1.5-1条件概率

第一章概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。

由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。

例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。

例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。

随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。

概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1随机试验以上试验的共同特点是:1．试验可以在相同的条件下重复进行；2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。

我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。

我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E。

§1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E的一个可能结果称为E的一个基本事件，记为ω，e等。

E的基本事件全体构成的集，称为E的样本空间，记为S或Ω,即：S={ω|ω为E的基本事件}，Ω={e}.注意：ω的完备性，互斥性特点。

例：§1.1中试验E1--- E7E1：S1={H,T}HTT,THT,TTH,TTT }E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0≥t }E 7：S 7={()y x ,10T y x T ≤≤≤}（二） 随机事件我们把试验 E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。

概率论的基本概念1.1 随机试验1.随机现象在一定条件下具有多个可能的结果，个别几次观察中结果呈现出随机性（不确定性），在大量重复观察中结果又呈现出固有的客观规律性的自然现象称为随机现象.随机现象的三大特点：（1）在一定条件下具有多个可能的结果，所有可能的结果已知；（2）在一次观察中，结果呈现出随机性，不能确定哪一个结果将会出现；（3）在大量的重复观察（相同条件下的观察）中，结果的出现又呈现出固有的客观规律性.2.随机试验具有以下几个特点的实验称为随机实验，常用E 来表示1）可以在相同的条件下重复进行；2）试验的结果不止一个，并且能事先明确试验所有可能的结果；3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.注：随机试验即可在相同条件下重复进行的针对随机现象的试验.1.2 样本空间与随机事件1. 样本空间与随机事件的概念1) 样本空间随机试验E的所有可能结果E的样本空间，记为S.样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点.样本空间依据样本点数可分为以下三类（1）有限样本空间：样本空间中样本点数是有限的；（2）无限可列样本空间：样本空间中具有可列无穷多个样本点；（3）无限不可列样本空间：样本空间中具有不可列无穷多个样本点.2) 随机事件一般，称随机试验E的样本空间S的任何一个子集为E的随机事件，简称为事件. 在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.注：（1）：随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生；（2）：由一个样本点构成的单点集，称为基本事件；（3）：样本空间S是必然事件，空集 是不可能事件，它们两个发生与否不具有随机性，为了方便将它们两个也称为随机事件。

2. 事件之间的关系与运算 假设,,,,1,2,i i A B A B i =是随机事件，1) 包含关系 若事件B 发生必然导致事件A 发生，则称事件B 包含于事件A 或事件A 包含事件B ，记作B A ⊂.若A B ⊂，且B A ⊂，则称事件A 与事件B 相等，记作A B =． 2) 和事件 事件{|}A B x x A x B =∈∈或称为事件A 与事件B 的和事件，当且仅当事件,A B 中至少有一个发生（或者A 发生或者B 发生）时事件AB 发生．类似地，称1n i i A =为n 个事件12,,n A A A 的和事件；称1i i A ∞=为可列个事件12,,,n A A A 的和事件.3) 积事件 事件{|}A B x x A x B =∈∈且称为事件A 与事件B 的积事件，当且仅当事件,A B 同时发生（A 发生且B 发生）时事件AB 发生．类似地，称1n i i A =为n 个事件12,,n A A A 的积事件；称1i i A ∞=为可列个事件12,,,n A A A 的积事件.4) 差事件 事件{|}A B x x A x B -=∈∉且称为事件A 与事件B 的差事件．当且仅当事件A 发生且事件B 不发生时事件A B -发生.5) 互斥关系 若AB φ=，则称事件A 与事件B 是互斥的，或称为互不相容的．两个互不相容的事件不能同时发生.6) 对立关系 若A B S =且A B φ=，则称事件A 与事件B 互为对立事件，或互为逆事件．每次试验中互为对立的两个事件有且仅有一个发生.事件A 的对立事件一般记作A .图1.1 事件之间关系文氏图3. 事件的运算律 1) 交换律;A B BA AB BA ==.2) 结合律 ()();A B C A B C = ()()A B C A B C =． 3）分配律 ()()()AB C A B A C =；()()()A B C A B A C =.4）狄-摩根（De-Morgan ）律 ;AB A B = A B A B =;11i i i i A A ∞∞===；11i i i i A A ∞∞===1.3 频率与概率2. 概率的概念及其性质1) 概率的统计定义：对于随机试验E ，当试验次数逐渐增大时，频率()n f A 将逐渐稳定与唯一确定的实数：()n f A 的稳定值，所以将此稳定值定义为随机事件A 的概率，记为()P A .它反映了随机事件A 在一次实验中发生可能性大小.1.4 等可能概型（古典概型）1. 古典概型的特点1）样本空间由有限个样本点构成12{,,}n S e e e =；2）每个样本点出现的可能性相等：12()()()1/n P e P e P e n ===.2. 古典概型中事件A 的概率计算公式()/P A m n =其中n 为样本空间中样本点的个数，m 为事件A 中样本点的个数.1.5 条件概率1. 条件概率1) 条件概率的定义：设,A B 是两事件，且()0P A >，则称()(|)()P AB P B A P A =为事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.条件概率也满足性质（1）非负性：对任一事件B ，(|)0P B A ≥； （2）规范性：(|)1P S A =；（3）可列可加性：设12,,B B 是一列两两互不相容的随机事件，则有()11||i i i i P B A P B A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑注：条件概率也满足概率的上述三条基本性质，所以条件概率它也是概率：样本空缩小为事件A 的概率，因而它满足概率的所有性质.2. 乘法原理 乘法原理：设,A B是两个事件，且()0P A >，则有()(|)()P AB P B A P A =；一般，设12,,n A A A 是n 个事件，2n ≥，且121()0n P A A A ->，则有1211112211()(|)(|)(|)()n n n n n P A A A P A A A P A A A P A A P A ---=乘法原理是计算积事件的概率的基本公式.3. 全概率公式与贝叶斯公式1）样本空间的划分：设随机试验的样本空间是S ，12,,n B B B 为一组事件，如果满足（1）,,,1,2,,i j B B i j i j n φ=≠=；（2）12n B B B S =.则称12{,,}n B B B 是样本空间S 的一个划分.2）全概率公式：设S 是试验E 的样本空间，12{,,}n B B B 是S的一个划分，且()0,1,2,i P B i n >=，对任一事件A ，则有1()(|)()ni i i P A P A B P B ==∑3）贝叶斯公式：设S 是试验E 的样本空间，12{,,}n B B B 是S的一个划分，A 是一个随机事件，且()0,1,2,i P B i n >=，()0P A >，则有1(|)()(|)1,2,(|)()i i i njjj P A B P B P B A i n P A B P B ===∑注：（1）一个复杂的随机事件往往有若干个互不相容的原因导致发生，求这一类随机事件的概率时就要用到全概率公式；而已知事件已经发生，求由某一个原因导致发生的概率时，用贝叶斯公式.(2) 用全概率公式和贝叶斯公式求事件概率时，样本空间划分的选取是关键.一般划分由导致事件发生的互不相容的所有原因组成，即由题设中给出的或隐含的所有条件概率的条件组成.1.6 事件的独立性1. 两个事件的独立性两个事件独立：设,A B 是两个事件，如果满足等式()()()P AB P A P B =则称随机事件A 与B 相互独立.（1）若,A B 是两个事件，()0P A >，则A 与B 独立等价于(|)()P B A P B =.（2） 若事件A 与B 相互独立，则事件A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.2. 多个事件的独立性1）两两独立：设,,A B C 是三个事件，若满足()()()()()()()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C === 则称事件,,A B C 两两独立.一般，设12,,n A A A 是n 个事件，若对任意的,1,2,i j i j n ≠=，有()()()i j i jP A A P AP A =，则称12,,n A A A 两两独立.2）相互独立：设,,A B C 是三个事件，若满足()()()()()()()()()()()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C P ABC P A P B P C ====则称事件,,A B C 相互独立.一般，设12,,n A A A 是n 个事件，从中任取(2)k k n ≤≤个事件12,,k i i i A A A ，总有1212(,,)()()()k k i i i i i i P A A A P A P A P A =成立，则称12,,n A A A 相互独立.。

概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式1§1.5 条件概率四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式3第10讲条件概率(III)全概率公式贝叶斯公式四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式4四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式5在前面两讲，我们讲了条件概率和乘法公式。

现在来讲全概率公式和贝叶斯公式()()(|)P AB P A P B A =(()0)P A >（一）全概率公式四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式6A ()(|)B P A B1AB 2AB 3AB 4AB 5AB )B1AB2AB 3AB 4AB 5AB四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式11全概率公式的意义事件A 的发生有各种可能的原因B i (i =1,…,n )。

如果A 是由原因B i 引起，则A 发生的概率为()()(|)i i i P AB P B P A B 每一个原因都可能导致A 发生，故A 发生的概率是全部原因引起A 发生的概率的总和，即为全概率公式。

由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”的公式，每个原因对结果的发生有一定的作用，结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关，全概率公式就表达了它们之间的关系。

四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式12在很多实际问题中，P (A )不容易直接求得，但却容易找到S 的一个划分B 1, B 2,…, B n ，且P (B i )和P (A |B i )容易求得，那么就可以用全概率公式求出P (A )。

使用全概率公式的关键是作出S 的一个划分。

何时用全概率公式求A 的概率？四川大学1()()(|)ni i i P A P B P A B ==∑四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式16例2 有12个足球都是新球，每次比赛时取出3个，比赛后又放回去，求第三次比赛时取到的3 个足球都是新球的概率。

§1.4 条件概率本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。

一、条件概率的定义条件概率要涉及两个事件A 与B ，在事件B 已经发生的条件下，事件A 再发生的概率称为条件概率，记为P (A |B )。

它与前面所讲的无条件概率是两个完全不同的概念。

例1.5.1 某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场提供矿泉水，每个浴场要安装一个阀门，这25个阀门购自两家生产厂，其中部分还是有缺陷的，具体情况如下：A ：“选出的阀门来自厂1”，B ：“选出的阀门有缺陷” 则P (A )=15/25，P (B )=7/25，P (AB )=5/25。

那么P (A |B )=5/7=57/2525=()()P AB P B ； P (B |A )=5/15=1/3=515/2525=()()P AB P A 。

解释：按厂家和有无缺陷做树状图，很容易求得P (B |A )和P (A |B )。

例 1.4.1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间是{,,,}bb bg gb gg Ω=，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 代表大的是男孩小的是女孩，依次类推……。

讨论：A =“家中至少有一个女孩”， B =“家中至少有一个男孩” 计算：(),()P A P B(|),(|)P A B P B A定义1.4.1 设A ，B 是样本空间Ω中的两事件，若()0P B >，则称()(|)()P AB P A B P B = 为“在B 发生下A 的条件概率”，简称条件概率。

例1.4.2 设某样本空间Ω含有25个等可能的样本点，事件A 含有15个样本点，事件B 含有7个样本点，交事件AB 含有5个样本点计算：(),()P A P B ，()P AB(|),(|)P A B P B A概率的有关性质对条件概率是否成立？ 如：(|)1(|)P A B P A B =-当12,A A 互不相容时，1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+ 实际上都是成立的。

概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。

2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。

1.5 概率的乘法公式1.5.1 条件概率【问题1】3张奖券中只有一张能抽奖，现分别由3名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到奖券的概率是否比其他同学小？若抽到中奖券的概率用“Y ”表示，没有抽到的用“Y ”表示，用n A ()表示事件A 中基本事件的个数，那么所有可能抽取情况为Ω=YYY YYY YYY {,,}，用B 表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则=B YYY {}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为13==Ωn B p B n ()().() 【问题2】如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为=A YYY YYY {,}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12=n B n A ()()，不妨记为P B A (|).显然,知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A 的发生，会影响事件B 发生的概率，从而导致了≠P B P B A ()(|). 【问题3】 对于上面的事件A 和B ，计算P B A (|)的一般想法是什么？既然已经知道了事件A 的必然发生，所以只需局限在A 发生的范围内考虑问题，在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生，对于古典概型，由于组成事件A 的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为=n AB P B A n A ()(|)(). ① 为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形：Ω===Ωn AB m AB n P AB P B A n A m A n P A ()()/()()(|).()()/()()因此有=P AB P B A P A ()(|).()这一式子已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义.一般地，设A ，B 为两个事件，且0>p A ()，称=P AB P B A P A ()(|)()② 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率(conditional probability). 一般地，把P B A (|)读作A 发生的条件下B 的概率。