连续型变量的特点

连续型随机变量的分布及其数字特征

一、基本概念

设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f (x)，使对任意实数x，有

XxF{P)(≤xxxfxd)(}

则称X为连续型随机变量，并称 f (x)为X的概率密度，它满足以下性质：

① f (x)≥0，-∞＜x＜+∞; ② 1d)(xxf; ③ P{a

=baxxfd)(; ④ P{x=a}=0．

二、常见的三种连续型随机变量的概率分布

常用的三种连续型随机变量的概率分布是均匀分布、指数分布和正态分布．

（1） 均匀分布

若连续型随机变量X的概率密度为

其它,0;,1)(bxaabxf

MATLAB 提供的有关均匀分布的函数如下：

unifpdf(X,A,B) 均匀分布的密度函数

unifcdf(X,A,B) 均匀分布的累积分布函数

unifinv(P,A,B) 均匀分布的逆累积分布函数

unirnd(A,B,m,n) 均匀分布的随机数发生器

unifstat(A,B) 均匀分布的数学期望与方差

其中X为随机变量，P为概率值，A，B为均匀分布参数，m和n为生成随机数矩阵的行数和列数．

（2） 指数分布

如果随机变量X的概率密度为

0,0;0),exp()(xxxxf

其中为常数，则称X服从参数为的指数分布，记作X～e ()．

MATLAB 提供的有关指数分布的函数如下：

exppdf(X,L) 指数分布的密度函数

expcdf(X,L) 指数分布的累积分布函数

expinv(P,L) 指数分布的逆累积分布函数

exprnd(X,L,m,n) 产生服从指数分布的随机数

expstat(L) 求指数分布的数学期望与方差

其中X为随机变量，L为参数，P为显著概率，m和n为随机数矩阵的行数和列数．

第３３卷第２期　２０１５年０３月　佳木斯大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．３３　Ｎｏ．２　Ｍａｒ．　２０１５　文章编号：１００８—１４０２（２０１５）０２—０３ｏ６—０３　二维连续型随机变量函数的分布①　刘春霞　（青岛理工大学琴岛学院基础部。山东青岛２６６１０６）　摘要：　为了得到二维连续型随机变量函数的分布，利用积分知识，分别推导出了二维连续型　随机变量的线性运算、除法、乘积的分布及其概率密度函数，并举例说明此结论在计算二维连续　型随机变量函数的分布时是很好用的．　关键词：二维连续型随机变量；函数的分布；概率密度函数　中图分类号：０２１ｌ　文献标识码：Ａ　０　引　言　在实际应用中，有时需要计算两个随机变量的　函数Ｚ：ｇ（Ｘ，Ｙ）的分布．例如，考察全国５Ｏ岁以　上的人群，用　和ｙ分别表示一个人的身高和体　重，Ｚ表示此人的脉搏，并且已知他们之间的函数　关系式为　Ｚ＝ｇ（Ｘ，】，）　现在若知道（　，ｌ，）的分布，如何确定Ｚ＝　ｇ（Ｘ，Ｙ）的分布　】．　一般的，连续型随机变量的函数不一定是连续　型随机变量，下面我们仅对连续型随机变量的函数　仍然是连续型随机变量的情形进行讨论．我们不仅　希望能得到其分布函数，更希望求出其概率密度函　数　＿引．　下面对三种函数关系进行讨论：　（Ｉ）Ｚ＝ａＸ＋６ｙ＋ｃ，ａ，ｂ，ｃ为常数目ａ≠０，ｂ≠Ｏ；　ｙ　（２）Ｚ＝　；　Ｊ　（３）Ｚ＝ＸＹ．　设（　，Ｙ）为二维连续型随机变量，其概率密　度函数为　，Ｙ），（　，ｙ）关于　，ｌ，的边缘密度函数　分别为　（　）　（），），ｚ的分布函数为　（ｚ），概率　密度函数为　（　）．　１　Ｚ＝ａＸ＋ｂＹ＋Ｃ，ａ。ｂ，Ｃ为常数且ａ　≠０，ｂ≠０　下面对ａ＞０，ｂ＞０的情形进行讨论，则　（　）＝Ｐ｛ａＸ＋６ｙ＋ｃ≤ｚ｝　出　＝肌　）　】出　固定ｚ和　，对方括号内的积分作变量代换　引，　４＂ｙ　，得　（　）＝　，　）　Ｉ　ｄｘ　＝　Ｊ＝。【亡　）ｄｘ］ｄ　所以得　ｆＡ　）＝　（　）＝丢亡　，　）　同理得　胁）＝　亡　，ｙ）ｄｙ　当ａ＞０，ｂ＜０；口＜０，ｂ＜０；口＜０，ｂ＞０时，　用同样的方法可得到的Ｚ概率密度函数　（ｚ）．　综上，得到Ｚ＝ａＸ＋ｂＹ＋Ｃ（ａ，ｂ，ｃ为常数ａ≠　０，ｂ≠０）的概率密度函数为　（１）　（　）＝ｒ　１　仁　，　）　（１）　（２）　（　）＝　１仁　，ｙ）ｄｙ（２）　注：　（１）当Ｘ和Ｙ独立时，则上述公式化为　（ｚ）＝　＿＿仁厶（　）ｆＡ　）　（３）　胁）＝　亡＾（　）ｆｒ（ｙ）ｄｙ（４）　①　收稿日期：２０１５－０１一ｏ６　作者简介：刘春霞（１９８１一），女，山东滨州人，青岛理工大学琴岛学院讲师，硕士，

连续型随机变量的分布

（一）连续型随机变量及其概率密度函数

1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x，有()()xFxftdt，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。

注：F(x)表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为1。

2 .密度函数f(x)的性质：注：f(x)不是概率。

1) f(x)≥0

2) ()1fxdx+

- =ò

3) 21x1221x{xx}f(x)x(x)(x)PXdFF

特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即{}0.PXx==（但{X=x}并不一定是不可能事件）

因此 P(a≤X≤b)= P(a

4）若f(x)在点x处连续，则()().Fxfx

分布函数性质

i) 0≤F(x)≤1；

ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；

ⅲ) 当x1≤x2时，F(x1)≤F(x2)；（单调性）

iv) F(x)是连续函数

注：iv)与离散型随机变量不同，

离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。

例1 设随机变量X的分布函数为F(x)=A+B arctanx,

求 （1）系数A，B （2）P(-1

分析：主要是应用分布函数的性质。

解 （1）由F(-∞)=0,F(+∞)=1得

0212ABAB 解之，得 121AB

（2）由(1)知F(x)=11arctan,2x

基 本 内 容 备 注 1 故得P（-1

111()442pppp=--=

(3) f(x)21() ()(1)Fxxxp¢==-?<+ +

例2 设随机变量X的概率密度为3xk, x0, f(x)0, x0,e-ìï>ï=íï£ïî试确定常数k，并求其分布函数F(x)和P{X>0.1}.

解：由f(x)x1d+

概率分布中的离散型与连续型

概率分布是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的取值和对应的概率。根据随机变量的类型和取值的特点，概率分布可以分为离散型和连续型。本文将对这两种概率分布进行介绍和比较。

一、离散型概率分布

离散型概率分布是指随机变量的取值是有限个或可数个的情况下的概率分布。离散型概率分布通常用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述。概率质量函数表示随机变量取某个特定值的概率。

常见的离散型概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。以二项分布为例，它描述的是进行n次独立的二元试验，在每次试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p，随机变量X表示成功的次数。二项分布的概率质量函数为P(X=k) =

C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。

离散型概率分布的特点是概率质量函数在取值点上有明确的非零值，而在取值点之间的概率为零。离散型概率分布的图像通常是由一系列不连续的垂直线段组成。

二、连续型概率分布

连续型概率分布是指随机变量的取值是连续的情况下的概率分布。连续型概率分布通常用概率密度函数（probability density function，简称PDF）来描述。概率密度函数表示在某个取值范围内的概率密度。

常见的连续型概率分布有均匀分布、正态分布、指数分布等。以正态分布为例，它是自然界中最常见的概率分布之一，也称为高斯分布。正态分布的概率密度函数为f(x) = (1/(σ*√(2π))) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。 连续型概率分布的特点是概率密度函数在取值范围内的某个点上的值并不表示该点的概率，而是表示在该点附近的概率密度。连续型概率分布的图像通常是连续的曲线。

三、离散型与连续型的比较

离散型概率分布和连续型概率分布在性质和应用上有一些显著的区别。