信号与系统-第三章习题讲解

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精品 第三章习题

基础题

3.1 证明cost, cos(2)t, …, cos()nt(n为正整数)，在区间(0,2)的正交集。它是否是完备集?

解：(积分???)此含数集在(0,2)为正交集。又有sin()nt 不属于此含数集02sin()cos()0ntmtdt，对于所有的m和n。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。

3.2 上题的含数集在(0,)是否为正交集？

解：

由此可知此含数集在区间(0,)内是正交的。

3.3实周期信号()ft在区间(,)22TT内的能量定义为222()TTEftdt。如有和信号12()()ftft(1)若1()ft与2()ft在区间(,)22TT内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;

(2)若1()ft与2()ft不是相互正交的，求和信号的总能量。

解：(1)和信号f(t)的能量为

222222222221212222()12()()()()()()TTTTTTTTTTEftdtdtftdtftdtftftdtftft（少乘以2）

由1()ft与2()ft在区间内正交可得2122()()0TTftftdt.

精品 则有

22221222()()TTTTEftdtftdt

即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。

和信号的能量为

(2)

222222222221212222()12()()()()()()TTTTTTTTTTEftdtdtftdtftdtftftdtftft（少乘以2吧？）

由1()ft与2()ft在区间(,)22TT内不正交可得

2122()()0TTftftdtK

则有2222222212122222()()()()TTTTTTTTEftdtftdtKftdtftdt

信号系统Z变换习题讲解

7-1 分别绘出下列各序列的图形。

（1）[](1/2)[]nxnun （2）[]2[]nxnun （3）[](1/2)[]nxnun （4）[](2)[]nxnun

解：

7-2 分别绘出下列各序列的图形。

（1）[][]xnnun （2）[]2[]nxnun （3）[](1/2)[]nxnun （4）[](1/2)[]nxnun

解：

x[n]012341n(1)x[n]012341n(2)x[n]012341n(3)-1x[n]012341n(4)x[n]012341nx[n]0-1-2-3-4-1n(2)(1)x[n]0n(4)x[n]012341n(3)-1-2-3-47-3 分别绘出下列各序列的图形。

（1）[]sin5nxn （2）[]cos105nxn

解：

7-5 序列x[n]如图题7-5所示，把x[n]表示为[n]的加权与延迟之线性组合。

图 题7-5

解： []2[3][]3[1]2[3]xnnnnn

7-7 求下列序列的z变换X(z)，并注明收敛域，绘出X(z)的零极点图。

（1）(1/2)nu[n] + [n] （4）(1/2)n{u[n]  u[n8]} （5） [n] 15 [n2]

解：1011(1)()[()[][]]()[]221212111222nnnnnnnXzunnzznzzzzzz x[n]015n(1)-5102x[n]017n(2)-317

7018881711(4)()()([][8])()22111()()220111()22nnnnnnXzununzzzzzzzz

3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。

图3-1T2T0)(tfT2T … …2E2Et

解 由图3-1可知，)(tf为奇函数，因而00aan

20112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4TTTntnTnEdttnETTdttntfTb

所以，三角形式的傅利叶级数（FS）为

TtttEtf2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111

指数形式的傅利叶级数（FS）的系数为,3,1,0,,4,2,0,021nnjEnjbFnn

所以，指数形式的傅利叶级数为

TejEejEejEejEtftjtjtjtj2,33)(11111

3-2 周期矩形信号如图3-2所示。若：

图3-2T20)(tfT2Et 重复频率kHzf5

脉宽 s20

幅度 VE10

求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。

解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS）的系数

22sin12,)(1112212211nSaTEnnEdtEeTTdtetfTFtjnTTtjnn

则的指数形式的傅利叶级数（FS）为

ntjnntjnnenSaTEeFtf112)(1

其直流分量为TEnSaTEFn2lim100

基波分量的幅度为2sin2111EFF

二次谐波分量的幅度为22sin122EFF

三次谐波分量的幅度为23sin32133EFF

【信号与系统（郑君⾥）课后答案】第三章习题解答

3-1 解题过程：

（1）三⾓形式的傅⽴叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）f ( t ) = a +

+∞

cos ( n ω t

) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1

n 1 n =1

式中ω1 =2π

，n 为正整数，T 1 为信号周期T 1

1 t +T

（a ）直流分量a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dt

T

1 t

2 t +T

（b ）余弦分量的幅度a n = 0

∫ 1

f ( t ) cos ( n ω1t ) dt

T

1 t 0

2 t +T

（c ）正弦分量的幅度b n = 0 ∫ 1

f ( t ) sin ( n ω1t ) dt

T 1 t

（2）指数形式的傅⽴叶级数+∞

f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1t

n =

其中复数频谱F n= F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1

f ( t ) e ? jn ω1

t dt T 1 t 0

F n =

1

( a n ? jb n ) F ? n = 1 ( a n + jb n ) 2 2

由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因⽽a 0 = a n = 04 T

b n = T ∫02

= 2E

π n

4

T

E

2E

E

f (

t ) sin ( n ω t ) dt =

sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 ? cos ( n π

2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1

n = 2, 4,

n = 1, 3,

所以，三⾓形式的 FS 为2 E

1 1

2π f ( t ) =

sin ( ω1t ) +

sin ( 3ω1t ) +

sin ( 5ω1t ) +

ω1 =

π 3 5

T

指数形式的 FS 的系数为1n = 0, ±2, ±4,

F n = ? jb n jE

=

2 n = 0,

± 1, ±3,

n π

1

所以，指数形式的 FS 为f ( t ) = ? jE π e