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有限体积法介绍

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. 有限体积法

1 有限体积法基本原理

上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE的近似。

在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：

•dqdsdsSSnnv (1)

计算域用数值网格划分成若干小控制体。和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。

积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。

2 面积分的近似

采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。

控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：

kSSkfdsfdS (2)

上式中，f可以表示nu或n。 .

.

显然，为了获得边界上的积分，必须知道f在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。

整个近似过程分成两步

第一步：用边界上几个点的近似积分公式

第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似

面积分可采用以下不同精度的积分公式：

二阶精度积分：

eeeeSeSfSffdsFe (3)

上式中ef为边界中点出的函数值。近似为方格中心点的值乘以方格的面积。

三阶精度积分：

eseneSeSfffdsFe2 (4)

四阶精度积分：

eseeneSeSffffdsFe64 (5)

应该注意的是，采用不同精度的积分公式，在相应的边界点的插值时也应采用相应精度的插值函数。积分公式的精度越高，近似公式就越复杂。

3 体积分的近似

和面积分相似，体积分也有不同精度的近似公式

二阶精度积分公式

PeSqSqqdsQe (6)

采用双二次样条函数

228272652423210),(yxaxyayxaxyayaxayaxaayxq

(7) P E N

W

S NN

EE WW

SS NW NE

SW SE e w n

s ne nw

se sw .

. 可以得到四阶精度的积分公式：

nwneswsesnwsPSqqqqqqqqqqdsQe444444441636 (8)

4 函数的插值

在上节讲到的积分的近似公式中用到了非计算节点上的函数值，被积函数f中包含了多个物理量及其偏微分，如对流项nvcf,扩散项ndf，在源项中也有类似情况，这里假定流场和流体的物性参数是已知的，物理量及其偏导数在控制面上的值需要通过计算节点上物理量的插值得到。下面已e面为例进行讨论。

4.1 迎风插值（UDS）

e用上游计算节点的函数值近似相当于对一阶偏导数采用迎风格式，因此用UDS来表示这种近似方法，在UDS中：

00eEePeififnvnv (9)

UDS是唯一无条件满足有界性要求的近似格式，在数值过程中不会产生数值振荡。UDS存在数值粘性。根据Taylor公式，该格式具有一阶精度，并具有数值粘性：

2/xuenume (10)

在多维问题中，如果流动方向和网格是斜交的，截断误差会在垂直于流动方向以及流线方向产生扩散，这是一种非常严重的误差，函数的峰值或函数值的快速变化会被抹平，为了得到高精度结果需要采用非常精细的网格。

4.2 线性插值（CDS）

PEEEe)1(

(11)

PEPeExxxx (12)

线性插值具有二阶精度，线性插值相当于FDM中的CDS格式，因此用CDS表示。CDS格式会产生数值振荡。

对于扩散项

PEPEexxx (13) .

. 4.3 三阶迎风格式（QUICK）

和UDS类似，QUICK格式也和流动方向有关

0)1(0)1(43432121eEEEPePWEeifggggifggggnvnv (14)

其中：

WePePeWeg,,2,,111；WePeWePeg,,2,,2111 (15a)

PeEePeWeg,,2,,3111；PeEePeEeg,,,2,41 (15b)

4.4 高阶格式（4阶精度CDS）

采用三次曲线可拟合出四阶精度的中心插值公式，在均匀网格中，四阶公式为：

48332727EEWEPe

(16)

xxEEWPEe242727 (17)

5 边界的处理

对于对流项，在入口处一般给出了流量或函数值，在边界和对称面上流量为零，在出口处假设和出口的法向坐标无关，因此可采用迎风格式。对于扩散项则可能需要采用偏心格式。

6 有限体积法应用举例

例：考虑一标量在已知流场中的输运过程（如图4.4所示），输运方程为：

SSdSdSnnv (18)

边界条件：

0；北部入口边界

y1；西部壁面边界

对称条件；南部边界

梯度为0；东部出口条件 .

. xux，yuy，流线方程cxy

对流项：eeScemdSFenv (19)

yudSmexSeenv为质量通量。

CDSfor)1UDSfor)0,min()0,max(EEePeeEePecem（mmmF (20)

若采用UDS格式，代数方程组中各项系数为：

)0,min(ecEmA；)0,min(wcWmA

)0,min(ncNmA；)0,min(scSmA (21)

)(cScNcWcEcPAAAAA

若采用CDS格式，代数方程组中各项系数为

eecEmA；wwcWmA

nncNmA；sscSmA (22)

)(cScNcWcEcPAAAAA

根据连续性方程：

0snwemmmm (23)

相邻CV之间的关系：

WePwmm,,；WePw,,1 (24)

其余相邻CV有类似关系

扩散项采用CDS格式 (y)

壁面

对称边界 入口，＝0

出口0n 流线，xy=c .

. PEPEeScexxyyxdSFen (25)

代数方程组中扩散项系数为：

PEdExxyA；WPdWxxyA

PNdNxxxA；SPdWxxxA (26)

)(dSdNdWdEdPAAAAA

对于任意控制体

PEENNPPSSWWQAAAAA (27)

dlcllAAA，l为任意指标P，E，W，S，N。 (28)

边界条件的处理：

对于西部和北部边界，由于给定了函数值，对流项可直接代入函数值而无需插值，扩散项则采用一侧差分

WPWPWxxx (29)

这里，W点和P的w边中点重合。

南边和西边的梯度为零，以南边为例，由于梯度为零，SP，代数方程变为：

PEENNPPSWWQAAAAA)( (30)

6 SIMPLE方法

考虑定常不可压流动问题，控制方程为：

连续性方程：

0SVdSnv (31)

动量方程：

CVSVSVSVddSpdSdSbnvnnvv (32)

不可压缩问题求解的困难在于压力场的求解。主要原因在于压力p没有独立的方程组。

先考虑一维问题：

对于动量方程：

weweweppxuxuuuuu (33) .

. 若采用CDS格式

2222WPEPWPPEWPEPppppxuuxuuuuuuuuuu

简化后得：

222WEPwEWEppxuuuuuuu (34)

根据连续性方程，cuuuiii11，则有11iipp，由于相邻节点之间的压力没有联系方程，容易造成压力交错现象。

为了解决这一问题，可采用交错网格技术，即速度场和压力场采用不同的网格。

以二维问题为例，交错网格的布置如下图所示：

主控制体为压力控制体（黑色实线网格），u的控制体（红色虚线网格）的计算节点在主控制体的e边，控制体的e，w边界通过主控制体的计算节点，v控制体（蓝色双点划线网格）的计算节点在主控制体的n边，该控制体的n，s面经过主控制体的计算节点。

在u的控制体中，采用有限体积法离散可得u的代数方程：

eNPnbnbnneEPnbnbeeAppQvavaAppQuaua)()( (35)

压力场的求解采用压力校正方法。即采用预估的压力场求速度，再用连续性方程校正压力场。当连续性方程得到满足时，压力场就是真实的压力场。

具体步骤如下

1． 预测压力场p

2． 将预测压力场代入动量方程，分别求解速度场vu,

eNPnbnbnneEPnbnbeeAppQvavaAppQuaua)()( (36)

3． 用连续性方程校正压力

设方程的精确解为u，v，p

uuu；vvv；ppp (37) P E W N

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有限体积法和有限元方法之间的比较

有限体积法和有限元方法之间的比较

第３０卷第４期　

Ｖ０１．３０　Ｎｏ．４　长春师范学院学报（自然科学版）　ＪＯＩ１／￣ｏｆ　Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　２０１１年８月　

Ａｕｇ．２０１１　

有限体积法和有限元方法之间的比较　

孙佳慧　

（空军航空大学基础部，吉林长春１３００２２）　

［摘要】有限体积法现在已经成为和有限元方法并驾齐驱的一种求解偏微分方程的数值方法。与有　

限元方法相比，有限体积法保持物理量的局部守恒性质，并且计算更加简单。本文主要介绍有限体积　

法和有限元法之间的一些相同点和不同点。　

［关键词］有限体积法；有限元方法；双线性形式　

［中图分类号］Ｏ１７５　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１００８—１７８ｘ（２０ｌ】）０４—００１３—０２　

０引言　

本文的主要目的讨论一下有限体积法和有限元法之间的一些相同点和不同点，我们考虑两点边值问题　

Ｊ　；一乏（ｐ塞）：　，。＜　＜６，　

ｕ（口）＝０，ｕ　（６）＝０．　

一元差分格式：求ｕ＾＝　ｕ　￡（　），使得ｎ（ｕ＾，　）＝（／，　），　：１，２，…，凡・　

差分方程为：　一　兰Ｌ＿　生二　一巧＋｛　兰ｔ　＿＿兰　＝ｆ　ｘ　￣　ｌ｛ｆａｘ，　：１，２，…，ｎ—ｌ，　

＝ｆ　ｘ￣Ｐｎ－　肚．　｛—　一毒　。　

收敛性和收敛阶估计：　

定理１正定性：０（‰，ｌｒｌｊ７ｕ）≥Ｃ｝Ｉ　１Ｉ｝．　

定理２设ｕ∈Ｈ　（，）是问题的广义解，ｕ＾是差分格式的解，则有如下估计：ｌ　一　ｈ　Ｉ　ｌ　ｌ　ｕ　ｌ２．　

本文主要研究有限元法和有限体积法之间的一些比较。　

ｌ有限体积法和有限元法之间的比较　

两种方法是十分接近的，因此有以下的推导过程：　

线性元（一次元）有限体积法（广义差分法）　

有限体积法：。（‰，　）＝　一｛　二　一巧＋　ｊ—　＝　

有限元　（Ⅱ＾　＝Ｊ　：』　１　）　专　＋』　）　Ｉ（一去）如　ｉ一１　ｉ一　Ｌ３｜‘３　ｉ　ｌ‘ｊ＋ｔ　ｂｊ＋、　

有限体积法可进一步写成：　

血液流体力学仿真及其在医学中的应用

血液流体力学仿真及其在医学中的应用

血液流体力学仿真及其在医学中的应用

1. 引言

血液流体力学是研究血液在血管系统中流动过程的一门学科，通过对血流动力学参数的分析和仿真，可以帮助医学研究者了解血液在血管中的流动规律以及相关疾病的发展机制。本文将介绍血液流体力学仿真的基本原理和方法，并探讨其在医学中的应用。

2. 血液流体力学仿真的原理

血液流体力学仿真的基本原理是基于纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes

Equations），该方程描述了流体在输运过程中的质量守恒、动量守恒和能量守恒。在研究血液流体力学时，流体力学方程需要结合血管的几何形状和血液的流变特性来得到具体的数值解。

血液流体力学仿真通常包括以下几个步骤：

• 血管几何重建：通过医学影像数据，如MRI、CT等，获取血管的三维几何形状。

• 流体网格生成：根据血管几何形状，生成适合流体仿真的网格，并定义边界条件。

• 流体模拟求解：使用数值方法求解纳维-斯托克斯方程，得到血液在血管中的流动速度、压力等参数。

• 结果分析和可视化：对仿真结果进行进一步分析和可视化，以便研究人员能够直观地理解流体动力学特性。

3. 血液流体力学仿真的方法

3.1 有限体积法（Finite Volume Method）

有限体积法是流体力学仿真中常用的一种数值求解方法，它将流体区域划分为离散的控制体积，通过在控制体积内求解流体力学方程，得到离散的流体参数。有限体积法具有收敛性好、稳定性高等优点，适用于血液流体力学仿真中复杂几何形状的血管。

3.2 有限元法（Finite Element Method）

有限元法是一种广泛应用于结构力学和流体力学仿真的数值方法，它将流体区域分解为离散的有限元单元，通过在每个单元上建立局部的数学模型，再通过组装得到整体的流体力学模型。有限元法具有适应性强、适用于各种边界条件复杂的情况等特点，在血液流体力学仿真中也得到了广泛的应用。 3.3 基于格点的方法（Lattice Boltzmann Method）

数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM

数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM

数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM

偏微分方程数值模拟常用的方法主要有三种：有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）、有限体积方法（FVM），本文将对这三种方法进行简单的介绍和比较。

有限差分方法

有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法包括区域剖分和差商代替导数两个过程。

具体地，首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替来进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。

该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。

目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构网格，网格的步长一般根据问题模型和Courant稳定条件来决定。

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有限元方法(Finite Element Methods)的基础是变分原理和分片多项式插值。该方法的构造过程包括以下三个步骤。

首先，利用变分原理得到偏微分方程的弱形式(利用泛函分析的知识将求解空间扩大)。其次，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元(三角形、四边形、四面体、六面体等)。再次，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。

非线性椭圆偏微分方程的数值方法

非线性椭圆偏微分方程的数值方法

非线性椭圆偏微分方程的数值方法

非线性椭圆偏微分方程（Nonlinear Elliptic Partial Differential

Equations）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、金融学等领域。本文将介绍非线性椭圆偏微分方程的数值解法及其应用。

一、概述

非线性椭圆偏微分方程是一类形式如$F(u, \nabla u, \nabla^2u) =

0$ 的方程，其中$u$是未知函数，$F$为非线性函数，$\nabla$为梯度算子，$\nabla^2$为拉普拉斯算子。解决非线性椭圆偏微分方程的解析方法很难获得闭式解，因此需要采用数值方法进行近似求解。

二、常见的数值方法

1. 有限差分法（Finite Difference Method）

有限差分法将求解区域离散化，利用差分近似替代偏微分方程中的各个项，进而转化为代数方程组求解。该方法简单易行，适用于一维和二维情况，但对于高维情况求解效率较低。

2. 有限元法（Finite Element Method）

有限元法将求解区域分割成单元，利用试验函数展开未知函数，在每个单元上构造局部近似，并通过装配得到整体近似。该方法适用于各种复杂几何形状和高维情况，但算法复杂度较高。

3. 有限体积法（Finite Volume Method） 有限体积法将求解区域分割成小体积元，通过对流通量进行积分得到通量差分格式，进而得到离散的代数方程组，并通过求解该方程组获得数值解。该方法适用于守恒型方程和对流扩散型方程，且保持物理量守恒。

三、应用实例

非线性椭圆偏微分方程的数值方法在科学研究和工程实践中有广泛的应用。以下举例介绍两个实际问题的数值求解方法。

1. 热传导方程（Heat Conduction Equation）

热传导方程描述了材料内部的温度分布随时间的变化，其数学模型为$\frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (k \nabla u) = f$，其中$u$为温度分布，$k$为导热系数，$f$为外部热源。可以采用有限差分法或有限元法对该方程进行数值求解，得到不同时间步长和空间离散度下的温度分布。