数学初高衔接知识讲座

圆的初步

一、知识解析 

定义1 四点共圆

给定四边形ABCD

，如果存在一个圆，使得点,,,ABCD都在这个圆上，我们称这个四

边形ABCD

四点共圆，这个圆称为四边形ABCD

的外接圆。

定理1 四点共圆的角度性质

如右图所示，四边形ABCD

四点共圆，则有以下角度关系：

1. 同弧所对角相等

BACBDC

ABDACD

ACBADB

CBDCAD

2. 对角互补

180BADBCD

180ABCADC

定理2 四点共圆的角度判定（即上定理的逆命题）

图同定理1，给定四边形ABCD

,若这个四边形满足定理一中的任意一个等式，则这个

四边形四点共圆。

定理2证明

这里只证明满足等式BACBDC

的情况，其他情

况同理可证。

这里我们使用同一法证明定理2。

首先做出BCD

的外接圆，设射线CA

交这个圆于点

A

我们有BACBDCBAC

,有BA与BA平行，即

BA与BA重合，A与A

重合。所以A在BCD

的外接圆

上，即ABCD

四点共圆。

对话1 关于定理2的解释

定理1和定理2说明，给定一个四边形，满足上述6个等式中的任意一个，其他5

个等式就都会成立了。这是个四点共圆的基本结论，也是平面几何中最常用且好用的结

论。

对话2 同一法的证题逻辑

定理2的证明用到了同一法，如果你是初学者，相信你会感到奇怪，因为同一法确

实和我们的习惯思维方式相悖。

定义2 弦切角

如下左图所示，满足顶点在圆上，一条边为圆的弦，另一条边为圆的切线的角，称为

圆的弦切角。例如CAD即为圆O的弦切角。

定理3 弦切角定理

弦切角的大小等于弦切角所夹弧所对圆周角的大小。如下左图，过点A作ABC的切

线DA，则有DACABC。

定理3证明

如下右图，作过A的直径AE，连接EC。

90DACCAECAECEA

，于是DACCEACBA。

二、自招回溯 

对话3 四点共圆角度关系的重要性

初高中数学衔接讲义

一、课程简介

本讲义旨在帮助初高中学生顺利衔接高中数学知识，提高数学成

绩。本讲义涵盖了初中数学的基础知识，并在此基础上增加了高中数

学的新内容，包括函数、数列、不等式等。通过本讲义的学习，学生

将掌握高中数学的基本概念和方法，培养数学思维和解决问题的能力。

二、课程目标

掌握初中数学基础知识，包括代数、几何等。

了解高中数学的新内容，包括函数、数列、不等式等。

培养数学思维和解决问题的能力，为高中数学学习打下基础。

激发学生对数学的兴趣和热情，培养自主学习能力。

三、课程内容

初中数学知识回顾

初中数学知识是高中数学的基础，因此在本讲义的开始，我们将

对初中数学知识进行回顾。包括代数基础知识（如代数式、方程、不

等式等）、几何基础知识（如三角形、四边形、圆等）以及统计基础

知识（如平均数、中位数、众数等）。高中数学知识介绍

本讲义将介绍高中数学的新内容，包括函数、数列、不等式等。

通过具体实例和练习题，帮助学生了解这些概念和方法的基本应用。

此外，本讲义还将介绍一些数学思想和方法，如分类讨论、归纳推理

等。

典型例题解析

本讲义将选取一些典型例题进行解析，帮助学生理解初中和高中

的数学知识的应用方法和解题思路。通过这些例题的解析，学生将掌

握解题技巧和提高解决问题的能力。

数学趣味知识拓展

本讲义将穿插一些数学趣味知识，包括数学历史、数学文化等方

面。这些内容将帮助学生了解数学的趣味性和实用性，激发学生对数

学的兴趣和热情。

练习题及答案

本讲义将提供一定数量的练习题，包括初中和高中数学知识，帮

助学生巩固所学知识和提高解题能力。同时，本讲义还将提供参考答

案，供学生自我评估和纠正错题使用。

四、课程安排

本讲义将根据学生的实际情况和学习需求进行安排。一般情况下，

建议按照每周2-3课时的学习进度进行学习。具体安排可根据学生的

学习能力和时间情况进行调整。五、总结

通过本讲义的学习，学生将掌握初中和高中的数学知识，培养数

学思维和解决问题的能力，为高中数学学习打下基础。同时，本讲义

专题

13

预备知识十三：幂函数

1、通过具体实例，了解幂函数的定义，会画=yx

，2=yx，3=yx，1

2=yx，1=yx



五个幂函数的图象，

理解它们的性质；

2、通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法．

知识点一：幂函数的概念

1、定义：一般地，函数yx



叫做幂函数，其中x

是自变量，

是常数.

2、幂函数的特征

①yx



中x



前的系数为“1”

②yx



中x



的底数是单个的自变量“x

”

③yx



中

是常数

知识点二：幂函数的图象与性质

1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）

当1

1,2,3,,1

2



时，我们得到五个幂函数：

()fxx

；2()fxx

；3()fxx

；1

2()fxx；1()fxx





2、五个幂函数的性质

()fxx2()fxx3()fxx1

2()fxx1()fxx





定义域RRR[0,)(,0)(0,)

值域R[0,)

R[0,)(,0)(0,)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数

单调性在R

上单

调递增在(,0)

上

单调递减

在(0,)

单

调递增在R

上单调

递增在[0,)

单调递增在(,0)

上单调递减

在(0,)

上单调递减

定点(1,1)

3、拓展：

①()fxx



，当0



时，()fxx



在(0,)

单调递增；

②()fxx



，当0



时，()fxx



在(0,)

单调递减.

对点特训一：求幂函数的值

典型例题

例题

1．（2

02

4高三

·全国

·专题练习）若

幂函数

yfx

的图

象经过点

2,2，则

16f

＝（）

A．

2B．2

C．

4D．1

2

【答案

】C

【分

析】利用已知条件求得

幂函数解

析式，然后代

入求解即可

.

【详解

】设

幂函数

yfxx

，因为

fx的图

象经过点

2,2，所以

22



，解得1

2

，

所以

1

2fxx，所以

1

216164f.

故选：

C

例题2．（2

3-2

4高一上

·山东

聊城·期末）已知

幂函数

yfx

的图

象通过点3

- 1 - 第三讲 三角形与圆

3．1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

如图3.1-2，123////lll，有ABDEBCEF=.当然，也可以得出ABDEACDF.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.

例1 如图3.1-2， 123////lll，

且2,3,4,ABBCDF===求,DEEF.

例2 在ABC中，,DE为边,ABAC上的点，//DEBC，

求证：ADAEDEABACBC.

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

例3 在ABCV中，AD为BACÐ的平分线，求证：ABBDACDC=.

例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.

- 2 - 练习1

1．如图3.1-6，123////lll，下列比例式正确的是（ ）

A．ADCEDFBC= B．ADBCBEAF=

C．CEADDFBC= D.AFBEDFCE=

2．如图3.1-7，//,//,DEBCEFAB5,ADcm=3,2,DBcmFCcm==求BF.

3．如图，在ABCV中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.

图3.1-6

图3.1-7

图3.1-8

- 3 - 3.1．2．相似形

我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？

例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，BACÐ为直角，ADBCD^于.

求证：（1）2ABBDBC=?，2ACCDCB=?；

（2）2ADBDCD=?