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待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)

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待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；

2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．

【要点梳理】

要点一、用待定系数法求二次函数解析式

1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：

(1)一般式：2yaxbxc(a，b，c为常数，a≠0)；

(2)顶点式：2()yaxhk(a，h，k为常数，a≠0)；

(3)交点式：12()()yaxxxx(1x，2x为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2yaxbxc或2()yaxhk，

或12()()yaxxxx，其中a≠0；

第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；

第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；

第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．

要点诠释：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2yaxbxc；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()yaxhk；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为12()()yaxxxx．

【典型例题】

类型一、用待定系数法求二次函数解析式

1. 已知抛物线yaxbxc2经过A，B，C三点，当x0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.

图1 【答案与解析】

设所求抛物线的解析式为yaxbxc2（a0）.

由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.

cabcabc216402553,,，解之，得abc12322,,

抛物线的解析式为yxx123222

yxxx1232123225822()()

该抛物线的顶点坐标为()32258，.

【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x0.

2. 一条抛物线yxmxn142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式.

【答案与解析】

抛物线yxmxn142经过点（032,）和(,)432，

这条抛物线的对称轴是直线x2.

设所求抛物线的解析式为yxh1422().

将点(,)032代入，得1402322()h，解得h12.

这条抛物线的解析式为yx142122()，即yxx14322.

【总结升华】解析式中的a值已经知道，只需求出mn,的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答.还可以从所给两点(,),(,)032432的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线x2，这样又可以从抛物线的顶点式入手.当点M（xy11,）和N（xy22,）都是抛物线上的点时，若yy12，则对称轴方程为xxx122，这一点很重要也很有用.

3. 已知抛物线yaxbxc2的顶点坐标为（－1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.

【答案与解析】

因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x1，又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，

所以两交点的横坐标分别为： x113，x213， 则两交点的坐标为（4，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：

解法(1)：设抛物线的函数关系式为顶点式：yax()142(a≠0)，把（2，0）代入得a49，

所以抛物线的函数关系式为yx49142()；

解法(2)：设抛物线的函数关系式为两点式：(4)yax（x-2）(a≠0)，

把（－1，4）代入得a49，

所以抛物线的函数关系式为：4(4)9yx（x-2）；

【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.

举一反三：

【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式

高清ID号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】

【变式】（2019•永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式 ．

【答案】y=﹣x2﹣2x+ .

提示：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+，

将点（1，0）代入，得a（1+2）2+=0，

解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+，

∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+．

类型二、用待定系数法解题

4.（2019春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，

（1）求二次函数的解析式；

（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．

【答案与解析】

解：（1）由二次函数图象知，函数与x轴交于两点（﹣1，0），（3，0），

设其解析式为：y=a（x+1）（x﹣3）， 又∵函数与y轴交于点（0，2），

代入解析式得，

a×（﹣3）=2，

∴a=﹣，

∴二次函数的解析式为：，即；

（2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1，

当x=1时，y=﹣×2×（﹣2）=，

∴△ABP的面积S===．

【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.

举一反三：

【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式

高清ID号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】

【变式】已知二次函数图象的顶点是(12)，，且过点302，．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求证：对任意实数m，点2()Mmm，都不在这个二次函数的图象上.

【答案】（1）23212xxy；

（2）证明：若点2()Mmm，在此二次函数的图象上，则221(1)22mm．

得2230mm．

△=41280，该方程无实根．

所以原结论成立． 2019-2020学年数学中考模拟试卷

一、选择题

1．抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数2yaxbxc的最大值为6；③抛物线的对称轴是12x；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．其中正确有（ ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④

2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

3．如图，四边形ABCD是矩形，点E、F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于H，AD=3,DC=4,DE=,∠EDF=90°,则DF的长是（ ）

A. B. C. D.

4．如图，小明为了测量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走52米到点D处，测得大楼顶部点A的仰角为37°，大楼底部点B的俯角为45°，已知斜坡CD的坡度为i＝1：2.4．大楼AB的高度约为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A．32米 B．35米 C．36米 D．40米 5．已知抛物线2(0)yaxbxcab 与x轴最多有一个交点.现有以下四个结论：①24bac ；②该抛物线的对称轴在y轴的左侧；③关于x的方程210axbxc有实数根；④0abc .其中正确结论的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，点A是双曲线y=kx上一点，过A作AB∥x轴，交直线y=-x于点B，点D是x轴上一点，连接BD交双曲线于点C，连接AD，若BC：CD=3：2，△ABD的面积为114，tan∠ABD=95，则k的值为（ ）

A．-34 B．-3 C．-2 D．34

7．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15º，再前进10m，再右转15º，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了多少米（ ）

A．120米 B．240米 C．360米 D．480米

8．下列算式运算结果正确的是（ ）

A．（2x5）2＝2x10 B．（﹣3）﹣2＝19

C．（a+1）2＝a2+1 D．a﹣（a﹣b）＝﹣b

9．如图，正方形ABCD的边长为4，边BC在x轴上，点E是对角线AC，BD的交点，反比例函数y=kx0x＞的图象经过A，E两点，则k的值为（ ）

A．8 B．4 C．6 D．3

10．下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ）

A.任意画一个五边形，其内角和为360 B.经过任意两点画一条直线

C.任意画一个菱形，是中心对称图形 D.过平面内任意三点画一个圆

11．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）

A．b2＞4ac

B．ax2+bx+c≥﹣6

C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1

D．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n

12．为了帮助我市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表：

捐款金额/元 20 30 50 90

人数 2 4 3

1

则下列说法正确的是（ ）

A．10名学生是总体的一个样本

B．中位数是40

C．众数是90

D．方差是400

二、填空题

13．如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC的长度为,xPE与PB的长度和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为_______.

14．如图，点A1、A2、A3…在直线y＝x上，点C1，C2，C3…在直线y＝2x上，以它们为顶点依次构造第一个正方形A1C1A2B1，第二个正方形A2C2A3B2…，若A2的横坐标是1，则B3的坐标是_____，第n个正方形的面积是_____．

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用待定系数法求二次函数的解析式教案

用待定系数法求二次函数的解析式教案

1 待定系数法求二次函数的解析式

教学目标：1、体会待定系数法所包含的方程思想。

2、会用待定系数法求二次函数的解析式。

3、会用此方法解决实际问题，理论联系实际。

重点：待定系数法所包含的思想及应用。

难点：理论与实际问题结合。

教学过程：

预习课本39页——40页，思考完成一、二两道问题

一、用待定系数法求二次函数的解析式步骤：

（1）设二次函数的解析式；

（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。

（3）解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。

二、二次函数解析式的的常见形式：

1．一般式：.已知抛物线上三点或三对、的值，通常选择一般式.

2．顶点式：.已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

3．交点式：。已知抛物线与轴交点的横坐标、，通常选用交点式。

三、例题选讲

例1：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；

例2：（一题多解）

二次函数的图象经过点（1，0），（2，0），（3，4）求函数的解析式

小组交流合作，完成下一训练题，各组选派一名代表到黑板上展示讨论探讨成果。

四、变式训练

例1： 已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象的对称轴是x=2,且最高点在直线y=12x+1上,求这个二次函数的表达式.

[变式练习]：将上例中其它条件不变,“最高点”改为“顶点”求二次函数解析式(分a＞0和a＜0两种情). 2 例2 ：已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,求这个二次函数的解析式.

分析∵对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,由抛物线的对称性知,抛物线与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).

待定系数法求二次函数解析式 教学反思

待定系数法求二次函数解析式 教学反思

《待定系数法求二次函数解析式》教学反思

求函数解析式是初中数学主要内容之一，求二次函数的解析式也是联系高中数学的重要纽带。求函数的解析式，应恰当地选用函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。在新课标里求函数解析式也是中考的必考内容,而在初中阶段主要学习了正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数。下面谈谈本人在教学和复习求函数解析式的具体做法：

一、使学生掌握待定系数法。

待定系数法是初中数学的一种重要解题方法，对于每位学生都必须掌握，并能熟练应用此法来求函数的解析式。待定系数法的基本步骤是：①假设所求函数的解析式；②把已知的量代入函数关系式，联列方程（组）；③求出方程（组）的解。

二、让学生明确二次函数两种关系式。

（1）、二次函数一般关系式：y=ax2+ bx +c (a≠0)

（2）二次函数顶点式：y=a(x-h)2+k

对于以上这两种函数，要求学生理解关系式，及其性质和图象。

y=ax2+ bx +c(a≠0)这是一个二元二次方程，若要求a 、b 、c，必须知道三个不同的解，然后联立方程组，从而求出a 、b、c的值。

三、本节课自己的感想

曾听过这样的一个比喻，说“教师就象用以识别地图的图例”。教师必须解释教学过程中不同阶段出现的标志，使学生不断地追求、探索和获得。细究起来，它包涵着深层的含义：教师必须不断丰富自己的内涵、增强自己的业务技能，才能适应教学中时刻变化的新情况，才能照亮学生成长之路中的每一个标志。教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律。最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围及一般应已知的条件。在信息社会飞速发展的今天，我们教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来。《数学课程标准》提出：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者。教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长。

待定系数法求二次函数解析式教案

待定系数法求二次函数解析式教案

五亩一中 九 年级 数学 学科电子教案设计

主备教师： 王艳萍 副备教师： 月 日

课题 待定系数法求二次函数解析式

学习

目标 1、能根据已知条件设二次函数的解析式。

2、会用待定系数法求二次函数的解析式

学习重难点 会用待定系数法求二次函数的解析式

过程设计 修改与补充

复习：

1、二次函数常用的几种解析式

2、 已知抛物线y=ax2+bx+c

当x=1时，y=0，则a+b+c=_____

经过点（-1,0），则___________

经过点（0,-3），则___________

经过点（4,5），则___________

对称轴为直线x=1，则___________

小组讨论，学习新知

（一）、三点型（一般式）若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以用标准式y= ax2 +bx+c. 例1 已知二次函数图像经过（1，0）、（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式.

解： （二）顶点型（顶点式）

若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程和函数的最大（小）值，则可以用顶点形式y=a(x-h)2+k.

例2 已知抛物线的顶点坐标为（2，3），且经过点（3，1），求其解析式.

解：

（三）、交点型（两点式）

若已知二次函数图像与x轴的两交点坐标或两交点间的距离及对称轴，则可以用交点形式y=a(x-x1)·(x-x2).

例3 已知二次函数图像与x轴交于（-1，0）、（3，0）两点，且经过点（1，-5），求其解析式.

解： 修改与补充

堂清内容 根据条件求出下列二次函数解析式：

1、过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；

2、已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）

对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式。 教后反思

用待定系数法求二次函数的解析式导学案

用待定系数法求二次函数的解析式导学案

《用待定系数法求二次函数的解析式》导学案(总3页)

-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页- 《用待定系数法求二次函数的解析式》导学案

学习目标

1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。

2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。

3、在学习过程中体会学习数学知识的价值，提高学习数学知识的兴趣。

学习重点、难点

重点：用待定系数法求二次函数的解析式；

难点：灵活的根据条件恰当地选取选择解析式。

学习方法：通过具体题目的求解过程让学生感知用待定系数法求二次函数解析式的一般过程,并在解题实践中感受方法与效果的关系。

学习过程：

一、自主学习 夯实基础

1、用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤？

2、你会解三元一次方程组吗解三元一次方程组的的基本思想例如：解方程组10356243cbacbacba可先消去c得到关于a、b的二元一次方程组451baba解这个二元一次方程组得a、b的值，再将所求出的a、b的值带入最简单的方程中求出c的值。

3、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把_____________________叫做二次函数的一般式。

4、二次函数y＝ax2＋bx＋c用配方法可化成：y＝a(x-h)2＋k，顶点是(h，k)。

配方: y＝ax2＋bx＋c＝______________ ＝_______________ ＝________________ ＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a。对称轴是x＝－b2a，顶点坐标是 (－b2a，4ac－b24a), h＝－b2a，k=4ac－b24a, 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。

5、一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1 ，x2为抛物线与x轴两交点的横坐标。 二、合作交流 例题精析