2011年高考数学第二轮专题复习 函数教学案

用心 爱心 专心 2011年高考第二轮专题复习（教学案）：函数

考纲指要：

函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。

考点扫描： 1.函数概念,构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。

2. 函数性质：（1）奇偶性；（2单调性；（3）最值；（4）周期性。

3．基本初等函数：正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。

4．函数图象：图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

5．函数应用：以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉及经济、环保、能源、健康等社会现象。

考题先知：

例1． 定义域为R的函数)2(0)2(||2|lg|)(xxxxf，若0b，则关于x的方程

0)()(2xbfxf,的不同实根共有（ ）个。 A. 4 B.5 C.7 D.8

解析： 方程0)()(2xbfxf可化为0)(xf或bxf)(。而)(xfy的图象大致如图1所示，

由图可知，直线0y与)(xfy的图象有3个交点，直线)0(bby与)(xfy的图象有4个交点，即方程0)(xf有3个实根，方程bxf)(有4个实根，从而原方程共有7个实根，故答案选C。[来源:]

例2．函数}3,2,1{}3,2,1{:f满足)())((xfxff，则这样的函数个数共有（ ） y

x 1 2 3 O 用心 爱心 专心 （A） 1个 （B）4个 （C）8个 (D) 10个

分析：这是一个从集合A到集合A的函数，由于集合A中的元素仅有三个，情况比较简单，通过列举便可解决此题。

解：若)3,2,1(,)(iixf，则一定满足)())((xfxff，这样的函数个数有3个；

若3)3(,1)2()1(fff，则一定满足)())((xfxff，类似的函数个数有6223C个；

若)3,2,1(,)(iiif，则一定满足)())((xfxff，这样的函数个数有1个，综上所述，共有10个，故选D。

点评：将上述问题推广为：设*},,......,3,2,1{NnnA，函数AAf:,则满足)())((xfxff的函数共有多少个？

解：令txf)(，则有ttf)(，即有At，在f的作用下函数是自身。

(1)当t只取一个数时，不妨设此元素为i，那么其它元素的函数值也只能是i，故此时满足条件的函数只能有一个，由于元素i的不同选择有n种，所以此类满足条件的函数共n个。

(2)当t恰好取2个数时，不妨设这两个元素为ji,，那么其它元素的函数值就只能取i或j，其它元素有n-2个，由乘法原理满足条件的函数共有22n个，又因为ji,的选择有2nC种，故此类满足条件的函数共有222nnC个。

同理，当t恰取3个数时，满足重要任务的函数共有333nnC个。

当t恰取n个数时，满足条件的函数共有0nCnn个。

综上所述，满足条件的函数共有033221321nCCCCnnnnnnnn个。

复习智略：

例3。已知函数|11|)(xxf。

(Ⅰ)是否存在实数a、b)(ba，使得函数)(xf的定义域与值域都是],[ba，若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由；

（Ⅱ）若存在实数a、b)(ba，使得函数)(xf的定义域],[ba，值域为)0](,[mmbma，求实数m的取值范围

解析：(Ⅰ)假设存在实数a、b)(ba，使得函数)(xfy的定义域与值域都为],[ba，用心 爱心 专心 因为0|11|xy，所以0a。又因为0x，故0a，此时

)10(11)1(11)(xxxxxf[来源:学科网ZXXK]

① 当10ba时，11)(),1,0(],[xxfba在],[ba上是减函数，故bbfaaf)()(可得ba矛盾，此时实数a、b不存在；[来源:Z+xx+]

② 当ba1时，xxfba11)(),,1[],[在],[ba上是增函数，故bbfaaf)()(，可得a、b是方程012xx的根，该方程无解，故此时实数a、b也不存在；

③ 当10a且1b时，显然],[1ba，则],[0)1(baf，矛盾，所以此时实数a、b也不存在；[来源:学科网ZXXK]

综上知，适合条件的a、b不存在。

（Ⅱ）因为0)(abmmamb，而ab，所以0m，则由0ma，知0a。仿(Ⅰ)可知，当10ba以及当10a且1b时，都不符合要求；

当ba1时，由,)()(mbbfmaaf可得a、b是方程012xmx不小于1的两个相异实根，由实根分布知识可得410m，从而实数的取值范围是)41,0(。

检测评估：

1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为“同族函数”，则函数的解析式为2xy，值域为4,1的“同族函数”共有（ ）个。

A．8 B．9 C．10 D．无数个

2. 若方程131()2xx有解0x，则0x属于以下区间 ( )

A. 1(0,)3 B.11()32， C. 1(,1)2 D.(1,2)

3．已知函数),(1,,1,16)23()(在xaxaxaxfx上单调递减，那么实数a的取值用心 爱心 专心 范围是 （ ）

A．（0，1） B．)32,0(

C．)32,83[ D．)1,83[

4. 设函数xxfmlog)(，数列na是公比为m的等比数列，若,8)(200842aaaf则)()()(220082221afafaf的值等于

A．-1976 B．-1990 C．2042 D．2038

5．定义域和值域均为[－a，a]（常数a>0）的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示：

给出下列四个命题：

①方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；

②方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；

③方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；

④方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。[来源:学科网]

A．①③ B．②③ C．③④ D．①④

6．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“○＋”如下：当a≥b时，a○＋b＝a；当a＜b时，a○＋b＝b2；则函数f(x)＝(1○＋x)·x―(2○＋x)，x∈[―2,2]的最大值等于

(“·”与“－”分别为乘法与减法)．[来源:学。科。网]

7．若()fn为21n的各位数字之和()nN．如：因为2141197,19717，所以(14)17f．记1()()fnfn，21()(())fnffn，…，1()(())kkfnffn，kN，

则)8(2008f=

8.已知定义在R上的函数()yfx满足下列三个条件：①对任意的xR都有(4)()fxfx；②对于任意的1202xx时，)()(21xfxf；③(2)yfx的图象关于y轴对称，则(4.5),(6.5),(7)fff的大小关系是 .

9．定义在R上的函数)45(,0)()25()(xfxfxfxf且函数满足为奇函数. 给出下 用心 爱心 专心 列结论：①函数)(xf的最小正周期是25；②函数)(xf的图象关于点（45，0）对称；③函

数)(xf的图象关于直线25x对称；④函数)(xf的最大值为).25(f

其中正确结论的序号是 .（写出所有你认为正确的结论的序号）

10．已知函数xxfx2log)31()(，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足

0)()()(cfbfaf，若实数d是方程0)(xf的一个解，那么下列四个判断：[来源:学_科_网Z_X_X_K]

①ad；②bd；③cd；④cd中有可能成立的的序号是 .（写出所有你认为正确的结论的序号）

11 已知函数f1(x)=21x, f2(x)=x+2,

(1)设y=f(x)=]1,0[ ),(3)0,1[ ),(21xxfxxf，试画出y=f(x)的图像并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；

(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数a的范围

(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，21］，求b的值

12．A是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x组成的集合：①对任意]2,1[x，都有)2,1()2(x ； ②存在常数)10(LL，使得对任意的]2,1[,21xx，都有

|||)2()2(|2121xxLxx

（1）设]4,2[,1)(3xxx，证明：Ax)(

（2）设Ax)(,如果存在)2,1(0x,使得)2(00xx,那么这样的0x是唯一的;

（3）设Ax)(,任取)2,1(lx,令,,2,1),2(1nxxnn证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式||1||121xxLLxxkklk。

用心 爱心 专心 点拨与全解：

1．解：令21xy得1x，同理令24xy得2x，四个元素2,2,1,1构成值域为4,1的函数的定义域有2,1,2,1,2,1,2,1，,2,2,1,2,1,1,2,1,1

2,2,1，2,2,1,1。共9个，选B。

2．解：记31)21()(xxfx，因0)31()21()31(3131f，0)21()21()21(3121f，故选B。

3．解：由条件得：1162310023aaaaa3283a，故选C。

4．解：因数列na是公比为m的等比数列，所以2008421004200731aaamaaa

)(log)()()(220082221220082221aaaafafafm

210042200842]1)[(logmaaam2008842008)(log4200842aaam=1976，