《概率与数理统计》10—§2-2连续型随机变量及其概率密度（共 6 页）
第 1 页 教学对象 管理系505-13、14、15；经济系205-1、2
计划学时 2 授课时间 2006年3月3日；星期五；1—2节
教学内容 第二节 连续型随机变量及其概率密度
一、概率密度的概念
二、均匀分布
三、指数分布
教学目的 通过教学，使学生能够：
1、理解概率密度的概念和作用
2、掌握均匀分布
3、了解指数分布
知 识：
1、概率密度
2、均匀分布
3、指数分布 技能与态度
1、将生活中的随机现象与随机变量的分布相联系
2、会计算均匀分布的概率问题
教学重点 概率密度的概念
教学难点 概率密度的理解
教学资源 自编软件
教学后记
培养方案或教学大纲
修改意见
对授课进度计划
修改意见
对本教案的修改意见
教学资源及学时
调整意见
其他
教研室主任： 系部主任：
《概率与数理统计》10—§2-2连续型随机变量及其概率密度（共 6 页）
第 2 页 教学活动流程
教学步骤、教学内容、时间分配 教学目标 教学方法
一、复习导入新课
复习内容：（5分钟）
1、分布律的概念
2、二项分布
3、泊松分布
4、作业讲评
导入新课：（2分钟）
上一节研究了离散型随机变量，它们的取值是有限个或可列无穷多个。但在许多的随机试验中，随机变量的取值可以是某一区间内的实数，如电池的使用寿命，某一地区的年降水量，它们的取值不是集中在有限或可列无穷多个点上，可以说它们的取值更多，因为它们取值是连续的，因此用离散型随机变量的分布律来研究这类随机变量是无法实现的。我们只有确定了X在某一区间取值的概率P{a
巩固所学知识，与技能
引出本节要学习的主要内容
提问讲解
二、明确学习目标（2分钟） 1、理解概率密度的概念和作用
2、掌握均匀分布
3、了解指数分布
三、知识学习（50分钟）
一、连续型随机变量及其概率密度
补充内容：频率直方图的概念作法，频率密度折线
连续型随机变量函数分布的探讨
随机变量的分布函数在现实生活中有着非常多的运用，与其分布相关的研究同样是大部分教材重要的组成内容。往往计算机变量函数分布能够采取公式法又或是分布函数法，正常状况下，公式法所需具备的条件非常的严格。本文对连续型随机变量函数分布进行较为深入的研究。
标签：连续型随机变量；分布函数；应用
1 连续型随机变量中的“连续”界定
连续型随机变量与离散型随机变量是完全不同的，经过其所存在的取值点集特点来概括，运用全新的工具分布F（x）函数来对其进行界定，也就是如果X的分布函数都可以写为某一非负函数f（x）的变上限积分模式，便将它叫做连续型随机变量。
（1）性质1 针对连续型随机变量X存在：
a.
b.。
根据以上所阐述的特性能够发现，连续型随机变量大都是探讨相互持续的点集中的取值概率，比如：区间[c，d]等，它的某个固定点位置处的概率是0。换而言之，连续型随机变量所分析的是各式各样的有限区间、数轴以及半数轴等。
但是，若果取值点集是半数轴、有限区间、数轴以及并集的随机变量，
其并非一定是连续型，比如：。其同样是没有办法
采取连续型随机变量全部的能够进行取值的点集的特点来实施概括。
（2）性质2 对于连续型随机变量X，如果f（x），F（x）所代表的是密度函数以及分布函数，那么便存在：
a.f（x）≥0；b.；c.f（x）=F′（x），在f（x）的连续点便成立。
较为显著的是，f（x）在XOY坐标平面中所对应的的图像，处在X轴以及它上方的一个曲线，同时此曲线和X轴间区域的面积是1。然而f（x）并不能确定为（-∞，+∞）区间内的连续函数，同时其所有不连续点均是单独存在的、数量有限的点集，然而从其主体层面依然是分段式的连续函数，同时在f（x）的连续点处的F（x）可导。此处补充说明的是，性质2中所列出的a、b均是f（x）能够成为连续型随机变量函数的充要条件。
（3）根据高等数学相关理论能够得知，变上限积分函数F（x）一定是（-∞，+∞）区间内的连续函数。针对普通性的分布函数仅仅需要其达到右连续，例如：连续型随机变量对应的分布函数是全部连续的，换而言之，连续型随机变量的概率累积实渐渐积累的，并未产生跳跃式的增长。其同样是连续型随机变量最为主要的“连续”特点，然而并不能说明分布函数为连续函数，其所对应的随机变量必然是连续型的。
,.
第七讲
连续型随机变量（续）及
随机变量的函数的分布
3. 三种重要的连续型随机变量
（1）均匀分布
设连续型随机变量X具有概率密度
)5.4(,,0,,1)(其它bxaabxf
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).
X的分布函数为
)6.4(.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF
（2）指数分布
设连续型随机变量X的概率密度为
)7.4(,,0,0,e1)(/其它xxfx
其中>0为常数, 则称X服从参数为的指数分布.
容易得到X的分布函数为 第二章 随机变量及其分布
§4 连续型随机变量
及其概率密度
Oxf(x)123123=1/3=1=2 ,.
)8.4(.,0,0,1)(/其它xexFx
如X服从指数分布, 则任给s,t>0, 有
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9)
事实上
}.{eee)(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(tXPsFtsFsXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXPtsts性质(4.9)称为无记忆性.
指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.
（3）正态分布
设连续型随机变量X的概率密度为
)10.4(,,e21)(222)(xxfx其中,(>0)为常数, 则称X服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(,2).
显然f(x)0, 下面来证明
1d)(xxf
令tx/)(, 得到
f(x)的图形:Oxf(x)=5=5
,.
dxedxetx22)(2222121
.1d21d21)11.4(π2dde,,dd,de22)(200222/)(22/2222222xexerrIuteItItxrutt于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:
第２５卷第４期 ２０１５年４月 长春大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＨＡＮＧＣＨＵＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＶｏＩ．２５ Ｎｏ．４ Ａｐｒ．２０１５
二维连续型随机变量独立性的判定
刘春霞
（青岛理工大学琴岛学院，山东青岛２６６１０６）
摘要：给出了二维连续型随机变量独立性的一个判定定理、两个推论，并举例说明用此结论判断二维连续型随机
变量的独立性时，不需要计算边缘密度函数，只从联合概率密度的形式上就能判断出Ｘ与ｙ的独立性。
关键词：二维连续型随机变量；独立性；判定
中图分类号：０２１１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００９—３９０７（２０１５）０４—００５３—０３
Ｏ 引言
二维随机变量是概率论与数理统计¨ 中非常重要的内容，两个随机变量取值之间有无关系可以用“独
立性”来度量。
判断二维连续型随机变量的独立性通常是先求出其边缘密度函数，然后利用等价条件，（ ，Ｙ）＝
（ ） （Ｙ）来判断。计算边缘密度函数 （ ） （ｙ）需要用到积分 的知识，这对于有些学生来说有一定难
度，下面介绍一种简单方法只要从ｌ厂（ ，Ｙ）的形式就能判断出二维连续型随机变量的独立性。
１ 预备知识
定义１… 设随机试验的样本空间为Ｓ，∞∈Ｓ为样本点，而
Ｘ＝ （ＯＪ），Ｙ＝Ｙ（∞）
是定义在．ｓ上的两个随机变量，称（ ，Ｙ）为定义在Ｓ上的二维随机变量或二维随机向量。
一般地，称ｎ个随机变量的整体Ｘ＝（Ｘ ，Ｘ ，…，Ｘ ）为ｎ维随机变量或ｎ维随机向量。
定义２… 设（ ，ｙ）是二维随机变量，对任意实数 ，Ｙ，二元函数
Ｆ（ ， ）＝Ｐ｛ ，ｙ ｝
称为二维随机变量（ ，Ｙ）的分布函数或称为随机变量 和ｌ，的联合分布函数。
Ｆｘ（ ）＝Ｐ｛ ｝＝Ｐ｛ ，Ｙ＜＋∞｝，
Ｆ （Ｙ）＝Ｐ｛ｙ ｝＝Ｐ｛Ｘ＜＋Ｏ０，Ｙ ｝，
分别称为Ｆ（ ，Ｙ）关于 和Ｉ，的边缘分布函数。
定义３ 设随机变量 和ｙ的联合分布函数为Ｆ（ ，Ｙ），边缘分布函数为 （ ），Ｆ （Ｙ），若对任意实数
