什么是正投影

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29.1 投影

第2课时 正投影

1．理解正投影的概念；(重点)

2．归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．(难点)

一、情境导入

观察下图，这三个图分别表示同一块三角尺在阳光照射下形成的投影，其中图①与图②③的投影线有什么区别？图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别？

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二、合作探究

探究点：正投影

【类型一】 确定正投影的形状

如图所示，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )

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解析：依题意，光线是垂直照下的，故只有D符合．故选D.

方法总结：当投影面垂直于入射光线时，球体的投影是圆形，否则为椭圆形．若投影面不是平面，则投影形状要复杂得多．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题

【类型二】 物体与其正投影的关系

木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定( )

A．大于1.2m B．小于1.2m

C．等于1.2m D．小于或等于1.2m

解析：正投影的长度与木棒的摆放角度有关，但无论怎样摆都不会超过1.2 m．故选D.

方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型三】

画投影面上的正投影

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画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．

解析：第一个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形，第二个图投影线从上方射向下方的正投影也是长方形，第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心．

解：如图所示：

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方法总结：在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

探究点二：正投影的综合应用

ｉ　ｊｌ８Ｉ！Ｉ｝　—ａ—　Ｅ　：ｄ　ｕ。！ｃ。！ｓ—ｔｌｏｎ．　。　。　。　Ｈｅｒａｌｄ　

机械制图　正投影投影关系的实质与应用　

付饶　（绵阳职业技术学院　四川绵阳　６２１　０００）　职业技术研究　

摘　要：本文重点论述了正投影俯视图、左视图之间的“宽相等”投影关系的实质。“宽相等”投影关系的实质为空中的一个点到某个　

正平面的距离在Ｈ面上的投影等于谊距离在ｗ面上的投影。要点就是要找出一个正平面来做参照平面并求儆空间点到谊平面的距离相等。　在实际绘图过程中需注意保证作图方向的一致性及参照平面的同一性。　

关键词：正投影　宽相等　参照平面　距离相等　中图分类号：Ｐ２　０　５　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７　３－９７９５（２０１　ｏ）０８（ａ）－０１８４－－０１　

投影线平行且垂直于投影面的投影方　

法称之为正投影，正投影是《机械制图》课程　

中规定的投影方法。该投影方法的投影规律　

为：主视图、俯视图　对正，主视图、左视　

图　平齐，俯视图、左视图＿宽相等。　

无论是点、线、面，还是复杂的实体，都必须　

遵守这一投影规律。而“宽相等”投影关系实　

质的理解及应用是其中的难点。　

点是画图的基础，我们常常以点为例　

讲解投影关系，在正投影三面投影体系中　

“宽相等”的投影关系如图ｌ（ｂ）所示。在该图　

中，我们是通过ＹＨ轴与Ｙｗ轴之间的４５。线　

为参照线，利用几何作图法来保证点的俯　

视图和左视图之间“宽相等”。用这种几何　

作图法来保证“宽相等”容易掌握，但长此　

以往则会造成对坐标系及４５。线的依赖，大　

大降低绘图的效率。下面我就重点阐述一　

下“宽相等”投影关系的实质。　

Ｘ　

Ｘ　（ａ）　

Ｚ　

Ｙ　Ｘ　

图１　在正投影中我们把分别平行于ｘ轴、Ｙ　

轴（ＹＨ轴和Ｙｗ轴）、Ｚ轴的尺寸定义为长、　

宽、高。在图１（ｂ）中，我们看出空间点Ａ的俯　

视图ａ到ｘ轴的距离等于该点的左视图ａ　到　

Ｚ轴的距离，ｌｌＰａａｘ＝ａ　ａｚ，由图１（ａ）几何关系　

知它们都等于空间点Ａ到正面Ｖ的距离。我　

初三数学正投影定义及特性的知识点_正投影的特性

1、正投影

如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面。像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

(1)线段的正投影分为三种情况。如图所示。

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；

②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；

③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点。

(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示。

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；

②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似。

③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分。

(3)立体图形的正投影。

物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等。

要点诠释：

(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影。

(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影。

(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的。

感谢您的阅读！

29.1 投影

第2课时 正投影

【学习目标】

（一）知识技能：

1.进一步了解投影的有关概念。

2.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。

（二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念。

（三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。

（四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。

【学习重点】

能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。

【学习难点】

归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。

【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。

【学习过程】

【知识回顾】

正投影的概念：投影线 于投影面产生的投影叫正投影。

【自主探究】

活动1

出示探究1

如图29.1—7中，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置：

（1） 铁丝平行于投影面；

（2） 铁丝倾斜于投影面：

（3） 铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）。

三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？

ABABABPA*B*A*B*A*(B*) 通过观察、讨论可知：

（1）当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB

A1B1；

（2）当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB

A2B2；

（3）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是 。

设计意图：用细铁丝表示一条线段，通过实验观察，分析它的正投影简单直观，易于发现结论。

活动2

如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置：

(1) 纸板平行于投影面；

(2) 纸板倾斜于投影面；

(3) 纸板垂直于投影面。

三种情形下纸板的正投影各是什么形状？ DQABCDA*B*C**ABCDA*B*C*D*ABCDA*(B*)D*(C*)(1)(2)(3) 通过观察、讨论可知：