河南省南阳、信阳等六市高三数学第一次联考试题 理

1 2017年河南省六市高三第一次联考

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合22,y|0,,|1AxyxBxyxy，CAB，则C的子集的个数是（ ）

A． 0 B．1 C．2 D．4

2.复数z满足11zii，则复数z的实部与虚部之和为 （ ）

A．2 B．2 C．1 D．0

3.设直线,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是 （ ）

A．若//,//,mnmn，则 B．若//,,m//nmn，则//

C．若,//,mnmn，则// D．若,,m//nmn，则//

4. 给出下列四个结论：

①已知X服从正态分布20,N，且220.6PX，则20.2PX；

②若命题2000:1,,10pxxx，则2:,1,10pxxx；

③已知直线12:310,:10laxylxby，则12ll的充要条件是3ab．

其中正确的结论的个数为：（ ）

A． 0 B．1 C. 2 D．3

5.在ABC中，1310tan,cos210AB，则tanC的值是（ ）

A．1 B． -1 C. 2 D．-2

6.下面程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的,mn分别为495，135，则输出的m （ ） 2

A．0 B．5 C. 45 D．90

7.已知2zxy，其中实数,xy满足2yxxyxa，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是

（ ）

A． 211 B． 14 C. 4 D．112

8.已知fx是定义在R上的偶函数，且3122fxfx恒成立，当2,3x时，fxx，则当2,0x时，fx （ ）

A．21x B． 31x C. 2x D．4x

9.将函数2cos2fxx的图象向右平移6个单位后得到函数gx的图象，若函数gx在区间0,3a和72,6a上均单调递增，则实数a的取值范围是 （ ）

A．,32 B．,62 C. ,63 D．3,48

10. 已知21、FF是双曲线222210,0yxabab的上、下焦点，点2F关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）

A． 3 B． 3 C. 2 D．2 3 11. 一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图，图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是（ ）

A． B．3 C. 4 D．6

12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：

①对于任意一个圆O，其“优美函数“有无数个”；

②函数22ln1fxxx可以是某个圆的“优美函数”；

③正弦函数sinyx可以同时是无数个圆的“优美函数”；

④函数yfx是“优美函数”的充要条件为函数yfx的图象是中心对称图形．

其中正确的命题是：（ ）

A．①③ B．①③④ C. ②③ D．①④

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量1,,1,1axbx，若2aba，则2ab ．

14. 5221xx的展开式中，3x的系数为 ．（用数字填写答案）

15. 在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且2cos2cBab，若ABC的面积为32Sc，则ab的最小值为 ． 4 16.椭圆22:143xyC的上、下顶点分别为12、AA，点P在C上且直线2PA斜率的取值范围是2,1，那么直线1PA斜率的取值范围是 ．

三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.）

17.观察下列三角形数表：

假设第n行的第二个数为*2,nannN，

（1）归纳出1na与na的关系式，并求出na的通项公式；

（2）设12nnabn，求证：232nbbb．

18.如图所示的几何体中，111ABCABC为三棱柱，且1AA平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，02,60ADCDADC．

（1）若1AAAC，求证：1AC平面11ABCD；

（2）若12,0CDAAAC，二面角1ACDC的余弦值为55，求三棱锥11CACD的体积．

19.为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．

（1）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率； 5 （2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：

学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8

数学分数x 60 65 70 75 80 85 90

95

物理分数y 72 77 80 84

88 90 93

95

化学分数z 67 72 76 80 84 87 90

92

①用变量y与、xz与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；

②求y与、xz与x的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．

参考公式：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy，

回归直线方程是：ˆybxa，其中121,niiiniixxyybaybxxx，

参考数据：88221177.5,85,81,1050,456iiiixyzxxyy，88211550,688iiiiizzxxyy，81755,105032.4iiixxzz，

45621.4,55023.5．

20. 如图，抛物线2:2Cypx的焦点为F，抛物线上一定点1,2Q．

（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；

（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于,AB两点，与准线l交于点M，记,,QAQBQM的斜率分别为123,,kkk，问是否存在常数，使得123kkk成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6 21.已知函数3lnxxfxabxex，且函数fx的图象在点1,e处的切线与直线2130xey垂直．

（1）求,ab；

（2）求证：当0,1x时，2fx．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为252252xtyt（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos．

（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；

（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位，得到曲线1C，求曲线1C上的点到直线l的距离的最小值．

23.选修4-5：不等式选讲

设11fxxx．

（1）求2fxx的解集；

（2）若不等式121aafxa对任意实数0a恒成立，求实数x的取值范围．

7 试卷答案

一、选择题

1-5: CDDBB 6-10: CBBAC 11、12：BA

二、填空题

13. 2 14. -30 15. 12 16. 33,84

三、解答题

17.（1）依题意12nnaann，22a，

23243121223122nnnnnaaaaaaaan，

所以2111222nannn；

（2）因为1nnab，所以222211221nbnnnnnn，

2341111111221212231nbbbbnnn.

18.（1）证明：设1AC交1AC于E，因为1AA平面,ABCDAC平面ABCD，所以1AAAC，又因为1AAAC，则易知四边形11AACC为正方形，所以11ACAC，

在ACD中，02,60ADCDADC，由余弦定理得22202cos60ACADCDADCD，

所以3ACCD，所以222ADACCD，所以CDAC，

又易知1AACD，且1ACAAA，所以CD平面11AACC，

又1AC平面11AACC，所以1CDAC，

又1ACCDC，所以1AC平面11ABCD. 8 （2）

建立如图所示的空间直角坐标系，

则12,0,0,0,23,0,0,0,23DAC，则12,23,0,0,23,23ADAC，

所以易知平面1ACD的一个法向量为113,1,n.

平面1CCD的一个法向量为20,1,0n，

设为二面角1ACDC的平面角，

则1221215cos531nnnn.

得1，

所以123AAAC，

所以11111123232432CACDDACCVV.