- . 15．从(58,2018)N 发出的两条射线1:1l ax by +=与2:1l mx ny +=和2
2
:1o x y +=e 分别相切于(,),(,)A a b B m n 两点,则直线AB 的方程为 .
三、解答题（共45分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分） (1) 观察下列各式：
… …
能得到一般情况下：(1)(1)=n
x x -÷-______________________ 根据公式计算：2
320172018122
222++++++L =_________
(2) 已知0x >,由不等式11
22x x x x
+
≥=g , 322
2444332222x x x x x x x x
+
=++≥=g g g ,…,启发我们可以得出推广结论()1n a
x n n x
+
≥+为正整数,则a =___________ 根据上述结论，可求得201810092
x x +的最小值为___________
17.（13分）
如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°
(1) 若PB=1
2，求△PAB 的面积；
(2) 3
18
PAB S ∆=，求△PAC 的面积 18．（20分）
已知抛物线2
=y x bx c ++的顶点为P ，与y 轴交与点A ，与直线OP 交于点B.
⑴ 如图甲，若点P 的横坐标为1，点B 的坐标为（3,6），
① 试确定抛物线的解析式；
② 若当3m x ≤≤时,2
=y x bx c ++的最小值为2，最大值为6，求m 的取值范围;
⑵ 在⑴的条件下，若M 点是直线AB 下方抛物线上的一点，且3ABM S ≥V ，求M 点横坐标的取值范围；
⑶ 如图乙，若点P 在第一象限，且PA=PO ，过点P 作PD x ⊥轴于D ，将抛物线2
=y x bx c ++平移，平移后的抛物线经过点A 、D ，与x 轴的另一个交点为C ，试探究四边形OABC 的形状，并说
明理由。
1
)1()1(1)1()1(1)1()1(1
)1()1(2345234232
++++=-÷-+++=-÷-++=-÷-+=-÷-x x x x x x x x x x x x x x x x x x。
