1.参数方程的概念及圆的参数方程

普通方程是x2 + y2 = r2 , 那么，圆心在点o′(x 0 ,y0 ) 半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
x = x 0 + rcosθ { (θ为参数)对应的普通方程为 y = y 0 + rsinθ (x − x 0 ) +(y − y0 ) = r
2 2 2
注意：由于选取的参数不同， 注意：由于选取的参数不同，圆有不同的 参数方程，一般地，同一条曲线， 参数方程，一般地，同一条曲线，可以选 取不同的变数为参数， 取不同的变数为参数，因此得到的参数方 程也可以有不同的形式， 程也可以有不同的形式，形式不同的参数 方程， 的曲线可以是相同的， 方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另 在建立曲线的参数参数时， 外，在建立曲线的参数参数时，要注明参 数及参数的取值范围。 数及参数的取值范围。
思考： 思考： 这里定点Q在圆 外 这里定点 在圆O外，你能判断这个 在圆 轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在 轨迹表示什么曲线吗？如果定点 在 圆O上，轨迹是什么？如果定点 在 上 轨迹是什么？如果定点Q在 圆O内，轨迹是什么？ 内 轨迹是什么？
小节： 小节： 1、参数方程的概念 、 2、能够解决一些简单的参数方程 、 3、圆的参数方程的表达式 、
如图， 的半径为2， 是圆上 例2 如图，圆O的半径为 ，P是圆上 的半径为 的动点， 轴上的定点， 是 的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是 是 轴上的定点 PQ的中点，当点 绕O作匀速圆周运动 的中点， 的中点 当点P绕 作匀速圆周运动 时，求点M的轨迹的参数方程。 求点 的轨迹的参数方程。 的轨迹的参数方程
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t = 0 所以M1在曲线C上。 5 = 3t 把点M 2(5,4)代入方程组，得到{ 4 = 2t2 + 1
(2)、因为点M 3(6,a)在曲线C上，所以 6 = 3t { 解得t = 2,a = 9,所以，a = 9 2 a = 2t + 1
这个方程组无解，所以点M 2不在曲线C上。
x = 100t 1 2 ,令y = 0 ⇒ t ≈ 10.10s ⇒ x ≈ 1010m y = 500 − 2 gt 所以飞行员在离救援点的水平距离约为1010时投 所以飞行员在离救援点的水平距离约为 时投 放物资，可使其准确落在指定地点。 放物资，可使其准确落在指定地点。
一般地，在平面直角坐标系中， 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数 都是某个变数t的函数 任意一点的坐标 都是某个变数 的函数
x = sinθ 例2、方程{ (θ为参数)表示的曲线上 y = cos2θ 的一个点的坐标是（C） 1 1 1 1 A、(2,7)B、( , )，C、( , ),D(1,0) 3 2 2 2
2、圆的参数方程 、 点M从M0出发以 为角 从 速度按逆时针方向运动
ω
y
，点M转过的角度是 θ，坐标是M(x,y)，那么θ＝ωt，
y P M
θ
o
Q
x
解：设点M的坐标是(x,y)，∠xOP =θ,则点 P的坐标是(2cosθ,2sinθ), 由中点坐标公式得： 2cosθ+ 6 2sinθ x= = cosθ+ 3,y = = sinθ 2 2 所以，点M的轨迹的参数方程是 x = cosθ+ 3 { (θ为参数) y = sinθ
作业： 页 ， ， 作业：26页1，2，3
例3:已知圆 x + ( y − 1) = 1 上任意一点 (x, y )都 使不等式 x + y + m ≥ 0 恒成立,求实数 m 的取 值范围.
2 2
{
x = f (t ) y = g (t )
.........................( 2)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（ ） 并且对于 的每一个允许值，由方程组（2） 的每一个允许值 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 都在这条曲线上， 所确定的点 都在这条曲线上 就叫做这条曲线的参数方程 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 就叫做这条曲线的参数方程， x,y的变数 叫做参变数，简称参数，相对于 的变数t叫做参变数， 参数， 的变数 叫做参变数 简称参数 参数方程而言， 参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 普通方程。 方程叫做普通方程 方程叫做普通方程。
思考：以初速度v 0发射炮弹， 炮弹的发射角为α，不 y 计空气阻力，试写出炮 弹曲线的参数方程。
v0
α
x
弹道曲线的
o 参数方程为 x = v 0cosα⋅ t { 1 2(t为参数) y = v 0sinα⋅ t − gt 2 2 其中g是重力加速度(取g = 9.8米/秒 )
x = 3t 例1、已知曲线C的参数方程{ (t为参数) 2 y = 2t + 1 (1)、判断点M1(0,1),M 2(5,4)与曲线C的位置关系 (2)、已知点M 3(6,a)在曲线C上，求a的值。
1.曲线的参数方程
2.圆的参数方程 圆的参数方程
例、由方程x2 + y2 − 4tx − 2ty + 5t2 − 4 = 0(t为 实数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 (
D
)
A、一个定点 、 C、一条抛物线 、
B、一个椭圆 、 D、一条直线 、
求曲线方程的方法， 求曲线方程的方法，在求某些曲线方程 直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系 时，直接确定曲线上的点的坐标 的关系 并不容易， 并不容易，但如果利用某个参数作为联系 它们的桥梁， 它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标 x,y所要适合的条件，即参数可以帮助我们 所要适合的条件， 所要适合的条件 得出曲线的方程f(x,y)＝0。这种方法叫参数 得出曲线的方程 ＝ 。这种方法叫参数 法. 一、曲线的参数方程 1. 参数方程的概念
探究：如图， 探究：如图，一架救援飞机在离灾区地 的高处以100m/s的速度作水平直 面500m的高处以 的高处以 的速度作水平直 线飞行， 线飞行，为使投放的救援物资准确落于 灾区指定的地面（不计空气阻力）， ），飞 灾区指定的地面（不计空气阻力），飞 行员应如何确定投放时机呢？ 行员应如何确定投放时机呢？
y A
M(x,y)
o
x
个变量， 表示点的坐标， （一）方程组有3个变量，其中的 表示点的坐标， 方程组有 个变量 其中的x,y表示点的坐标 变量t叫做参变量 而且x,y分别是 的函数。 叫做参变量， 分别是t的函数 变量 叫做参变量，而且 分别是 的函数。 （二）由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一 由物理知识可知，物体的位置由时间 唯一 决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 的坐标x,y由 唯 决定，从数学角度看，这就是点 的坐标 由t唯 一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时 在允许值范围内连续变化时， 一确定，这样当 在允许值范围内连续变化时，x,y 的值也随之连续地变化， 的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出 点的轨迹。 点的轨迹。 （三）平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有 序实数对（ ）之间有一一对应关系。 序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
x
设 OM ＝r，那么由三角函数的定义有： x = rcosωt x y cosωt = ,sinωt = 即{ (t为参数) y = rsinωt r r
这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方 程。其中参数t有明确的物理意义(质点作匀 速圆周运动的时刻)
考虑到θ＝ωt，也可以取θ为参数，于是有 x = rcosθ (θ为参数),这也是圆心在原点O，半径 { y = rsinθ 为r的圆的参数方程其中参数θ的几何意义是OM 0绕 点O逆时针旋转到OM的位置时，OM 0转过的角度。 圆的参数方程的一般形式： 圆的参数方程的一般形式： 以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的