人教A版高中数学选修2-2课件：1.1.1变化率问题(共23张PPT)

第一章 导数及其应用

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

§1.1.3 导数的几何意义

§1.2 导数的计算

§1.2.1 几个常用函数的导数

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

§1.3 导数在研究函数中的应用

§1.3.1 函数的单调性与导数

§1.3.2 函数的极值与导数

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数

§1.4 生活中的优化问题举例

§1.5 定积分的概念

§1.5.1 曲边梯形的面积

§1.5.2 汽车行驶的路程

§1.5.3 定积分的概念

§1.6 微积分基本定理

§1.7 定积分的简单应用

§1.7.1 定积分在几何中的应用

§1.7.2 定积分在物理中的应用

章末整合提升 章末达标测试

第二章 推理与证明

§2.1 合情推理与演绎推理

§2.1.1 合情推理

§2.1.2 演绎推理

§2.2 直接证明与间接证明

§2.2.1 综合法和分析法

§2.2.2 反证法

§2.3 数学归纳法

章末整合提升

章末达标测试

第三章 数系的扩充与复数的引入

§3.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.2 复数的几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算

§3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算

章末整合提升

章末达标测试

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§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

[课标要求]

1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点)

2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)

3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)

一、函数平均变化率

如果函数关系用y＝f(x)表示，那么变化率可用式子f（x2）－f（x1）x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是平均变化率可以表示为ΔyΔx．

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1.1 变化率与导数

第1课时 变化率问题、导数的概念

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P2～P6的内容，回答下列问题．

(1)气球膨胀率

气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝ 33V4π.

①当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？

提示：r1－r01－0≈0.62(dm/L)．

②当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？

提示：r2－r12－1≈0.16(dm/L)．

③当空气容量从V1 增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？

提示：rV2－rV1V2－V1.

(2)高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：S)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. 2 ①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v是多少？

提示：v＝h0.5－h00.5－0＝4.05(m/S)．

②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？

提示：v＝h2－h12－1＝－8.2(m/S)．

③在t1≤t≤t2这段时间里， 运动员的平均速度 v又是多少？其中t1

提示：v＝ht2－ht1t2－t1.

2．归纳总结，核心必记

(1)函数的平均变化率

对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子fx2－fx1x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．

习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为ΔyΔx.

人教版高中数学选修2-2：1.1.1变化率问题讲案（教师用）

1 / 2 课题：

1.1.1 变化率问题

【学习目标】

(1)了解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．

(2)知道函数的瞬时变化率的概念．(3)掌握与理解导数的定义和物理意义

第一环节：导入学习

1 函数的平均变化率 ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1

注意：①平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1＝f（x1＋Δx）－f（x1）Δx，式子中Δx、Δy的值可正、可负，但Δx的值不能为0，而Δy的值可以为零，若函数f(x)为常数函数，此时Δy＝0.②平均变化率的几何意义是函数曲线上两点割线的斜率，即ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1＝kAB，其中点A(x1，f(x1))，点B(x2，f(x2))，如图.

2 求函数f(x)的平均变化率的步骤

(1)求函数增量：Δy＝f(x2)－f(x1) (2)求平均变化率：ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1

3 平均速度

重点1 理解函数的平均变化率的概念和几何意义．重点2 会求函数的平均变化率．

重点3 求物体运动的平均速度的步骤：

(1)求位移增量Δs＝s(t＋Δt)－s(t)；(2)求平均速度v＝ΔsΔt；(3)求错误!未指定书签。 ΔsΔt＝错误!未指定书签。 s（t＋Δt）－s（t）Δt；错误!未指定书签。.

第二环节：自主学习

1(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2②1③0.1④0.01.

(2)思考：当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？

解：(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx，∴ΔyΔx＝（Δx）2＋2ΔxΔx＝Δx＋2.

①当Δx＝2时，ΔyΔx＝Δx＋2＝4；②当Δx＝1时，ΔyΔx＝Δx＋2＝3；

1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念

[目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数．

[重点] 理解导数的概念．

[难点] 理解导数与瞬时变化率的关系．

知识点一 平均变化率

[填一填]

1．平均变化率的定义

对于函数f(x)，当自变量x从x1变到x2时，函数值从f(x1)变到f(x2)，则称式子fx2－fx1x2－x1为函数f(x)从x1到x2的平均变化率．

2．符号表示

习惯上，自变量的改变量用Δx表示，即Δx＝x2－x1，函数值的改变量用Δy表示，即Δy＝f(x2)－f(x1)，于是平均变化率可以表示为ΔyΔx.

3．平均变化率的几何意义

如图所示，函数f(x)的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率．事实上，kAB＝yA－yBxA－xB＝fx2－fx1x2－x1＝ΔyΔx.根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率．

[答一答]

1．若函数在某区间上的平均变化率为零，能否说明此函数在此区间上的函数值都相等？

提示：不能．比如，f(x)＝x2在[－2,2]上的平均变化率为0，但其图象在[－2,2]上先下降后上升，值域是[0,4]．

2．一次函数f(x)＝ax＋b从x1到x2的平均变化率有什么特点？

提示：一次函数的图象为直线，图象上任意两点间连线的斜率固定不变，故一次函数定义域内的任意两个自变量之间的平均变化率等于常数a.

知识点二 导数的概念

[填一填]

1．导数的定义

一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0

fx0＋Δx－fx0Δx，称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．

2．导数的符号表示

用 f′(x0)或y′|x＝x0表示函数f(x)在x＝x0处的导数，即f′(x0)＝limΔx→0