上海理工大学高等代数试卷12

淮北师范大学2012年招收硕士研究生考题（A ）招生专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论考试科目：高等代数说明：答案必须写在答题纸上，写在本考题纸上的无效。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、简答题（每题9分，共54分）1、若()()323121x xf x f x x +++，证明：()()121,1x f x x f x --. 2、已知向量组12,,,n ααα线性无关，向量组12,,,,n αααβ线性相关，证明：β可由向量组12,,,n ααα唯一线性表出.3、已知等价的向量组秩相等，问秩相等的向量组是否等价？举例说明.4、设3级矩阵A 的行列式值是-2，计算1*2---A A .5、设2级矩阵A 的特征多项式为()21021f λλλ=-+，计算1A -的特征多项式.6、设A 是n 级矩阵，若()1r A n =-，且12,αα是方程组0AX =的两个不同的解，求齐次线性方程组0AX =的通解.二、（12分）证明：多项式()!!212p x x x x f p++++= 在有理数域上不可约，其中p 是一个素数.三、（12分） 计算n 级行列式72000007200057200057 =n D四、（12分）设,A B 是两个n 级实对称矩阵，且B 是正定矩阵，证明：存在n 级实可逆矩阵T ，使T T AT 与T T BT 同时为对角形.五、（14分）设B A ,为n 级矩阵，满足22B A =，但||||B A ≠。

证明： （1）A 为可逆矩阵；（2）B A +不是可逆矩阵.六、（15分） 设()ij A a =是m n ⨯矩阵（m n <），已知齐次线性方程组0AX =的基础解系为()12,,,(1,2,,)Ti i i in b b b i n m β==-。

释 疑 解 难（第七章）（第七章）一、求垂直于平面0=z 且通过点)1,1,1(0-M 到直线îíì==+-001:x z y L 垂线的平垂线的平 面方程。

面方程。

解：解：直线L 的方向向量}1,1,0{--=l，过点0M 与直线L 的平面N 的方程的方程 0)1()1(=--+-z y ，即0=+z y解方程组ïîïíì=+==+-0001z y x z y ，得直线L 与平面N 的交点)21,21,0(1-M 由题意，设所求平面方程为0=++D By Ax ，将0M 、1M 坐标代入，得坐标代入，得ïîïíì=+-=+-02D B D B A ，解得D A =，D B 2=，所求的平面方程为：012=++y x 。

二、证明两直线二、证明两直线231212-=-+=-z y x 与112111-=+=--z y x共面，并求该平面方程。

共面，并求该平面方程。

解：解：记)3,2,2(1-M ，}2,1,1{1-=l ，)1,1,1(2-M ，}1,2,1{2-=l则}2,1,1{21--=M M∵0211121211)(2121=----=×´M M l l ∴两直线共面。

∴两直线共面。

取}1,3,5{21--=´=l l n则所求平面方程为则所求平面方程为0)3()2(3)2(5=-++---z y x ，即0135=--+z y x 。

三、求平面02122=++-z y x 与05247=-+z x 所成二面角的平分面方程。

所成二面角的平分面方程。

解：解：过两平面交线的平面束方程过两平面交线的平面束方程0)5247(2122=-++++-z x z y x l ，即，即0)521()242(2)71(=-+++-+l l l z y x其法向量}242,2,71{l l +-+=n，已知两平面法向量分别是，已知两平面法向量分别是}2,2,1{1-=n 与}24,0,7{2=n由题意知||||||||2211n n n n n n n n ×±=×，解得253±=l 所以所求平面方程为所以所求平面方程为025*******=++-z y x 和027011252=+--z y x 。

一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。

2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。

3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。

4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。

5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。

6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。

7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。

8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。

9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。

10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。

二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。

（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。

（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。

（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。

中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(00001λλλλ → )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分 行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分 初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Zy Y x X ==----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分 将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx 24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-024z y x ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为 12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分 2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（α，A β）． 证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分。

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（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案高等代数2011—2012第一学期期末试卷答案课程名称:《高等代数》参考答案及评分标准（A 卷）考试(考查）：考试 时间：200 年 月 日 本试卷共7页，满分100 分； 考试时间:120 分钟答题前请将密封线内的项目填写清楚一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内)。

1．在[]F x 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k 【 C 】A ．4B ．3C ．2D ．13．A ,B 是n 阶方阵，则下列结论成立的是 【 C 】A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠ B 。

0A A O =⇔=C ．0AB A O =⇔=或B O =D . 1||=⇔=A I A4．设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】A 。

2A I +B 。

A I +C ．A I -D .A5．设A 为3阶方阵，且1)(=A r ，则 【 A 】 A 。

《高等代数》试卷(共6页),)n x 的规范形由时，二次型f 的全体特征值的和等于的特征值为,),2,,}n i x x P i n ∈= ＝ ，维(W )＝ . 8．设88A C ⨯∈，若A 的初等因子为：233(1),(),()i i λλλ--+则A 的若当标准形为9．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝ ，10．设线性空间3P 的线性变换σ为：1231212(,,)(,,)x x x x x x x σ=+则σ在标准基123,,εεε下的矩阵为 .……………11．设1|,0a b W a b R b ⎫⎧⎛⎫⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎩⎭，20|,0a W a b R b ⎫⎧⎛⎫⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎩⎭则12W W += .12W W = . 二、计算与证明：（共45分）1．（5分）证明：如果,A B 都是n 阶正定矩阵，则A B +也是正定矩阵.2．（15分）已知二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++，求一个正交变换X PY =, 把二次型123(,,)f x x x 化为标准型.3．（10分）设1V 与2V 分别是齐次方程组120n x x x +++= 与12n x x x ===的解空间，证明12n P V V =⊕.4．（15分）设22P ⨯是数域P 上的2级全体方阵所成的线性空间，定义22P ⨯的一个线性变换σ如下：2211() 11X X X P σ⨯-⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭（1） 求σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵；（2） 求σ的值域.答案一、填空：（每小题4分，共56分）1）f的秩和正惯性指数p; 2）45t-<<; 3）1122,nna a a A+++;4）3，-5，-11; 5) 1, 2; 6)A',1± ;7) 1,1n - ; 8) 1111111i i i i i i ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭; 9) 001100010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 10）100010110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 11）100100(,,)001001L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,10()00L ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 二、计算与证明：（共44分）1. （5分）证明：令()T f X A B X =+则()T T T f X A B X X AX X BX =+=+ 因为,A B 都是正定矩阵，所以对任意的0X ≠，有0,0T T X AX X BX >> 所以0T T f X AX X BX =+>， 则二次型()T f X A B X =+为正定二次型， 所以A B +为正定矩阵。

试卷1一、填空题 (每小题3分,共15分)1、若二次型2221231213235224x x x tx x x x x x +++-+是正定二次型，则t 的取值范围是 。

2、线性空间P[x]n 中的向量f(x)，在基1121,()n n x a x a εεε-==-=-，，下的坐标是 。

3、n 维线性空间V 的数乘变换A ：()k V ααα→∀∈在基e 1，…，e n 下的矩阵是 。

4、已知方阵A 的不变因子是1、1、2(1)(1)λλ+-，则A 的若当标准形是 。

5、设λ是正交变换A 的特征值，则λ = 。

二、选择题 (每小题3分,共15分)1、若二次型X AX '经非退化线性替换X CY =变为二次型Y BY '，则下列（ ）不成立。

（A ）A 与B 秩相等 （B ）A 与B 相似 （C ）A 与B 合同 （D ）A 与B 等价 2、设V 1和V 2是n 维线性空间V 的两个子空间，若和V 1 + V 2是直和，则（ ）。

（A ）维(V 1 ) + 维(V 2 )= n （B ）维(V 1 ) +维(V 2 ) < 维( V 1 + V 2) （C ）维(V 1 ) + 维(V 2 )= 维( V 1 + V 2) （D ）维(V 1 )+ 维(V 2 ) > 维( V 1 + V 2) 3、在P[x]的下列变换中，（ ）不是线性变换。

（A ）A (f(x)) =()xf t dt ⎰（B ）A (f(x)) = f /(x) （C ）A (f(x)) = [f(x)]2（D ）A (f(x)) = f(x + x 0) （x 0是P 中固定的数）4、在下列条件中，（ ）不是两个同级复矩阵A 与B 相似的充分必要条件。

（A ）λE - A 与λE - B 等价 （B ）A 与B 有相同的特征多项式 （C ）A 与B 有相同的不变因子 （D ）A 与B 有相同的初等因子5、设α = (x 1，…，x n )，β = (y 1，…，y n )是R n 中的向量，R n 关于内积（ ）不构成欧氏空间。

2012 / 2013 学年第 一 学期高等数学A(2)重修 课程考核试卷 A■、 B□ 课程代码： 学分/学时数 任课教师___ ___ 课程性质：必修□、限选□、任选□ 考试形式： 开卷□、闭卷 ■ 适用年级/专业 ___________ 考试时间 120 分钟 ………………………………………………………………………………………………………学号 姓名 得分_________一、已知向量()()2,1,4,3,2,a b t =-=v v ，且a b ^v v 。

（共8分）（1） 求 t 的值。

（2） 求以向量,a b v v 为邻边的三角形的面积。

二、求解下列各题（6分×2=12分）1. 求直线212y x z x =+ìí=-î与平面21x y z -+=的夹角。

2. 求直线11364x y z -+==在平面2x y z ++=上的投影直线方程。

三、求下列极限（或者说明极限不存在）（5分×2=10分）（1）()()()3,0,lim 1cos x x x y x y p +æöç÷èø®+（2）()()224,0,0sin lim x y xy x y ®+四、设2lnz x y z x y++=+，求全微分dz .（8分）五、在抛物面222z x y =+和平面24x y z ++=的交线上找一点P ，使得该点P 到原点的距离最大.（8分）六、交换积分 1 0 y y I dy dx x=ò的积分顺序并计算积分值。

（8分）七、计算()22d d d x y x y z W +òòò，其中W 为z =，4z =所围立体。

（8分）八、用格林公式计算())1sin d cos L y x x x x dy +++-ò，其中L 为y =上从()2,0到()0,0的一段弧。