三角形与四边形综合
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楚天文化艺术中心
青山区建设一路121街坊40门 八下数学三角形与四边形综合专题
1.矩形ABCD内接正三角形BEF，点E在线段AD上，点F在线段CD上，求证：S1＋S2＝S3.
S3S2S1FCAEDBA'BDEACFS1S2S3yx
证明:将△BAE绕B点顺时针旋转60°得△BA'F，连接A'C，则∠A'BC＝30°，
∴S1＝12bx ，S2＝12ay， S3＝12（x－a）（y－b）＝12（xy＋ab－ay－bx），
要证S1＋S2＝S3，只需证:2（bx＋ay）＝xy＋ab，
S△A'BC＝12xy sin30︒＝14xy，S△A'FC＝12xy sin150︒＝14ab, ，12bx＋12ay＝14（xy＋ab）（面积法）
∴2（bx＋ay）＝xy＋ab（证毕），
2.如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，BE＝5，CG＝6，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形ABCD的边长为 .
GFCAEDBBDEACFGMN12
解:延长CB至M，使BM＝33BE＝533，延长BC至N，使CN＝33CG＝23
连接EM、GN，则EM＝2BM＝1033，GN＝2CN＝43，∠M＝∠N＝60°
∴∠1＋∠MEF＝120°
∵△EFG为等边三角形，∴EF＝FG，∠EFG＝60°，∠1＋∠2＝120°，∴∠MEF＝∠2
∴△MEF≌△NFG，∴MF＝NG＝43，FN＝EM＝1033
∴BF＝MF－MB＝733，FC＝FN－CN＝433
∴BC＝BF＋FC＝733＋433＝1133 楚天文化艺术中心
青山区建设一路121街坊40门 3.如图，正方形ABCD的边长为3，△EFG是等边三角形，点E、F、G分别在线段BD、BC、CD上，且EF⊥BD，则DE的长为 .
BDEACFGGFCAEDBH
解:作GH⊥BD于H，由题意可得∠GEH＝30°
设DH＝GH＝a，则BE＝EG＝2a，EH＝3a，BD＝3a＋3a
∴3a＋3a＝32，∴DE＝a＋3a＝6
4.如图，正方形ABCD的边长为3，△EFG是等边三形，点E、F、G分别在线段BD、BC、CD上，且GC＝3，则DE的长为 .
GFCAEDBBDEACFGMH
解:连接BG，作EH⊥BG于H，∵BC＝3，GC＝3，∴∠GBC＝30°，∠BGC＝60︒
∵△EFG是等边三角形，∴∠EGF＝60°，∴∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△FGC
∴GH＝GC＝12BG，∴BH＝GH＝GC＝3
作GM⊥BD于M，则DM＝GM＝22DG，EM＝3GM＝62DG
DE＝22DG＋62DG＝22（3＋1）DG22（3＋1）（3－3）
＝62（3＋1）（3－1）＝6
5.如图，等边△EFG的顶点分别在正方形ABCD的边上，若连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，若AEmED，则AFAB , DGDC . 楚天文化艺术中心
青山区建设一路121街坊40门 BDEACFGGFCAEDBMN21
解:延长DA至M，使∠M＝∠N＝60°，则∠1＋∠MFE＝120°
∵△EFG为等边三角形，∴EF＝EG，∠FEG＝60°，∴∠1＋∠2＝120°，∴∠MFE＝∠2
∴△MEF≌△NGE，∴ME＝NG，FM＝EN
设AM＝a，DN＝b，则AF＝3a，MF＝2a，DG＝3b，NG＝2b
∴a＋AE＝2b，2a＝b＋ED，∴a＝23AEED,b＝23AEED
∴33232331AFaAEEDmABAEEDAEEDm,
332321331DGbAEEDmDCAEEDAEEDm
6.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，且BE＝DF，∠EAF＝60°
（1）若AE＝2，求EC的长；
（2）点G在线段FC上，∠AGC＝120°，求证：AG＝EG＋FG.
BDEACFGGFCAEDBH
解:（1）∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF
∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF＝AE＝2
∵BC＝DC，BE＝DF，∴EC＝FC＝22EF＝2
（2）延长DC到点H，使FH＝AG，连接EH
∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF
∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝15°，∴∠AFD＝75°
∵△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，∴∠EFH＝45°
∵∠AGC＝120°，∴∠AGD＝60°，∠DAG＝30°
∴∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EFH
又∵AE＝FE，∴△AEG≌△FEH（SAS）
∴EG＝EH，∠AGE＝∠H 楚天文化艺术中心
青山区建设一路121街坊40门 ∴∠H＝∠EGH，∴∠AGE＝∠EGH＝60°
∴△EFH是等边三角形，∴EG＝GH
∴AG＝FH＝GH＋FG＝EG＋FG
7.如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且△EFG为等边三角形
（1）求证：BE＋CG＝3BC
（2）过点G作GH⊥AB于H，求证:S△GHE＋S△GFC＝S△BEF.
BDEACFGHHGFCAEDBMN
解:（1）延长CB至M，使∠BEM＝30°，延长BC至N，使∠CGN＝30°
则EM＝2BM，GN＝2CN，∠M＝∠N＝60°，∴∠1＋∠MEF＝120°
∵△EFG为等边三角形，∴EF＝FG，∠EFG＝60°，∴∠1＋∠2＝120°，∴∠MEF＝∠2
∴△MEF≌△NFG，∴MF＝NG＝2CN，FN＝EM＝2BM
∴BF＝MF－MB＝2CN－MB， FC＝FN－CN＝2BM－CN
∴ BC＝BF＋FC＝2CN－MB＋2BM－CN
＝BM＋CN＝33（BE＋CG）
∴BE＋CG＝3BC
（2）设BC＝1，BE＝x，则CG＝3－x，HE＝3－2x
FC2＝FG2－CG2＝EG2－CG2＝HE2＋HG2－CG2
＝（3－2x）2＋1－（3－x）2＝3x2－23x＋1＝（3x－1）2
∴FC＝3x－1，BF＝1－（3x－1）＝2－3x
∴S△GHE＋S△CFC＝12HE﹒HG＋12FC﹒CG
＝12（3－2x）﹒1＋12（3x－1）（3－x）＝x－32x2
S△BEF＝12BE﹒BF＝12x（2－3x）＝x－32x2 ∴S△GHE －S△GFC＝ S△BEF
8.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°.
（1）如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE
①求证:CE⊥AD；
②若AB＝3，BE＝19，求AE的长， 楚天文化艺术中心
青山区建设一路121街坊40门 （2）如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF.
①求证：△DEF是等边三角形；
②若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积.
BDEACP PCAEDBF
图1 图2
解:（1）①连接AC交BD于点O，
PCAEDBO
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，∠ABD＝30°
∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°
∵△APE为等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°
∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE
∴∠ACE＝∠ABP＝30°
∵∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120
∴∠ACD＝60°，∴∠DCE＝∠ACE＝30°B
∴CE⊥AD
②连接AC，设CE交AD于点MC
∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝90°
∵AC＝BC＝AB＝3，BE＝19，∴AM＝32，C＝32，CE＝22BEBC＝4
∴ME＝4－32＝52，∴AE＝227AMME.
（2）①连接AE，∵D、E两点关于AP对称，∴AD＝AE，DF＝EF
设∠DAF＝a，则∠DAE＝2a，∠AED＝90°－a，∠BAE＝120°－2a
∵AB＝AD＝AE，∴∠AEB＝2（180°－∠BAE）＝30°＋a
∴∠DEF＝180°－∠AEB－∠AED＝60° 楚天文化艺术中心
青山区建设一路121街坊40门 FBDEACP
又∵DF＝EF，∴△DEF是等边三角形
②延长FB至G，使BG＝DF，连接AE、AG
∵∠AEB＝∠ABE，∴∠ABG＝∠AEF＝∠ADF
又∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF
∴∠GAF＝∠BAD＝120︒
∵BE＝11，DF＝EF＝DE＝5，∴BF＝16，BG＝5
∴GF＝21，∴AF＝733GF
作AM⊥BE于M，则AM＝12AF＝732
∴S△ADF＝S△AEF＝12EF·AM＝173522＝3534
PCAEDBFG
9.如图，矩形ABCD中，AB：AD＝1：3，点E、F分别在BC、DC的延长线上，且△AEF是等边三角形，若CE＝3，则CF＝ .
BDEACFFCAEDBG
解:延长AB至G，使BG＝AB，连接AC、CG、GF，则AC＝GC
由AB:AD＝1: 3，设AB＝a，则BC＝AD＝3a，AG＝2a
∴AC＝22ABBC＝2a，∴AG＝AC
∴△AGC是等边三角形，∴∠GAC＝∠AGC＝∠ACG＝60°，∠ACB＝∠BCG＝30° 楚天文化艺术中心
青山区建设一路121街坊40门 ∴∠ACE＝150°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°
∴∠CAE＝∠GAF，∴△ACE≌△AGF，∴GF＝CE＝3，∠AFG＝∠AEC，
∠AGF＝∠ACE＝150°，∴∠CGF＝90°
∵∠ECF＝∠EAF＋∠AEC＋∠AFC，∴90°＝60°＋∠AEC＋∠AFC
∴∠AEC＋∠AFC＝30°，∴∠AFG＋∠AFC＝30°，即∠CFG＝30°
设CF＝2x，则CG＝x，在Rt△CGF中
x2＋32＝（2x）2，解得x＝3，∴CF＝2x＝23
10.如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，若△AEF是等边三角形，CE＝23，CF＝5，则AB的长为 .
FEDCBA GHABCDEF
【解】：在AB上取点G，CD上取点H，连接EG、EH，使∠BEG＝∠CEH＝30°
则∠GEH＝120°，∠AGE＝∠EHF＝120°，∠EAG＋∠AEG＝60°，∴△AEF是等边三角形，AE＝EF，∠AEF＝60°，∴∠AEG＋∠FEH＝60°，∴∠EAG＝∠FEH，∴△AEG≌△EFH，∴AG＝EH，EG＝FH，
∵CE＝25，∴CH＝2，∴AG＝EH＝4，EG＝FH＝5－2＝3，
∴BG＝32，∴AB＝4＋32＝112.
13.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是BC边上一点，△ADE是等边三角形，若ABmCDn，则CEBE＝ .
ABCDE FGEDCBA
【解】：在AB上取点F，CD上取点G，连接EF、EG，使∠BEF＝∠CEG＝30°
