普通高等学校招生全国统一考试卷及含答案) (6)
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普通高等学校招生全国统一考试
数学
(满分150分,考试时间120分钟)
一、选择题:
(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:(10,20]
,2;(20,
30]
,3;(30,40]
,4;(40,50]
,5;(50,60]
,4;(60,70]
,2.则
样本在区间(10,50]
上的频率为()
A.0.5B.0.7C.0.25D.0.05
2.在抛物线xy42
上有点M,它到直线xy
的距离为
42
,如果点M的坐标为
(nm,
),且nm
Rnm则,,
的值为()
A
.21
B.1C.2D.2
3
.已知双曲线]2,2[),(1
22
22
eRba
by
ax
的离心率
,在两条渐近线所构成的角中,
设以实轴为角平分线的角为
,则
的取值范围是()
A.]
2,
6[
B.]
2,
3[
C.]
32
,
2[
D.),
32
[
4、设,mn
是空间两条直线,,
是空间两个平面,则下列选项中不正确的是()
A.当m
时,“//n
”是“nm//
”的必要不充分条件
B.当m
时,“m
”是“
”的充分不必要条件
C.当n
时,“n
”是“
∥
”成立的充要条件
D.当m
时,“n
”是“nm
”的充分不必要条件
5
、函数2ln||x
yx
x
的图象大致为()
6.将函数y=f(x)sinx的图象向右平移4
个单位,再作关于x轴的对称曲线,得
到函数y=1-2sin2x的图象,则f(x)是()
A.cosxB.2cosxC.sinxD.2sinx
7.
椭圆92522yx
=1上一点P到两焦点的距离之积为m,当m取最大值时,P点
坐标为()
A.(5,0),(-5,0)B.(223
,
52
)(223
,
25
)
C.
(23
,
225
)(-23
,
225
)D.(0,-3)(0,3)
8.已知P箱中有红球1个,白球9个,Q箱中有白球7个,(P、Q箱中所有
的球除颜色外完全相同).现随意从P箱中取出3个球放入Q箱,将Q箱中的球
充分搅匀后,再从Q箱中随意取出3个球放入P箱,则红球从P箱移到Q箱,
再从Q箱返回P箱中的概率等于()A.51B.1009C.1001D.53
9.一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下:()
(10,20],2;(20,30],3;(30,40],4;(40,50],5;(50,60],4;(60,70),2,则样本在(-∞,50)上的频率为A.201B.41C.21D.107
10.关于函数()sin|||sin |fxxx
有下述四个结论:
①f(x)是偶函数②f(x)
在区间(2
,)单调递增
③f(x)在[,]
有4个零点④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是()
A.①②④B.②④C.①④D.①③
11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为
2的正三角形,E,F分别是PA,PB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()
A
.68
B
.64
C
.62
D
.6
12.设F为双曲线C:22
221(0,0)xy
ab
ab
的右焦点,O
为坐标原点,以OF
为直径的
圆与圆222xya
交于P,Q两点.
若PQOF
,则C的离心率为()
A.2B
.3
C.2D
.5
二、填空题(共4小题,每小题5分;共计20分)
1、已知点)1,5(),1,(NmM
,且13MN
,则m_________.
2、在平行四边形ABCD
中,已知nADmAB,
,则OA_________.
3.在平面直角坐标系xOy
中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过
点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是_____.
4.如图,在ABC△
中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若6ABACAOEC
,则AB
AC
的值是_____.
三、大题:(满分70分)
1、已知O
是坐标轴原点,
双曲线2
2
2:1(0)x
Cya
a
与抛物线21
:
4Dyx
交于两点A,B两点,
AOB
的面积为4.
(1)求C
的方程;
(2)设
1F
,
2F
为C的左,右焦点,点P在D上,求
12PFPF
的最小值.
2、已知抛物线C:y2=3x的焦点为F
,斜率为3
2
的直线l与C的交点为A,B,与x
轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若3APPB
,求|AB|.
3.
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为(0<a<1),三人各射击
一次,击中目标的次数记为ξ.
(1)求ξ的分布列及数学期望;
(2)在概率P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若P(ξ=1)的值最大,求实数a的
取值范围.
4
、已知函数
()4sincos30
3fxxx
的最小正周期为.(1)求)(xf
的解析式;
(2)求)(xf
在区间
6,
4
上的最大值和最小值及取得最值时x
的值.
5、已知数列{}
na
满足
13a
,*
133()n
nnaanN
,数列{}
nb
满足3n
nna
b
.
(1)证明数列{}
nb
是等差数列并求数列{}
nb
的通项公式;(2)求数列}{
na
的前n项和
nS
.
6、已知函数()sinln(1)fxxx
,()fx
为()fx
的导数.
证明:(1)()fx
在区间(1,)
2
存在唯一极大值点;
(2)()fx
有且仅有2个零点.
参考答案:
一、选择题:
1-5题答案:BDCAC
6-10题答案:BDBDC
11-12题答案:DA
二、填空题:
1、2
2
、)(
21
nm
3.(e, 1)
4.3
三、大题:
1、【解析】(1)不妨设2
00(4,)Ayy
,则2
00(4,)Ayy
,则23
0001
2444
2AOBSyyy
,解得
01y
,
(4,1)A
,
将其代入双曲线2
2
2:1(0)x
Cya
a
得2
2
24
11
a
,
解得22a,双曲线C的方程为
2
21
8x
y
;
(2)由(1)可知29c,3c,
1(3,0)F
,
2(3,0)F
,设2(4,)Ptt
,则2
1(34,)PFtt
,2
2(34,)PFtt
,
224222
121577
(34,)(34,)169(4)
864PFPFttttttt
,又2[0,)t
,
2
12min1577
()()9
864PFPF
,即当0t时,
12PFPF
取得最小值,且最小值为9.
【评注】本题考查圆锥曲线的共同特征,解题的关键是巧设点的坐标,解出A,B两
点的坐标,列出三角形的面积关系也是本题的解题关键,运算量并不算太大.
2、解:(1)连结B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,
所以ME∥B1C,且
ME=1
2B1C.
又因为N为A1D的中点,所以
ND=1
2A1D.
由题设知A1B1
DC,可得B1C
A1D,故ME
ND,
因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.
又MN平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.
(2)由已知可得DE⊥DA.
以D为坐标原点,DA
的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz,
则