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第四章-三角形-复习总结

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1 北师大版七年级下 第四章：三角形

一、知识点框架

三角形内角和定理

三角形 三角形三边关系

角平分线

三条重要线段 中线

高线

全等图形的概念

全等三角形的性质

三角形 SSS

全等三角形 SAS

全等三角形的判定 ASA

AAS

全等三角形的应用 利用全等三角形测距离

尺规作三角形

二、知识点复习：

（一）知识点1：三角形的内角和及分类

1.三角形的内角和等于 ，直角三角形的两个锐角 .

2．三角形按角分类，可以分为 三角形， 三角形， 三角形.

巩固练习：在△ABC中，

1．∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度；

2．∠B=100°，∠A=∠C，则∠C= 度；

3．2∠A=∠B+∠C，则∠A= 度.

4．∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，则∠A = ∠B= ∠C= .

5.一个三角形可以有两个直角吗？三角形的三个角能都大于70°吗？能都小于50°吗？

（二）知识点2：三角形的三边关系

1．三角形任意两边之和 第三边， 三角形任意两边之差 第三边。

巩固练习：1．已知一个三角形的两边长分别是2cm和4cm，则第三边长x的取值范围是 ;若x是奇数，则x的值是 ;

2．一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 cm

3．一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是 cm

2 （三）知识点3：三角形中三条重要的线段

1． 三角形的中线：三角形中，连接一个 与它 叫做三角形的中线

2．三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的 与

叫做三角形的角平分线.

3．三角形的高线：从三角形的一个 向它的 所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的 叫做三角形的高线.

4 .三角形的三条中线交于 ，这一点称为三角形的 .

三角形的三条角平分线交于 ，三角形的三条高 交于 .

巩固练习：

1．如图在△ABC中，BC边上的高是 ,AB边上的高是

在△BCE中， BE边上的高是： , EC边上的高是：

在△ACD中，AC边上的高是： , CD边上的高是：

2．△ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD =S△ADC，

则AD为BC边上的 。

3．如右图，在△ABC中,∠B=24°,∠ACB=104°,则∠BAC的

角平分线AD和BC边上的高AE的夹角等于 ．

（四）知识点4：全等三角形的概念、性质和判定方法

1.能够

的两个三角形叫做全等三角形.

2.全等三角形的性质：全等三角形的 ， .

3.全等三角形的判定方法： ， ， ， .具体如下：

①有_________对应相等的两个三角形全等.

(简写成“边边边”或“SSS”);

②有两角及其__ ______分别相等的两个三角形全等

(简写成“角边角”或“_____”)；

③有两角及其中一组等角的__ ___ 分别相等的两个三角形全等

(简写成_____或“AAS”)

④有两边及其_______分别相等的两个三角形全等.

(简写成“边角边”或“_______”)．

解题秘籍：证明三角形全等的基本思路:

已知两边SASSSS找夹角运用“”找另一边运用“” 已知两角”运用“找其中一角的对边”运用“找两角的夹边AASASA

已知一边一角边与角相对找另外两角中任一角运用“AAS?找这条边上的另一角运用“ASA?边是角的一条边找这条边的对角运用“AAS?找该角的另一边运用“SAS?

注意：证三角形全等，必须找构成这两个三角形．．．．．的角或边相等（可加、减公共边、角） DEABC

3 （五）知识点5：利用全等三角形测距离

1.有一座小山，如图，要测量小山两端A、B的直线距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离，你能说明其中的道理吗？

（六）知识点6：用尺规作三角形（保留作图痕迹，不写作法）

1．已知：线段a, c,

∠α，求作：△ABC使BC=a, AB=c, ∠ABC=∠α

2 ．已知：∠α，∠β，线段c求作：△ABC，使∠A=∠α ，∠B=∠β， AB=c

3．已知：线段a,b,c,求作：△ABC，使AB=c, AC=b, BC=a．

c a

b

c a A B

E D C

α

cαβ

4 B′C′D′O′A′ODCBA 三、强化训练

1.有下列长度（cm）的三条小木棒，如果首尾顺次连结，能钉成三角形的是（ ）

A．2、6、10 B．3、4、5 C．5、5、11 D．8、7、15

2.下列说法中错误的是（ ）

A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段

B.任意三角形的内角和都是180°

C.三角形按角分可分为锐角三角形和钝角三角形

D.三角形中的每个内角的度数不可能都小于500

3.一个三角形三边长分别是4，9，12，作最长边上的高，作出的图形正确的是（ ）

A. B.

C. D.

4. 锐角三角形中任意两个锐角的和必大于 ( ).

A. 120° B. 110° C. 100° D. 90°

5.如右图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）

A．AB＝AC B．BD＝CD

C．∠B＝∠C D．∠ BDA＝∠CDA

6.木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，他这样做所涉及的数学道理是 .

7.如图所示：要说明△ABC≌△BAD，

（1）已知∠1=∠2，若要以SAS为依据，则可添加一个条件是 ；

（2）已知∠1=∠2，若要以AAS为依据，则可添加一个条件是 ；

（3）已知∠1=∠2，若要以ASA为依据，则可添加一个条件是 .

第7题 第8题 第9题

8．请仔细观察如图用直尺和圆规．．．．．作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的证全等的依据是 ．

9.如图，已知：在,,ABCADBCBEACCFAB中，若AD＝3，BC＝6，AB＝5，BE＝4．则S△ABC＝___________，CF＝_________，AC＝_____________． 12BACD21DABCFEDABC

5 10. 在⊿ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，求∠A、∠B、∠C的度数.

11．如图在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，求：∠D的度数.

12.如图：AB=DF,AC=DE, BE=FC, BC与FE相等吗？你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由？

13.如图，AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC,BC与DE相等吗？为什么？

6 14．已知：点E在AB上，点D在AC上，BD、CE 相交于O点，AE=AD, ∠B=∠C，试说明：BE=CD

15．如图所示，太阳光线AC和A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由．（注：木杆与地面是垂直的）

16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=50°， 求∠AEC的度数.

O

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第四章《实数》章复习

第四章《实数》章复习

1 第四章《实数》章复习 班级________姓名________

一、 知识点：

1、 平方根的概念：如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也称为二次方根。

2、 表示方法：数a（a≥0）的平方根记作±a。其中a表示a的正的平方根，也叫a的算术平方根。－a表示a的负的平方根。

3、 平方根的性质：

（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0的平方根是0；（3）负数没有平方根。

4、 开平方（难点）

开平方是一种运算，开平方就是求二次方根。

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。其中a叫做被开方数。

注意：（1）开平方时，被开方数a必须是非负数（a≥0）。

（2）开平方是求一个非负数的平方根。

（3）开平方是一种运算，开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个非负数，而一个数（非负数）的平方根是一对互为相反数。

应用举例：求下列各数的平方根：

（1）121 的平方根是________（2）22514的平方根是________

5、开平方运算常用的两个重要性质：

（1）aa2)(（a≥0） （2）2a=|a|

应用举例：已知实数a、b、c在数轴上对应点如图所示

化简2)(ba－|b＋c|＋|a-c|

6、算术平方根（重点）

我们把正数a的正的平方根a叫做算术平方根，记为“a”。如22=4，那么2就叫做4的算术平方根。0的算术平方根是0，一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数。

注意：平方根是一对相反数，算术平方根是两个平方根中的非负数。 2 应用举例：（1）361的算术平方根是（ ）

A、61 B、361 C、－61 D、±61

（2）物理学中自由落体运动公式：S=21gt2（g是重力加速度，它的值约为10m/s2），如果物体降落的高度S=125m，求降落的时间。

（3）综合题：如果正数m的两个平方根是2a－3和a－12，则m=________

2022年中考数学总复习微专题 第四章 全等三角形的常见模型

2022年中考数学总复习微专题 第四章 全等三角形的常见模型

全等三角形的常见模型

模型一 平移模型

典例1 (2021·湖南衡阳)如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.

求证:△ABC≌△DEF.

【答案】∵AC∥DF,∴∠CAB=∠FDE,

∵BC∥EF,∴∠ABC=∠DEF,

在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(ASA).

平移模型的本质是两个全等的三角形,其中一个可以通过另一个平移得到,所以这种模型往往与平行相联系.常见的平移模型的图形有:

模型二 对称模型

典例2 (2021·云南)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.

求证:∠DAC=∠CBD.

【答案】在△ACD和△BCD中,

∴△ACD≌△BDC(SSS),

∴∠DAC=∠CBD.

对称模型的本质是两个全等的三角形能关于某条直线对称.常见的对称模型的图形有:

模型三 旋转模型

类型1 不共顶点的旋转模型

典例3 如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=CD.求证:BC∥EF.

【答案】∵AB∥DE,∴∠A=∠D.

∵AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,∴AC=DF.

在△ABC与△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(SAS),

∴∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF.

类型2 共顶点的旋转模型(手拉手模型)

典例4 (2021·湖南湘西州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,CB=CD,将边CA绕点C旋转到CE的位置,使得∠ECA=∠BCD,连接DE与AC交于点F,且∠B=70°,∠A=10°.

(1)求证:AB=ED;

(2)求∠AFE的度数.

【答案】(1)∵∠ECA=∠BCD,∴∠ECA+∠ACD=∠BCD+∠ACD,即∠DCE=∠ACB.

由旋转可得AC=EC,

在△BCA和△DCE中,

∴△BCA≌△DCE(SAS),∴AB=ED.

(2)由(1)中结论可得∠CDE=∠B=70°,

《内燃机原理》复习总结第四章

《内燃机原理》复习总结第四章

第四章

作业题

一、凸轮轴上同名凸轮之间的夹角如何确定？

答：决定于凸轮轴旋转方向、发动机工作顺序、汽缸数及做工间隔角。

根据各缸的发火顺序、进气门与排气门打开与关闭的时间确定。

二、配气机构的功用是什么？

答：按照发动机的工作顺序，按时开启和关闭各缸的进排气门，使发动机气缸进气充分、排气彻底。

三、配气机构按凸轮轴布置位置可分为哪几种形式？

答：凸轮轴下置、中置、上置式。

四、为什么采用机械挺柱的配气机构中要留气门间隙？间隙过大过小有何危害？如何调整？

答：为什么要留气门间隙：因为机械挺柱无法自动调节间隙，发动机工作后，为给热膨胀留有余地，保证气门密封，工作不出现障碍，所以需要留出气门间隙。

间隙过大：进、排气门开启迟后，缩短了进排气时间，降低了气门的开启高度，改变了正常的配气相位，使发动机因进气不足，排气不净而功率下降，此外，还使配气机构零件的撞击增加，磨损加快。

间隙过小：发动机工作后，零件受热膨胀，将气门推开，使气门关闭不严，造成漏气，功率下降，并使气门的密封表面严重积碳或烧坏，甚至气门撞击活塞。

（问题）如何调整气门间隙：在安装时进行调整，或者采用液压挺柱。

五、如何根据凸轮轴判断发动机的发火次序？

（问题）答：

总结内容：

一、配气机构的基本要求：进气充分，排气彻底（评价指标为充量系数）

在保证高的充量系数的同时，尽可能降低噪声。

二、配气机构类型：气门式（四冲程），气口气门式（二冲程）

三、配气机构的组成：气门组：气门、气门导管、气门弹簧、弹簧座。

气门传动组：凸轮轴、挺柱、推杆、摇臂、摇臂轴。

四、采用多气门的目的：为了进一步改善气缸的换气，尽可能增大气门直径，特别是进气门直径，但是气门直径增大受到燃烧室尺寸限制，因此采用多气门。

五、气门类型：平顶（质量小、吸热面积小、结构简单、制造方便、进排气门均可采用）

球面顶（适用于排气门，强度高，排气阻力小，废气的清除效果好）

喇叭型顶（适用于进气门，进气阻力小，质量小，但受热面积大）

第四章 三角形期末复习指导

第四章 三角形期末复习指导

第 1 页 共 4 页 第四章 三角形期末复习指导

一、知识梳理

1、 三角形的有关概念

（1）三角形的定义

由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫做三角形，它有三条边、三个内角和三个顶点，三角形可用符号 表示．

（2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点和 之间的线段叫做三角形的角平分线．

（3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的 的线段，叫做这个三角形的中线．

（4）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和 之间的线段叫做三角形的高线．

2、 三角形的有关性质

（1）边的性质：三角形的任意两边之和 第三边，三角形的任意两边之差 第三边．

（2）角的性质：三角形的内角和为180°，一个外角等于 的两个内角的和，一个外

角 任何一个和它不相邻的内角，直角三角形的两个锐角 ．

（3）稳定性：即三角形的三边的长度确定后，三角形的形状保持不变．

3、 三角形的分类

（1）按边分等边三角形角形底与腰不相等的等腰三三角形不等边三角形------

（2）按角分三角形三角形斜三角形直角三角形--------

4、 全等三角形的有关概念和性质

（1）全等图形：两个能够 的图形称为全等图形．

全等图形的特征 ：全等图形的 都相等．

全等三角形：两个能够 的三角形叫做全等三角形，两个全等三角形重合时，互相重合的边叫做 ，互相重合的顶点叫做 ，互相重合的角叫做 ．

（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边 相等，对应角 相等．

5、 全等三角形的判定条件

（1） 一般三角形： ， ， ， ．

（2） 直角三角形：除上面一般三角形的几个判定定理之外还有 ．