高中自主招生数学模拟试题(附答案2)
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2018 年自主招生考试数学
模拟试题
（满分：120 分 时间：120 分钟）
一、选择题。（每小题 4 分，共 24 分）
1. 如果实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式
以化简为（ ） a2 | a b |
(c
a)2
| b c | 可
A. 2c a B. 2a 2b C. a D. a
2.化简 9x2 – 6x + 1 – ( 3x – 5 )2，结果是（ ）
A.6x – 6 B.– 6x + 6 C.– 4 D.4
3. 已知 a，b，c 为正实数，且
经过（ ）
b c
a a c
b a b
c k ，则直线 y kx (k 1) 一定不
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4. 小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为 1；
第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成 120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第 10 层.则树形图第 10 层的最高点到水平线的距离为（ ）
1 A. 1024 1705 C. 1024 1704 B. 1024
D.2
5. 平面直角坐标系中，已知 A(2，2)、B(4，0).若在坐标轴上取点 C，使△ABC 为等腰三角形，
则满足条件的点 C 的个数是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
6. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：
2 13 (1)3 , 26 33 13 , 谐数”之和为（ ）
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2 和 26 均为“和谐数”.那么，不超过 2018 的正整数中，所有的“和
A.6858 B.6860 C.9260 D.9262 第 3 页 共 4 页
二、填空题。（每小题 4 分，共 24 分）
7.直线 y=m 与函数 y=x2﹣3∣x﹣2∣﹣5x+1 的图象有 3 个交点，则 m
的值为
．
8.
已知、是关于 x 的一元二次方程 x2 (2m 3)x m2 0 的两个不相等的实数根，且满
足 1 1 1，则 m 的值是 ． 9. 在平行四边形 ABCD 的边 AB 和 AD 上分别取点 E 和 F，使 AE AG 1 AB ， AF 3 1 AD ， 4
连接 EF 交对角线 AC 于 G，则 的值是 ． AC 1
10. 一名学生步行前往考场，10 分钟走了总路程的 4 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出
租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示(假定总路程为 1)，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了 分钟.
第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图
11. 如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，BD 为 AC 的中线，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，过点 A
作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG＝BD，连接 BG、DF.若 AG
＝13，CF＝6，则四边形 BDFG 的周长为 ．
12. 如图，ABC 的顶点 A、C 在反比例函数 y 3（ x 0 ）的图象上ACB 900 , ABC 300 , x
AB x 轴，点 B 在点 A 的上方，且 AB 6, 则点C 的坐标为 .
三、解答题。（每小题 12 分，共 72 分）
13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，D 为斜边 BC 中点，DE⊥DF，求证：EF 2 BE 2 CF 2 ． 第 4 页 共 4 页
14. 如图，矩形纸片 ABCD 中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 的 E 点上，折痕的一端 G 点在边 BC 上，BG＝10．
1.当折痕的另一端F 在AB 边上时，求△EFG的面积；
2.当折痕的另一端 F 在 AD 边上时，证明四边形 BGEF 为菱形，并求出折痕 GF 的长．
15. 已知一次函数 y＝2x－4 的图象与 x 轴，y 轴分别相交于 A，B 两点，点 P 在该函数图象上，
P 到 x 轴，y 轴的距离分别为 d1，d2.
（1） 当 P 为线段 AB 的中点时，求 d1＋d2 的值；
（2） 直接写出 d1＋d2 的范围，并求当 d1＋d2＝3 时点 P 的坐标；
（3） 若在线段 AB 上存在无数个 P 点，使 d1＋ad2＝4（ a 为常数），求 a 的值.
16. 已知 AB、CD 是⊙O 的两条弦，直线 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，连接 AC，过点 B 作
BF⊥AC，垂足为 F，直线 BF 交直线 CD 于点 M．
（1） 如图 1，当点 E 在⊙O 内时，连接 AD，AM，BD，求证：AD=AM；
（2） 如图 2，当点 E 在⊙O 外时，连接 AD，AM，求证：AD=AM；
（3） 如图 3，当点 E 在⊙O 外时，∠ABF 的平分线与AC 交于点H，若 tanC＝ ，求 tan∠ABH 的值．
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17. 完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理.完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种 不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．
（Ⅰ）300 人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有 10，20，30，60 四个档次．
加分 人数
10 30
20 90
30 150
60 30
小王想获得至少 30 分的加分，那么概率为多少？
（Ⅱ）某大学的录取分数线为 660 分，小王估得高考分数可能在 630~639，640~649，650~659
三个分段．
（1） 若小王的高考分数在 630~639 分段，则小王被该大学录取的概率为多少？ 1
（2） 若小王的高考分数在三个分段的概率都是 3 ，则小王被该大学录取的概率为多少？
18.如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3），直线
BC 与 y 轴交于点 D，E 为二次函数图象上任一点．
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 若点 E 在直线 BC 的上方，过 E 分别作 BC 和 y 轴的垂线，交直线 BC 于不同的两点 F，G
（F 在 G 的左侧），求△EFG 周长的最大值；
（3） 是否存在点 E，使得△EDB 是以 BD 为直角边的直角三角形？如果存在，求点 E 的坐标；
如果不存在，请说明理由．
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高中预录考试数学训练试题参考答案
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．C．
2．D．
3．D．
4．C．解析：设第n层的最高点到水平线的距离记为：an（n=1，2，3，…，10）．
由题意，得224412132435411111;();();();();2222aaaaaaaaa
66106576109111();();...;();222aaaaaa把这10个式子左右相加，得
2468101010111111170512[()()()()()]()2222221024a．
5．A．
解析：构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除．
6．B．
解析：3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)kkkkkkkk
22(121)k （其中k为非负整数），由2（12k2+1）≤2018得，9k
0,1,2,...,8,9k，即得所有不超过2018的“和谐数”，它们的和为
333333333331(1)(31)(53)...(1715)(1917)1916860.
二、填空题（每小题4分，共24分） 第 7 页 共 4 页
7．﹣5或﹣6．
8．3.
解析：结果为3m，根据题意可得到方程组222(23)40(23)1mmmm，解得3m．
9．17．
解析：如图，1//33AEAFABCDDMAEDMFD，
113367AGAEAEAEAGGCCMCDDMAEAEAC．
10．24.
11．20．
12．3,22.
解析：过点C作CDAB于点D.在RtACB中，cos33BCABABC， 在RtBCD中，33sin,2CDBCB
9cos,2BDBCB32ADABBD,设33,,,CmAnmn，依题意知0,nm故33,CDnmADmn，于是3323332nmmn 解得3223mn，故点C的坐标为3,22.
三、解答题（每小题12分，共72分）
13．证明：延长FD到G，使DF＝DG，连接BG，则可以证明△FCD≌△GBD，得到BG＝CF，∠DBG＝∠C. ...........................4分
因为∠A＝90°，所以∠DBG+∠ABC＝90°,可得△EGB为直角三角形，连接EG，得到22222CFBEBGBEEG，.......4分
根据D为BC中点，DE⊥DF，所以EG＝EF，所以222CFBEEF. ....................................................................4分
