圆的对称性习题(有答案)

《圆的对称性》习题一、选择题1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A.正方形B.平行四边形C.等腰梯形D.圆3.如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A.51°B.56°C.68°D.78°第3题图第4题图第5题图4.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B＝（）A.150°B.75°C.6°D.15°5.如图，AB是⊙O直径，C、D在直径AB的同旁，连接AD、DC、BC，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（）A.5π cmB. 6πcmC.9πcmD.8π cm二、填空题6.如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是BC弧的中点，则∠ACD＝________.第6题图第7题图第8题图7.如图，已知AB是⊙O直径，点C、D在⊙O上，且BC＝BD，∠BOC＝60°，则∠COD的度数是______度.8.如图，若∠1＝∠2，那么AB与BC________相等.（填一定、一定不、不一定）.9.弦AB分圆为1：5两部分，则劣弧AB所对的圆心角等于________度.三、解答题10.如图，在⊙O中，CD为⊙O直径，AC＝BC，点E为OD上任意一点（不与O、D 重合）.求证：AE＝BE.11.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC与AB分别交于E、F，且AE＝BF.求证：AC＝BD.12.如图，已知AB、CD是⊙O直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.（1）求证：BE＝DF；（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）.。

圆的对称性参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2008•台湾）如图，AD为圆O的直径．甲、乙两人想在圆上找B，C两点，作一个正三角形ABC，其作法如下：甲：1．作OD中垂线，交圆于B，C两点，2．连AB，AC，△ABC即为所求．乙：1．以D为圆心，OD长为半径画弧，交圆于B，C两点，2．连AB，BC，CA，△ABC即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误C．甲正确、乙错误D．甲错误、乙正确【分析】根据垂径定理和等边三角形的判定求解．【解答】解：甲的作图：BC是OD的中垂线，则在直角△OBE中，OE=OB，则∠OBE=30°，∠BOE=60°，∠BOC=120°，∴∠BAC=60°．根据条件易证AB=AC，则△ABC是等边三角形．乙的作图：连接BD，则△OBD是等边三角形．因而∠BAD=30°，∠BAC=60°．根据条件易证AB=AC，则△ABC是等边三角形．所以甲乙皆正确，故选A．【点评】AD经过圆心，则AD所在的直线是本题图形的对称轴．2．（2013•陕西校级一模）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，则弦CD的长为（）A．8cm B．4cm C．2D．2【分析】先过点O作OM⊥CD，连结OC，根据垂径定理得出CD=2CM，再根据AE=6cm，EB=2cm，求出AB，再求出OC、OB、OE，再根据∠CEA=30°，求出OM=OE=×2=1，根据CM=，求出CM，最后根据CD=2CM即可得出答案．【解答】解：过点O作OM⊥CD，连结OC，则CD=2CM，∵AE=6cm，EB=2cm，∴AB=8cm，∴OC=OB=4cm，∴OE=4﹣2=2（cm），∵∠CEA=30°，∴OM=OE=×2=1（cm），∴CM===，∴CD=2．故选：C．【点评】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、30°角的直角三角形，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．3．（2013•洛阳模拟）如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，AB是过E的⊙O的最长弦，根据勾股定理和垂径定理求出CD=6，得出弦的长度为6（1条），7、8、9（都有2条），10（1条），即可得出答案．【解答】解：∵AB=10，∵OB=OA=OC=5，过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，∵OB⊥CD，∴∠CEO=90°，由勾股定理得：CE===3，∵OE⊥CD，OE过O，∴CD=2CE=6，∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，故选C．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．4．（2015秋•盐城校级期末）如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“1”和“4”（单位：cm），则该圆的半径为（）A．5cm B．cm C．cm D．cm【分析】根据题意可知，圆内的弦长为3cm，作出弦的弦心距，根据垂径定理和勾股定理，可以求出圆的半径．【解答】解：如图示，连接OA，根据题意知，PC=2cm，OP⊥AB，∴AP=BP，∵AB=3cm，∴AP=cm，在Rt△AOP中，设OA=x，则0P=x﹣2，根据勾股定理得，+（x﹣2）2=x2，解得，x=．故选C．【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．5．（2010•西藏）如图，⊙O的直径CD⊥弦AB于点P，且点P为OD的中点，已知AB=2，则CD的值为（）A．2 B．4 C．D．【分析】连接OA，由CD垂直于AB，利用垂径定理得到P为AB的中点，求出AP的长，设OA=OD=x，由P为OD中点，得到OP为x，在直角三角形AOP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，进而求出CD的长．【解答】解：连接OA，∵CD⊥AB，∴P为AB的中点，∴AP=AB=，∵P为AB的中点，∴OP=PD=OD，在Rt△AOP中，OA=x，OP=x，根据勾股定理得：OA2=OP2+AP2，即x2=x2+3，即x2=4，解得：x=2，则CD=4．故选B【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．6．（2013•本溪）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（）A．2 B．C．2D．【分析】先过O作OC⊥AP，连结OB，根据OP=4，∠APO=30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，即可求出AB的值．【解答】解：过O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP=4，∠APO=30°，∴OC=sin30°×4=2，∵OB=3，∴BC===，∴AB=2；故选A．【点评】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含30度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．7．（2009•广元）如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，则圆心P的坐标为（）A．（5，﹣4）B．（4，﹣5）C．（4，﹣7）D．（5，﹣7）【分析】由M（0，﹣4），N（0，﹣10），即可得MN的值，然后连接PM，过点P作PE⊥MN于E，根据垂径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标．【解答】解：∵M（0，﹣4），N（0，﹣10），∴MN=6，连接PM，过点P作PE⊥MN于E，∴ME=NE=MN=3，∴OE=OM+EM=4+3=7，在Rt△PEM，PE===4，∴圆心P的坐标为（4，﹣7）．故选C．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理的知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．二．填空题（共1小题）8．（2015•黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC=2，∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=2+．故答案为：2+．【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．三．解答题（共17小题）9．（2007•双柏县）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半径．【分析】（1）AB是⊙O的直径，则AB所对的圆周角是直角，BC是弦，OD⊥BC于E，则满足垂径定理的结论；（2）OD⊥BC，则BE=CE=BC=4，在Rt△OEB中，由勾股定理就可以得到关于半径的方程，可以求出半径．【解答】解：（1）不同类型的正确结论有：①BE=CE；②弧BD=弧DC；③∠BED=90°；④∠BOD=∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2+BE2=OB2；⑧S△ABC=BC•OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC…（2）∵OD⊥BC，∴BE=CE=BC=4，设⊙O的半径为R，则OE=OD﹣DE=R﹣2，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OE2+BE2=OB2，即（R﹣2）2+42=R2，解得：R=5，∴⊙O的半径为5．【点评】本题主要考查了垂径定理，求圆的弦，半径，弦心距的长问题可以转化为解直角三角形的问题．10．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．【分析】可通过构建直角三角形进行求解．连接OA，OC，那么OA⊥BC．在直角三角形ACD中，有AC，CD的值，AD就能求出了；在直角三角形ODC中，用半径表示出OD，OC，然后根据勾股定理就能求出半径了．【解答】解：连接OA交BC于点D，连接OC，OB，∵AB=AC=13，∴=，∴∠AOB=∠AOC，∵OB=OC，∴AO⊥BC，CD=BC=12在Rt△ACD中，AC=13，CD=12所以AD=设⊙O的半径为r则在Rt△OCD中，OD=r﹣5，CD=12，OC=r所以（r﹣5）2+122=r2解得r=16.9．答：⊙O的半径为16.9．【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的综合运用．11．（2013秋•章丘市校级月考）（1）如图1，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若AB=10，CD=8，求AE的长．（2）如图2，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长度．【分析】（1）根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．（2）先过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠COP，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．【解答】解：（1）∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．∴CE=CD=4．在直角△OCE中，OE===3．则AE=OA﹣OE=5﹣3=2；（2）如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠COP，∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，又∵PC=4，∴PE=PC=×4=2，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=2．【点评】此题考查了垂经定理和30°角的直角三角形，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、直角三角形中0°角所对的直角边等于斜边的一半，关键是作辅助线构造出含30°的直角三角形．12．（2015秋•湖南月考）如图是以定长AB为直径的⊙O，CD为上的一条动弦（点C与A，点D与B不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．（1）求证：AF=BE；（2）若弦CD的长度保持不变，四边形CDEF的面积是否也保持不变？并请说明理由．【分析】（1）作OM⊥CD于M，根据垂径定理得到CM=DM，根据平行线等分线段定理证明结论；（2）根据梯形中位线定理和梯形的面积公式解答即可．【解答】（1）证明：作OM⊥CD于M，则CM=DM，∵CF⊥CD，DE⊥CD，OM⊥CD，∴CF∥OM∥DE，又CM=DM，∴OF=OE，又OA=OB，∴OA﹣OF=OB﹣OE，即AF=BE；（2）∵弦CD的长度保持不变，∴弦心距OM的长度保持不变，由（1）得，OM是梯形CDEF的中位线，∴OM=（CF+DE），∵四边形CDEF的面积=OM×CD，∴四边形CDEF的面积保持不变．【点评】本题考查的是垂径定理、梯形中位线定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．13．（2015秋•富顺县月考）已知：在⊙O中，M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM ⊥OA，DN⊥OB．求证：．【分析】首先连接OC，OD，由M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB，易证得Rt△OMC≌Rt△OND（HL），继而证得∠MOC=∠NOD，然后由圆心角与弧的关系，证得结论．【解答】证明：连接OC，OD，则OC=OD，∵M、N分别是半径OA、OB的中点，∴OM=ON，∵CM⊥OA，DN⊥OB，∴∠OMC=∠OND=90°，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴∠MOC=∠NOD，∴．【点评】此题考查了圆心角与弧的关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．14．（2013秋•包河区期末）如图，在⊙O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为E，连接OB、AD，∠ADC=30°，弦AB=2．（1）求∠BOC的度数；（2）求CE的长．【分析】（1）先根据垂径定理得出=，再由∠ADC=30°求出∠BOC的度数即可；（2）在Rt△OBE中，根据BE=，∠BOC=60°可得出OB及OE的长，进而可得出CE的长．【解答】解：（1）∵弦AB垂直于直径CD，∠ADC=30°，∴=，∴∠BOC=2∠ADC=60°；（2）∵AB⊥CD，AB=2，∴BE=AB=．∵由（1）知，∠BOC=60°，∴OB===2，OE===1，∴CE=2﹣1=1．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．15．（2013秋•仙游县月考）已知如图（1），AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，OE⊥AC 于E，猜想OE与BD的数量关系是BD=2OE．探索：①若：AB不是⊙O的直径，其他的条件不变[如图（2）]则（1）中的结论是否成立？如果成立，请给予证明，不成立，请说明理由．②若：AB，CD的位置关系不变，但其交点在⊙O外[如图（3）]，则上述结论还成立吗？请说明你的判断依据．【分析】（1）首先连接BC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，可得BC=BD，又由OE⊥AC，易得OE是△ABC的中位线，继而证得BD=2OE；（2）①首先连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，易得OE是△ACF的中位线，则可得CF=2OE，又由圆周角定理与弧与弦的关系，可证得BD=CF，继而证得结论；②首先连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，易得OE是△ACF的中位线，则可得CF=2OE，又由圆周角定理与弧与弦的关系，可证得BD=CF，继而证得结论．【解答】解：（1）连接BC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，∴BC=BD，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∵AO=BO，∴BC=2OE，∴BD=2OE．故答案为：BD=2OE．（2）①成立．理由：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∵OA=OF，∵CF=2OE，∵AF是直径，∴∠ACF=90°，∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∵∠ACH+∠DCF=90°，∴∠CAH=∠DCF，∵∠CAH=∠CDB，∴∠DCF=∠CDB，∴=，∴=，∴CF=BD，∴BD=2OE．②成立．理由：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∵OA=OF，∵CF=2OE，∵AF是直径，∴∠ACF=90°，∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∵∠ACH+∠DCF=90°，∴∠CAH=∠DCF，∵∠CAH=∠CDB，∴∠DCF=∠CDB，∴=，∴=，∴CF=BD，∴BD=2OE．【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧与弦的关系以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．16．（2009秋•和县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CE⊥AB于E，连接AC、BC．若BE=2，CD=8，求AB和AC的长．【分析】根据垂径定理得到CE的长，再根据勾股定理得到关于半径的方程，从而求得AB 的长；进一步求得AE的长，从而根据勾股定理求得AC的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED=4．设⊙O的半径为r，OE=OB﹣BE=r﹣2．在Rt△OEC中，OE2+CE2=OC2，即（r﹣2）2+16=r2，解得r=5．∴AB=10．又CD=8，∴CE=DE=4，∴AE=8．∴AC=．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．17．（2010秋•常州期末）如图，⊙O的半径为6，点C在⊙O上，将圆折叠，使点C与圆心O重合，折痕为AB且点A、B在⊙O上，E、F是AB上两点（点E、F不与点A、B重合且点E在点F的右边），且AF=BE．（1）判定四边形OECF的形状；（2）当AF为多少时，四边形OECF为正方形？【分析】（1）四边形OECF为菱形，连接OC，交AB于点D，先由折叠的性质得到OD=CD，且OC垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，利用等式的性质得到FD=ED，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到OEFC为平行四边形，再由FD=ED，且OD 垂直于EF，得到OE=OF，即可得到四边形OECF为菱形；（2）四边形OEFC要为正方形，必须FD=ED=OD=CD，由半径求出OD的长，得到DF的长，在直角三角形AOD中，利用勾股定理求出AD的长，由AD﹣DF即可求出此时AF的长．【解答】解：（1）四边形OEFC为菱形，理由为：连接OC，交AB于点D，由折叠的性质得到OD=CD，OC⊥AB，则D为AB的中点，即AD=BD，∵AF=BE，∴AD﹣AF=BD﹣BE，即FD=ED，∴四边形OEFC为平行四边形，∵FD=ED，OD⊥EF，∴OE=OF，则四边形OEFC为菱形；（2）∵OD=DC=OC=3，∴在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AD==3，要使四边形OEFC为正方形，必须FD=OD=3，则此时AF=AD﹣FD=3﹣3．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形、菱形、正方形的判定，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．18．（2009秋•自贡校级期中）如图，已知：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C 的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x2+4（c+2）=（c+4）x的两个根，点D是以C为圆心，CB为半径的圆与AB的交点．（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）若，求AB的长；（3）在（2）的条件下求AD长．【分析】（1）由韦达定理可求得a+b、ab的值，然后证a2+b2=c2，由勾股定理来判定△ABC 是直角三角形；（2）可根据a、b的比例关系，用未知数设出a、b的长，进而可表示出c的值；由韦达定理知：a+b=c+4，由此可求得未知数的值，进而可求出a、b、c的值，也就得出了AB的长．（3）欲求AD，需先求出BD；可过C作CE⊥BD于E，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求出CE的长，在Rt△BCE中，根据勾股定理，可求出BE的值；由垂径定理知BD=2BE，由此可求出BD的长，由此得解．【解答】（1）证明：依题意，得a+b=c+4，ab=4（c+2）（1分）∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（c+4）2﹣2×4（c+2）=c2+8c+16﹣8c﹣16=c2∴△ABC是直角三角形．（3分）（2）解：设a=3k，b=4k，从而c=5k（k＞0）．代入a+b=c+4，得k=2；∴a=6，b=8，c=10．（5分）（3）解：过C作CE⊥AB于E．则CE==，BE===；由垂径定理，得BD=2BE=；故AD=10﹣BD=10﹣7.2=2.8．（9分）【点评】此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、直角三角形的判定和性质、垂径定理等知识．19．（2008秋•苏州期末）如图，一车轱辘⊙O抵住高为10cm的路沿AB，此时发现轮胎与地面的接触点C与路沿下端B的距离恰好为30cm（∠ABC=90°），请你利用已学的知识，求出车轱辘的直径．【分析】将实际问题转化为关于圆的问题解答．【解答】解：连接OC，则OC⊥BC，过A作AD⊥OC于D，则可得矩形ABCD，且有AD=BC=30cm，DC=AB=10cm，连接OA，设⊙O半径为xcm，在Rt△OAD中，由勾股定理得方程，（x﹣10）2+302=x2，解得，x=50，∴2x=100，答：车轱辘的直径为100cm．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径的计算的问题，常把半弦长，弦心距转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．20．（2008秋•黄冈校级月考）2008年北京奥运会圆了所有中国人的百年奥运梦，开幕式上奇特的点火式为世界所震惊．（图中为奥运会中所用的圣火盆），其中圣火盆高120cm，盆体深20cm，立柱高110cm，CD=60cm．试求盆口圆的直径AB．【分析】这道题虽然数据复杂，借助图形，在Rt△OFD中运用勾股定理求出OF的值．再次运用勾股定理在Rt△OPB中求出PB的值，最后求得AB的值．【解答】解：如图作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点P，交狐AB于E，连接OB、OD设⊙O的半径为r，依题意可知：PF=120﹣110=10cm，EF=20﹣10=10（cm），DF=CD=30cm．在Rt△OFD中，OD=r，OF=r﹣10，DF=30，∴r2=（r﹣10）2+302∴r=50cm在RT△OPB中OB=50，OP=50﹣20=30．∴BP=cm∴AB=2BP=80cm即盆口圆的直径AB=80cm．【点评】借助图形，分析好题所给的数据，把问题转化在直角三角形中得出问题处理的方法．21．（2006秋•宝山区期末）已知：⊙O中，OB、OC是半径，DF⊥OC于F，AE⊥OB于E，若AB=CD，求证：AE=DF．【分析】连接OA、OD，根据AB=CD可得出∠AOB=∠COD，结合圆的性质可证明△AOE ≌△DOF，继而可得出结论．【解答】证明：连接OA、OD，∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∵AE⊥OB，DF⊥OC，∴∠OEA=∠OFD=90°，又∵OA=OD，∴△AOE≌△DOF，∴AE=DF．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质及圆心角、弦、弧的关系，难度一般，解答本题的关键是得出∠AOB=∠COD．22．（2005秋•静安区期末）已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC．【分析】（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，根据AB=CD可知OE=OF，进而可知PO平分∠BPD；（2）先根据全等三角形的判定定理得出Rt△POE≌Rt△POF，再由垂径定理可得出AE=CF，再根据PE﹣AE=PF﹣CF即可得出结论．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，∵AB=CD，∴OE=OF，∴PO平分∠BPD；（2）在Rt△POE与Rt△POF中，∵OP=OP，OE=OF，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴PE=PF，∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足，∴AE=，CF=，∴AE=CF，∴PE﹣AE=PF﹣CF，即PA=PC．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质及角平分线的判定，涉及面较广，难度适中．23．（2004秋•奉贤区期末）如图，已知OE是⊙O的半径，F是OE上任意一点，AB和CD 为过点F的弦，且FA=FD．求证：AB=CD．【分析】首先连接OA，OD，作AB、CD的弦心距OM，ON，根据SSS可证得△AOF≌△DOF，即可得∠AFO=∠DFO，根据角平分线的性质，可证得弦心距OM，ON相等，然后根据同圆或等圆中，弦心距相等，则对应的弦相等，即可证得AB=CD．【解答】解：连接OA，OD，作AB、CD的弦心距OM，ON，（2分）∵OA=OD，FA=FD，OF=OF，∴△AOF≌△DOF，（1分）∴∠AFO=∠DFO，（1分）∴OM=ON，（1分）∴AB=CD．（1分）【点评】此题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．24．已知⊙O中，=．（1）如图1，求证：CO⊥AE；（2）如图2，CD⊥直径AB于D，若BD=1，AE=4，求⊙O的半径．【分析】（1）延长CO交AE于点D，再由垂径定理即可得出结论；（2）连接CO并延长交AE于点F，由垂径定理可知OF⊥AE，根据全等三角形的判定定理得出△OAF≌△OCD，故可得出OF的长，根据勾股定理即可求出OA的长．【解答】（1）证明：延长CO交AE于点D，∵=，CD过圆心，∴CO⊥AE；（2）设⊙O的半径为r，连接CO并延长交AE于点F，∵=，CF过圆心，AE=4，∴OF⊥AE，∴AF=AE=×4=2，∵CD⊥AB，∠AOF=∠COD，∴在△OAF与△OCD中，∵，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴OF=OD=r﹣1，∴在Rt△AOF中，OA2=AF2+OF2，即r2=22+（r﹣1）2，解得r=．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．25．如图，已知：AD是⊙O的直径，AB、AC是弦，且AB=AC．（1）求证：直径AD平分∠BAC；（2）若BC经过半径OA的中点E，F是的中点，G是中点，⊙O的半径为1，求GF的长．【分析】（1）根据全等或等腰三角形的性质即可得出AO⊥BC，AO平分BC．（2）求出∠AOC的度数，求出弧AC度数，分别求出弧CD、弧CF、弧DF、弧BF、弧GF的度数，求出∠GOF=90°，根据勾股定理求出即可．【解答】（1）证明：连接OB，OC，∵在△ABO和△ACO中，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO，∴直径AD平分∠BAC；（2）解：连接OG、OF，OC，∵BC过AO中点，∴AE=OE=OA=OC，∵AO⊥BC，∴∠OEC=90°，∴∠OCE=30°，∴∠AOC=60°，即弧AC度数是60°，∵AD为直径，∴弧CD的度数是180°﹣60°=120°，∵F为弧CD中点，∴弧CF的度数和弧DF的度数都等于60°，∵AO⊥BC，AO平分BC，∴弧BD的度数=弧CD的度数，是120°，∴弧BDF的度数是120°+60°=180°，∵G为弧BDF的中点，∴弧GF度数是90°，∴∠GOF=90°，∵OG=OF=1，∴由勾股定理得：GF==．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．。

第三章圆第二节圆的对称性精选练习一、单选题1．（2021·全国九年级课时练习）下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．【详解】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；B中，等弧所对应的弦相等，故选BC中，圆心角相等所对应的弦可能互补；D中，弦相等，圆心角可能互补；故选B【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．2．（2021·全国九年级课时练习）下列说法中，不正确的是（）A．圆是轴对称图形B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念并结合圆的特点判断各选项，然后求解即可．【详解】A 、圆是轴对称图形，正确；B 、圆的任意一条直径所在得直线都是圆的对称轴，正确；C 、圆的任一直径所在的直线都是圆的对称轴，错误；D 、经过圆心的任意直线都是圆的对称轴，正确，故选：C ．【点睛】本题主要是考查圆的特征、轴对称图形的特征，注意，语言要严密，不能说成圆的直径就是圆的对称轴，因为对称轴是一条直线，直径是线段．3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案.【详解】①直径是圆中最长的弦，故正确；②在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，故②错误；③圆是中心对称图形，故正确；④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故④错误，正确的有2个，故选：B.【点睛】此题考查圆的性质，正确掌握弦、等弧的定义，圆的对称性是解题的关键.4．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是半圆O 上不同于,A B 的一点，点D 为弧AC 的中点，连结,,OD BD AC ，设,CAB BDO b a Ð=Ð=，则（ ）．A ．a b=B ．290a b °+=C ．290a b °+=D ．45a b °+=【答案】C利用等腰三角形边角关系表示出∠AOD ，再根据同圆中平分弧平分弦垂直弦求出关系即可．【详解】解析 如图，设AC 与DO 交点为E ，连接BC ，OD OB = ，OBD BDO a \Ð=Ð=，2DOA OBD BDO a \Ð=Ð+Ð=，又D Q 为 AC 中点，AB 为O e 直径，,OD AC BC AC \^^，90AED ACB °\Ð=Ð=，90EAO EOA °\Ð+Ð=，即：290a b °+=．故选C ．【点睛】此题考查了垂径定理中同圆中平分弧平分弦垂直弦,等边对等角等有关知识点,难度一般．5．（2020·西安益新中学九年级期末）如图，AB 是O e 的直径，弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，36COD Ð=°，则AOE Ð的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．54°D ．72°【答案】D【分析】由弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，得36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°，即可求AOE Ð．解：∵弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，∴36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°，18036372AOE Ð=°-°´=°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系，解题关键是熟知在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．6．（2021·全国九年级课时练习）如图，已知：AB 是O e 的直径，C 、D 是 BE上的三等分点，60AOE Ð=o ，则COE Ð是（ ）A ．40oB ．60oC ．80oD ．120o【答案】C【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．【详解】∵∠AOE=60°，∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，∴»BE的度数是120°，∵C 、D 是»BE上的三等分点，∴弧CD 与弧ED 的度数都是40度，∴∠COE=80°，故选C.【点睛】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．熟练掌握圆周角定理是解题关键.7．（2021·全国九年级课时练习）如图，⊙O 中，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，F 为 CBD的中点，连接AF 、BF 、AC ，A F 交CD 于M ，过F 作FH ⊥AC ，垂足为G ，以下结论：① CFDF =；②HC ＝BF ：③MF ＝FC ：④ DF AH BF AF +=+，其中成立的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】解：∵F为CBD的中点，∴CF DF=，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴=，CF BF∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴+＝180°，AH CF∴+＝180°，CH AF∴+=+=+=+，故④正确，AH CF AH DF CH AF AF BF故选：C．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．8．（2019·武汉市梅苑学校九年级月考）如图AB 为⊙O 的定直径，过圆上一点C 作弦CD AB ^，OCD Ð的平分线交⊙O 于点P ，当点C （不包括A ，B 两点）在⊙O 上移动时，点P （ ）A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分弧DBD ．随C 点移动而移动【答案】B【分析】连OP ，由CP 平分∠OCD ，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，可得2=3,ÐÐ所以有//OP CD ，则OP ⊥AB ，即可得到OP 平分半圆APB ．从而可得答案．【详解】解：连OP ，如图，∵CP 平分∠OCD ，∴∠1=∠2，OC=OP ，\ ∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴//OP CD ，又∵弦CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴OP 平分半圆APB ，即点P 是半圆的中点．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，圆的对称性，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题9．（2021·全国九年级课时练习）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=BC，连结OB、OC，延长CO 交弦AB于D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为______________．【答案】【分析】如图1，当∠DOB=90°时，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到=；如图2，当∠ODB=90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC=AB=．【详解】如图1，当∠DOB =90°时，∴∠BOC=90°∴△BOC是等腰直角三角形∴=^如图2，当∠ODB=90°时，即CD AB∴ AD=BD∴ AC=BC∵ AB=BC∴△ABC是等边三角形∴∠DBO=30°∵ OB=5∴BD==∴ BC=AB=．综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．10．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，AD DE=，AB=5，BD=4，则cos∠ECB=__．【答案】3 5【分析】连接AD，BE，根据直径所对的圆周角是直角，构建两个直角三角形，再利用等弧所对的圆周角相等得：∠ABD=∠CBE，根据等角的余角相等得：∠ECB=∠DAB，最后利用等角的三角函数得出结论．【详解】解：连接AD， BE，AD DE=，∴EBC DBAÐ=Ð，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECB =∠DAB ．AB =5，BD =4 ，3AD \==， ∴3cos cos 5ECB DAB Ð=Ð=．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，余角的性质，以及勾股定理等知识．掌握圆周角的两个定理：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．这两个性质在圆的证明题中经常运用，要熟练掌握．11．（2021·全国九年级课时练习）如图，A 、D 是⊙O 上的两点，BC 是直径，若∠D ＝32°，则∠OAC ＝_______度．【答案】58【分析】根据∠D 的度数，可以得到∠ABC 的度数，然后根据BC 是直径，从而可以得到∠BAC 的度数，然后可以得到∠OCA 的度数，再根据OA=OC ，从而可以得到∠OAC 的度数．【详解】解：∵∠D=32°，∠D=∠ABC∴∠ABC=32°∵BC 是直径∴∠BAC=90°∴∠BCA=90°-∠ABC=90°-32°=58°∴∠OCA=58°∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠OAC=58°故答案为58．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．（2021·上海九年级专题练习）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为__________米．【答案】0.8或0.2.【分析】构造垂径定理，分两种情形求得弦心距，从而得到水深.【详解】如图所示，作AB 的垂直平分线，垂足为E ，根据题意，得 AO=0.5，AE=0.4，根据勾股定理，得，∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），∴水深为0.2米或0.8米.故答案为：0.2米或0.8.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解答时，构造垂径定理，活用分类思想是解题的关键.三、解答题13．（2021·全国九年级课时练习）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：AB CD=．【答案】证明见解析【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．【详解】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∵∠PAC12=∠BOC，∠PCA12=∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，∴AD BC=n n，∴AD BD BC BD-=-，即AB CD=．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．14．（2021·全国九年级课时练习）如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．求证：（1）AB＝CD；（2）AE ＝CE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）欲证明AB=CD ，只需证得 AB ＝ CD ；（2）连接AC ，由 AB ＝ CD得出∠ACB=∠CAD ，再由等角对等边即可证的AE ＝CE.【详解】证明：（1）∵AD ＝BC∴ AD ＝ BC∴ AD －AC ＝ BC － AC 即 AB ＝ CD∴AB ＝CD（2）连接AC∵ AB ＝ CD∴∠ACB ＝∠DAC∴AE ＝CE【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.15．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级期中）如图，在O e 中， AC CB=，CD OA ^于点D ，CE OB ^于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若120AOB Ð=°，2OA =，求四边形DOEC 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）如图，连接OC ，先证明,AOC BOC Ð=Ð再证明：,CDO CEO V V ≌从而可得结论；（2）由120AOB Ð=°，2OA =，求解60AOC Ð=°，再利用三角函数求解,OD CD ， 利用,CDO CEO V V ≌从而可得四边形的面积．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，AC BC= ， ,AOC BOC \Ð=Ð,,CD OA CE OB ^^90CDO CEO \Ð=Ð=°，,OC OC =(),CDO CEO AAS \V V ≌.CD CE \=（2）120,AOB Ð=60AOC BOC \Ð=Ð=°，2OA OC == ，1cos 6021,sin 6022OD OC CD OC \=°=´==°==g g ,CDO CEO V V ≌12212CDO CDOE S S \==´´=V 四边形【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，圆的基本性质，两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系定理，解直角三角形的应用，四边形的面积，掌握以上知识是解题的关键．。

圆的基本性质练习（含答案）圆的基本性质考点1 对称性圆既是__________ ①______ 对称图形，又是 _________ ②____ 对称图形。

任何一条直径所在的直线都是它的 _____ ③。

它的对称中心是_ ④ _____________________ 。

同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分_________ ⑤______ 并且平分弦所对的两条__⑥ __________ 。

常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于__________ ⑦ _______ ，并且平分弦所对的两条 _______ ⑧ ___________ 。

温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。

在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___________ ⑨ _____ ，所对的弦也______ ⑩_________ o常用的还有：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角—a ______________ ，所对的弦____ J2 __________ o(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 _______ 13 _____________ ，所对的弧 __________ 14方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分50分）1．下列说法正确的是（）A．等弧所对的弦相等B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C．相等的弦所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等2．下列命题是真命题的是（）A．相等的弦所对的弧相等B．圆心角相等，其所对的弦相等C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等D．弦相等，它所对的圆心角相等3．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°4．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA6．如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（）A．100°B．110°C．120°D．135°7．如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连接AC、BC、OB、OC．若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数是（）A．50°B．65°C．100°D．130°8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°9．如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB＝4，AD＝DC＝1，则弦BC的长为（）A．3.5B．2C．D．10．如图D、A、C、B为⊙O上的点，DC＝AB，则AD与BC的大小关系是（）A．AD＞BC B．AD＝BC C．AD＜BC D．不能确定二．填空题（共5小题，满分30分）11．如图所示，四边形AB∥CD，AD＝DC＝DB＝p，BC＝q，则AC＝（用p、q表示）．12．弦AB分圆为1：3两部分，则劣弧所对圆心角为．13．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为度．14．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝度．15．在半径为9cm的圆中，60°的圆心角所对的弦长为cm．三．解答题（共5小题，满分40分）16．已知锐角∠POQ，如图，在射线OP上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作，交射线OQ于点B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，交于点E，F，连接OE，EF．（1）证明：∠EAO＝∠BAO；（2）若OE＝EF．求∠POQ的度数．17．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于点E，当OE＝1，MD＝4时，求⊙O的半径．18．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．19．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且点B是劣弧DF的中点．（1）求证：△EBD≌△EBF；（2）已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝30°，求CD的长．20．如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，，求证：AB＝CD．参考答案一．选择题（共10小题，满分50分）1．解：A、正确．本选项符合题意．B、错误．应该是平分弦（此弦非直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，本选项不符合题意．C、错误，必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．D、错误．必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．故选：A．2．解：A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D 错误；故选：C．3．解：∵＝，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选：D．4．解：如图，连接OD、OC．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4cm，∴⊙O的周长＝2×4π＝8π（cm）．故选：D．5．解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．6．解：连接OC、OD，∵BC＝CD＝DA，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，∴∠BCD＝×2（180°﹣60°）＝120°．故选：C．7．解：由题意可得：AB＝AC，∵∠ABC＝65°，∴∠ACB＝65°，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝100°，故选：C．8．解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故选：A．9．解：如图，连AC、BD，过D作DE⊥AC于E．∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∠ABD＝∠CAD．∵BD＝＝．∵AD＝DC＝1，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA＝∠ABD，cos∠CAD＝cos∠ABD＝＝．∴AE＝AD•cos∠CAD＝，∴AC＝2AE＝，∴BC＝＝．故选：A．10．解：∵DC＝AB，∴＝，∴＝，∴AD＝BD．故选：B．二．填空题（共5小题，满分30分）11．解：延长CD交半径为p的⊙D于E点，连接AE．显然A、B、C在⊙D上．∵AB∥CD∴＝，∴BC＝AE＝q．在△ACE中，∠CAE＝90°，CE＝2p，AE＝q，故AC＝＝．故答案为：．12．解：设弦AB分圆的两部分别为x，3x，∴x+3x＝360°，解得：x＝90，则劣弧所对圆心角为90°．故答案为：90°13．解：∵一条弦把圆分成1：3两部分，∴整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360°÷4＝90°，∴弦所对的圆心角为90°．14．解：∵，∴AB＝AC，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．15．解：由题意知，设圆心为O，60°的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，则△AOB 是等边三角形，∴AO＝AB＝OB＝9cm．三．解答题（共5小题，满分40分）16．（1）证明：连接AE、OE、OF，如图所示，由题意得：OB＝OE＝OA，AE＝AB，∴∠EAO＝∠AEO，∠BAO＝∠ABO，，∴∠AOE＝∠AOB，∴∠EAO＝∠BAO；（2）解：∵OE＝OF，OE＝EF，∴OE＝OF＝EF，∴∠EOF＝60°，∵AE＝BF＝AB，∴，∴∠AOE＝∠BOF＝∠AOB，∴∠POQ＝∠EOF＝20°．17．（1）证明：∵AB＝CD，∴＝，∵M是的中点，∴＝，∴＝，∴BM＝DM．（2）解：如图，连接OM．∵DM＝BM＝4，OE⊥BM，∴EM＝BE＝2，∵OE＝1，∠OEM＝90°，∴OM＝＝＝，∴⊙O的半径为．18．证明：连接OC，如图，∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC．19．解：（1）连接OD、OF，∵B是劣弧DF的中点．∴，∴，∴BD＝BF，∠DBE＝∠EBF，在△EBD和△EBF中，∵，∴△EBD≌△EBF（SAS）；（2）∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∵AB是⊙O的直径，∴OD＝OA＝3，OE＝3﹣1＝2，过O作OG⊥CD于G，则CD＝2DG，∵∠DEB＝30°，∠EGO＝90°，∴OG＝OE＝1，由勾股定理得：DG＝＝＝2，∴CD＝2DG＝4．20．解：∵，∴，即：，∴AB＝CD．。

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》同步练习题（附答案）1．如图，⊙O的直径CD为10，弦AB的长为8，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为（）A．1B．2C．3D．42．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（）A．＝B．＝C．＝D．不能确定3．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长为（）A．2B．2C．D．24．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（）A．5B．4C．D．25．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．46．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠P AB的大小为（）A．15°B．20°C．25°D．30°7．⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离是cm．8．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为．9．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，CD＝2，则△OCE的面积为．10．已知正方形内接于圆心角为90°，半径为10的扇形（即正方形的各顶点都在扇形上），则这个正方形的边长为．11．点M是半径为5的⊙O内一点，且OM＝4，在过M所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为．12．如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°．现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为m．13．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．14．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC＝BD．15．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：（1）OC＝OD：（2）＝．16．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．17．如图，已知OC是⊙O半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，P A＝6．求：（1）⊙O的半径；（2）求弦CD的长．18．已知，如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB于D，AB＝8，OD＝CD+1，求⊙O 的半径．19．在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．①若油面宽AB＝16dm，求油的最大深度．②在①的条件下，若油面宽变为CD＝30dm，求油的最大深度上升了多少dm？20．如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE﹣BF的值．21．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，求AB的长．22．已知⊙O的半径为12cm，弦AB＝16cm．（1）求圆心O到弦AB的距离；（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？23．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB＝30cm．（1）求圆心O到弦AB的距离；（2）若⊙O中另有一条CD＝16cm，且CD∥AB，求AB和CD间的距离．24．如图，AB是⊙O的弦，点D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．求证：AD＝DC．25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长．参考答案1．解：连接OA．∵直径CD⊥AB，AB＝8，∴AM＝BM＝AB＝4，在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝4，根据勾股定理得：OM＝＝3，则CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，故选：B．2．解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，∴OD＝OE，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OB，∴OD＝BC，∴BC＝OE＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴＝，故选：A．3．解：连接OA，作OC⊥AB于C，则AC＝BC，∵OP＝4，∠P＝30°，∴OC＝2，∴AC＝＝，∴AB＝2AC＝2，故选：A．4．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD＝AB＝5，根据垂径定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE＝，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．故选：C．5．解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故选：D．6．解：连接OB，∵四边形ABCO是菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OP⊥AB，∴∠BOP＝∠AOB＝30°，由圆周角定理得，∠P AB＝∠BOP＝15°，故选：A．7．解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OF⊥AB，交AB于点F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∴F、E分别为AB、CD的中点，∴AF＝BF＝AB＝4，CE＝DE＝CD＝3，在Rt△COE中，∵OC＝5，CE＝3，∴OE＝＝4，在Rt△AOF中，OA＝5，AF＝4，∴OF＝＝3，∴EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF＝4+3＝7，综上，弦AB与CD的距离为7或1．故答案为：7或1．8．解：作OD⊥AB于D，连接OA．∵OD⊥AB，OA＝2，OD＝1，在Rt△OAD中AD＝＝＝，∴AB＝2AD＝2．故答案为：2．9．解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，设⊙O的半径为r，则AC2+OC2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，∵CD＝2，∴OC＝3，∴S△OCE＝OC•BC＝×3×4＝6．故答案为：6．10．解：如图1所示：连接OD，设正方形OCDE的边长为x，则在Rt△OCD中，OD2＝OC2+CD2，即102＝x2+x2，解得x＝5；如图2所示，过O作OG⊥DE，交CF于点H，连接OD，设FH＝a，∵四边形CDEF是正方形，∴OH⊥CF，△OCF是等腰直角三角形，∴FH＝CH＝a，∵∠AOC＝90°，∴CH＝OH，∴OG＝3a，在Rt△ODG中，OD2＝GD2+OG2，即102＝a2+（3a）2，解得a＝，∴CF＝2a＝2．故答案为：5或2．11．解：过点M作AB⊥OM于M，连接OA，因为OM＝4，半径为5，所以AM＝＝3，所以AB＝3×2＝6，所以过点M的最长弦为5×2＝10，最短弦为6，在6和10之间的整数有7，8，9，由于左右对称，弦的条数有6条，加上AB和OM，共8条．12．解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，如图1，AB，AD的长分别是2m和4m，圆心角∠COD＝120°，∴∠DOP＝60°，DC＝AB＝，∴OD＝2，PQ＝5，当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时h＝＝＝，如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，易知，OQ≤OB，而h＝OP+OQ＝2+OQ，∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，由图1可知，OQ＝3，BQ＝，则OB＝，h的最大值为OP+OB，即2+．故答案为：（2+）．13．证明：连接OC，如图，∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC．14．证明：过O作OE⊥AB于E，则OE⊥CD，∵OE过O，∴由垂径定理得：AE＝BE，CE＝DE，∴AE﹣CE＝BE﹣DE，即AC＝BD．15．（1）证明：连接OA，OB，∵AC＝BD，∴∠OAC＝∠OBD．在△OAC与△OBD中，∵，∴△OAC≌△OBD（SAS）．∴OC＝OD．（2）∵由（1）可知，△OAC≌△OBD，∴∠AOC＝∠BOD，∴＝．16．解：作OP⊥CD于P，连接OD，∴CP＝PD，∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∴OE＝2，在Rt△OPE中，OP＝OE•sin∠DEB＝，∴PD＝＝，∴CD＝2PD＝2（cm）．17．解：（1）设OC＝x，∵弦CD垂直平分半径AO，∴OE＝OA＝x，∵PC⊥OC，CD⊥OP，∴∠PCO＝∠CEO＝90°，∴∠P+∠COP＝90°，∠ECO+∠COP＝90°，∴∠P＝∠ECO，∴x＝6则⊙O的半径为6；（2）由（1）得：OC＝6，OE＝3，由勾股定理得：CE＝＝3，∵CD⊥OA，∴CD＝2CE＝6．18．解：连接OA，设CD＝x，则OD＝x+1，则⊙O的半径为2x+1，∵OC⊥AB，AB＝8，∴AD＝AB＝4，由勾股定理得，（2x+1）2＝（x+1）2+16，解得，x1＝﹣（舍去），x2＝2，则⊙O的半径为2x+1＝5．19．解：①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，∴AF＝AB＝8，由勾股定理得，OF＝＝15，则GF＝OG﹣OF＝2dm；②连接OC，∵OE⊥CD，∴CE＝EF＝15，OE＝＝8，当CD与AB在圆心同侧时，EF＝OF﹣OE＝7dm，当CD与AB在圆心异侧时，EF＝OF+OE＝23dm，答：油的最大深度上升了7或23dm．20．解：如图，连接OC，延长AE交⊙O于点H，连接BH；过点O作ON⊥BH于点N，交CD于点M；则HN＝BN，CM＝DM＝CD＝8，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB＝90°；∵AE⊥CD，∴CD∥BH；∵ON⊥BH，BF⊥CD，∴EH＝MN＝BF（设为x）；∵AO＝BO，HN＝BN，∴ON为△ABH的中位线，∴AH＝2ON，即AE+x＝2（OM+x），AE﹣x＝2OM；由勾股定理得：OM2＝OC2﹣CG2＝100﹣64＝36，∴OM＝6，2OM＝12；∴AE﹣BF＝12．21．解：连接OA、OB，∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝45°，∵直径CD垂直于弦AB，∴＝，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝3，∴AB＝3cm．22．（1）解：连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC＝BC＝AB＝8cm，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝4（cm），答：圆心O到弦AB的距离是4cm．（2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是4cm，∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O 为圆心，以4cm为半径的圆周．23．解：（1）过点O作OE⊥AB于E，连接OA，∵OE⊥AB，OE过圆心O，∴AE＝BE，∠AEO＝90°，∵AB＝30cm，∴AE＝15cm，在Rt△AOE中，AO＝17cm，AE＝15cm，∴OE＝＝8（cm），即圆心O到弦AB的距离是8cm；（2）作直线OE交CD于F，连接OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵OF过O，CD＝16cm，∴CF＝DF＝CD＝8cm，在Rt△OCF中，CF＝8cm，OA＝17cm，由勾股定理得：OF＝＝15（cm），分为两种情况：①当AB、CD在圆心O同侧时，如图1，∴EF＝OF﹣OE＝15cm﹣8cm＝7cm②当AB、CD在圆心O异侧时，如图2，∴EF＝OF+OE＝15cm+8cm＝23cm答：AB和CD的距离为7cm或23cm．24．证明：连接DB，∵点D是的中点，∴＝，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠C＝∠DBC，∴DB＝DC，∴AD＝DC．25．解：连接OE，∵∠BAC的平分线交BC于D，∴，∴BF＝CF，∵OA＝OB，∴OF是△ACB的中位线，∴OF＝AC＝＝3，∴EF＝1，在Rt△OFB中，OB＝AB＝4，BF＝＝＝，∴CF＝，∴在Rt△EFC中，EC＝＝2．。

1题《圆的对称性》练习题二1.如图，⊙O 中，AB=CD ，由图中可得哪些结论？ 。

2.半径为2cm 的圆中，长为2 3 cm 的所对的圆心角度数为 ，弦心距长为 。

3.下列说法中正确的是：A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弦所对的圆心角相等C 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等D 、相等的弦所对的弧相等4.如图，⑴⊙O 的半径为4cm ，正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，则AB 长为 。

⑵⊙O 的半径为5cm ，正六边形ABCDEF 的六个顶点都在⊙O 上，则正六边形ABCDEF 的周长为 。

5.如图，点A 、B 、C 为⊙O 上的三点，CD ⊥AO ，CE ⊥BO ，且CD=CE试判断与的大小关系，并说明理由。

6.如图，⊙O 中，弦AB 、CD 交于点P ，M 、N分别是AB 、CD 的中点，连接MN ，若求证：MP=NP7.如图，⊙O 中，AB=CD ，点M 、N 分别为AB 、CD 的中点 求证：∠AMN=∠DNM8.如图，==，OB 、OC 分别交AC 、BD 于点M 、N 求证：∠OMN=∠ONM9.如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任意一点作弦C D ⊥AB ，作∠OCD 的角平分线交⊙O 于点P ，连接PA 、PB 。

求证：AP=PB4题（1） 4题（2） 5题 8题6题 7题AB 、CD 4.如图，已知点O 为∠EPF 的角平分线上一点，以O 为圆心的圆与角两边分别交于A 、B 、C 、D 四点。

求证：AB=CD6.如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 交于点P ，PO 为∠APC 的角平分线，点M 、N分别是 的中点。

求证：MN ⊥PO答案：1略 2.10.5cm 3.10cm 4.过点O 分别作AB 、CD 的垂线段 5.连接OP6.分别连接OM 、ON7. 分别连接OM 、ON8. 分别连接OD 、OE。

北京课改版九年级上册圆的对称性同步练习一．选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，直径AB 平分弦CD ，交CD 于点E ，则下列结论错误的是( ) A.AC ︵＝AD ︵ B.BC ︵＝BD ︵C ．AB ⊥CD D ．OE ＝BE2．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( )A ．AC ＝AB B ．∠C ＝12∠BODC ．∠C ＝∠BD ．∠A ＝∠BOD3．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为() A ．2 B ．4C ．6D ．84．下列命题中正确的是( )A ．弦的垂线平分弦所对的弧B ．平分弦的直线垂直于这条弦C ．过弦的中点的直线必经过圆心D ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分这条弦且过圆心5．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OM 垂直于弦AC ，垂足为E ，MN ⊥AB 于N ，下列结论：①AM ︵＝CM ︵；②∠OMN ＝∠OAE ；③BC ︵＝MC ︵；④MN ＝12AC.其中正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④C ．①③④D ．②③④6. 如图，AB 是⊙O 的直径，点M 在弦CD 上，CM ＝DM ，下列结论不成立的是( )A ．AB ⊥CD B ．CB ＝DBC ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD7. 如图，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( )A ．10 cmB ．16 cmC ．24 cmD ．26 cm8. 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，则AB ＝8 cm ，则AC 的长为( )A ．2 5 cmB ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD．2 3 cm或4 3 cm9. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8 cm，AE＝2 cm，则OF的长度是( )A．3 cm B. 6 cmC．2.5 cm D. 5 cm10．在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，当弦AB的两个端点A，B在⊙O上滑动时，AB的中点在滑动过程中所经过的路线为()A．圆B．直线C．正方形D．多边形二．填空题（共8小题，3*8=24）11．世界上因为有了圆的图案，万物显得更富有生机，以下图形(如图)都有圆，它们看上去是多么美丽和谐，这正是因为圆具有轴对称性．图中的三个图形是轴对称图形的有____________；(分别用三个图的序号填空)12．如图，AB，AC分别是⊙O的弦，D，E分别是AB，AC的中点，∠DOE＝120°，则∠DAC的度数为_______．13．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，求CD的长．14．如图，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为_______cm.15．如图，⊙O 的直径AB 平分CAD ︵，AB 交CD 于E ，AE 与BE 的长度之比为5∶1，CD ＝16 cm ，则⊙O 的半径为_______cm.16．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G ，B ，F ，E ，GB ＝8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝________.17．如图所示，以O 为圆心的同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C ，D ，如果AB ＝3cm ，CD ＝2cm ，那么AC ＝__ __cm.18. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为_______．三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 如图，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，求DM 的长．20. (6分) 如图，AB 为⊙O 的直径，从圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O于P ，求证：AP ︵＝BP ︵.21. (6分)若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm 、深约为2 cm 的小坑，求该铅球的直径.22．(6分) “圆材埋壁”是我国古代著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 题目用现在的数学语言表达是：如图所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD 的长．23. (6分) 已知以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到AB的距离为6，求AC的长．24. (8分) 已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于点F，点E在CD上，且AE＝CE.(1)求证：CA2＝CE·CD；(2)已知CA＝5，EA＝3，求sin∠EAF25. (8分) 已知圆的半径为5 cm，两弦AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则两弦AB，CD 的距离是多少？参考答案1-5DBDDB 6-10DCCDA11. ①②③12. 60°13. 6 cm14. 2415. 245516. 6cm17. 0.518. 419. 解：连结AO ，∵OM ⊥AB ，∴AM ＝12AB ＝4. 在Rt △AOM 中，AO ＝5，AM ＝4，∴由勾股定理得OM ＝3，则DM ＝5＋3＝8.20. 解：连结OP ，∵OC ＝OP ，∴∠OCP ＝∠P ，又∠DCP ＝∠OCP ，∴∠DCP ＝∠P ，∴CD ∥OP ，∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵21. 解：如图所示，依题意，得AB ＝10 cm ，CD ＝2 cm.连结OA ，作OC ⊥AB 于点D ，交圆O 于点C ，∴AD ＝12AB ＝12×10＝5(cm)． 设铅球的半径为k cm ，则OD ＝(k －2)cm ，在Rt △AOD 中，AD 2＋OD 2＝OA 2，∴52＋(k －2)2＝k 2，解得k ＝7.25，∴2k ＝14.5.22. 解：连结OA.∵CD ⊥AB 于E ，CD 为直径，∴AE ＝12AB ＝12×10＝5(寸)． 在Rt △AEO 中，设AO ＝x ，则OE ＝(x －1)寸．由勾股定理得x 2＝52＋(x －1)2，解得x ＝13，∴OA ＝13寸，∴CD ＝2OA ＝26寸，∴直径CD 的长为26寸．23. 解：(1)作OH ⊥CD 于点H ，在小圆中，CH ＝DH ；在大圆中，AH ＝BH ，∴AH －CH ＝BH －DH ，即AC ＝BD(2)在Rt △OCH 中，CH ＝OC 2－OH 2＝82－62＝27，在Rt △OAH 中，AH ＝OA 2－OH 2＝102－62＝8，∴AC ＝8－2724. 解：(1)∵CD ⊥AB ，∴AC ︵＝AD ︵，∴∠D ＝∠C ，又∵AE ＝EC ，∴∠CAE ＝∠C ，∴∠CAE ＝∠D ，∠C 是公共角，∴△CEA ∽△CAD ，∴CA CD ＝CE CA，即CA 2＝CE·CD (2)∵CA 2＝CE·CD ，AC ＝5，EC ＝EA ＝3，∴52＝CD×3，∴CD ＝253， 又∵CF ＝FD ，∴CF ＝12CD ＝12×253＝256，∴EF ＝CF －CE ＝76， 在Rt △AFE 中，sin ∠EAF ＝EF AE ＝763＝71825. 解：如图：分2种情况。

圆的对称性的练习题圆的对称性的练习题圆是我们日常生活中经常遇到的几何形状之一，它具有独特的对称性。

对称性是几何学中一个重要的概念，它表明一个图形或物体在某种变换下保持不变。

在圆的对称性中，我们可以探索一些有趣的练习题，以加深对圆的理解和应用。

练习一：圆的旋转对称首先，我们来看圆的旋转对称性。

旋转对称是指一个图形可以通过某个中心点旋转一定角度后，与原来的图形完全重合。

对于圆来说，它的旋转对称性非常明显，因为圆的每一个点都可以作为旋转的中心点。

现在，我们来做一个练习题。

画一个半径为5厘米的圆，然后选择一个点作为旋转中心，将圆旋转180度。

你会发现，旋转后的圆与原来的圆完全重合。

这就是圆的旋转对称性的体现。

练习二：圆的轴对称除了旋转对称，圆还具有轴对称性。

轴对称是指一个图形可以通过某条直线对折后，两边完全重合。

对于圆来说，它的轴对称性是通过直径来体现的，因为直径将圆分为两个完全相同的半圆。

现在，我们来做第二个练习题。

画一个半径为6厘米的圆，并且在圆上选择两个点A和B，连接这两个点得到一个直径。

然后，将这个圆沿着这个直径对折。

你会发现，对折后的两边完全重合，这就是圆的轴对称性的体现。

练习三：圆的镜像对称除了旋转对称和轴对称，圆还具有镜像对称性。

镜像对称是指一个图形可以通过某个镜面对折后，两边完全重合。

对于圆来说，它的镜像对称性可以通过与圆的边界垂直的直线来体现。

现在，我们来做第三个练习题。

画一个半径为8厘米的圆，并且在圆上选择一个点C。

然后，画一条与圆的边界垂直的直线，并选择一个点D在这条直线上。

接下来，将这个圆与直线对折。

你会发现，对折后的两边完全重合，这就是圆的镜像对称性的体现。

练习四：圆的应用除了对称性的练习，圆还有许多实际应用。

例如，我们可以利用圆的对称性来设计各种各样的艺术品和建筑物。

圆形的建筑物如圆形剧场和圆形体育馆，不仅具有美观的外观，还能够提供更好的声学效果和观赛体验。

此外，圆的对称性还在科学和技术领域有广泛的应用。

课时练2.2圆的对称性一、选择题1.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD长是()A.2B.3C.4D.52.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.83.如图,弦CD垂直于⊙O直径AB,垂足为H,且CD=，BD=，则AB长为（）A.2B.3C.4D.54.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm5.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是()A.OC∥BDB.AD⊥OCC.△CEF≌△BEDD.AF=FD6.如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB=10，AC=8，则BD的长为()A．2B．4C．2D．4.87.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸8.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为().A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm9.如图，在半径为13cm圆形铁片上切下一块高为8cm弓形铁片，则弓形弦AB长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm10.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm2二、填空题11.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．12.如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是.13.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为cm.14.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP=．15.如图所示为由两个长方形组成的工件平面图(单位：mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm.16.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为米．三、解答题17.如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)求证：点E是OB的中点；(2)若AB=8，求CD的长．18.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B，C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．19.如图所示，残缺的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C，垂足为点D，解答下列问题：(1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置并将圆形轮片所在的圆补全；(要求：保留作图痕迹，不写作法)(2)若弦AB=8，CD=3，求圆形轮片所在圆的半径R.20.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．参考答案1.A.2.D．3.B4.B5.C.6. C.7.C.8.C.9.C.10.A.11.23．12.(2，0).13.40.14.5.5；15.50.16.8．17.解：(1)证明：连接AC.∵OB⊥CD，∴CE=ED，即OB是CD的垂直平分线．∴AC=AD.同理AC=CD.∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD=60°，∠DCF=30°.在Rt△COE中，OE=12OC=12OB.∴点E是OB的中点．(2)∵AB=8，∴OC=12AB=4.又∵BE=OE，∴OE=2.∴CE=OC 2－OE 2=16－4=2 3.∴CD=2CE=4 3.18.解如答图所示，连结BO，CO，延长AO 交BC 于点D.∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AB=AC.∵点O 是圆心，∴OB=OC.∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线.∴AD⊥BC，且D 是BC 的中点.在Rt△ABC 中，AD=BD=21BC，∵BC=8，∴BD=AD=4.∵AO=1，∴OD=AD-AO=3.∵AD⊥BC，∴∠BDO=90°.∴OB=22BD OD +=2243+=5.19.解：(1)图略.(2)连结OA.∵CD 是弦AB 的垂直平分线，AB=8，∴AD=12AB=4.在Rt△ADO 中，AO=R，AD=4，DO=R－3，根据勾股定理，得R 2=16＋(R－3)2，解得R=256.20.（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，∴（x﹣2）2+x 2=42，解得：x 1=1+，x 2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．。

《圆的对称性》同步练习一．选择题（共10小题）1．下列说法，正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是弧D．过圆心的线段是直径2．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧4．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧6．如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A．C1＞C2B．C1＜C2C．C1=C2D．不能确定7．过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或无数条8．下列结论错误的是（）A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．半圆不是弧D．同圆中，等弧所对的圆心角相等9．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A．5cm或11cm B．2.5cm C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm10．在直角坐标平面中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与圆M的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定二．填空题（共8小题）11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．12．已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是．13．已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，那么线段OA的取值范围是．14．若⊙O的半径为6cm，则⊙O中最长的弦为厘米．15．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心距离等于半径的点都在．16．下列说法正确的是（）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦．17．与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是．18．如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有条弦，它们分别是．三．解答题（共2小题）19．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF．。

圆的对称性一、单选题(共9道，每道10分)1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.平行四边形D.圆答案：D解题思路：A：等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误B：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误C：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误D：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故D正确试题难度：三颗星知识点：略2.如果两个圆心角相等，那么( )A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对答案：D解题思路：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故选D试题难度：三颗星知识点：略3.如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，下列说法不正确的是( )A.AD=BDB.弧AC=弧CBC.∠COA=∠COBD.OD=CD答案：D解题思路：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧∵AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D∴AD=BD，弧AC=弧CB，故A，B正确∵弧AC=弧CB∴∠COA=∠COB，故C正确OD不一定等于CD，故D不正确试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB，弧CD，弧EF，如果弧AB+弧CD=弧EF，那么AB+CD与EF的大小关系是( )A.AB+CD=EFB.AB+CD<EFC.AB+CD＞EFD.大小关系不确定答案：C解题思路：如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧AB，则弧FM=弧CD∴AB=EM，CD=FM在△EMF中，EM+FM＞EF∴AB+CD＞EF试题难度：三颗星知识点：略5.已知⊙O中，弧AB=2弧CD，则弦AB和2CD的大小关系是( )A.AB＞2CDB.AB=2CDC.AB<2CDD.不能确定答案：C解题思路：如图，取弧AB的中点E，则弧AE=弧BE∵弧AB=2弧CD∴弧AE=弧BE=弧CD∴AE=BE=CD∵在△AEB中，AE+BE＞AB∴AB<2CD试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=( )A.40°B.45°C.50°D.60°答案：A解题思路：在△AOB中，OA=OB，∠A=50°∴∠BOA=180°-2∠A=80°∵点C是弧AB的中点∴弧AC=弧BC∴∠BOC=∠AOC=∠BOA=40°试题难度：三颗星知识点：略7.如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为( )A.22.5°B.30°C.45°D.60°答案：B解题思路：如图，连接OC∵AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点∴弧AC=弧CD=弧DB∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°又OA=OC∴△AOC是等边三角形∴∠A=60°∵CE⊥AB∴∠ACE=90°-60°=30°试题难度：三颗星知识点：略8.如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=34°，则∠AEO的度数是( )A.51°B.56°C.68°D.78°答案：A解题思路：∵弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=34°∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°又OA=OE∴∠AEO=∠OAE∴∠AEO=试题难度：三颗星知识点：略9.已知在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点P，且OP=，则弦AB的长为( )A.4B.6C.8D.10答案：C解题思路：如图，作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N，连接OB，则四边形MPNO为矩形∵AB，CD是互相垂直且相等的两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB∴OM=ON∴四边形MPNO为正方形∴ON=OP=3在Rt△ONB中，OB=5，ON=3∴又ON⊥AB∴AB=2BN=8试题难度：三颗星知识点：略。

#### 一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 圆2. 一个圆的直径是10cm，那么这个圆的对称轴有：A. 1条B. 2条C. 4条D. 无限多条3. 圆的对称性可以用来证明以下哪个性质？A. 对角线相等B. 对边平行C. 角平分线相等D. 对角相等4. 如果一个圆的半径增加了2cm，那么它的对称轴数量：A. 不变B. 增加了2条C. 减少了2条D. 无法确定5. 下列哪个图形不是圆的对称图形？A. 圆内的任意直线B. 圆内的任意半径C. 圆内的任意直径D. 圆内的任意弦#### 二、填空题（每题5分，共20分）6. 圆的对称轴是指通过圆心的______。

7. 一个圆有______条对称轴。

8. 如果一个图形关于某条直线对称，那么这条直线称为这个图形的______。

9. 圆的对称性在生活中的应用有______。

10. 在圆中，直径是圆的最长对称轴，因为它是圆的______。

#### 三、解答题（每题10分，共30分）11. 请说明圆具有对称性的原因，并举例说明圆的对称性在实际生活中的应用。

12. 证明：一个圆的任意直径都是它的对称轴。

13. 已知一个圆的半径为5cm，请画出这个圆的所有对称轴，并标明它们。

#### 四、拓展题（10分）14. 设有一个圆的半径为6cm，已知圆内有两条互相垂直的直径AB和CD。

请证明：AC和BD也是圆的对称轴。

---注意：本试卷的答案部分将在试卷发布后提供。

学生在答题时，请认真审题，确保答案的准确性。

在解答题中，不仅要给出结论，还要尽可能详细地展示解题过程。

第八讲圆的对称性（一）【你必须知道的数学小知识】1、圆的定义：平面上到定点．．的距离等于_____________的所有点组成的图形叫做圆．；其中，定点称为__________，______________称为半径，以点O为圆心的圆可记作___________。

注意：①圆是一条___________的曲线，不能认为是圆面；②圆上各点到定点的距离都等于_________，到定点的距离等于定长的点都在__________；③圆的两要素：________________________________。

2、圆具有对称性：_______________________________________________________________________________。

3、圆的相关概念（1）弦与直径：连结圆上任意两点的__________叫做弦；经过___________的弦叫做直径；（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做__________，简称________。

用符号"⌒"表示，以A、B为端点的弧记作___________；（注意”半圆“、”优弧“、”劣弧“之间的区别）4、点与圆的位置关系：（1）点在圆外——点到圆心的距离_________半径；（2）点在圆上——点到圆心的距离_________半径；（3）点在园内——点到圆心的距离_________半径；5、垂径定理：垂直于弦的____________平方这条__________，并且平分弦所对的________________.用符号语言表示为：6、垂径定理推论：平分弦（不是直径．．．．）的___________垂直于___________，并且平分弦所对的___________. 用符号语言表示为：7、知二推三【经典例题】例1、（1）若⊙O的半径为5cm，圆心O到直线α的距离OM是4cm，直线α上有一点A，AM为6cm，则A在⊙O_____________________（填内、外、上）（2）已知一点与⊙O上的点最近距离是4cm，最远距离是9cm，则这个圆的半径是______________cm。