OyxBAABxyO反比例函数与几何综合
基本图形及常见结论
（1） 反比例函数)0(kxky图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴；所围kS矩形
（2）反比例函数)0(kxky图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴及原点连线；所围2kS三角形
（3）反比例函数与正比例函数图像交于A，B两点，AM与x轴垂直；
则：①A，B两点关于原点对称；②kSABM△
（4）过反比例函数xky11图像上任一点向坐标轴做垂线，与反比例函数)(2122kkxky＞交于两点；
则：①BNBPAMAP,即AB∥MN
②21kkSAPNH矩形
③）（△2121kkSOAP
一次函数)0(kbbkxy和反比例函数)0(mxmy图像交于A、B两点，AE⊥x轴，BF⊥y轴，
则：①OAEOBFSS△△ ② OABABFESS△梯形③ACBD
④BFAEOEOFAEOEBFOF ⑤OACOBDSS△△
（一）巧用k的几何意义解题 yxABOCDyxDCFEOBA例1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是________。
迁移练习1（1）.如图，双曲线)0x(kxy经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与AB交于点C．若△OBC面积为3，则k＝_______
迁移练习1（2）..双曲线)0x(kxy经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E；
若梯形OEBA的面积为9，则k=________。
（二）设坐标解题
反比例与相似综合
例2．如图，直线y=x与双曲线y=（x＞0）交于点A，将直线y=x向下平移个6单位后，与双曲线y=（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若=2，则k=________。
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．
（1）求k的值；
（2）求经过A、C两点的直线的解析式；
（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．
【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，
∴A的坐标是（2，3），
代入y= 得3= ，
解得：k=6
（2）解：OD=2+2=4，
在y= 中令x=4，解得y= ．
则C的坐标是（4， ）．
设AC的解析式是y=mx+n，
根据题意得： ，
解得： ，
则直线AC的解析式是y=﹣ x+
（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3； 直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD•CD= ×4× =3．
在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2=
．
则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=
【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．
2．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．
（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；
（2）当k=2时，求△AOB的面积；
（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1 ， 当k=2时，△OAB的面积记为S2 ， …，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为Sn ， 若S1+S2+…+Sn= ，求n的值．
中考数学复习
——反比例函数与一次函数综合
1．若正比例函数xky1的图象与反比例函数xky2的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（32,3），则k1k2=____________．
2、已知反比例函数kyx的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则k= ．
3、如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图象，则关于x的方程kx+b=2x的解为( )
A．xl=1，x2= 2 ； B．xl= -2，x2= -1 ；C．xl=1，x2= -2 D．xl=2，x2= -1
4、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（ ）．
A．x＜－1 B．x＞2 C．－1＜x＜0，或x＞2 D．x＜－1，或0＜x＜2
5、已知120kk，则函数1ykx和2kyx的图象大致是（ ）
6、.已知关于x的一次函数y＝－2x＋m和反比例函数xny1的图象都经过A(－2，1)，则m＝__，n＝___．
7、.直线y＝2x与双曲线xy8有一交点(2，4)，则它们的另一交点为________．
8、已知y＝(a－1)xa是反比例函数，则它的图象在( )．
(A)第一、三象限 (B)第二、四象限 (C)第一、二象限 (D)第三、四象限
9、观察函数xy2的图象，当x＝2时，y＝________；当x＜2时，y的取值范围是________；
当y≥－1时，x的取值范围是________．
10、.函数xy2在第一象限内的图象如图所示，在同一直角坐标系中，将直线y＝－x＋1沿y轴向上平移2个单位，所得直线与函数xy2的图象的交点共有________个．
11、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数xmy的图象相交于A、B两点，
(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
★★★(I)考点突破★★★
考点1：反从例函数的意义及其图象和性质
一、考点讲解：
1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=xk (k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
备注：反比例函数的另外两种形式，kxykxy,1(k≠0).
2．注意：(1)k为常数，必须强调k≠0；例如y= kx 就不是反比例函数；（2）xk中分母x的指数为1； (3)自变量x的取值范围是x≠0；（4）因变量y的取值范围是y≠0．
3．反比例函数的图象和性质．
利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=kx 具有如下的性质（见下表）①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．
注意：分析反比例函数增减性时，必须强调“在每一个象限内或者X﹥0，X﹤0”。
4．反比例函数y=xk（k≠0）中k的几何意义
过反比例函数y=xk图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、
N（如图），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数k。从而有
注意：所围矩形的面积为k，而不是k。若其面积为6，则k=±6。
二、经典考题剖析：
【考题1、】（2009、宁安）函数y= kx 与y=kx+k在同一坐标系的图象大致是图 1－5－l中的（ ）
解：B 点拨：A中，y= kx 的图象过第一、三象限，则k＞0．而y=kx+b过第一、二、四象限，则k＜0，矛盾；C中，由y= kx 的图象知，在k＜0．但一次函数y=kx＋k与y轴交于正半轴，和k＜0矛盾；D中，由y= kx 的图象知，k＜0．Y=kx＋k中，k＞0，矛盾．故选B．
