2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-23题含详解
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专题2020分类汇编-23题
专题一相似三角形之等量代换【知识梳理】
【历年真题】
1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB
的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．
（1）求证：∠D＝∠CEF；
（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．
2（2019秋•浦东新区期末）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠
ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：AB•AD＝DF•BC；
（2）如果AE∥BC，求证：BDDFDCFE．3．（2019秋•长宁区、金山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，
AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．
（1）求证：∠AFD＝∠AEC；
（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．
4．（2019秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，点
E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2＝OB•OE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果BC＝BD，AE•AF＝AD•BF，求证：△ABE∽△ACD．
5．（2019秋•青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与
AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG⋅FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．
6．（2019秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC＝∠B，
点E在边AD上，CE＝CD．
（1）求证：ACBDABAD；（2）求证：AC2＝2AE•AD．
7．（2019秋•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC
上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得BDADDEDC，联结CE．求证：
（1）∠ECD＝2∠BAM；
（2）BF是DF和EF的比例中项．
8．（2019秋•嘉定区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE
∥BC，∠ABE＝∠C．
（1）求证：BE2＝DE•BC；
（2）当BE平分∠ABC时，求证：BDAEBEAB．
专题二相似三角形之面积比
【知识梳理】
【历年真题】
1．（2019秋•黄浦区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB
的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．
（1）求证：AD•DE＝AB•BF；
（2）联结AC，如果CFACDECD，求证：22ACAFBCBF．
2．(2019秋•黄浦区期末)已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，S△AOD=S△BOC·(1)求证：DOCOOBOA；
(2)设ΔOAB的面积为S，CDAB=k，求证：S四边形ABCD=(k+1)2S.
专题三相似三角形综合题
【知识梳理】
【历年真题】
1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC的中点，
联结AD．过点C作CE⊥AD于点E，联结BE．
（1）求证：BD2＝DE•AD；
（2）如果∠ABC＝∠DCE，求证：BD•CE＝BE•DE．
2．（2019秋•闵行区期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联
结CE交BD于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE
于点G．
求证：（1）CE⊥AB；
（2）AF•DE＝AG•BC．
3．（2019秋•崇明区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，E是AD边上一点，连接BE，过点D作DF⊥BE，垂足为F，且AE•DF＝EF•CD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．
求证：（1）∠EAF＝∠DCF；
（2）AF•BD＝AC•DF．
4．（2019秋•松江区期末）已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且
DE∥AB，CD2＝CF•CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．
5．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别在AB、AC、BC上，
AB＝3AD，CE＝2AE，BF＝FG＝CG，DG与EF交于点H．
（1）求证：FH•AC＝HG•AB；
（2）联结DF，EG，求证：∠A＝∠FDG+∠GEF．专题2020分类汇编-23题
专题一相似三角形之等量代换
【历年真题】
1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB
的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．
（1）求证：∠D＝∠CEF；
（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据CE2＝DE•CF且∠DEC＝∠ECF可证明△CDE∽△CEF，即可得结论；
（2）根据AC平分∠ECF，AD∥BC，可得∠EAC＝∠ECA，进而得E＝EC，再证明△CGE∽△CAB，对应边成比
例即可．
【解答】（1）证明：∵CE2＝DE•CF，即CECFDECE
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECF，
∴△CDE∽△CEF，
∴∠D＝∠CEF．
（2）如图所示：
∵AC平分∠ECF，∴∠ECA＝∠BCA，
∵∠D＝∠CEF，∠D＝∠B，∴∠CEF＝∠B，∴△CGE∽△CAB，∴CGCEACCB，
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠ECA＝∠DAC，∴AE＝CE，∴CGAEACCB，即AC•AE＝CB•CG．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用平行四边形的性质、
相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质．2（2019秋•浦东新区期末）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠
ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：AB•AD＝DF•BC；
（2）如果AE∥BC，求证：BDDFDCFE．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠C，由已知∠ADE＝∠B，证明△ABC∽△FDA，得出ABBCDFAD，
即可得出结论；
（2）由三角形的外角性质得出∠CDF＝∠BAD，由平行线的性质得出∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，证出∠BAD＝
∠E，证明△ABD∽△EDA，得出BDADADAE，证出∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥
AE于N，则FM＝FN，求出ADFDF=AEFADEFAE△的面积△的面积，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，∴△ABC∽△FDA，∴ABBCDFAD，
∴AB•AD＝DF•BC；
（2）证明：∵∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠CDF＝∠BAD，
∵AE∥BC，∴∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，
∴∠BAD＝∠E，
又∵∠ADE＝∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BDADADAE，
∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，
∴∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，
作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM＝FN，∵1ADFDF2=1AEF2ADFMADEFAEAEFN△的面积△的面积，∴BDDFDCFE．
方法二：∵∠B＝∠ADE，∠BAD＝∠CDF＝∠E，∴△ABD∽△EDA，∴ADBDAEAD，
∵DA＝DC，∴BDADCDCDAEAE①，
又∵AE∥BC，∴△DFC∽△EFA，∴CDDFAEFE②，
由①②得：BDDFDCFE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线
的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．
3．（2019秋•长宁区、金山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，
AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．
（1）求证：∠AFD＝∠AEC；
（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；
（2）先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴ABACAEAF，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，
∴∠AEB＝∠AFC，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，
∴∠AEC＝∠AFD；
（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，∴CE＝CF，∵DC∥EG，∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，
∴△BDC∽△GCE，∴BDGCGCDCCECF，
∴CD•CG＝FC•BD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．
4．（2019秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，点
E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2＝OB•OE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果BC＝BD，AE•AF＝AD•BF，求证：△ABE∽△ACD．
【考点】相似三角形的判定；平行四边形的判定与性质；梯形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；梯形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由已知得出OEODODOB，由平行线得出△AOD∽△COB，得出OAODOCOB，证出OAOEOCOD，得出
AF∥CD，即可得出结论；
（2）由平行线得出∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，得出BEBFBDBC，证出∠AEB＝∠ADC．由已知得出
AEADBFAF，由平行四边形的性质得出AF＝CD，得出AEADBEDC，由相似三角形的判定定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵OD2＝OE•OB，∴OEODODOB，
∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴OAODOCOB∴OAOEOCOD
∴AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）证明：∵AF∥CD，
∴∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，∴BEBFBDBC，
∵BC＝BD，
∴BE＝BF，∠BDC＝∠BCD，∴∠AED＝∠BCD．
∵∠AEB＝180°﹣∠AED，∠ADC＝180°﹣∠BCD，∴∠AEB＝∠ADC．
∵AE•AF＝AD•BF，∴AEADBFAF，
∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF＝CD，∴AEADBEDC，
