高中数学青年教师基本功大赛(笔试)试题

数学试题一．填空题（共14小题，每题2分，共28分） 1.《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过 程与方法、 。

2.数学教育要使学生掌握数学的基本知识、 、基本思想。

3.高中数学课程要求把数学探究、 的思想以不同的形式渗透在各个模块和专题内容之中。

4.数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题， 的过程。

5.《高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求 解、 这五个能力。

6.学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导_ _、 实践、___________、阅读自学等学习数学的方式。

7.数学是研究_________和________的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

8.设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．9.函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。

10.已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________．11.已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段 PQ 长度的最小值为 。

12.若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间],[b a ，且2=-a b ，则=k 13. 设2=+b a ，0>b ，则当a = 时 ，ba a ||||21+取得最小值。

14.函数122-+=x x x y 的值域是 二．解答题（共6题，每题10分，共60分）15.在等差数列{a n }中，已知,p q S q S p ==（p ≠q ），求p q S +的值．16.如图，正方形ABCD 的边长为4，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝6，M 、N 分别是PB 、AB 的中点。

高中数学青年教师基本功考核笔试试题（含答案）考试时间：60分钟 满分：100分一、选择题：（每题6分，共30分）1. 已知符号函数，则函数的零点个数为1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2()sgn(ln )ln f x x x =- ( )（A ）． （B ）． （C ）． （D ）．43212. 已知单位向量α，β，满足(α＋2β)(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为 （）⋅（A ） （B ） （C ） （D ）13-1312153. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且，222b a ac c =-+，则90C A -=︒cos cos A C =（ ）（A ）（B（C ） （D ）4141-4. 函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为( )⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+=)20(2)02(2)(2x x x x x f x (A).(B). (C). （D ）. 326+234+3246+2234+5．某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有（）（A ）504种（B ）960种（C ）1008种（D ）1056种二、填空题：（每题6分，共30分）6．抛物线的准线为，点在圆上，设抛物线上28y x =l Q 22:68210C x y x y ++++=任意一点到直线的距离为，则的最小值为．P l m ||m PQ +7. 已知，，，，，322322=+833833=+15441544=+t at a66=+（a,t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则 .=+t a 8. 函数的定义域为 ，值域为()f x =+_________。

9. 已知是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足()x f R b a ∈,(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n nf f f ab af b bf a f a n N b n N n **=+==∈=∈ 下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列)1()0(f f =)(x f {}n a 为等差数列．其中正确的是．{}n b 10. 如下图所示，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（05x ≤≤），给出以下四个结论：①3OB =；②5BF =；③5OA =；④2AF =．其中正确结论的序号是 ．第10题图三、解答题：（本大题共40分）11．（本小题满分20分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.a 2（1）证明: PA ⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小； （3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC？若存在，指明F 的位置并证明你的结论。

高三教师基本功联考大赛试题新高考(全国版)本卷共35题，满分255分一、选择题。

(本大题共11小题，每题5分，共55分，在每小题给出的四个选项种，只有一个选项符合要求)1. 已知复数z =a +bi a >0,b >0 满足z 2+z =z =3，则z 3+9z3的值为()(A).33(B).9(C).39(D).422.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1a >b >0 与圆M ：x 2+y -b 2=b 2，且直线l ：y =kx +m k ,m >0 与圆M 及椭圆C 均相切．若k ∈3,43 ，则椭圆C 离心率的取值范围为()(A).10515,63(B).10521,104(C).5618,34 (D).305,323.某同学进行一项投篮测试，若该同学出现连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则未通过测试．已知该同学每次投篮的成功率均为23，则该同学通过测试的概率为()(A).23(B).1627(C).2542(D).32514.已知平面向量a ，b ，c 满足a =1，a +b =2，a -c =3，则b ⋅c 的取值范围为()(A).-12,6(B).-12,4(C).-10,6(D).-10,45.已知函数f x =x +1e x -1-x -1,x ∈-1,1 f 12x-32 ,x >1，若对于任意的非零实数k ，方程f x =kx +b 恒有且只有一个实数解，则b 的取值范围为()(A).-∞,1-e 2 ∪1+e 2,+∞(B).-∞,2-2e 2 ∪8,+∞(C).-∞,-2e 2 ∪10,+∞ (D).-∞,-e -e 2 ∪2e +1,+∞6.已知点P ，Q 分别为曲线C ：x 2+y 2+xy =8与圆M ：x -2 2+y 2=r 2r >0 上的动点，若存在点P ，Q ，使得三角形POQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则r 的取值范围为()(A).783,42+2(B).46-63,42+2(C).46-63,38 (D).783,38 7.已知函数f x =2x ，g x=-x +m m <22 ，定点A 0,2 ，直线y =a 与函数f x 和g x 的图象分别交于B ，C 两点，若AB +BC ≥10对任意a >0恒成立，则实数m 的取值范围为()(A).-∞,0(B).-∞,-2(C).-∞,-4(D).-∞,-68.已知函数f x =ln x +12ex 2-ax 存在两个极值点．若对任意满足f x 1 =f x 2 =f x 3 的x 1，x 2，x 3x 1<x 2<x 3 ，均有f e x 1<f e x 2<f e x 3，则实数a 的取值范围为()(A).2e ,e(B).2e ,2+1e(C).2e,1+1e(D).2e,2+1e9.已知△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ，则1sin A +1sin B -1sin C的最小值为()(A).333(B).11(C).27(D).35210.量子计算机是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置．我国中国科学技术大学研究团队构建的62比特超导处理器“祖冲之号”，是世界范围内公开发表的首个比特数超过60的超导量子计算机领域的成果，并入选2021年度中国科学十大进展．量子比特是量子信息的计量单位，如果用0，1表示二进制数各位上的数字，那么一个量子比特可同时表示0，1两个状态，而两个量子比特可同时表示00，01，10，11四个状态，三个量子比特可同时表示000，001，010，011，100，101，110，111八个状态．若用x 表示不小于x 的最小整数，若要同时表示n n ∈ℕ* 个状态，则需要的量子比特数至少为()(A).log 2n +1 (B).log 2n +1 +1(C).log 2n(D).log 2n +111.“康威生命游戏”是由普林斯顿大学的教授约翰⋅何顿⋅康威(John Horton Conway )设计的一款计算机程序．程序界面是一个无限大的网格，程序开始时，在每个方格中放置一个生命细胞，每个生命细胞只有“生”或“死”两种状态，用黑色方格表示该细胞为“生” ，白色方格(空格)表示该细胞为“死” ，初始状态每个细胞随机地设定为“生”或“死”，然后根据一定的规则计算出下一代每个细胞的状态，画出下一代细胞的生死分布图，再计算出下一代每个细胞的状态，画出下一代细胞的生死分布图，以此类推．每个细胞迭代后的状态由该细胞本身的状态及周围8个细胞的状态所决定，规则如下表所示：当代细胞状态生生生死死周围存活细胞数0 或 12 或 3>33≠3迭代后细胞状态死生死生死若某种初始状态迭代了若干代(包含一代)之后能够回到初始状态，则称该初始状态具有周期性，则下列四种初始状态中(图中末画出的网格外侧均视为空格)，具有周期性的初始状态的个数为()(A).1(B).2(C).3(D).4二、选择题。

高中数学教师资格证笔试真题一、选择题1. 半径为5cm的扇形的弧长为10cm，则扇形的面积是（）A. 10cm²B. 20cm²C. 25π cm²D. 50π cm²2. 一组数据10，12，15，18，x，24的中位数是15，则x的值是（）A. 15B. 16C. 17D. 183. 直线y=2x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是（）A. （-3/2，0）B. （-3，0）C. （0，3/2）D. （0，3）4. 若a+b=0，则a²-3ab+b²=（）A. 0B. aC. 3abD. b²5. 三次函数y=ax³+bx²+cx+d（a≠0）在x=-1处的导数值为0，则a、b、c、d的关系是（）A. ab=3cdB. ac=3bdC. ad=3bcD. bc=3ad6. 将直径为10cm的圆铁片剪成12条宽为1cm的扇形，剩下的部分的面积是（）A. 5π cm²B. 10π cm²C. 15π cm²D. 20π cm²7. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）在x=1处的切线斜率为5，则a、b、c的关系是（）A. ac=5bB. ab=5cC. bc=5aD. abc=58. 一条火车每小时行驶120km，在5小时内行走的距离是（）A. 500kmB. 600kmC. 700kmD. 800km9. 若sinx=0.8，则tanx的值是（）A. 0.6B. 0.64C. 0.8D. 1.2510. 已知直角三角形斜边为10cm，其中一直角边为4cm，则另一直角边的长为（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm二、填空题11. 21的因数之和是____。

12. 36的真约数之和是____。

13. 若AB//CD，∠A=(2x)°，∠D=(3x-10)°，求x的值___。

高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。

1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。

完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。

荆州中学数学学科青年教师基本功考核试题卷一、选择题：（每题5分，10小题，共50分）1．已知集合{}1916),(22=+=y x y x S ， {}1),(22=+=y x y x M ，则S 与M 的关系是A ．M S ≠⊂ B ．S M ≠⊂ C ．Φ=M S D ．M M S =2．方程22520x x -+=的两个根可分别作为 Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率３．若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值A ．－2B ．4C ．－6D ．6４．若函数()f x 满足22()log ||f x x =+()f x 的解析式是 A ．2log x B ．2log x - C ．2x- D ．2x -５．已知不等式(x+y)(1x + ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为A ．2B ．4C ．6D ．8６．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，这个问题被解决的概率是p ，则乙解决这个问题的概率是 A ．111p p p -- B ．)1)(1(11p p --- C ．1p p - D ．)1)(1(1p p -- ７．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为A ．32B ．33C ．34D ．23８．一线段的分割法是：使小的一段与大的一段长度的比值等于大的一段与整个线段长度的比值，设x 是小的一段与大的一段的比值，那么2122--++-x xx x 的值为A ．3B ．3C ．5D ．x 2 ９．如右图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 A ．15 B ．25 C ．14 D ．1310．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如右图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各 边的中点。

南通市高中数学青年教师基本功大赛（笔试）基础知识与解题能力测试卷（满分120分，考试时间90分钟）姓名单位得分第一部分基础知识（30分）一、填空题：共6小题，每小题3分，共18分．将答案直接填在题后横线上．1．数学是中国古代科学中一门重要的学科．中国古代数学的发展取得了许多丰硕的成果．请写出我国古代数学著作（只要写出四本著作书名即可）：．2．我国古代，出现了许多著名的数学家，这些数学家为中国古代数学的发展做出了重要贡献．请写出四位古代数学家的名字：．3．数学思想是数学的灵魂．请写出一些常见的数学思想（只要写出四个）：．4．读书是学习方法中最基本的方法之一．科学的读书方法，有利学生掌握学习主动权，有利于学生获得终生受用的自学能力，养成认真读书和独立思考的习惯．指导学生阅读数学课本的至少有10种方法．请你写出其中的四种：．5．读书的操作技巧至少有15种，请你写出其中的四种：．6．根据心理学的理论和数学的特点，分析数学课堂学习，数学课堂学习应遵循以下原则（只要写出四条即可）：．二、简答题：共4小题，每小题3分，共12分．简要回答问题即可（特别要求的除外）．7．我们在数学教学中经常要涉及到勾股定理及其逆定理．请你写出：（1）勾股定理；（2）勾股定理的逆定理．8．教师在讲课前做短暂的讲话是必要的，它是组织教学的重要一环．它对于调动学生的学习动机，稳定学生的情绪，集中学生的注意力起着重要作用．它是使教学顺利进行的保证．教师在课前采用何种方式开头，才能达到组织教学的目的呢？请结合你的教学实践，写出几种方式（不少于3种）．9．数学归纳法是十分重要的数学方法．请你用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=1(1)2n n ．（要求写出具体的证明过程）10．“万事开头难”，解题也一样，面对一道数学题目，尤其是解那些变式或综合题，从何处入手找到解题思路的突破口，这是许多学生的一大苦衷．因此，教师要想学生所想，在解题教学中，突出解题思路入口寻找的指导，使学生在潜移默化中逐步学会寻找解题思路的一般方法，从而顺利地解题．请你结合教学实践，谈谈怎样寻找解题思路的入口？第二部分 解题能力（90分）三、教材基础：共2小题，每小题18分，共36分．解答应写出解题（证明）过程或演算步骤．11．按照苏教版高中数学课标教材的设计思路，用向量证明两角差的余弦公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+。

高中数学教资试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = 2x + 3在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 5D. 33. 等差数列{an}的前三项为1, 2, 3，其通项公式为：A. an = nB. an = n + 1C. an = 2n - 1D. an = 2n4. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，则圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)5. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}6. 若矩阵A = \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，则矩阵A的行列式值为：A. 2B. -2C. 5D. -57. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 等比数列{bn}的首项为2，公比为3，其第五项为：A. 162B. 486C. 729D. 2439. 直线y = 2x + 1与x轴的交点坐标是：A. (0, 1)B. (-1/2, 0)C. (1/2, 0)D. (0, -1)10. 函数y = ln(x)的定义域是：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 1)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 9的最小值为______。

2. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是______。

3. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标为______。

4. 函数f(x) = 3x - 2的反函数为______。

（考试时间120分钟 满分200分）姜堰市教研室命制一、 基础知识（30分）1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家 和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。

2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是 。

3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。

4、《江苏省20XX 年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 这五个能力。

5、《江苏省20XX 年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、 三个层次（分别对应A 、B 、C ）6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、 。

二、 解题能力（90分）1、函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。

2、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．3、已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________．4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有 辆．5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 ．6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为7、(本题满分15分) 试证明定理：在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

频率第4图第5图8、(本题满分15分)△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+ 且m n ⊥（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()fθ；②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ； （Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．9、(本题满分15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （Ⅱ）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t10、(本题满分15分)将曲线xy C 1:=绕原点逆时针旋转45得曲线'C ，分别运用中学选修4-2矩阵变换、选修4-4坐标系与参数方程的知识，求曲线C '的方程。

数学青年教师考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是实数集的符号表示？A. ℤB. ℚC. ℝD. ℂ2. 函数f(x) = 2x + 3的反函数是：A. f^-1(x) = (x - 3) / 2B. f^-1(x) = (x + 3) / 2C. f^-1(x) = (x - 3) / 4D. f^-1(x) = (x + 3) / 43. 如果一个数列的前三项为2, 4, 8，那么这个数列的第四项是：A. 16B. 32C. 64D. 1284. 在直角坐标系中，点(3, -4)关于y轴的对称点坐标是：A. (-3, 4)B. (-3, -4)C. (3, 4)D. (3, -4)5. 圆的方程x^2 + y^2 = 25表示的是一个：A. 点B. 直线C. 圆D. 椭圆6. 已知一个等差数列的前三项分别为3, 5, 7，那么这个数列的第五项是：A. 9B. 11C. 13D. 157. 函数y = x^2 - 4x + 3的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, -1)D. (-2, 1)8. 一个三角形的三个内角分别为50°，60°，70°，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形9. 一个数的立方根是它本身，那么这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 1, -1, 010. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个等比数列的前三项为2, 6, 18，那么这个数列的第四项是______。

12. 圆的直径为10，那么这个圆的面积是______。

13. 函数y = √(x - 1)的定义域是______。

14. 一个等差数列的前n项和为S_n，如果S_5 = 25，S_10 = 100，那么这个数列的公差d是______。

中学数学青年教师基本功大赛笔试试卷(专业知识)1.数学课堂教学的目标是什么？它们分别是什么维度的？答：数学课堂教学的目标有三维，分别是知识与技能、过程与方法、情感与价值观。

2.谁被称为解析几何学的创始人？答：法国哲学家、物理学家、数学家、生理学家______被称为解析几何学的创始人。

3.科学家们在探寻“外星人”方面曾借助哪个数学定理？答：数学家曾建议用勾股定理作为人类探寻“外星人”并与“外星人”联系的语言。

4.数学危机中最重要的悖论是什么？答：数学危机中最重要的悖论是___悖论。

5.课程标准的支撑理论是什么？代表人物有哪些？答：课程标准的支撑理论是建构主义，代表人物有___、___、___。

6.数学的作用是什么？答：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

7.教师的主要任务是什么？答：教师的主要任务是激发学生的研究积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生成为研究的主人。

8.初中阶段的数学内容分为哪些领域？答：初中阶段的数学内容分为数与代数、空间与图形、统计与概率和课题研究四个领域。

9.学生研究数学的重要方式有哪些？答：学生研究数学的重要方式有动手操作、自主探究、合作交流。

10.为什么教学要面向全体学生？如何才能实现这一目标？答：不同的人在数学上得到不同的发展，教学要面向全体学生，必须适应每一位学生的发展需要；实现这一目标需要承认差异、尊重差异。

11.义务教育阶段的数学课程标准应该体现哪些方面？答：义务教育阶段的数学课程标准应该体现基础性、普及性、发展性，使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学、人人获得必需的数学、不同的人在数学上获得不同的发展。

12.在新课程理念下，教师的角色发生了什么变化？答：在新课程理念下，教师的角色已经由原来的主导者转变成了学生研究活动的组织者、学生探究发现的引导者、与学生共同研究的合作者。

13.举例适合课外学生数学活动的形式。

高中数学青年教师解题比赛试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷共5页， 满分为150分．考试时间120分钟． 第I 卷（选择题共60分）参考公式：三角函数和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式 2c o s2s i n2s i n s i n φθφθφθ-+=+ ()l c c S +'=21台侧 其中c '、c 分别表示 2sin2cos2sin sin φθφθφθ-+=- 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长2c o s2c o s2c o s c o s φθφθφθ-+=+ 台体的体积公式：()h S S S S V +'+'=31台体 2sin2sin2cos cos φθφθφθ-+-=- 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填下表中.区（县级市） 学校 考生号 姓名密 封 线 内 不 要 答 题（1）常数T 满足()x x T cos sin -=+ 和()x x T g ctg t =-,则T 的一个值是（ ）．（A ）π- （B ）π （C ）2π-（D ）2π（2）在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ,则1092a a - 的值为（ ）．（A ）24 （B ）22 （C ）20 （D ）8-（3）设点P 对应复数是i 33+,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）．（A）34π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B）54π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）33,4π⎛⎫-⎪⎝⎭（4）设A 、B 是两个非空集合，若规定：{}B x A x x B A ∉∈=-且,则()B A A --等于（ ）．（A ）B （B ）B A （C ）B A （D ）A （5）函数()x f y =的图象与直线1=x 的交点个数为（ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）0或1（6）设函数()()ϕω+=x A x f sin （其中R x A ∈>>,0,0ω）,则()00=f 是()x f 为奇函数的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，∠BAC ＝90°，AC BC ⊥1，过1C 作⊥H C 1底面ABC ，垂足为H ，则（ ）．（A ）H 在直线AC 上 （B ）H 在直线AB 上（C ）H 在直线BC 上 （D ）H 在△ABC 内（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超1C 1B 1A AB C过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S （元）与通话时间t （分钟）的函数图象可表示为（ ）．（A ） （B ）（C ） （D ）（9）以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相 切的圆的方程为（ ）．（A ）091022=+-+x y x （B ）091022=--+x y x （C ）091022=-++x y x （D ）091022=+++x y x（10）已知()nx 21+的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含3x 项的系数是（ ）．（A ）56 （B ）80 （C ）160 （D ）180（11）AB 是过圆锥曲线焦点F 的弦，l 是与点F 对应的准线，则以弦AB 为直径的圆与直线l 的位置关系（ ）．（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）由离心率e 决定 （12）定义在R 上的函数()x f y -=的反函数为()x fy 1-=，则()x f y =是（ ）．（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）非奇非偶函数 （D ）满足题设的函数()x f 不存在第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．（13）函数)23(sin ππ≤≤=x x y 的反函数是 ． （14）已知抛物线的焦点坐标为()12，，准线方程为02=+y x ,则其顶点坐标为 ．（15）如图，在棱长都相等的四面体A —BCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，则直线 AF 、CE 所成角的余弦值为 ．（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你 和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析， 5人的名次排列共可能有 种不同情况（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）已知复数2cos 2cos 2Ci A u +=，其中A 、C 为△ABC 的内角，且三个内角 满足2B ＝A ﹢C .试求i u -的取值范围.封 线 内 不 要 答 题ABCDEF（18）（本小题满分12分）已知曲线C上的任一点M()y x,（其中0≥x）,到点()02，A的距离减去它到y轴的距离的差是2，过点A的一条直线与曲线C交于P、Q两点，通过点P和坐标原点的直线交直线02=x于N.+（I）求曲线C的方程；（II）求证：N Q平行于x轴.（19）（本小题满分12分） 是否存在一个等差数列{}n a ,使对任意的自然数n ，都有212a a n ⋅…n n n P a 2=.（20）（本小题满分12分）南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点O表示）光线OCD与地面成锐角θ.（I）遮阳棚与地面成多少度的二面角时，才能使遮影△ABD面积最大？（II）当AC＝3，BC＝4，AB＝5，θ＝30°时，试求出遮影△ABD的最大面积.（21）（本小题满分14分）名姓甲、乙、丙三种食物维生素A 、B 含量及成本如下表：千克丙种食物 配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000 单位维生素B .试用x 、y 表示混合物的成本M （元）；并确定x 、y 、z 的值， 使成本最低.（22）（本小题满分14分）定义在()1,1-上的函数()x f 满足：①对任意x 、()1,1-∈y ,都有()+x f ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=xy y x f y f 1；②当()0,1-∈x 时，有()0>x f .证明：（I ）函数()x f 在()1,1-上的图象关于原点对称；（II ）函数()x f 在()0,1-上是单调减函数；（III ）⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f .()z n ∈高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：二、填空题：（13）[]0,1,arcsin -∈-=x x y π （14）⎪⎭⎫⎝⎛2,1 （15）3 （16）54三、解答题：（17）（本小题满分10分） 解：由△ABC 的内角关系2602C A B C B A CA B +=︒=⇒⎭⎬⎫=+++=π， 又()C i A Ci A u cos 1cos 2cos 2cos 2++=+=则22cos 122cos 1cos cos 22CA C A i u +++=+=- ()C A 2cos 2cos 211++= ()C A --=cos 211由()︒<-<︒-⇒⎭⎬⎫︒︒∈-︒=-⇒︒=+12012012002120120C A ，C ，A C C A C A()1cos 21≤-<-⇒C A 从而2522<-≤i u 为所求. （18）（本小题满分12分）（I ）解：由题设知：曲线C 上任意一点M ()y x ,到定点()0,2A 距离等于它到直线2-=x 的距离.由抛物线定义知： 曲线C 的方程为x y 82=…（注：若不限制0≥x ，抛物线C 还可为()00<=x y ,即x 轴负半轴） （II ）证明：①当过点A 的直线P Q 不与x 轴垂直时，斜率PQ K 存在， 设P Q 方程为()2-=x k y由()01682822=--⇒⎩⎨⎧-==y k y x k y x y16-=⇒Q P y y又直线OP 方程为x x y y PP⋅=而点N 在直线OP 上，也在直线2-=x 上()P PP y y y 16282-=-⋅=⎭⎬⎫-=⋅-=⋅1616Q P N P y y y yQ N y y =⇒故NO// x 轴②当过点A 的直线P Q 与x 轴垂直时，结论显然成立 （19）（本小题满分12分）解：若存在一个等差数列{}n a 满足题设，则 1=n 时，有121121=⇒=a P a ；2=n 时，有32224212=⇒=a P a a ； 3=n 时，有523363213=⇒=a P a a a .()2-=⇒PPN x y y（证Q 、N 点纵坐标相等）∴猜想存在这样的一个数列{}n a 的通项为()N n n a n ∈-=12以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时， 11=a 满足12-=n a n （2）假设()N k k n ∈=满足题设， 即k k k k P a a a 22112=+ 成立当1+=k n 时 , 12121122+++⋅=⋅k k k n k k a P a a a a()k k P k 2122⋅+=即()()()()()12125321221212532121+-⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅+k k k k k k ()()()()12212+⋅+++=k k k k k()()()()()21132++++⋅+++=k k k k k k k()112++=k k P则1+=k n 也成立.综上（1）、（2）知12-=n a n 对N n ∈都有n n k n P a a a 2212= 成立.（20）（本小题满分12分）（I ）解：设H 为点O 在地面的射影，连结HD 交AB 于E . 则θ=∠CDE ，且OH ⊥平面ABDAB ⊂平面ABD又AB 是南北方向，CD 是西东方向，则CD ⊥AB⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒CE AB DE AB 在△ABD 中，要使面积最大，只须DE 最大 而△CDE 中，由正弦定理DCE CEDE ∠⋅=sin sin θ.（目标函数中CE ,sin θ均为定值） 所以，当∠DCE ＝90°时DCE ∠sin 最大，则DE 最大，从而θ-︒=∠90CED 时，遮影△ABD 面积最大.（II ）解：当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，AB OH ⊥⇒OHD AB 平面⊥⇒DE 是△ABD 中AB 边上的高且∠CED 是C —AB —D 的平面角.()1252452121max =⋅⋅=⋅⋅=∆DE AB S ABD 为所求. （21）（本小题满分14分） （I ）依题设知：z y x M 4911++= 又y x z z y x --=⇒=++100100代入上式则y x M 57400++=为所求.（II ）由题设得⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x将y x z --=100分别代入①、②得：⎩⎨⎧≥-≥+130316032y x y x 此时y x M 57400++= ()()y x y x -+++=33224001301602400+⋅+≥850=当且仅当⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 即⎩⎨⎧==2050y x 时取等号答：当50=x 千克，20=y 千克，30=z 千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分）证明：（I ）由条件①可取(),1,1-∈-=x y 则()()()0f x f x f =-+再取(),1,10-∈=y 则()()()x f f x f =+0 ()()0=-+⇒x f x f()x f ⇒在()1,1-上图象关于原点对称（II ）令0121<<<-x x由于()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-212121211x x x x f x f x f x f x f .1121<-<-x x 且()10102121<-<-⇒<-x x x x 及()2211102121<+<⇒<<x x x x则由（1）（2）得0112121<--<-x x x x①② ⇒⇒<<<-01又21x x由条件②知012121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x f ,从而()()21x f x f >，故()x f 在()0,1-上单调递减函数.（III ）由奇函数的对称性知：()x f 在()1,0上仍是减函数，且()0<x f ※对()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎫⎝⎛++211121112113312n n n n f n n f n n f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-+-+=21112111211112111n f n f n f n f n n n n f 则有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛331131712n n f f f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=211141313121n f n f f f f f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n f f . 由※式知：1210<+<n 时有⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+212121021f n f f n f 故⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f .条件①。

湖北省荆州中学第三届青年数学教师教学基本功笔试试卷2009年4月一、选择题：（每题5分，共30分）1. 定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（M ）、（N ）所对应的运算结果可能是 （ B ）(1） (2） (3） (4） (M) (N)A .D A DB **, B ．C AD B **, C ．D A C B **, D ．D A D C **, 2. 已知点(cos ,sin )P αα在直线:1x yl a b+=上，且l OP ⊥（O 为坐标原点），则（ D ） A.1a b += B.221a b += C.111a b += D. 22111a b+=3. 如图所示，半径为r 的四分之一的圆ABC 上，分别以AB 和AC 为直径作两个半圆,分别标有a 的阴影部分面积和标有b 的阴影部分面积，则这两部分面积a 和b 的大小关系是（ C ）A ．a>bB ．a<bC ．a=bD ．无法确定4. 如果实数,x y 满足关系式)1x y ≤，那么 （ A ）A.0x y +≥B.0x y +≤C.0x y -≥D.0x y -≤5. 函数y kx b =+,其中,(0)k b k ≠是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数. 对于非线性可导．．．．．函数()x f ，在点0x 附近一点x 的函数值()x f ，可以用如下方法求其近似代替值：()()()()000'≈+-f x f x f x x x .利用这一方法计算9983.m =的近似代替值 ( A ）A ．大于mB ．小于mC ．等于mD ．与m 的大小关系无法确定6. 在如图所示的三棱柱中，点A ，BB 1的中点M 以及B 1C 1的中点N 所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分，问小部分的体积和大部分的体积比为 （D ）A ．31；B ．74；C ．1711；D ．2313二、填空题：（每题5分，共30分）7. 数列1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，11,1,,1,n n -个，…的第2008项为___1___，前2008项的和为_ 3899__．8. 一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ”的概率为 6265. 9. 在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值是 14- 。

2021年封开县中学青年教师教学能力大赛数学试题2021.9本试卷共4页，共22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}216x M x *=∈N ≤，{}2280N x x x =--<，则M N = （▲）A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,42．已知复数z 的共轭复数是z ，若312i z z -=+，则z =（▲）A B ．12C D ．523．已知数列{}n a ，1()n a f n =，其中()f n 的整数，若{}n a 的前m 项和为20，则m =（▲）A ．15B ．30C ．60D ．1104．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC ，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB 边的四等分点（E 、F 点），则CE CF ⋅=（▲）A ．9B ．16C ．12D ．115．学校举行羽毛球混合双打比赛，每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A 、2A 、3A 和4名女生1B 、2B 、3B 、4B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（▲）A ．118B ．29C ．16D ．496．412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中有理项的项数为（▲）A ．3B ．4C ．5D ．67．平行直线1l ：210x y --=和2l ：220x y -+=与圆E ：2240x y y +-=分别相交于A 、B 和C 、D 四点，则四边形ABDC 的对角线AD 的长度为（▲）A ．3B ．23C ．33D ．328．如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，侧棱长为2，点P ，Q 分别在半圆弧 1C C ，1A A （均不含端点）上，且C 1，P ，Q ，C 在球O 上，则（▲）A ．当点Q 在弧 1A A 的三等分点处，球O 的表面积为(1133)-πB ．当点P 在弧 1C C 的中点处，过C 1，P ，Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C ．球O 的表面积的取值范围为(4π，8π)D ．当点P 在弧C 1C 的中点处，三棱锥1C PQC -的体积为定值二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知2log 3a =，0.2log 0.3b =，则以下结论正确的是（▲）A ．a ＞1B ．b ＞1C ．a ＞bD ．a +b ＞210．将函数()()()3sin 0f x x ωω+π=>的图象向左平移2π个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值可能为（▲）A ．22B ．12-C ．12D ．22-11．设O 为坐标原点，12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点．在双曲线的右支上存在点P 满足1260F PF ∠=︒，且线段1PF 的中点B 在y 轴上，则（▲）A ．双曲线的离心率为3B ．双曲线的方程可以是2212x y -=C ．||7OP a=D ．12PF F △的面积为23a12．设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（▲）A ．()()2n n ωω=B ．()21n n ω-=C ．()()8543n n ωω+=+D ．()()231n n ωω+=+第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin 410απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=▲．14．设函数()()sin e xx f x π=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为▲．15．已知圆柱O 1O 2的高为底面半径的2倍，其外接球的半径为R 1，以圆O 2为底面，点O 1为顶点的圆锥外接球的半径为R 2，则12RR =▲．16．已知函数19()0cos 2cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭，当x =▲时，()f x 的最小值为▲．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）如图，在ABC △中，π3C ∠=，2BC =，点E 为AB 的中点，点D 在AC 上且DE AB ⊥．（1）若3AC =，求ABD △的面积；（2）若DE =sin A ∠．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，()122n n a xa n n -=+-≥，其中x ∈R ．（1）若1x =，求n a ；（2）是否存在实数x ，y 使{}n a yn -为等比数列？若存在，求出n S ；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中，1BCC 为正三角形，AC BC ⊥，12AC AA ==，1AC =点P 为1BB 的中点．（1）证明：1CC ⊥平面11A C P ；（2）求平面1ABC 与平面11A C P 所成锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n （n ∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n 次；②混合检验，将其中k （k ∈N*，2≤k ≤n ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p （0＜p ＜1）．（1）假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（2）现取其中的k （k ∈N*，2≤k ≤n ）份血液样本，采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数记为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数记为ξ2．（i ）若k ＝4，且()()12E E ξξ=，试运用概率与统计的知识，求p 的值；（ii ）若1p=，证明：()()12E E ξξ<．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y O a b a b +=>>过点12⎫-⎪⎭，()()0000,0A x y x y ≠，其上顶点到直30y ++=的距离为2，过点A 的直线l 与x ，y 轴的交点分别为M 、N ，且2AN MA =．（1）证明：||MN 为定值；（2）如上图所示，若A ，C 关于原点对称，B ，D关于原点对称，且BD NM λ=，求四边形ABCD 面积的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x x =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<．。

高中数学专业素养1、在创立解析几何学的过程中，法国数学家 笛卡尔 和费马做出了最重要的奉献，成为解析几何学的创立者。

2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 祖暅 提出一条原理：“幂势既同，那么积不容异〞这句话的大致意思是 两等高的几何体假设在所有等高处的程度切面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 叠加 函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变〞的结论，可以解释声波的共振现象。

4、?江苏省2021年高考说明?对数学根本才能的考察主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理 这五个才能。

5、?江苏省2021年高考说明?对知识的考察要求依次为理解、理解、掌握 三个层次〔分别对应A 、B 、C 〕6、?普通高中数学课程标准〔试验〕?简称新课标中提出的三维目的是指：知识与技能、过程与方法、情感、态度和价值观。

1、函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。

2、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,那么a = ．3、y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，那么132+++x y x 的取值范围是_______________． 4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如下图，那么时速在[50,60)的汽车大约有 辆．5、某算法的流程图如以下图所示，那么输出的结果是 ．6、P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，那么线段PQ 长度的最小值为频率第4图8、(此题总分值15分)△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+ 且m n ⊥〔Ⅰ〕求角A ；〔Ⅱ〕①试用θ〔不含b ，c 〕表示△ABC 的面积()f θ；②试用b ，c 〔不含θ〕表示△ABC 的面积(),g b c ；〔Ⅲ〕求△ABC 面积的最大值．〔Ⅰ〕4π=A 〔5分〕 〔Ⅱ〕θπθθsin )4sin(250)(+=f ，bc c b g 42),(=〔5分〕 〔Ⅲ〕)12(25max +=S 〔5分〕9、(此题总分值15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如下图)上进展开发建立,阴影局部为一公共设施建立不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一局部,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t〔Ⅰ〕将OMN ∆〔O 为坐标原点〕的面积S 表示成t 的函数()S t ； 〔Ⅱ〕假设在12t =处，()S t 获得最小值，求此时a 的值及()S t〔1〕2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线l 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at--++=+== 21(,0)2at M at+∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+ MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at++=⋅+= 〔7分〕 (2) 2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at+-+-'== 0,0a t >>,由()0S t '=,得2310,at t -==得当2310,at t ->>即时, ()0S t '>当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值在12t =处, ()S t 取得最小值,故有14,23a =∴= 故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅ 〔8分〕 1、(,1),(2,)-∞+∞ 2、1 3、[3，9] 4、360 5、5 6、)2ln 1(22+ 1. 数学是研究__现实世界_________和____数量关系_______的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

射阳县2010年高中数学青年教师基本功大赛笔试试题(一)(考试时间:90分钟；满分:120分)一、基础知识（共10小题，每题3分，计30分）1. 新课程提倡的学习方式有(请列举三个)：(1)_____________________；(2)______________________； (3)______________________________，改变过去的那种单纯接受式的学习方式.2. 新课程的“三维目标体系”是指：(1)________________________；(2)_________________________； (3)_____________________________.3. 请连线:4. 我们常说要重视“数学思想方法”的教学，请列举三个常见的“数学思想”：(1)_________________________；(2)__________________________；(3)________________________.5.《江苏高考说明》的命题指导思想中提出“重视数学基本能力的综合能力的考查”,请你列举三个“数学基本能力”: (1)___________________；(2)_____________________；(3)____________________.6. 我们常说要“数学地思维”，而良好的思维品质是具有一些特性的,请列举其中的三个特性：(1)_______________________；(2)_________________________；(3)_________________________. 7. 数学史上的三次数学危机是指(不必太详细): (1)____________________________________________； (2)_______________________________________；(3)________________________________________. 8. 华罗庚先生在强调“数形结合”的重要性时曾说过的一句话是:“______________________________, ______________________________________.”9. 高中数学选修课程系列4包括10个专题,请列举其中的三个: (1)______________________________； (2)_____________________________________；(3)____________________________________. 10. 波利亚在“怎样解题”表中把数学题的求解过程分为四个阶段，即第一阶段:弄清问题；第二阶段：______________________；第三阶段：______________________；第四阶段：___________________.二、解题能力测试（共5题，每题18分，计90分）11.请建立适当的模型来推导“两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+”.12. 已知一个函数的解析式为2y x =,它的值域为[0,4],这样的函数有多少个?试写出其中两个函数.欧几里德 勾股定理毕达哥拉斯 形式主义数学希尔伯特 《几何原本》学校:_________姓名:_________13.一半径为,水轮圆心O 距离水面2米.已知水轮按逆时针方向旋转,每分钟转动5圈.现在当水轮上点P 从水中浮现时(图中点0P )开始计时.试探究:(Ⅰ)OP 旋转的角速度ω是多少?(单位:弧度/秒)(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,设点P 距离水面的高度z (米)与时间t (秒)的函数关系为()sin()2z f t A t ωϕ==++,其中0A >,而(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边, 0OP 为终边的角.请写出函数()f t 的解析式；(Ⅲ)点P 第二次到达最高点需要的时间是多少秒?14. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足22222345a a a a +=+, 77S =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (Ⅱ)试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.15. 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .(Ⅰ)过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；(Ⅱ)求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为 4的⊙M 的方程；(Ⅲ)设P 为（Ⅱ）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应 的定值；若不存在，请说明理由.第15题第13题。