人教A版高中数学必修2第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积习题(2)
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. 第二节 空间几何体的表面积和体积
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．9π＋42 B．36π＋18
C.92π＋12 D.92π＋18
解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π323＝92π＋18，故选D.
答案 D
2．如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( ) 精品文档
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A．20＋3π B．24＋3π
C．20＋4π D．24＋4π
解析 由三视图可知该几何体为一组合体，上面是一个棱长为2的正方体．下面是半个圆柱，其半径为1，母线为2.故S＝5×22＋π＋π×1×2＝20＋3π.
答案 A
3．(2014·唐山市期末)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )
A．8π＋16 B．8π－16 精品文档
. C．8π＋8 D．16π－8
解析 V＝π·222·4－12·4·2·4＝8π－16，选B.
答案 B
4．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为( )
A.163π B.1912π
C.193π D.43π
解析 由三视图可知该几何体是底面边长为2，高为1的正三棱柱．其外接球的球心为上下底面中心连线的中点．∴R2＝122＋ 精品文档
.
2332＝1912，S＝4πR2＝193π.
答案 C
5．正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D—GAC与三棱锥P—GAC体积之比为( )
A．1:1 B．1:2
C．2:1 D．3:2
解析 设棱锥的高为h，
VD—GAC＝VG—DAC＝13S△ADC·12h，
VP—GAC＝12VP—ABC＝VG—ABC＝13S△ABC·h2.
又S△ADCS△ABC＝21，故VD—GACVP—GAC＝21.
答案 C
6．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为( )
A.33 B.233 精品文档
. C.433 D.533
解析 如图，设球心为O，OS＝OA＝OC得∠SAC＝90°，又∠ASC＝45°，所以AS＝AC＝22SC，同理BS＝BC＝22SC，可得SC⊥面AOB，则VS－ABC＝13S△AOB·SC＝13×3×4＝433，故选C.
答案 C
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________． 精品文档
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解析 设底面半径为r，如图所示．
12·2πr·l＝2π，∴rl＝2.
又∵12πl2＝2π，∴l＝2，∴r＝1.
∴h＝l2－r2＝3，
∴V＝13·π·12·3＝33π.
答案 33π
8．(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，精品文档
. 如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
解析 该球为一棱长为2的正方体的外接球，体对角线为球的直径，2R＝22＋22＋22＝23，所以该球的表面积为4πR2＝12π.
答案 12π
9．(2013·江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1—ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F—ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1—ABC的体积为V2，则V1V2＝________.
解析 设三棱柱A1B1C1—ABC的高为h，底面△ABC的面积为S，V1＝13×14S×12h＝124Sh＝124V2，所以V1V2＝124.
答案 124
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． 精品文档
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(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解 (1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是相邻两边长分别为6和8的矩形，高HO＝4，O点是AC与BD的交点，如图所示．
∴该几何体的体积V＝13×8×6×4＝64.
(2)如图所示，作OE⊥AB，OF⊥BC，侧面HAB中，HE＝HO2＋OE2＝42＋32＝5， 精品文档
. ∴S△HAB＝12×AB×HE＝12×8×5＝20.
侧面HBC中，HF＝HO2＋OF2＝42＋42＝42.
∴S△HBC＝12×BC×HF＝12×6×42＝122.
∴该几何体的侧面积S＝2(S△HAB＋S△HBC)＝40＋242.
11．(2014·滨州质检)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
解 (1)直观图如图所示： 精品文档
.
(2)方法1：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，则AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1 m.
在Rt△BEB1中，BE＝1 m，EB1＝1 m，∴BB1＝2 m.
∴几何体的表面积
S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1
＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2
＝7＋2(m2)．
∴几何体的体积V＝34×1×2×1＝32(m3)．
∴该几何体的表面积为(7＋2)m2，体积为32 m3.
方法2：几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法1， 精品文档
. V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh＝12×(1＋2)×1×1
＝32(m3)．
∴几何体的表面积为(7＋2)m2，体积为32 m3.
12．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求三棱锥A—PBC的体积． 精品文档
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解 (1)证明：如图，取AB的中点F，连接DF，EF.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，CD＝2，所以BF綊CD.
所以四边形BCDF为平行四边形．
所以DF∥BC.
在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB，所以EF∥PB.
又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，
所以平面DEF∥平面PBC.
因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC.
(2)取AD的中点O，连接PO.
在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2，
所以PO⊥AD，PO＝3.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，AD＝2，AB⊥AD，所以S△ABC＝12×AB×AD＝12×4×2＝4. 精品文档
. 故三棱锥A—PBC的体积VA—PBC＝VP—ABC＝13×S△ABC×PO＝13×4×3＝433.
