描述液体运动的两种方法

描述液体运动的两种方法

1.1 描述液体运动的两种方法

描述液体运动的方法有拉格朗日法和欧拉法两种。

1.1.1 拉格朗日法

拉格朗日法是以液体运动质点作为研究对象，研究这些质点在整个运动过程中的轨迹（称为迹线）以及运动要素随时间的变化规律。每个质点运动状况的总和就构成了整个液体的运动。所以，这种方法与一般力学中研究质点与质点系运动的方法是一样的。

由于液体质点的运动轨迹非常复杂，用拉格朗日法分析流动，在数学上会遇到很多的困难，同时实用上一般也不需要知道给定质点的运动规律，所以除少数情况外（如研究波浪运动），水力学通常不采用这种方法，而采用较简便的欧拉法。

1.1.2 欧拉法

欧拉法是把液体当作连续介质，以充满运动质点的空间——流场作为研究对象，研究各时刻流场中不同质点运动要素的分布与变化规律，而不直接追踪给定质点在某时刻的位置及其运动状况。

用欧拉法描述液体运动时，运动要素是空间坐标x，y，z与时间变量t的连续可微函数。变量x，y，z，t统称为欧拉变量。因此，各空间点的流速所组成的流速场可表示为

),,,(),,,(),,,(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx (2-1)

各空间点的压强所组成的压强场可表示为

),,,(tzyxpp (2-2)

加速度应是速度对时间的全导数。注意到式（2-1）中x，y，z是液体质点在t时刻的运动坐标，对同一质点来说它们不是独立变量，而是时间变量t的函数。根据复合函数求导规则，得

dtdzzudtdyyudtdxxutudtduaxxxxxx

式中

xudtdx； yudtdy； zudtdz

故 zuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxx

同理 zuuyuuxuutudtduayzyyyxyyy

(2-3)

zuuxuuxuutudtduazyzyzxzzz

上式右边第一项tututuzyx,,表示通过固定点的液体质点速度随时间的变化率，称为当地加速度；等号右边后三项反映了在同一时刻因地点变更而形成的加速度，称为迁移加速度。所以，用欧拉法描述液体运动时，液体质点的加速度应是当地加速度与迁移加速度之和。

1.1.3 迹线与流线 用拉格朗日法描述液体运动，是研究个别液体质点在不同时刻的运动情况，由此引出了迹线的概念。所谓迹线就是指液体质点在运动过程中不同时刻所占据位置的连线，也就是液体质点运动的轨迹线。

用欧拉法描述液体运动，要考察同一时刻液体质点在不同空间点的运动情况，由此引入流线的概念。若某时刻在流速场中画出这样一条空间曲线，它上面所有液体质点的流速矢量都与这一曲线相切，这条曲线就称为该时刻的一条流线。因此，流线表明了某时刻流场中各点的流速方向。

流线的作法如下：在流速场中任取一点a（图2-1），绘出在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距点a很近的点b处，标出同一时刻通过该处的质点的流速矢量u2……如此继续下去，得一折线abcde……，若折线上相邻各点的间距无限接近， 则折线abcde将成为一条曲线，该曲线即为某时刻流速场中经过点a的流线。

图2-1

根据流线的概念，可知流线有以下特征：

（1）流线上所有各质点的切线方向就代表了该点的流动方向；

（2）流线一般不会相交，也不会转折(驻点除外)。这是因为如果有两条流线相交，则在交点处，流速就会有两个方向；如果流线为折线，则在转折点处，同样将出现有两个流动方向的矛盾现象，所以流线只能是一条连续光滑的曲线。

（3）流线上的液体质点只能沿着流线运动。这是因为水质点的流速是与流线相切的，在流线上不可能有垂直于流线的速度分量，所以液体质点不可能有横越流线的流动。

在整个运动液体的空间可绘出一系列的流线，称为流线簇，流线簇构成的流线图称为流谱。不可压缩的液体中，流线簇的疏密程度反映了流场各点的速度大小。流线密集的地方流速大，而稀疏的地方流速小。同时，它的形状受到固体边界形状、离边界远近等因素的影响。

1.2 水流运动的基本概念

1.2.1 流管

在流场中画出任一微小封闭曲线，经该曲线上各点作流线，这些流线所构成的封闭管状结构称为流管，如图2-2（a）。根据流线的性质，流管内液体质点不能穿破流管壁流动。

图2-2

1.2.2 微小流速

流管所包含的一束液流称为微小流束，如图2-2（b）。微小流束过水断面面积很微小，它上面各点的运动要素在同一时刻一般可认为是相等的。由于微小流束的外包面是流管，所以微小流束与束外液体无质量、能量和动量的交换。由于液体不可压缩，因此从微小流束流入和流出的质量、能量和动量应一样。

1.2.3 总流

具有一定边界和规模的实际水流称为总流。总流可视为由无数微小流束所构成。总流的过水断面上各点的运动要素一般是不同的。

1.2.4 过水断面

与微小流束或总流流线呈正交的横断面称为过水断面。过水断面可为平面，也可为曲面。流线为相互平行的直线时，过水断面为平面；否则为曲面。

1.2.5 流量

单位时间内通过过水断面的液体体积称为流量，以Q表示。流量的单位是m3/s或L/s。

假设在总流中任取一微小流速，其过水断面面积为dA，流速为u，则该微小流速的流量为

udAdQ (2-4)

而总流的流量等于所有微小流速的流量之和，即

AAQdQudA (2-5)

若流速u在过水断面上的分布已知，则可通过积分求得通过该过水断面的流量。

1.2.6 断面平均流速

一般断面流速分布不易确定，为使研究方便，实际工程中常引入断面平均流速的概念。

设想过水断面各点的流速都均匀分布，且等于v（图2-3），按这一流速计算所得的流量与按各点的真实流速计算所得的流量相等，则把流速v定义为该断面的平均流速，即

图2-3

AudAvAQ (2-6)

所以 AudAQvAA (2-7)

可见，总流的流量Q等于断面平均流速v与过水断面面积A的乘积。

1.3 水流运动的类型

1.3.1 恒定流与非恒定流

根据液流的运动要素是否随时间变化，可将液流分为恒定流与非恒定流。

若流场中所有空间点上一切运动要素都不随时间改变，这种流动称为恒定流；否则，就叫做非恒定流。

图2-4

例如，图2-4中水箱里的水位不恒定时，水流中各点的流速与压强等运动要素随时间而变化，这样的流动就是非恒定流。若设法使箱内水位保持恒定，则液体的运动就成为恒定流。

恒定流中一切运动要素只是坐标x，y，z的函数，而与时间t无关，因而恒定流的流线形状不随时间而变化，且流线与迹线相重合，水流运动的分析比较简单，本章只研究恒定流。

1.3.2 均匀流与非均匀流

根据液流的运动要素是否沿程变化，可将液体流动分为均匀流与非均匀流两种。

若同一流线上液体质点流速的大小和方向均沿程不变的流动，称为均匀流；否则，称为非均匀流。在均匀流中，沿同一根流线的流速分布是均匀的，所以流线是一组互相平行的直线，此时过水断面为平面。

例如，液体在等截面直管中的流动，或液体在断面形状与尺寸沿程不变的长直渠道中的流动都是均匀流。若液体在收缩管、扩散管或弯管中的流动，以及液体在断面形状或尺寸沿程变化的渠道中的流动都形成非均匀流。

1.3.3 渐变流与急变流

在非均匀流中，根据流线的不平行程度和弯曲程度，液体的流动可分为渐变流与急变流两类。

渐变流是指流线接近于平行直线的流动。此时，各流线的曲率很小（即曲率半径R很大），而且流线间的夹角也很小，它的极限情况是流线为平行直线的均匀流。由于渐变流中流线近似平行，故可认为渐变流过水断面近似为平面。

急变流是指流线的曲率较大，流线之间的夹角也较大的流动。此时，流线已不再是一组平行的直线，因此过水断面为曲面。

渐变流与急变流没有明确的界限，往往由边界条件决定。

1.3.4 一元流、二元流与三元流

在工程实际中，实际水流的运动一般极为复杂，它的运动要素是空间位置坐标和时间的函数（对于恒定流，则仅是空间位置坐标的函数）。根据液流运动要素与坐标变量的关系，液体的流动可分为一元流、二元流与三元流。

若运动要素是三个空间坐标的函数，这种流动就称为三元流。例如，水在断面形状与大小沿程变化的天然河道中的流动。

若是两个坐标的函数，就叫做二元流。例如，一矩形断面的顺直明渠，当渠底宽很大，两侧边界影响可忽略不计时，其运动要素（如点流速）仅在沿程方向和水深方向变化。

若是一个坐标（如沿流动方向的坐标）的函数，就叫做一元流。例如，微小流速，因它的运动要素仅与流程坐标有关，故微小流速为一元流。对于总流，严格地讲都不是一元流，但若把过水断面上与点的坐标有关的运动要素（如流速、压强等）进行断面平均，如用断面平均流速去代替过水断面上各点的流速，这时总流也可视为一元流。

严格来讲，任何实际水流都是三元流，只有按三元流来分析水流现象才符合实际，但此时水力计算较为复杂，难于求解。因而在实际工程中，常结合具体水流运动特点，采用各种平均方法（如最常见的断面平均法），将三元流简化为一元流或二元流，由此引起的误差，可通过修正系数来加以校正。