宝鸡市金台区2016-2017学年高二下学期期中考试数学理试题 含解析

学必求其心得，业必贵于专精

金台区2016-2017学年高二期中质量检测试题(卷)

理科数学 2017.4

本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题.

满分150分,考试时间100分钟.

第一部分（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是

（ ）

A. 假设三内角都不大于60° B。 假设三内角都大于60°

C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°

【答案】B

【解析】试题分析：由题意得，反证法的证明中，假设应为所正结论的否定，所以用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，假设应为“三个内角都大于60°”,故选B．

考点：反证法．

2. ①𝑦=2𝑥+5是一次函数；②𝑦=2𝑥+5的图像是一条直线;③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论"形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )

A. ②①③ B。 ③②①

C. ①②③ D. ③①② 学必求其心得，业必贵于专精

【答案】D

【解析】三段论：①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线；大前提是③，小前提是①，结论是②．故排列的次序应为：③①②，故选D。

点睛：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合𝑀的所有元素都具有性质𝑃，𝑆是𝑀的子集，那么𝑆中所有元素都具有性质𝑃．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论

3. 下图中阴影部分的面积用定积分表示为( ）

A。 ∫2𝑥10d𝑥 B。 ∫(2𝑥10−1)d𝑥

C. ∫(2𝑥10+1)d𝑥 D。 ∫(1−2𝑥10)d𝑥

【答案】B

【解析】由题意积分区间为[0，1]，对应的函数为𝑦=2𝑥，𝑦=1，∴阴影部分的面积用定积分表示为∫(2𝑥−1)10d𝑥，故选B. 学必求其心得，业必贵于专精

4。 命题甲:𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内递增；命题乙：对任意𝑥∈(𝑎,𝑏),有𝑓′(𝑥)>0。则

甲是乙的（ ）

A. 充分不必要条件 B。 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

【答案】B

【解析】命题乙:对任意𝑥∈(𝑎,𝑏)，有𝑓′(𝑥)>0,可得𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内递增，即乙⇒甲．反之不成立，例如取𝑓(𝑥)=𝑥3满足𝑓′(𝑥)≥0因此,在（−2，3）内单调递增，因此甲是乙的必要不充分条件,故选B。

5. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…

若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个

数是（ ）

A. 12 B. 13 C. 14 D。 15

【答案】C

【解析】试题分析： 由图像可得

图像所示的圈可以用首项为2，公差为1的等差数列表示，

前120个圈中的●的个数即为, ，解得，

前120个圈中的●有个，

故选D．

考点： 等差数列的定义及性质；等差数列前n项和公式 .

6。 若复数2−𝑏𝑖1+2𝑖(𝑏∈𝑅)的实部与虚部互为相反数，则𝑏=（ ） 学必求其心得，业必贵于专精

A. √2

B.

C。

−23

D.

2 【答案】C 【解析】试题分析:原式,故选C.

考点：复数的基本运算.

7。 利用数学归纳法证明1𝑛+1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛<1(𝑛∈𝑁∗,且𝑛⩾2）时，第二步由𝑘到𝑘+1时不等式左端的变化是（ ）

A. 增加了12𝑘+1这一项

B. 增加了12𝑘+1和12𝑘+2两项

C。 增加了12𝑘+1和12𝑘+2两项，同时减少了这一项

D. 以上都不对

【答案】C

【解析】当𝑛=𝑘时，左端=1𝑘+1𝑘+1+1𝑘+2+⋯+12𝑘，那么当𝑛=𝑘+1时 左端=1𝑘+1+1𝑘+2+⋯+12𝑘+12𝑘+1+12𝑘+2，故第二步由𝑘到𝑘+1时不等式左端的变化是增加了12𝑘+1和12𝑘+2两项，同时减少了这一项,故选C.

8. 设𝑃为曲线𝐶：𝑦=𝑥2−2𝑥+3上的点，且曲线𝐶在点𝑃处切线倾斜角的取值范

围为[0,𝜋4],则点𝑃横坐标的取值范围为（ )

A. [−1,−12] B. [−1,0] C. [0,1] D。 [1,32]

【答案】D

【解析】试题分析：根据导数的几何意义，点处切线的斜率就是，，即,解得，故选D.

考点：导数的几何意义 学必求其心得，业必贵于专精

9。 函数𝑦=𝑓(𝑥)在定义域[−32,3]内可导，其图像如下图所示．记𝑦=𝑓(𝑥)的导函数为𝑦=𝑓′(𝑥)，则不等式𝑓′(𝑥)⩽0的解集为( ）

A. [−13,1]∪[2,3] B。 [−1,12]∪[43,83]

C. [−32,12]∪[1,2) D. [−32,−13]∪[12,43]∪[43,3]

【答案】A

【解析】由图象可知𝑓(𝑥)在区间[−13,1]和[2,3]上单调递减,∴𝑓′(𝑥)⩽0的解集为[−13,1]∪[2,3]，故选A。

10. 已知𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥𝑓′(1)−6, 则𝑓′(1)等于( ）

A. 4 B。 ﹣2 C. 0 D。 2

【答案】B

【解析】对函数进行求导可得：𝑓′(𝑥)=2𝑥+2𝑓′(1)，将𝑥=1代入可得𝑓′(1)=2+2𝑓′(1)，即𝑓′(1)=−2，故选B。

11。 函数𝑓(𝑥)的定义域为(𝑎,𝑏)，导函数𝑓′(𝑥)在(𝑎,𝑏)内的图像如下图所示，则函数𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)内有（ ）极大值点。

A. 1个 B。 2个

C. 3个 D。 4个

【答案】B 学必求其心得，业必贵于专精 【解析】如图，

不妨设导函数的零点分别为𝑥1，𝑥2，𝑥3,𝑥4，由导函数的图象可知：当𝑥∈(𝑎,𝑥1)时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)为增函数，当𝑥∈（𝑥1，𝑥2）时,𝑓′(𝑥)<0,𝑓(𝑥)为减函数，当𝑥∈（𝑥2，𝑥3）时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)为增函数,当𝑥∈（𝑥3，𝑥4）时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)为增函数,当𝑥∈（𝑥4，𝑏）时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)为减函数，由此可知，函数𝑓(𝑥)在开区间(𝑎,𝑏)内有两个极大值点，分别是当𝑥=𝑥1时和𝑥=𝑥4时函数取得极大值，故选B.

12。 设𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)是(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，当𝑥<0时,𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)>0，且𝑓(2)=0，则不等式𝐹(𝑥)<0的解集是( ）

A. (−2,0)∪(2,+∞) B. (−2,0)∪(0,2)

C. (−∞,−2)∪(2,+∞) D. (−∞,−2)∪(0,2)

【答案】C

.。。.....。..。.。.

点睛:本题考查了函数的奇偶性的应用,以及导数的运算,不等式的解法等，熟练掌握导数的运算是解题的关键，属于中档题；先根据𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)>0可确定𝐹′(𝑥)>0，进而可得到𝐹(𝑥)在(−∞,0)上递增，结合函数𝐹(𝑥)的奇偶性可确定𝐹(𝑥)在(0,+∞)上是减函数，最后根据𝑓(2)=0可求得答案。 学必求其心得，业必贵于专精

第二部分（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题6分,共24分.

13. 如果复数𝑧=𝑎2−𝑎−2+(𝑎+1)𝑖为纯虚数，那么实数𝑎的值为________；

【答案】2

【解析】∵复数𝑧=𝑎2−𝑎−2+(𝑎+1)𝑖为为纯虚数，∴{𝑎2−𝑎−2＝0𝑎+1≠0，解得𝑎=2，故答案为2。

14. ∫√4−𝑥22−2d𝑥=________；

【答案】2𝜋

【解析】令𝑦=√4−𝑥2，画出图象:

由微积分基本定理的几何意义可得：∫√4−𝑥22−2d𝑥=12×𝜋×22=2𝜋,故答案为2𝜋。

15. 定义一种运算如下：|𝑎𝑏𝑐𝑑|=𝑎𝑑−𝑏𝑐,则复数|1+𝑖−123𝑖|的共轭复数是________;

【答案】−1−3𝑖

【解析】复数|1+𝑖−123𝑖|=3𝑖(1+𝑖)−（−1）×2=−1+3𝑖，其共轭复数为−1−3𝑖，故答案为−1−3𝑖。

16. 在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶的中点,则𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ =12(𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ +𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ )，将命题类比到四面体中去,得到一个类比的命题为________.

【答案】在四面体A－BCD中,G为△BCD的重心，则𝐴𝐺⃑⃑⃑⃑⃑ =13(𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ +𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ +学必求其心得，业必贵于专精

𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ )

【解析】由“△𝐴𝐵𝐶”类比“四面体𝐴−𝐵𝐶𝐷”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体𝐴−𝐵𝐶𝐷中，𝐺为△𝐵𝐶𝐷的重心，则有𝐴𝐺⃑⃑⃑⃑⃑ =13(𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ +𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ +𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ )，故答案为:在四面体𝐴−𝐵𝐶𝐷中，𝐺为△𝐵𝐶𝐷的重心，则有𝐴𝐺⃑⃑⃑⃑⃑ =13(𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ +𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ +𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ ).

点睛: 本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．利用类比推理可以得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论，属于基础题；由条件根据类比推理，由“△𝐴𝐵𝐶”类比“四面体𝐴−𝐵𝐶𝐷”,“中点"类比“重心"，从而得到一个类比的命题。

三、解答题：本大题共4小题,共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17。 在数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=12，𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛𝑎𝑛+3，求𝑎2、𝑎3、𝑎4的值，由此猜想数列{𝑎𝑛}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

【答案】𝑎𝑛=3𝑛+5，证明见解析．

【解析】试题分析：利用递推式直接求𝑎2、𝑎3、𝑎4，猜想数列{an｝的通项公式为𝑎𝑛=3𝑛+5（𝑛∈𝑁∗）用数学归纳法证明即可。

试题解析：a1＝＝，a2＝，a3＝,a4＝，