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完全平方公式的综合应用

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完全平方公式的综合应用

例1：矩形面积最大问题

假设一个菜农要栽种一片长方形菜田，如果他只有一定长度的篱笆，那么他应该怎样才能使得菜田的面积最大呢？

解法：设菜田的长度为x，宽度为y，根据题意我们可以得到一个方程：2x+y=200（因为需要两条边之和等于篱笆的长度）

现在我们要找到这个方程的最大值，首先将方程变形为：y=200-2x

接下来我们可以使用完全平方公式来求解最大值。

根据完全平方公式，这是一个开口向下的抛物线，所以我们可以知道最大值是在顶点处取得的。

所以矩形的长度为50，宽度为100，当且仅当菜田是一个正方形时，面积最大。

例2：解一元二次方程

假设有一个一元二次方程x^2+8x+16=0，我们需要求解它的解。

解法：首先，我们观察这个方程可以发现它可以化简为一个完全平方形式。

将方程变形为：(x+4)^2=0

根据完全平方公式，我们知道只有当一个数的平方等于0时，这个数才能等于0。

所以，我们可以得到：x+4=0或x=-4 所以方程的解为x=-4

例3：求两点之间的距离

假设有两个点A(5,7)和B(9,3)，我们需要求解它们之间的距离。

解法：我们可以利用两点之间的距离公式来求解。

根据两点之间的距离公式，我们可以得到：

d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

将点A的坐标代入为x1=5，y1=7，将点B的坐标代入为x2=9，y2=3，带入方程可得：

d=√((9-5)^2+(3-7)^2)

d=√(4^2+-4^2)

d=√(16+16)

d=√32

所以点A和点B之间的距离为√32

通过以上例子，我们可以看到完全平方公式在解决不同类型的问题时起到了非常重要的作用。无论是求解最值问题、解一元二次方程还是求解两点之间的距离，完全平方公式都是一个非常有用的工具。在实际生活中，完全平方公式也有很多其他应用，比如在物理学中的运动学问题、在经济学中的成本最小化问题等等。因此，熟练掌握完全平方公式的应用是非常有价值的。

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平方差与完全平方公式专练

平方差与完全平方公式专练

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一、平方差公式

平方差公式是指一个差的平方可以展开为两个数的平方的差。即对于任意实数a和b，有

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

下面通过一些例题来让我们更好地理解和运用平方差公式。

例题1：计算下列各式的值：

(1)(6+3)(6-3)

(2)(5+2)(5-2)

(3)(9+4)(9-4)

解答：

(1)(6+3)(6-3)=6^2-3^2=36-9=27

(2)(5+2)(5-2)=5^2-2^2=25-4=21

(3)(9+4)(9-4)=9^2-4^2=81-16=65

例题2：已知两个数字的和为17，差为7，求这两个数字。

解答：

设两个数字分别为x和y，根据题意可以得到两个方程：

x+y=17

x-y=7 我们可以使用平方差公式对第二个方程进行变形：

(x+y)(x-y)=(17)(7)

可以得到：

x^2-y^2=119

将第一个方程代入上述方程中：

17^2-y^2=119

289-y^2=119

y^2=289-119

y^2=170

y=±√170

代入第一个方程中可以解得：

x=17-y

如果y=√170，则x=17-√170

如果y=-√170，则x=17+√170

所以。

通过以上例题的练习，我们可以发现平方差公式在解决方程和计算中的巧妙运用，可以简化计算过程，提高解题效率。

二、完全平方公式 完全平方公式是指一个二次多项式可以写成一个二次项的平方。即对于任意实数a和b，有

a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

下面通过一些例题来让我们更好地理解和运用完全平方公式。

例题1：计算下列各式的值：

(1)2^2+2(2)(3)+3^2

(2)(-5)^2+2(-5)(4)+4^2

(3)12^2+2(12)(5)+5^2

解答：

(1)2^2+2(2)(3)+3^2=(2+3)^2=5^2=25

(2)(-5)^2+2(-5)(4)+4^2=(-5+4)^2=(-1)^2=1

《完全平方公式》综合训练

《完全平方公式》综合训练

1.6 完全平方公式

【课内四基达标】

1.填空题

(1)a2-4ab+( )＝(a-2b)2 (2)(a+ b)2-( )＝(a-b)2

(3)( -2)2＝ -12x+

(4)(3x+2y)2-(3x-2y)2＝

(5)(3a2-2a+1)(3a2+2a+1)＝

(6)( )-24a2c2+( )＝( -4c2)2

2.选择题

(1)下列等式能成立的是( ).

A. (a-b) 2＝a2-ab+b2 B.(a+3b)2＝a2+9b2

C. (a+ b) 2＝a2+2ab+b2 D.(x+9)(x-9)＝x2-9

(2)(a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是( ).

A. 8(a-b)2 B.8(a+ b)2

C.8b2-8a2 D.8a2-8b2

(3)在括号内选入适当的代数式使等式(5x-12y)·

( )＝25x2-5xy+14y2成立.

A.5x-12y B.5x+12y

C.-5x+12y D.-5x-12y

(4)(5x2-4y2)(-5x2+4y2)运算的结果是( ).

A.-25x4-16y4 B.-25x4+40x2y2-16y2

C.25x4-16y4 D.25x4-40x2y2+16y2

完全平方公式综合应用.doc

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“完全平方公式变形的应用”培优题 姓名：

完全平方式常见的变形有 :

（ 1） a2 b2 (a b)2 2ab （ 2） a2 b2 (a b)2 2ab

（ 3） a b 2 ( a b) 2 4ab

（ 4） a 2

b 2

c 2

(a b c) 2

2ab 2ac 2bc （ ）

2 2

1、已知 m+n -6m+10n+34=0，求 m+n的值

2、已知 x2 y 2 4x 6 y 13 0 ， x、y 都是有理数，求 x y 的值。

练一练 A 组：

1 ．已知 (a b) 5, ab 3 求 (a b)2 与 3(a2 b2 ) 的值。

2 ．已知 a b 6, a b 4 求 ab 与 a2 b2 的值。

3、已知 a b 4, a2 b2 4 求 a2b2 与 (a b) 2 的值。

4、已知 ( a+b)2 =60，( a-b) 2 =80，求 a2 +b2 及 ab 的值

.

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B 组：

5．已知 a b 6, ab 4 ，求 a2b 3a2b2 ab 2 的值。

6．已知 x2 y2 2x 4y 5 0 ，求 1 (x 1)2 xy 的值。

2

7．已知 x 1 6 ，求 x2 12 的值。

x x

8、

x 2 3

x 1 0 ，求（ ）

x 21 （ ）

x 41

1 x2 2 x 4

C 组:

10、已知三角形 ABC 的 三 边 长 分 别 为 a,b,c 且 a,b,c 满 足 等 式

3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 ，请说明该三角形是什么三角形？

完全平方公式的综合应用

完全平方公式的综合应用

“完全平方公式变形的应用”培优题 姓名：

完全平方式常见的变形有:

（1）abbaba2)(222 （2） abbaba2)(222

（3）abbaba4)(22）（（4）bcacabcbacba222)(2222

1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值

2、已知0136422yxyx，yx、都是有理数，求yx的值。

练一练 A组：

1．已知()5,3abab求2()ab与223()ab的值。

2．已知6,4abab求ab与22ab的值。

3、已知224,4abab求22ab与2()ab的值。

4、已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，求a2+b2及ab的值 B组：

5．已知6,4abab，求22223ababab的值。

6．已知222450xyxy，求21(1)2xxy的值。

7．已知16xx，求221xx的值。

8、0132xx，求（1）221xx（2）441xx

C组:

10、已知三角形 ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式22223()()abcabc，请说明该三角形是什么三角形？

整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(B卷)

综合运用题 姓名：

一、请准确填空

1、若a2+b2－2a+2b+2=0,则a2004+b2005=________.

2、一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a－3b),则长方形的面积为________.

3、5－(a－b)2的最大值是________，当5－(a－b)2取最大值时，a与b的关系是________.

4.要使式子0.36x2+41y2成为一个完全平方式，则应加上________.

5.(4am+1－6am)÷2am－1=________.