2019年上海高中数学 第59讲 排列组合与二项式定理教案(多份)

第59讲 计数原理1—乘法原理（分步计数原理）一、问题引入常见船上悬挂有红、蓝、白三种颜色的旗帜，代表了不同的信号、不同的含义，随着排列顺序不同、悬挂数目不同，能表达多少种不同的信号？路上有10盏路灯，为了节能，关闭其中三盏灯有多少种关法？如果三盏灯还要不相邻，又有多少种关法？这便是我们这一章节主要要学习、讨论的内容，先从最基本的计数原理讲起．二、教学过程 1、（1）参照《课本》49P 图，讨论从A 到B 的不同走法情况．答：（2）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？2、乘法原理①一般地，如果做成一件事情要分为n 个步骤，而完成其中每一步骤又有若干种不同方法，则做成这件事情的方法总数，可以用分步计数原理得到．乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m = 种不同的方法．②注意：1m 、2m 、n m 对应的都是完成每一相应步骤的方法数，必须所有步骤都完成后，整件事情才算完成．例1、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ （2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？ （3）4名同学争夺跑步项目的前三名，有多少种可能？（4）4名同学中选3人分别报名跑步、跳高、跳远三个项目，有多少种报名方法？ （5）3封信投4个邮箱，几种投法？（6）四种型号电视机搞促销，3个顾客各选购一台，几种选法？ （7）四台不同型号电视机搞促销呢？（8）5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座例2、（1）()()()123123412a a a b b b b c c ++++++展开后共有多少项？ （2）540的不同正约数有多少个？例3、已知{}1,2,3,4,5x ∈--，{}3,4,5,6y ∈-，则(),M x y 共可以表示多少个不同的点？多少个第2象限点？多少个不在直线y x =上的点？例4、（1）0、1、2、3、4、5能组成多少四位数？（2）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位数？ （3）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位奇数？ （4）1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的三位偶数？例5、（1）已知{}0,1,2,3A =，若,,a b c A ∈，且,,a b c 互不相等，则可表示的所有一元二次方程20ax bx c ++=有多少？（2）若{}1,2,3,5a ∈，{}1,2,3,5b ∈，则能表示多少条不同的直线by x a=？ （3）若{}3,4,5a ∈，{}0,2,7,8b ∈，{}1,8,9r ∈，可表示多少不同的圆()()222x a y b r -+-=？§16.2 排列一、教学过程1、排列：一般地，从n 个元素中取出m （m n ≤）个元素，按照一定次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．特点：元素顺序不同，对应了不同的情况．如果问题3中改为选取2人充当主持而不分正副，则还是排列问题吗？ 2、如何判断两个排列是否相同？答：判断元素是否相同；排列顺序是否相同． 例1、判断下列问题是否排列问题：（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除），可得多少种不同的结果？ （2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘），可得多少种不同的结果？ （3）有12个车站，共需要准备多少种普通票？ （4）在（3）中共有多少种不同的票价？（5）某班有50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写信多少封？ （6）把（5）中写信问题改为会面，共需通电话多少次？ （7）把（5）中通信换成互赠照片，共需准备照片多少张？3、排列数从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示．注：关于排列数的计算，1n P 表示n 个元素里选取1个元素排成一列的情况，即n 个元素选1个元素的选法，所以1n P n =，至于其他情况，有如下分析．4、排列数公式：一般地，排列数m n P 可以按从n 个不同元素中取出m 个元素依次填入m 个空位来考虑．()()()121m n P n n n n m m =----⎡⎤⎣⎦共项例2、用排列数表示()()()115n m n m n m --+-+ ，其中,m n N *∈，m n <．5、全排列①n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列． 这时，排列数公式中的m n =，即有()()12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅这就是说，n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n 的连乘积． ②正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示． 规定，0!1=． ③!n n P n =为了保证全排列m n =时也能成立，我们规定0!1=．例3、1!2!3!4!5!100!++++++ 的个位数字是多少？例4、解方程： （1）()()3!12!3n n -=- （2）33210n n P P = （3）191053m m P mP -=例5、求证：11n n nm m m P nP P -++=．例6、从0，1，2，3，4中选取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中比200大的三位数有几个？例7、15支球队进行双循环赛，即每队都要与其余各队在主客场分别比赛1场，共进行多少场比赛？（如改为单循环赛呢？）例8、10个人排队，按以下要求有多少种不同排法？ （1）任意排成一排；（2）排成两排，每排5人； （3）甲不在队首；（4）甲乙丙必须在奇数位上；（5）甲在奇数位上，乙丙在偶数位上； （6）甲乙丙三人必须在一起；（7）甲乙丙三人必须在一起，丙又在甲乙中间； （8）甲乙丙三人中任意两人不排在一起； （9）甲始终坐在乙的右侧．例9、5男5女共10个同学排成一行， （1）女生都排在一起，有几种排法？ （2）女生与男生相间，有几种排法？（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？ （4）5名男生不排在一起，有几种排法？（5）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？ （6）5名男生坐在一起，男生甲在乙的右侧，有几种排法？例10、用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位数中，若2，4，6次序一定，有多少种不同的七位数？如改为1，3，5，7次序一定呢？§16.3 计数原理2—加法原理（分类计数原理）一、教学过程 1、加法原理如果完成一件事有n 类的办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m =++++ 种不同的方法． 2、注意①各类方法间相互独立，通过每一类方法都能完成整件事； ②分类时，确定一个分类的标准，不重复不遗漏；③分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性；分步时要注意“步”与“步”之间的连续性． 例1、给定数字0，1，2，3，4，5，每个数字最多用一次， （1）可以组成多少个自然数？ （2）可以组成多少个奇数？ （3）可以组成多少个四位偶数？（4）可以组成多少个比2300大的四位数？ （5）可以组成多少个比240135大的数？ （6）可以组成多少个能被5整除的四位数？ （7）可以组成多少个能被25整除的四位数？例2、在3000和8000之间，有多少个无重复数字的奇数？例3、某天课程表排入数学、物理、化学、语文、英语、体育各一节， （1）体育不排第一节，也不排第三节，几种不同排法？（2）第一节不排体育，第三节不排数学，有多少种不同的排法？二、课后练习1、将a 、b 、c 、d 、e 、f 六个不同元素排成一列，其中a 不排在首位，b 不排在末位，有几种排法？2、从9本不同的书中取出6本排在书架上，满足下列条件之一，分别有几种方法？ （1）某一本书必须排在左端或右端； （2）某一本书不能排在两端；（3）某两本书，A 不能排在左端，B 不能排在右端．§16.4 组合一、教学过程1、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的次序有关，而组合与元素的次序无关． 2、如何判断两个组合是否相同？元素相同（不管元素的次序是否相同）3、组合数从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示．注：关于排列数的计算，1n C 表示n 个元素里选取1个元素的情况，即n 个元素选1个元素的选法，所以11n n C P n ==；0n C 表示n 个元素里一个都不选的选法数，显然01n C =；n n C 表示n 个元素里选取n 个元素的选法数，显然，1n n C =，至于其他情况，有如下分析．4、组合数公式：()()()()121!!!!m mn nm mn n n n m P n C m m n m P ----⎡⎤⎣⎦===- ，其中m n ≤．例1、解方程：22212n n n C C C -++=．例2、证明：1111mm n n m C C n +++=+．5、组合的应用题例3、现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表， （1）男甲、女A 都必须当选，有几种选法？（2）男甲必须当选，女A 不能当选，有几种选法？ （3）至少有一个女同学当选，有几种选法？ （4）最多有三个女同学当选，有几种选法？例4、要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？ （1）A 、B 、C 三人必须入选； （2）A 、B 、C 三人不能入选； （3）A 、B 、C 三人只有一人入选； （4）A 、B 、C 三人至少一人入选； （5）A 、B 、C 三人至多二人入选．例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队， （1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ （2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？例6、（1）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷．现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？（2）由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌，也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？6、组合数的性质①性质1、m n m n n C C -=②性质2、111m m m n n n C C C ++++=例7、计算：1381510C C +例8、解方程：（1）1221717x x C C +-= （2）83n n C C =例9、求值：（1）383321n n n n C C -++；（2）123231n n n n C C ---++例10、计算：（1）12345674456789C C C C C C C ++++++；（2）5555556789C C C C C ++++；（3）2345656789C C C C C ++++例11、证明：1231223411m m m C C C C C -+++++=-§16.5 二项式定理一、教学过程1、二项式定理：①一般地，对于任意正整数n 有()001112221110nn n n n r r n r n n n n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C a b ------+=+++++++②右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，它一共有1n +项，其中各项的系数r n C （r =0，1，2， ）叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式中的第1r +项，用1r T +表示，即1r n r rr n T C a b -+=．例1、求411x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．例2、求6⎛⎝的二项展开式．例3、（1）求()12x a +的二项展开式的中间项；（2）求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数及二项式系数；（3）求912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数及二项式系数；（4）求8的二项展开式中2x 的系数．例4、（1）求93x ⎛ ⎝的二项展开式中的常数项；（2）求15的二项展开式中的常数项；（3）求16的二项展开式中的有理项；（4）若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为52，求a 的值．例5、已知n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项．例6、（1）设212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，求正整数n 的最小值；（2）若()13222nn n n x x x ax bx cx -+=++++++ （n N ∈，3n ≥）且:3:2a b =，求n ．例7、计算：（1）()()1122222121r nn n n r n r nn n n n C C C C ----+++-++- ； （2）011n n n n n nC C C C -++++ ； （3）121112422n n n n n n n n C C C C --+++++ ；例8、求5150被7除所得的余数．二、二项式系数性质：1、观察二项式系数表，探究规律①每一行中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；②每一行两端都是1，其余位置的每一个数都等于它“肩上”两个数的和；③每一行中，二项式系数先是逐渐增大至最大，然后逐渐减小，越靠近中间越大，左右对称． 2、一般地，二项式系数有如下两个性质：①性质1、()na b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； 这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②性质2、()na b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ．将1a b ==分别代入()na b +和它的二项展开式中，即有0112n n nn n n n C C C C -=++++ ．例8、求证：在()na b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．。