THUSSAT2018年12月测试清华大学理科数学一卷试卷及参考答案

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，则 A ．B ．C ． D2．已知集合，则A ．B ．C ．D ．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少1i 2i 1iz -=++||z =0121{}220A x x x =-->A =R ð{}12x x -<<{}12x x -≤≤}{}{|1|2x x x x <->}{}{|1|2x x x x ≤-≥B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记为等差数列的前项和.若，，则A ．B ．C ．D ．5．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A ． B ． C ． D ． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则A ．B ．C ．D ． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A ．B ．C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则= A ．5 B ．6 C ．7D ．8 9．已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-101232()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =ABC △AD BC E AD EB =3144AB AC -1344AB AC -3144AB AC +1344AB AC +M A N B M N 1725223FM FN ⋅e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++ABC △A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若为直角三角形，则|MN |=A ．B ．3C ．D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。

B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。

B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。

xa b ⎨ ⎩y ∏中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 12 月测试7．已知正项等比数列{a } 的公比不为1 ， T 为其前n 项积，若T =T ，则 ln a5 = （）理科数学试卷（一卷）n n 3 7ln a 3本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知函数 f (x ) = ln(a - 3x ) 的定义域为 A ，若4∈ A ，5 ∉ A ，则a 的取值范围是（ ）8. 在△ ABC 中， A , B , C 的对边分别是a , b , c .若 A = 120︒ ， a = 1 ，则2b + 3c 的最大值为（）A ． 3B ．2 213C ． 3 2D ．3 5 29. 已知a > b > 0 ， 有下列命题：①若 - = 1，则a - b < 1 ； ②若a 2 - b 2 = 1 ，则a - b < 1 ； ⎧x - y ≤ 0 2. 已知变量 x , y 满足约束条件⎪2x - y ≥ 0 ⎪x + y - 6 ≤ 0，则 z = x + 2 y + 2x + 1 的取值范围是（）③若a 3 - b 3 = 1 ，则a - b < 1 ；④若a 4 - b 4 = 1 ，则a - b < 1 ；其中真命题的个数为（）A ．1B ． 2C ． 3D ． 43. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 1 的正方形，正视图与侧视图都是边长为 1 的正三角形，则此几何体的体积是（ ）10. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 R ，圆心角为 2π 的扇形，圆锥内接圆柱的全面积与圆锥的侧面积相等，则圆柱的高为（ ）11. 椭圆x a 2 2+ = 1(a > b > 0) 的右顶点为 A ，下顶点为 B ，左焦点为 F ，若△ ABF 外接圆的圆心在直线 y = x 的b 2（第 3 题图）4．直线l 过拋物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F ，与该拋物线及其准线依次交于 A 、 B 、C 三点（其中 B 在 A 、C 之间），若| BC |= 3 | BF | ，| AF |= 3 ，则 p = （）右下方，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． ( 1 ,1)2B ． (0, 2 ) 2C ． (0, 1 ) 2D ． ( 2,1)212．已知函数 f (x ) =| x - a | - 3+ a (a ∈ R ) ，若方程 f (x ) = 2 有且只有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（）x5. 定义∏ akk =1= a 1a 2 a 3 2019，若 [1 + (2k -1)x ] 展开式中 x 一次项的系数为m ，则i m 等于（ i 为虚数单位）（ ）k =1二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．ln x 2 6. 函数 f (x ) =的大致图象是（ ）13. 若函数 f (x ) = log 3 | ax +1| 图象的对称轴是x = 2 ，则非零实数a 的值为 ．14. 已知 A (1,1) ， B (0,1) ， C (1,0) ， M 为线段 BC 上一点，且CM = λCB ，若 MA ⋅ BC ≥ MB ⋅ MC ，则实数λ 的取值范围是．ABC DnA ． 2B ． 2 2C ． 3D ． 4a n 12A ．（12,15 ）B ． [12,15 )C ．（12,15 ]D ．[12,15 ]A ．[ 2，4 ]B ．[11, 4 ]4C ．[ 3,5 ]D ．[ 3 , 5 ]2 2A ． 1 3B ． 3 2C ． 33D ． 36A ． -iB ． iC ．1D ．-1A ． 5 : 3B ． 3 : 5C ． 5 :1D ．1: 5A ． 1 R2B ． 2R3C ．2 -1 R2D ．3 -1 R3A ． (1+ 3,3)B ． (-1,1- 3) (1+ 3, +∞)C ． (-∞,1- 3)D ． (-∞,1- 3) (1+ 3,3)3224 10S 2⎨ ∠ x 2y 215. 设 F 1 、 F 2 是双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左右焦点， M 是双曲线上任意一点，过 F 1 作 F 1MF 2 平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹方程是 ．16. 若对任意的 x ∈ D ，均有 g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 成立，则称函数 f ( x ) 为函数 g (x ) 和函数 h (x ) 在区间 D 上的“M 函数”．已知函数 f (x ) = (k -1)x -1， g (x ) = -3 ， h (x ) = (x + 1) ln x ，且 f ( x ) 是 g (x ) 和 h (x ) 在区间[1, 2] 上的“M 附： ≈14.97 ．若 Z N (μ,σ 2 ) ，则P (μ - σ < Z < μ + σ ) = 0.6826 ， P (μ - 2σ < Z < μ + 2σ ) = 0.9544 ． 20．（12 分）已知 A , B 是 x 轴正半轴上两点（ A 在 B 的左侧），且| AB |= a (a > 0) ，过 A , B 作 x 轴的垂线，与抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 在第一象限分别交于 D ,C 两点.（Ⅰ）若a = p ，点 A 与抛物线 y 2 = 2 px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；函数”，则实数 k 的取值范围是．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须（Ⅱ）若O 为坐标原点，记△OCD的面积为 S 1 ，梯形ABCD 的面积为 S ，求 S 1的取值范围. 2作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60 分．21．（12 分）已知函数 f (x ) = (ax +1)e x , a ∈ R ．（Ⅰ）当a > 0 时，证明： f (x ) + a> 0 ；e17．（12分）已知函数 f (x ) = 4sin x sin(x + π) -．（Ⅱ）当a =- 1时，如果 x≠ x ，且 f (x ) = f (x ) ，证明： x + x < 2 ． 621 2 1 2 1 2（Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ ABC 中， a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边，且满足 a sin B + b cos 2 A = b cos A ，求 f (B ) 的取值选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修 4−4：坐标系与参数方程选讲]（10 分）范围．E18．（12 分）如图，正方形 ADEF 与□ ABCD 所在的平面互相垂直，且 AB = 2 AD = 2a ，⎧已知曲线C 的参数方程为⎪x = 2cos θ （θ 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 的非负半轴为极轴建∠BAD = 60︒ , G 为 BD 的中点． （Ⅰ）求证：平面 BDE ⊥ 平面 BCE ；立极坐标系．⎪⎩y = sin θ（Ⅱ）求平面CGE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值．（第 18 题图）（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）P 、Q 为曲线C 上两点，若OP ⋅ OQ = 0 ，求的值． 19．（12 分）为加强对企业产品质量的管理，市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了 600 件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比 Z 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这 600 件螺帽质量指标值的样本平均数 x ，样本方差 s 2 （在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标0.03023．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f (x ) =| x + 2 | -a | 2x -1| ， a ∈ R .（Ⅰ）当a = 1 时，求不等式 f (x ) ≥ 0 的解集；（Ⅱ）若存在 x ∈ R ，使得不等式 f (x ) > a 成立，求a 的取值范围．值 Z 服从正态分布 N (μ,σ 2) ，其中 μ 近似为样本平均数 x ，ο 2 近似为样本方差 s 2 ．（i ）利用该正态分布，求 P (185.03 < Z < 229.94) ；（ii ）现从该企业购买了 100 件这种螺帽，记 X 表示这 100 件螺帽中质量指标值位于区间(185.03, 229.94) 的件数，利用（i ）的结果，求E ( X ) ．| OP |2 ⋅ | OQ |2| OP |2 + | OQ |2DCG频率组距0.0190.0180.0120.0100.0060.005165175185195205215225235指标值。