(规避易错题系列)第六章 平面向量及其应用 集(解析版)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点梳理单选题1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ . 故选：D.2、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围. 因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≤13. 故选：C.3、已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a (a +c )，则asinAbcosA−acosB 的取值范围是（ ） A ．(0,√22)B ．(0,√32)C ．(12,√22)D ．(12,√32) 答案：C分析：由b 2=a(a +c)利用余弦定理，可得c −a =2acosB ，正弦定理边化角，在消去C ，可得sin(B −A)=sinA ，利用三角形ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得asinAbcosA−acosB 的取值范围． 由b 2=a(a +c)及余弦定理，可得c −a =2acosB正弦定理边化角，得sinC −sinA =2sinAcosB∵A +B +C =π∴sin(B +A)−sinA =2sinAcosB∴sin(B −A)=sinA∵ABC 是锐角三角形， ∴B −A =A ，即B =2A ． ∵0<B <π2，π2<A +B <π， 那么：π6<A <π4则asinAbcosA−acosB =sin 2Asin(B−A)=sinA ∈(12，√22) 故选：C小提示：方法点睛：解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.4、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最大值为（ ） A ．2√73B ．83C ．2√193D ．2√133答案：D分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP⃑⃑⃑⃑⃑ |最大，问题得以解决 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵ AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)， ∴ {x =2+λy =√3λ ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−√32(x −3)，②，联立①②，解得{x =73y =√33 ， 此时|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |最大， ∴|AP|=√499+13=2√133， 故选：D ．小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积. 因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ， 而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ， 故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、在△ABC 中，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解. 因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形. 故选：B7、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B ′C ′=60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′−CC ′约为（√3≈1.732）（ ）A．346B．373C．446D．473答案：B分析：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案．过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，故AA′−CC′=AA′−(BB′−BH)=AA′−BB′+100=AD+100，由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD=DB．所以AA′−CC′=DB+100=A′B′+100．因为∠BCH=15°，所以CH=C′B′=100tan15°在△A′B′C′中，由正弦定理得：A′B′sin45°=C′B′sin75°=100tan15°cos15°=100sin15°，而sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√24，所以A′B′=100×4×√2 2√6−√2=100(√3+1)≈273，所以AA′−CC′=A′B′+100≈373． 故选：B ．小提示：本题关键点在于如何正确将AA′−CC′的长度通过作辅助线的方式转化为A′B′+100．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x4+y2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC⃑⃑⃑⃑⃑ =PD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )max =815−5=565，故选：D. 多选题9、下列说法正确的有（ ）A ．若a //b ⃑ ，b ⃑ //c ，则a //cB ．若a =b ⃑ ，b ⃑ =c ，则a =cC ．若a //b ⃑ ，则a 与b ⃑ 的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD分析：取b ⃑ =0⃑ 可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑ =0⃑ ，a 、c 均为非零向量，则a //b ⃑ ，b ⃑ //c 成立，但a //c 不一定成立，A 错； 对于B 选项，若a =b ⃑ ，b ⃑ =c ，则a =c ，B 对； 对于C 选项，若b ⃑ =0⃑ ，a ≠0⃑ ，则b ⃑ 的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对. 故选：BD.10、（多选）已知向量a ⃗，b ⃑⃗，在下列命题中正确的是（ ） A ．若|a ⃗|>|b ⃑⃗|，则a ⃗>b ⃑⃗B ．若|a ⃗|=|b ⃑⃗|，则a ⃗=b ⃑⃗ C ．若a ⃗=b ⃑⃗，则a ⃗//b ⃑⃗D ．若|a ⃗|=0，则a ⃗=0 答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案. 解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A 错； 向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B 错； 两个向量相等，这两个向量平行，所以C 正确；模值为零的向量为零向量，故D 正确 故选：CD11、如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB⃑⃑⃑⃑⃑ B ．MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，A 正确； MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )+AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 正确； MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −14AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 错误； BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，D 正确. 故选：ABD .小提示：本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力. 填空题12、已知|OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=1，若存在m,n ∈R ，使得mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗夹角为60∘，且|(mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)−(nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)|=12，则|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|的最小值为___________. 答案：√132分析：设a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗可得A,A ′,B,B ′共线，又|a ⃗−b⃑⃗|=|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12，当|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12为最小时|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，而此时A ′、B ′关于y 轴对称，结合已知即可求|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|的最小值. 由题意，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，∴令a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−m)OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+mOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1+n)OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−nOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，故有A,A ′,B,B ′共线，∵|a →−b →|=|B ′A ′→|=12，故当且仅当|B′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12为最小时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小， ∴有A ′、B ′关于y 轴对称时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，此时O 到AB 的距离为√3⋅|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=√34， ∴|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=√1−316=√134，即|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=√132.所以答案是：√132. 小提示：关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的终点共线，且|a ⃗−b⃑⃗|=|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12可分析得A ′、B ′关于y 轴对称时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，进而求最小值即可. 13、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________. 答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p⃗=xm⃑⃑⃗+yn⃑⃗，则有p⃗=3a⃗+2b⃑⃗=x(2a⃗−3b⃑⃗)+y(4a⃗−2b⃑⃗)=(2x+4y)a⃗+(−3x−2y)b⃑⃗，得{2x+4y=3−3x−2y=2⇒{x=−74,y=138.，所以p⃗=−74m⃑⃑⃗+138n⃑⃗，所以答案是：−74m⃑⃑⃗+138n⃑⃗14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=45m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则AB两点的距离为______m．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

专题6 平⾯向量及其应⽤1.如图，O 是平⾏四边形ABCD 外⼀点，⽤表示.【答案】【解析】【详解】由，，，即可得到结论.解：.向量的线性运算向量运算定义法则（或⼏何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋（－b ）数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的⽅向相同；当λ<0时，λa 与a 的⽅向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ（μ a ）＝（λμ）a ；（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ；λ（a ＋b ）＝λa ＋λb平⾯向量线性运算问题的求解策略：（1）进⾏向量运算时，要尽可能地将它们转化到三⻆形或平⾏四边形中，充分利⽤相等向量、相反向量，三⻆形的中位线及相似三⻆形对应边成⽐例等性质，把未知向量⽤已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形⼿段在线性运算中同样适⽤．（3）⽤⼏个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三⻆形或多边形；③运⽤法则找关系；④化简结果.（2022·新⾼考Ⅰ卷T3）,,OA −⇀OB −⇀OC −⇀−OD −⇀−=−+OD −⇀−OA −⇀OB −⇀OC−⇀−=+OD −→−OA −→−AD −→−=AD −→−BC −→−=−BC −→−OC −→−OB −→−=+=+=+−=−+OD −→−OA −→−AD −→−OA −→−BC −→−OA −→−OC −→−OB −→−OA −→−OB −→−OC −→−在中，点D 在边AB 上，．记，则（ ）A ．B ．C ．D ．【⼀题多变4】7.已知是两个不共线的向量，,e 1⇀e 2⇀⇀A ．1B ．在平⾏四边形中，分别，则的值为______.【⼀题多变4】13.已知，，（1）；（2）．解：（1）由平⾯向量的数量积运算=1∣∣a ⇀∣∣=2∣∣b ⇀∣∣|c |=(⋅)a⇀b ⇀c ⇀(⋅)a ⇀b⇀c ⇀A ．B ．如图，在中，，的⾯积为，的最⼩A．2【⼀题多变4】已知O为坐标原点，点A．C．−→−26.已知中，【分析】利⽤勾股定理判的夹⻆的取值的最⼤值.解：如图，作，垂△ABC AC ,CM −→−CN −→−∵AC =1,BC =∴A +B =A C 2C 2B CD ⊥AB A ．C ．若E 为线段AD 的中点【⼀题多变2】在中，在某海滨城市O附近海⾯有⼀台⻛，据监测，当前台⻛中⼼位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cos θ＝，θ∈（0°，90°）⽅向300 km的海⾯P处，并以20 km/h的速度向⻄偏北45°⽅向移动．台⻛侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增⼤．问⼏⼩时后该城市开始受到台⻛的侵袭？注：cos（θ－45°）＝A．的最⼩值为B．的范围为C．当时，D．当时，【⼀题多变3】骑⾏是⽬前很流⾏的⼀种绿⾊健身和环保它带给⼈们的不仅是简单的身体上的运动（前轮），圆（后轮）的半径均为，A．B【⼀题多变4】38.已知点H 在所在的平⾯内，且满⾜，求证：点H 是的垂⼼（即三条⾼的交点）．【答案】证明⻅解析.【解析】【详解】解：由数量积运算的性质可整理得到，由此得到；同理可证得，，由此可证得结论.解：由得：由同理可得：由同理可得：是的垂⼼三⻆形“四⼼”常⻅的向量表示形式：（1）重⼼．若点G 是的重⼼，则或 （其中P 为平⾯内任意⼀点）．反之，若，则点G 是的重⼼．（2）垂⼼．若H 是的垂⼼，则.反之，若，则点H 是的垂⼼．（3）内⼼．若点I 是的内⼼，则.反之，若，则点I 是的内⼼．（4）外⼼．若点O 是的外⼼，则或.反之，若，则点O 是的外⼼.结合“四⼼”性质与向量运算进⾏推演，得出结论.【⼀题多变1】ΔABC ⋅=⋅=⋅HA −⇀−HB −⇀−HB −⇀−HC −⇀−HC −⇀−HA −⇀−ΔABC ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅=0HB −→−CA −→−HB ⊥CA HC ⊥AB HA ⊥CB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅−⋅=⋅(−)=⋅=0HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HB −→−HA −→−HC −→−HB −→−CA −→−∴HB ⊥CA⋅=⋅HB −→−HC−→−HC −→−HA −→−HC ⊥AB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HC −→−HA −→−HA ⊥CB∴H ΔABC △ABC ++=0GA −→−GB −→−GC −→−=(++)PG −→−13PA −→PB −→PC −→−++=0GA −→−GB −→−GC −→−△ABC △ABC ⋅=⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HC −→−HA −→−⋅=⋅=HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅HC −→−HA −→−△ABC △ABC ⋅+⋅+⋅=0∣∣∣BC −→−∣∣∣IA−→∣∣∣CA −→−∣∣∣IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→⋅+⋅∣∣∣BC −→−∣∣∣IA −→∣∣∣CA −→−∣∣∣+⋅=0IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→△ABC △ABC (+)⋅=(+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−BA −→OB −→−OC −→−CB −→−OC −→−OA −→−AC −→−==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣△ABC 已知正⽅形，边⻓为，动点⾃点出发沿运动，动点⾃点出发沿运动，且动点的速度是动点的2倍，若⼆者同时出发，且到达时停⽌，另⼀个点也停⽌，则该过程中的最⼤值是______．瑞⼠数学家欧拉在1765年发表的《三⻆形的⼏何学》⼀书中有这样⼀个定理：“三⻆形的外⼼､垂⼼和重⼼都在同⼀直线上，⽽且外⼼和重⼼的距离是垂⼼和重⼼距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O ､H ､G 分别是外⼼､垂⼼和重⼼，下列四个选项中结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点易错题单选题1、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =√5，c =2，cosA =23，则b 等于（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3 答案：D分析：根据余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，将已知量代入即可解得答案.根据余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即5=b 2+4−2×b ×2×23，亦即b 2−83b −1=0，解得b =3或b =−13（舍去）.故选：D.2、设λ为实数，已知向量m ⃗⃗ =(-1，2)，n ⃗ =(1，λ).若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则向量m →+2n ⃗ 与m →之间的夹角为（ ） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4 答案：A解析：根据向量垂直的坐标运算解得λ=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量m ⃗⃗ =(−1,2),n ⃗ =(1,λ)，若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1×1+2λ=0，解得λ=12，所以m ⃗⃗ +2n ⃗ =(1,3)，所以(m ⃗⃗ +2n ⃗ )⋅m ⃗⃗ =1×(−1)+3×2=5，|m ⃗⃗ +2n ⃗ |=√12+32=√10，|m ⃗⃗ |=√(−1)2+22=√5，设向量m ⃗⃗ +2n ⃗ 与m ⃗⃗ 之间的夹角θ ，则0≤θ≤π， ∴cosθ=(m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ )⋅m ⃗⃗⃗ |m⃗⃗⃗ +2n ⃗ |×|m ⃗⃗⃗ |=√10×√5=√22， 所以向量m ⃗⃗ +2n ⃗ 与m ⃗⃗ 之间的夹角为π4.故选：A.3、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（ ） A ．向东南走3√2km B ．向东北走3√2km C ．向东南走3√3km D ．向东北走3√3km 答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ， 再向北走3km ，即向东北走3√2km . 故选：B.4、在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，E,F 分别为AD,BC 的中点，G 为EF 的中点，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（ ） A ．38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：B分析：根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可. 因为在等腰梯形ABCD 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，E,F 分别为AD,BC 的中点，G 为EF 的中点， 所以可得：AG⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：B.5、已知向量a ,b ⃗ 满足|a |=2,|b ⃗ |=1,a ⋅(a −2b ⃗ )=2，则a 与b ⃗ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：B分析：由题意，先求出a ⋅b⃗ ，然后根据向量的夹角公式即可求解. 解：因为a ⋅(a −2b ⃗ )=a 2−2a ⋅b ⃗ =|a |2−2a ⋅b ⃗ =4−2a ⋅b ⃗ =2，所以a ⋅b⃗ =1， 设a 与b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ ||b ⃗ |=12， 因为θ∈[0°,180°]， 所以θ=60°， 故选：B.6、已知非零平面向量a ，b ⃗ ，c ，下列结论中正确的是（ ） （1）若a ⋅c =b ⃗ ⋅c ，则a =b ⃗ ；（2）若|a +b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a //b⃗ （3）若|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，则a ⊥b ⃗ （4）若(a +b ⃗ )⋅(a −b ⃗ )=0，则a =b ⃗ 或a =−b ⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4） 答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果. 已知非零平面向量a ，b ⃗ ，c ，（1）若a ⋅c =b ⃗ ⋅c ，则(a −b ⃗ )⋅c =0，所以a =b ⃗ 或(a −b ⃗ )⊥c ，即（1）错； （2）若|a +b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 同向，所以a //b⃗ ，即（2）正确； （3）若|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，则|a |2+|b ⃗ |2+2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2−2a ⋅b ⃗ ，所以2a ⋅b ⃗ =0，则a ⊥b ⃗ ；即（3）正确；（4）若(a +b ⃗ )⋅(a −b ⃗ )=0，则|a |2−|b ⃗ |2=0，所以|a |=|b ⃗ |，不能得出向量共线，故（4）错； 故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.7、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（ ） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC =bsinB ，所 以csin75°=2√3sin60°， 故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( ) A ．①②③是数量，④⑤⑥是向量B ．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C ．①④是数量，②③⑤⑥是向量D ．①②④⑤是数量，③⑥是向量 答案：D分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量． 故选：D ． 多选题9、下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：BD分析：根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 对于选项A ：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，选项A 不正确； 对于选项B ： AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，选项B 正确； 对于选项C ：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，选项C 不正确； 对于选项D ：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 选项D 正确. 故选：BD小提示：本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.10、已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2B =sinAsinC ，则角B 的值不可能是（ ） A ．45°B ．60°C ．75°D ．90° 答案：CD解析：先利用正弦定理得到b 2=ac ，再利用余弦定理和基本不等式得到B ∈(0,π3]，即可判断.∵sin 2B =sinAsinC ， 由正弦定理得： ∴b 2=ac ， ∴cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥2ac−ac 2ac=12，当且仅当a =c 时取等号， 又0<B <π，故B ∈(0,π3]. 故选：CD.小提示：本题主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.属于较易题. 11、（多选）下列说法中正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．任一向量与它的相反向量不相等C ．四边形ABCD 是平行四边形的充要条件AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件 答案：CD分析：A.由单位向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.由相等向量的定义判断； D.由零向量的定义判断. A.单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，故错误；B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故错误；C. 若四边形ABCD 是平行四边形，则一组对边平行且相等，有AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB =DC,AB//DC ，则四边形ABCD 是平行四边形，故正确； D.由零向量的规定，知正确． 故选：CD 填空题12、在△ABC 中， a ＝5，b ＝5√3，A ＝30°，则B ＝________. 答案：60°或120°分析：利用正弦定理求得sinB ，由此求得B . 由正弦定理得asinA =bsinB ， 即5sin30°=5√3sinB ⇒sinB =√32， 由于0°<B <180°， 所以B =60°或B =120°. 所以答案是：60°或120°13、在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若PA⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数），则CD 的长度是________．答案：185或0分析：根据题设条件可设PA⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，结合PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与B,D,C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解. ∵A,D,P 三点共线， ∴可设PA⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m λPB⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)λPC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 若m ≠0且m ≠32，则B,D,C 三点共线， ∴m λ+(32−m)λ=1，即λ=32，∵AP =9，∴AD =3， ∵AB =4,AC =3,∠BAC =90°， ∴BC =5，设CD =x ，∠CDA =θ，则BD =5−x ，∠BDA =π−θ. ∴根据余弦定理可得cosθ=AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD=x6，cos(π−θ)=AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD=(5−x)2−76(5−x)，∵cosθ+cos(π−θ)=0， ∴x6+(5−x)2−76(5−x)=0，解得x =185，∴CD 的长度为185.当m =0时， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32PC⃗⃗⃗⃗⃗ ，C,D 重合，此时CD 的长度为0，当m=32时，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =32PB⃗⃗⃗⃗⃗ ，B,D重合，此时PA=12，不合题意，舍去.所以答案是：0或185.小提示：本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出PA⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)．14、若单位向量a ,b⃗满足a⊥b⃗，且(2a+3b⃗)⊥(ka−4b⃗)，则实数k的值为___________.答案：6分析：根据两向量垂直，可得到(2a+3b⃗)⋅(ka−4b⃗)=0，展开化简即可求出k值.因为a⊥b⃗，所以a⋅b⃗=0，因为(2a+3b⃗)⊥(ka−4b⃗)，所以(2a+3b⃗)⋅(ka−4b⃗)=0，即2ka2−12b⃗2=0，又a ,b⃗是单位向量，所以2k=12，即k=6.所以答案是：6解答题15、在①(b+a−c)(b−a+c)=ac：②cos(A+B)=sin(A−B)；③tan A+B2=sinC这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2√2，___________，___________？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.答案：答案见解析解析：若选①和②：①化简由余弦定理可求得B=π3，则②利用和差角公式化简可得A=π4，进而由正弦定理可求得b的值；若选①和③：①化简由余弦定理可求得B=π3，③利用三角形内角和及切化弦可化简为cosC2sin C2=sinC=2sin C2cos C2，进而求得C=π2，在在Rt△ABC中，b=atanπ3即可求得结果.若选②和③：②利用和差角公式化简可得A=π4或B=3π4.③利用三角形内角和及切化弦可化简为cosC2sin C2=sinC=2sin C2cos C2，进而求得C=π2，则△ABC为等腰直角三角形，所以b=a=2√2.选择条件①和②.因为(b +a −c)(b −a +c)=ac ，所以a 2+c 2−b 2=ac ， 由余弦定理，得cosB =a 2+c 2−b 22ac =12.因为0<B <π，所以B =π3.因为cos(A +B)=sin(A −B)，所以cos (A +π3)=sin (A −π3)， 所以cosAcos π3−sinAsin π3=sinAcos π3−cosAsin π3，所以sinA =cosA .因为0<A <π，所以A =π4.在△ABC 中，由正弦定理asinA=b sinB，得2√2sinπ4=b sinπ3.所以b =2√2sinπ3sinπ4=2√3.选择条件①和③.因为(b +a −c)(b −a +c)=ac ，所以a 2+c 2−b 2=ac . 由余弦定理，得cosB =a 2+c 2−b 22ac =12.因为0<B <π，所以B =π3. 因为tanA+B 2=sinC ，且tanA+B 2=tanπ−C 2=sinπ−C 2cosπ−C 2=cosC 2sin C 2，所以cosC 2sin C 2=sinC =2sin C 2cos C2.因为0<C <π，所以cos C2≠0，所以sin 2C2=12. 因为0<C <π，所以sin C2>0，所以sin C2=√22，可得C =π2.所以在Rt △ABC 中，b =atan π3=2√6.选择条件②和③.因为cos(A +B)=sin(A −B)，所以cosAcosB −sinAsinB =sinAcosB −cosAsinB ， 所以(sinA −cosA)(sinB +cosB)=0.所以sinA =cosA 或sinB =−cosB . 因为0<A <π，0<B <π， 所以A =π4或B =3π4.又因为tanA+B 2=sinC ，且tan A+B 2=tanπ−C 2=sinπ−C 2cosπ−C 2=cosC 2sin C 2，所以cosC 2sin C 2=sinC =2sin C 2cos C2.因为0<C <π，所以cos C2≠0，所以sin 2C2=12.因为0<C <π，所以sin C 2>0，所以sin C2=√22，可得C =π2.在△ABC 中，A +B +C =π，所以A =π4，C =π2，B =π4. 所以△ABC 为等腰直角三角形，所以b =a =2√2. 小提示：思路点晴： （1）先选择哪个条件，（2）再根据正余弦定理化简求值.。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用必考知识点归纳单选题1、已知向量a⃑=(1,−√7)，|b⃑⃑|=3，a⃑⋅b⃑⃑=3√6，则a⃑与b⃑⃑的夹角为（）A．π6B．π4C．π3D．2π3答案：A分析：先计算向量a⃑的模，再根据向量数量积的定义，将a⃑⋅b⃑⃑=3√6展开，即可求得答案. 因为a⃑=(1,−√7)，所以|a⃑|=√12+(−√7)2=2√2，又因为a⃑⋅b⃑⃑=3√6，设a⃑与b⃑⃑的夹角为θ，θ∈[0,π]，所以|a⃑||b⃑⃑|cosθ=3√6，即2√2×3×cosθ=3√6，解得cosθ=√32，故θ=π6，故选：A.2、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=π3，b=3，a=√3，则c=（）．A．√3B．2√3C．3−√3D．3答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3+c2−√3c=9，即c2−√3c−6=0，解得：c=2√3或c=−√3（舍），∴c=2√3.故选：B.3、已知向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，且|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则a⃑⋅b⃑⃑=（）A．√3B．1C．2√3D．2答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则|a⃑|=2，|b⃑⃑|=1，又向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，所以a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑||b⃑⃑|cos⟨a⃑,b⃑⃑⟩=2×1×√32=√3.故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4、已知向量a⃗=(√3,1)，b⃑⃗=(−√3,1)，则a⃗与b⃑⃗的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C分析：根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案解：cos⟨a⃗,b⃑⃑⟩=a⃑⃗⋅b⃑⃑|a⃑⃗||b⃑⃑|=−3+12×2=−12，因为0°≤⟨a⃗,b⃑⃑⟩≤180°，所以⟨a⃗,b⃑⃑⟩=120°，故选：C5、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，C=30∘，c=10.如果△ABC有两解，则a的取值范围是（）A．[10,20]B．[10,10√3]C．(10,10√3)D．(10,20)答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a的不等式，由此可解得a的取值范围.如下图所示：因为△ABC有两解，所以asinC=12a<c=10<a，解得10<a<20.故选：D.6、如图，△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A=2π3，AC=2√3，CD=3√2，则BC=（）A．3√3B．4C．4√2D．6答案：D分析：△ACD中由正弦定理求得∠ADC后可得∠ACD，从而得∠ACB，B角，得AB，用余弦定理可得BC．在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC=AC⋅sinACD =2√3×√323√2=√22，由∠ADC<∠A，所以∠ADC=π4，所以∠ACD=π−2π3−π4=π12，所以∠ACB=π6，则∠B=π6，所以AB=AC=2√3，在△ABC中，由余弦定理得BC2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC=6．故选：D．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC．7、如图，四边形ABCD是平行四边形，则12AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑.故选：D.8、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C. 多选题9、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列命题正确的是（ ） A ．若a 2+b 2<c 2，则C >π2B ．若ab =c 2，则C ≥π3 C ．若a 3+b 3=c 3，则C <π2 D ．若a +b =2c ，则C >π2 答案：AC分析：利用余弦定理及基本不等式一一判断即可； 解：对于A 选项，a 2+b 2<c 2，可以得出cosC =a 2+b 2−c 22ab <0，∴C >π2，故A 正确；对于B 选项，因为ab =c 2，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab≥2ab−ab 2ab=12，当且仅当a =b 时取等号，因为C ∈(0,π)，所以0<C ≤π3，故B 错误；对于C 选项，假设C ≥π2，则c >a ，c >b ，则c 2≥a 2+b 2，所以c 3≥a 2c +b 2c >a 3+b 3与a 3+b 3=c 3矛盾，∴C <π2，故C 正确，对于D 选项，取a =b =c =2，满足a +b =2c ，此时C =π3，故D 错误；故选：AC.10、已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，有以下四个命题中正确命题有 （ ）A ．△ABC 的面积的最大值为40B ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形 C ．当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15D ．当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7 答案：ACD分析：对于A ，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B ，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C ，运用正弦定理可得4b ＝5c ，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D ，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积. 以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，可得B （﹣3，0），C （3，0）， 4sin B ＝5sin C ，可得4b ＝5c ，设A （m ，n ），可得4√(m −3)2+n 2＝5√(m +3)2+n 2，平方可得16（m 2+n 2﹣6m +9）＝25（m 2+n 2+6m +9）， 即有m 2+n 2+823m +9＝0，化为（m +413）2+n 2＝（403）2，则A 的轨迹为以（﹣413，0），半径为403的圆，可得△ABC 的面积的最大值为12×6×403＝40， 故A 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C 即4b ＝5c ，设b ＝5t ，c ＝4t ，由36+16t 2＝25t 2，可得t ＝43，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故B 错误；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB ＝csinC ，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去），sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝√74，可得：c ＝4，b ＝5，则a +b +c ＝15，故C 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得：sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝c √74，可得：c ＝4，b ＝5，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×4×3√78＝15√74. 设△ABC 的内切圆半径为R ，则R ＝2Sa+b+c＝2×15√744+5+6＝√72，S △ABO ＝12cR ＝12×4×√72＝√7.故D 对.故选：ACD .小提示：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题.11、已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−3,1)，则（ ） A ．(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑B ．|a ⃑+2b⃑⃑|=6 C ．向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量是(−65,25)D ．(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量答案：AD分析：根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A ； 根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B ； 根据投影向量的计算公式即可判断C ； 判断向量(2√55,√55)是否与向量a ⃑共线，及模是否为1，即可判断D.解：对于A ，a ⃑+b ⃑⃑=(−1,2)，则(a ⃑+b ⃑⃑)⋅a ⃑=−2+2=0， 所以(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑，故A 正确；对于B ，a ⃑+2b ⃑⃑=(−4,3)，则|a ⃑+2b ⃑⃑|=5，故B 错误； 对于C ，向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为|a ⃑|⋅cos⟨a ⃑,b ⃑⃑⟩⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=a⃑⃑⋅b ⃑⃑|b⃑⃑|⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=−5b ⃑⃑10=(32,−12)，故C 错误； 对于D ，因为向量(2√55,√55)的模等于1，2√55×1−2×√55=0，所以向量(2√55,√55)与向量a ⃑共线，故(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量，故D 正确.故选：AD. 填空题12、骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为___________.答案：36分析：由题意以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系，将所涉及的点的坐标求出，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解.由题意圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，点P 为后轮上的一点，如图以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系：则A (−8,0)，B(−6,2√3)，C(−2,2√3).圆D 的方程为x 2+y 2=3，设P(√3cosα,√3sinα)， 所以AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(6,2√3)，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√3cosα+6,√3sinα−2√3)， 故AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=6sinα+6√3cosα+24=12sin (α+π3)+24≤12+24=36. 所以答案是：36.13、海伦公式是利用三角形的三条边的边长a ，b ，c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：S =√p(p −a)(p −b)(p −c),p =a+b+c 2；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式．现在有周长为10+2√7的△ABC 满足sinA:sinB:sinC =2:3:√7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为___________． 答案：6√3分析：由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． ∵sinA:sinB:sinC =2:3:√7，∴a:b:c =2:3:√7， ∴△ABC 周长为10+2√7，即a +b +c =10+2√7， ∴a =4，b =6，c =2√7，∴p =4+6+2√72=5+√7，∴△ABC 的面积S =√(5+√7)(1+√7)(√7−1)(5−√7)=6√3． 所以答案是：6√3．14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，且a ⃑,b ⃑⃑是不共线的向量，则向量PQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=___________. 答案：−12a ⃑−12b⃑⃑ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑ 所以PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑,EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12b⃑⃑， 所以PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑−12b⃑⃑. 所以答案是：−12a ⃑−12b⃑⃑解答题15、已知向量a ⃑与b ⃑⃑的夹角为120∘，|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2. （1）求(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)的值； （2）求|2a ⃑+b ⃑⃑|的值. 答案：（1）19；（2）2√7.分析：（1）由向量数量积的定义计算即可求解； （2）先计算|2a ⃑+b ⃑⃑|2=(2a ⃑+b ⃑⃑)2的值，再开方即可求解. （1）因为|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑，b ⃑⃑的夹角为120∘， 所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b⃑⃑|⋅cos120∘=3×2×(−12)=−3， 所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)=2a ⃑2−3a ⃑⋅b⃑⃑−2b ⃑⃑2=2|a⃑|2−3a⃑⋅b⃑⃑−2|b⃑⃑|2=2×9−3×(−3)−2×4=19；（2）|2a⃑+b⃑⃑|2=(2a⃑+b⃑⃑)2=4|a⃑|2+4a⃑⋅b⃑⃑+|b⃑⃑|2=36−12+4=28，所以|2a⃑+b⃑⃑|=2√7.。

高中数学第六章平面向量及其应用重点归纳笔记单选题1、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =BC =CD =3AD ，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +518AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +118AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−1118AB⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．−1118AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +119AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：B分析：以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，利用平面向量线性运算的相关运算化简即可. FE⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1318AB⃗⃗⃗⃗⃗ +118AC⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：B2、下列说法中，正确的是（ ）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④ 答案：D分析：根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.①长度为0的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误；③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确； 故选：D3、在△ABC 中，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则△ABC －定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 答案：C分析：根据向量的数量积的运算公式，求得cosA <0，得到A 为钝角，即可求解. 由向量的数量积的运算公式，可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA <0，即cosA <0， 因为A ∈(0,π)，所以A 为钝角，所以△ABC －定是钝角三角形. 故选：C.4、若z (1+i 3)=i ，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断. 因为z(1−i)=i ， 所以z =i1−i =i(1+i)2=−1+i 2，故z 对应的点位于复平面内第二象限． 故选：B ．5、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且B =π3，b =3，a =√3，则c =（ ）． A ．√3B ．2√3C ．3−√3D ．3 答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC 中，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =3+c 2−√3c =9，即c 2−√3c −6=0，解得：c =−√3（舍），∴c =2√3. 故选：B.6、设λ为实数，已知向量m →=(-1，2)，n →=(1，λ).若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则向量m →+2n →与m →之间的夹角为（ ） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4答案：A解析：根据向量垂直的坐标运算解得λ=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量m →=(−1,2),n →=(1,λ)，若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则m →⋅n →=−1×1+2λ=0，解得λ=12，所以m →+2n →=(1,3)，所以(m →+2n →)⋅m →=1×(−1)+3×2=5，|m →+2n →|=√12+32=√10，|m →|=√(−1)2+22=√5，设向量m ⃗⃗ +2n →与m ⃗⃗ 之间的夹角θ ，则0≤θ≤π， ∴cosθ=(m →+2n →)⋅m →|m →+2n →|×|m →|=√10×√5=√22， 所以向量m ⃗⃗ +2n →与m ⃗⃗ 之间的夹角为π4. 故选：A.7、已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，t )，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．-3B ．-2 C ．2D ．3 答案：C分析：根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(t −3)2=1，得t =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)(1,0)=2×1+3×0=2．故选C ．小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．8、已知f (x )=sin (ωx +π6)+cosωx （ω>0），将f (x )图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到g (x )的图象．g (x )的部分图象如图所示（D 、C 分别为函数的最高点和最低点）：其中CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|22，则ω=（ ）cA ．π4B ．π2C ．πD ．2π 答案：C分析：先求出g (x )的解析式，再利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22得到cos∠ACB =12，进而求出|AB |=2，所以T =2×2=4，ω=π 由f (x )=√32sinωx +32cosωx =√3sin (ωx +π3)，∴g (x )=√3sin (12ωx +π3)，因为D 、C 分别为函数的最高点和最低点，所以DA =AC =CB ，由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，即|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2⋅cos∠ACB =|AD |22∴cos∠ACB =12，∴△ACB 为正三角形，又△ABC 的高为√3， ∴|AB |=2 ∴T =2×2=4， ∴即2π12ω=4πω=4，∴ω=π， 故选：C ． 多选题9、下列四式可以化简为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是（ ） A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )B ．(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) C ．QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：ABC分析：由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．A 项中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ； B 项中，(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ； C 项中，QC⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ； D 项中，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故选：ABC10、甲，乙两楼相距20m ，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（ ）A ．甲楼的高度为20√3mB ．甲楼的高度为10√3mC ．乙楼的高度为40√33m D ．乙楼的高度为10√3m 答案：AC分析：根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度.如图示，在Rt △ABD 中，∠ABD =60°，BD =20m ， ∴AD =BDtan60°=20√3m, 在△ABC 中，设AC =BC =x ，由余弦定理得：AB 2=AC 2+BC 2−2AC BC cos∠ACB ，即1600=x 2+x 2+x 2 解得：x =40√33则乙楼的高度分别为40√33m .故选：AC小提示：数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键． 11、等边三角形ABC 中，BD →=DC →,EC →=2AE →，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（ ） A ．AD →=12(AB →+AC →)B ．BE →=23BC →+13BA →C ．AF →=12AD →D ．BF →=12BA →+13BC →答案：AC分析：可画出图形，根据条件可得出D 为边BC 的中点，从而得出选项A 正确； 由EC →=2AE →可得出AE →=13AC →，进而可得出BE →=13BC →+23BA →，从而得出选择B 错误； 可设AF →=12AD →，进而得出AF →=λ2AB →+3λ2AE →，从而得出λ=12，进而得出选项C 正确；由AF →=12AD →即可得出BF →=12BA →+14BC →，从而得出选项D 错误． 如图，∵BD →=DC →，∴D 为BC 的中点，∴AD →=12(AB →+AC →)，∴A 正确； ∵EC →=2AE →，∴AE →=13AC →=13(BC →−BA →)，∴BE →=BA →+AE →=BA →+13(BC →−BA →)=13BC →+23BA →，∴ B 错误；设AF →=λAD →=λ2AB →+λ2AC →=λ2AB →+3λ2AE →，且B ，F ，E 三点共线，∴λ2+3λ2=1，解得λ=12，∴AF →=12AD →，∴C 正确；BF →=BA →+AF →=BA →+12AD →=BA →+12(BD →−BA →)=BA →+14BC →−12BA →=12BA →+14BC →，∴D 错误. 故选：AC12、锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a -b =2b cos C ，则（ ） A ．C =2B B ．B 的取值范围是(π6,π4) C ．B =2C D ．cb 的取值范围是(1,√3) 答案：AB分析：由三角形的正弦定理和两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质化简可得C =2B ，可判断AC ；再由锐角三角形的定义可判断B ；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，结合余弦函数的性质可判断D ． 解：由a −b =2bcosC ，可得sinA −sinB =2sinBcosC ， 即sin(B +C)−2sinBcosC =sinB ，即有sinCcosB −cosCsinB =sin(C −B)=sinB ， 因为三角形ABC 为锐角三角形，所以C −B =B ，即C =2B ，故A 正确，C 错误；由0<B <π2，0<2B <π2，且A =π−B −C =π−3B ∈(0,π2)，解得π6<B <π4，故B 正确； 而cb =sinC sinB=sin2B sinB=2cosB ∈(√2，√3)，故D 错误．故选：AB ．13、已知a 、b ⃗ 是平面上夹角为π3的两个单位向量，c 在该平面上，且(a −c )⋅(b ⃗ −c )=0，则下列结论中正确的有（ ）A ．|a +b ⃗ |=1B ．|a −b ⃗ |=1C ．|c |<√3D ．a +b ⃗ 与c 的夹角是钝角 答案：BC分析：利用平面向量的数量积运算可判断AB 选项的正误；作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，分析得出点C 的轨迹，求出|c |的最大值，可判断C 选项的正误；以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAEB ，考查∠EOC 取最大值时点C 的位置，可判断D 选项的正误.对于A 选项，|a +b ⃗ |2=a 2+b ⃗ 2+2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2|a |⋅|b ⃗ |cos π3=3，故|a +b ⃗ |=√3，A 错； 对于B 选项，|a −b ⃗ |2=a 2+b ⃗ 2−2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2−2|a |⋅|b ⃗ |cos π3=1，故|a −b ⃗ |=1，B 对； 对于CD 选项，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则a −c =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ −c =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(a −c )⋅(b ⃗ −c )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以，CA ⊥CB ，故点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，如下图所示：设线段AB 的中点为点D ，则|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12， 所以，|c |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+12<√3，C 对，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAEB ，则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ⃗ ， 则∠EOC 为向量a +b ⃗ 与c 的夹角，当OC 与圆D 相切时（此时点C 与点Cʹ重合），此时，∠EOC 取得最大值， 连接，则DC ⊥OC ，则∠EOC 为锐角，即a +b ⃗ 与c 的夹角是锐角，D 错误. 故选：BC. 填空题14、设向量a =(1,0),b ⃗ =(1,1)，若向量λa +b ⃗ 与向量c =(6,2)共线，则实数λ=________. 答案：2分析：求得λa +b ⃗ =(λ+1,1)，根据(λa +b ⃗ )//c ，列出方程，即可求解.DC由题意，向量a =(1,0),b ⃗ =(1,1)，可得λa +b ⃗ =λ⋅(1,0)+(1,1)=(λ+1,1)， 因为向量λa +b ⃗ 与向量c =(6,2)共线，所以2(λ+1)−6=0，解得λ=2. 所以答案是：2.15、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______.答案：2352分析：构建直角坐标系，令AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 求P 的坐标，进而可得PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E (2,2)，M (3,1)，又AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，令AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1， 故P(3λ,2−2λ)，则PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−3λ,2λ)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−3λ,2λ−1)， PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1)=13λ2−17λ+6， 所以λ=1726时，PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值2352. 所以答案是：2352.16、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且a ,b ⃗ 是不共线的向量，则向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =___________. 答案：−12a −12b⃗ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b⃗ ， 所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a −12b⃗ . 所以答案是：−12a −12b⃗解答题17、已知f(x)=√3cos2x +2sin (3π2+x)sin(π−x)，x ∈R ，（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且f(A)=−√3，a =4，求BC 边上的高的最大值． 答案：（1）最小正周期为π；单调递减区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)；（2）2√3．分析：（1）整理得f(x)=2cos (2x +π6)，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由f(A)=−√3，可得A =π3，设BC 边上的高为ℎ，所以有12aℎ=12bcsinA ⇒ℎ=√38bc ，由余弦定理可知：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得出bc ≤16，最后可得ℎ最大值.解：（1）f(x)=√3cos2x +2sin (3π2+x)sin(π−x)=√3cos2x −2cosxsinx=√3cos2x −sin2x=2cos (2x +π6)． f(x)的最小正周期为：T =2π|2|=π； 当2kπ≤2x +π6≤2kπ+π(k ∈Z)时，即当kπ−π12≤x ≤kπ+5π12(k ∈Z)时，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)单调递减区间为：[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)；（2）因为f(A)=−√3，所以 f(A)=2cos (2A +π6)=−√3⇒cos (2A +π6)=−√32, ∵A ∈(0,π2)，∴2A +π6∈(π6,7π6)， ∴2A +π6=5π6，∴A =π3． 设BC 边上的高为ℎ，所以有12aℎ=12bcsinA ⇒ℎ=√38bc ， 由余弦定理可知：a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∴=b 2+c 2−bc ，∵b 2+c 2≥2bc ，∴bc ≤16（当用仅当时，取等号），所以ℎ=√38bc ≤2√3，因此BC 边上的高的最大值2√3.18、设向量a =(2,m )，b⃗ =(1,3). (1)若|2a −b⃗ |=|b ⃗ |，求实数m 的值； (2)若a +2b ⃗ 与a 垂直，求实数m 的值.答案：(1)m =1或m =2(2)m =−2或m =−4 分析：（1）首先求出2a −b⃗ 的坐标，再根据向量模的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出a +2b ⃗ ，依题意(a +2b ⃗ )⋅a =0，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；(1)b c解：因为a=(2,m)，b⃗=(1,3)，所以2a−b⃗=2(2,m)−(1,3)=(3,2m−3)，|b⃗|=√12+32=√10因为|2a−b⃗|=|b⃗|，所以√32+(2m−3)2=√10，即(2m−3)2=1，解得m=1或m=2.(2)解：因为a=(2,m)，b⃗=(1,3)，所以a+2b⃗=(2,m)+2(1,3)=(4,6+m)，因为a+2b⃗与a垂直，所以(a+2b⃗)⋅a=2×4+m(6+m)=0，解得m=−2或m=−4.。

2022年高一下《第六章 平面向量及其应用》测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设a →，b →是不共线的两个平面向量，已知AB →=a →−2b →，BC →=3a →+kb →(k ∈R)，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣62．（5分）在△ABC 中，点D 为AC 的中点，点E 在线段BC 上，且BC ＝3BE ，则DE →=（ ） A ．56AC →+23AB →B ．−16AC →+23AB →C ．56AC →+AB →D ．−56AC →+43AB →3．（5分）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →+FC →=（ ） A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC →4．（5分）已知向量a →=(32，cosα)，b →=(cosα，16)，若a →∥b →，则锐角α为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°5．（5分）已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →=a →，BE →=b →，则BC →为（ ） A ．43a →+23b → B ．23a →+43b →C ．23a →−23b →D ．23b →−43a →6．（5分）在△ABC 中，BD →=DC →，AP →=PD →，且BP →=λAB →+μAC →，则λ+μ＝（ ） A ．1B ．12C ．−12D ．147．（5分）已知A （7，1），B （1，4），直线y =12ax 与线段AB 交于C ，且AC →=2CB →，则实数a 等于（ ） A ．2B ．1C ．45D ．538．（5分）在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →=λAB →+μAC →，则λ+μ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识归纳单选题1、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x4+y2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )max =815−5=565， 故选：D.2、已知向量a =(√3,1)，向量a −b ⃑ =(√3+1,√3+1)，则a 与b ⃑ 的夹角大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：D分析：计算可得b →=(−1,−√3)，利用数量积公式计算即可得出结果. ∵向量a =(√3,1)，向量a −b ⃑ =(√3+1,√3+1)， ∴b →=(−1,−√3)，cos <a ⃗,b ⃑⃗>=−√3−√32×2=−√32，且0≤<a ⃗,b ⃑⃗>≤π， ∴a →,b →的夹角为5π6=150°. 故选：D.3、下列说法正确的是（ ）A ．向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ //CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 就是AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线平行于CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．若a =b ⃑ ,b ⃑ =c ，则a =cD ．共线向量是在一条直线上的向量 答案：C分析：根据共线向量的定义可判断A ，D ；由相等向量的定义可判断B ，C ；进而可得正确选项.对于A ：根据共线向量的定义可知向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ //CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 就是AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线与CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线平行或重合，故选项A 不正确；对于B ：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B 不正确； 对于C ：若a =b ⃑ ,b ⃑ =c ，则a =c ，故选项C 正确；对于D ：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D 不正确；故选：C.4、我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，BE⃑⃑⃑⃑⃑ =3EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．1225a +925b ⃑ B ．1625a +1225b⃑ C ．45a +35b ⃑ D ．35a +45b ⃑ 答案：B分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC=a →，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑⃗，BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =3EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 则BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +34EA ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +34(EB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +34(−34BF ⃑⃑⃑⃑⃑ +BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −916BF ⃑⃑⃑⃑⃑ +34BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，解得BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =1625BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +1225BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =1625a ⃗+1225b ⃑⃗. 故选：B5、在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sinBsinC 3sinA=cosA a+cosC c，且S △ABC =√34(a 2+b 2−c 2)，则c 2a+b的取值范围是（ ）A ．(6,2√3]B ．(6,4√3]C ．[12,√33)D ．[√3,2) 答案：D分析：根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C 及边c ，再求出a +b 的范围即可计算作答.在锐角△ABC 中，由余弦定理及三角形面积定理得：S △ABC =√34(a 2+b 2−c 2)=√32abcosC =12absinC ， 即有tanC =√3，而C ∈(0,π2)，则C =π3，又sinBsinC 3sinA=cosA a+cosC c，由正弦定理、余弦定理得，b⋅√323a =b 2+c 2−a 22bca+a 2+b 2−c 22abc，化简得：c =2√3，由正弦定理有：a sinA=b sinB=c sinC=√3√32=4，即a =4sinA ，b =4sinB ，△ABC 是锐角三角形且C =π3，有A ∈(0,π2)，B =2π3−A ∈(0,π2)，解得A ∈(π6,π2)，因此a +b =4(sinA +sinB)=4[sinA +sin(2π3−A)] =4(sinA +√32cosA +12sinA)=4√3sin(A +π6)，由A ∈(π6,π2)得：A +π6∈(π3,2π3)，sin(A +π6)∈(√32,1]， 所以c 2a+b =4√3sin(A+π6)∈[√3,2)．故选：D小提示：思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.6、已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若AB =2，∠BAD =60°，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=（ ） A ．−2B ．−12C ．−72D ．12 答案：B分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解. 解：如图，以点O 为坐标原点，OD,OA 所在直线为x,y 轴建立平面直角坐标系， 由AB =2，∠BAD =60°，所以A(0,√3)，B(−1,0)，D(1,0)，E(0,√32)， 所以AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(−1,−√3),DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(−1,√32)， 所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=1−32=−12. 故选：B小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.7、已知向量a =(−1,m )，b ⃑ =(2,4)，若a 与b ⃑ 共线，则m =（ ） A ．−1B ．1C ．−2D ．2 答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案. 由题意得2m =−4，即m =−2. 故选：C8、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =√5，c =2，cosA =23，则b 等于（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3 答案：D分析：根据余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，将已知量代入即可解得答案.根据余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即5=b 2+4−2×b ×2×23，亦即b 2−83b −1=0，解得b =3或b =−13（舍去）.故选：D. 多选题9、已知实数m 、n 和向量a 、b ⃑ ，下列结论中正确的是（ ） A ．m(a −b ⃑ )=ma −mb ⃑ B ．(m −n )a =ma −naC ．若ma =mb ⃑ ，则a =b ⃑D ．若ma =na (a ≠0⃑ )，则m =n 答案：ABD分析：利用平面向量的线性运算可判断ABCD 选项. 对于A 选项，m(a −b ⃑ )=ma −mb ⃑ ，A 对； 对于B 选项，(m −n )a =ma −na ，B 对；对于C 选项，若ma =mb ⃑ ，则m(a −b ⃑ )=0⃑ ，所以，m =0或a =b⃑ ，C 错； 对于D 选项，若ma =na (a ≠0⃑ )，则(m −n )a =0⃑ ，所以，m −n =0，即m =n ，D 对. 故选：ABD.10、如图所示，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）A ．AD⃑⃑⃑⃑⃑ 与AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．DA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与BC ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与DC ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：AC分析：分析两个向量是否共线，不共线的两个向量可以作为基底. B 中DA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线，D 中OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线，A 、C 中两向量不共线， 故选：AC.11、点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）A ．若动点P 满足OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λ(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinB +AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinC )(λ>0)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的垂心； B ．若OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅(AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅(BC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)=0，则点O 为△ABC 的内心；C ．若(OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)⋅AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，则点O 为△ABC 的外心； D ．若动点P 满足OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λ(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cosB +AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cosC )(λ>0)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 答案：BC分析：A 由正弦定理知|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinB =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinC =m ，且OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，代入已知等式得AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，即知P 的轨迹一定经过的哪种心；B 、C 分别假设O 为△ABC 的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D 由OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值，即知P 的轨迹一定经过的哪种心； A ：由正弦定理知|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinB =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|sinC =m ，而OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，即动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，故错误.B ：若O 为△ABC 的内心，如下图示：OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=−|AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，同理OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=−|AD⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=−|BF⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=−|BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|， ∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−|AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=0，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−|BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=0，故正确；C ：若O 为△ABC 的外心，D,E 分别为AB,BC 的中点，则OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，而OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，同理OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2OE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，又OE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，故(OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗= (OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，正确；D ：由OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，故AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λ(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cosB +AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cosC )=λ(−|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|+|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)=0，即AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，动点P 的轨迹一定经过△ABC 的垂心，错误.故选：BC小提示：关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，或假设O 为△ABC 的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立. 填空题12、已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2acosB =c ，D 是BC 的中点，若AD =2，则b +√2c 的最大值为______． 答案：4√2分析：利用正弦定理将边化角，即可得到A =B ，再结合cos∠ADB +cos∠ADC =0得到b 2+2c 2=16，最后借助基本不等式即可求解．解：因为2acosB =c ，由正弦定理可得2sinAcosB =sinC 所以2cosBsinA =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ， 化简得sinBcosA −sinAcosB =0，即sin(A −B)=0，因为A,B ∈(0,π)，所以A −B ∈(−π,π) 所以A =B ，又∠ADB +∠ADC =π，cos∠ADB +cos∠ADC =0， 由余弦定理知AD 2+DB 2−AB 22AD⋅DB +AD 2+DC 2−AC 22AD⋅DC=0，即22+(a 2)2−c 22×2⋅a 2+22+(a 2)2−b 22×2⋅a 2=0，又a =b ，化简得b 2+2c 2=16， b 2+2c 2=(b +√2c)2−2b ⋅√2c =16， 又2b ⋅√2c ≤2⋅(b+√2c 2)2=(b+√2c)22，当且仅当b =√2c 时取等号，故(b +√2c)2−(b+√2c)22⩽16，即b +√2c ⩽4√2．所以答案是：4√2．13、a →，b →为不共线的向量，设条件M:b →⊥(a →−b →)；条件N:对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立．则M 是N 的__________条件． 答案：充要分析：由条件M:b →⊥(a →−b →)，可得b ⃑ ⋅(a −b ⃑ )=a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2=0；不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑ 2−2xa ⋅b ⃑ +2a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2≥0．由于对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立，所以可得Δ≤0，化简即可得出．由条件M:b →⊥(a →−b →)，可得b ⃑ ⋅(a −b ⃑ )=a ⋅b⃑ −b ⃑ 2=0；不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑ 2−2xa ⋅b ⃑ +2a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2≥0， ∵对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立， ∴Δ=4(a ⋅b ⃑ )2−4(2a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2)b ⃑ 2≤0， 化为(a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2)2≤0， ∴a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2=0，所以M ⇔N ． 所以答案是：充要．小提示：关键点睛：本题的解题关键是由不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑ 2−2xa ⋅b ⃑ +2a ⋅b ⃑ −b ⃑ 2≥0后由一元二次不等式的知识得出Δ=4(a b ⃑ )2−4(2a b⃑ −b ⃑ 2)b ⃑ 2≤0，从而得解. 14、已知向量a ⃗=(−4,3)，点A(1,1)，B(2,−1)，记A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量a 上的投影向量，若A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λa ⃗，则λ=_________． 答案：−25分析：先求得AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量a 上的投影，再根据A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量a 上的投影，求得A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，然后由A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λa ⃗求解.因为点A(1,1)，B(2,−1)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−2)，又向量a ⃗=(−4,3)， 所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量a 上的投影AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅a ⃑ |a ⃑ |=−105=−2，所以A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−2×a ⃑ |a ⃑ |=(−85,65) 因为A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λa ⃗，所以λ= −25， 所以答案是：−25解答题15、某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.答案：西北方向吹来；√2a 千米/小时.分析：由题意，确定分运动和合运动的关系，根据运动的合成与分解法则，由人的运动即可确定风的实际运动.解：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为−a ，设实际风速为v ，那么此时人感到风速为v −a ，设OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =−a ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−2a ,OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =v ，因为PO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =PA⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =v −a ，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为PO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =v −2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB⃑⃑⃑⃑⃑ ， 由题意：∠PBO ＝45°，PA ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝√2a ，即|v |=√2a ，所以实际风速为√2a 千米每小时，方向为西北方向吹来.。

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案考点总结单选题1、P 是△ABC 所在平面内一点，满足|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ −2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2、已知向量a ⃑=(2，3)，b ⃗⃑=(3，2)，则|a ⃑–b⃗⃑|= A ．√2B ．2C ．5√2D ．503、下列说法错误的是（ ）A ．向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑的长度与向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等4、设在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c ， 若 bcosC +ccosB =asinA ， 则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形5、向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(7,−5)，将AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑按向量a ⃑=(3,6)平移后得到向量A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑，则A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑的坐标形式为（ ）A ．(10,1)B ．(4,−11)C ．(7,−5)D ．(3,6)6、在正方形ABCD 中，BC⃗⃗⃗⃗⃗⃑−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=（ ） A ．BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑B ．DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑C ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑D ．DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑7、在△ABC 中，已知a =11，b =20，A =130°，则此三角形（ ）A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定8、若z(1+i 3)=i ，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限多选题9、已知e 1⃗⃗⃗⃑､e 2⃗⃗⃗⃑是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1⃗⃗⃗⃑+λe 2⃗⃗⃗⃑|的最小值为√32，则下列结论正确的是（ ）A ．e 1⃗⃗⃗⃑､e 2⃗⃗⃗⃑的夹角是π3B ．e 1⃗⃗⃗⃑､e 2⃗⃗⃗⃑的夹角是2π3C ．|e 1⃗⃗⃗⃑+e 2⃗⃗⃗⃑|=√32D ．|e 1⃗⃗⃗⃑+e 2⃗⃗⃗⃑|=110、[多选]向量a =2e ,b ⃗ =−6e ，则下列说法正确的是（ ）A ．a //b ⃗B ．向量a ,b⃗ 方向相反 C ．|a |=3|b ⃗ |D ．b ⃗ =−3a11、已知λ，μ∈R ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(λ,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−1,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1,μ)，那么（ ）A ．CB⃗⃗⃗⃗⃗⃑+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(λ−1,1−μ) B ．若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑∥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，则λ=2，μ=12C ．若A 是BD 中点，则B ，C 两点重合D ．若点B ，C ，D 共线，则μ=1填空题12、在直角坐标系中，O 为原点,O 、A 、B 不共线，xOA⃗⃗⃗⃗⃗⃑+yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，则x +y =________部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(二十)参考答案1、答案：B分析：根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此可判断出△ABC 的形状. 由|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ −2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 等式|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |两边平方，化简得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因此，△ABC 是直角三角形.故选：B.小提示：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．2、答案：A分析：本题先计算a ⃑−b ⃗⃑，再根据模的概念求出|a ⃑−b⃗⃑|． 由已知，a ⃑−b⃗⃑=(2,3)−(3,2)=(−1,1)， 所以|a ⃑−b⃗⃑|=√(−1)2+12=√2， 故选A小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3、答案：D分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.A.向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑与向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑的方向相反，长度相等，故A 正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B 正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C 正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D 不正确.小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.4、答案：A分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得sinA =sin 2A ，得到sinA =1，求得A =π2，即可求解.因为bcosC +ccosB =asinA ，由正弦定理可得sinBcosC +sinCcosB =sin 2A ，即sin (B +C )=sin 2A ，即sinA =sin 2A ，所以sinA =1，又因为A ∈(0,π)，所以A =π2，所以是直角三角形.故选：A.5、答案：C分析：由向量平移可知，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑与AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑方向相同且长度相等，即可得A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑的坐标.因为平移后，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑与AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑方向相同且长度相等，故A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(7,−5). 故选：C6、答案：C分析：根据平面向量加减运算法则计算可得.解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑.故选：C.7、答案：A分析：根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为180°，即可判断解的情况. ∵a <b ，∴A <B ，又∵A =130°，∴A +B +C >180°，故此三角形无解．故选:A.8、答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.因为z(1−i )=i ，所以z =i 1−i =i (1+i )2=−1+i 2，故z 对应的点位于复平面内第二象限．故选：B ．9、答案：ABD分析：根据条件知，(e 1⃗⃗⃗⃑+λe 2⃗⃗⃗⃑)2的最小值为34，结合二次函数与方程的特点可求出e 1⃗⃗⃗⃑,e 2⃗⃗⃗⃑的夹角为π3或2π3，从而求出|e 1⃗⃗⃗⃑+e 2⃗⃗⃗⃑|的值．∵ e 1⃗⃗⃗⃑，e 2⃗⃗⃗⃑是两个单位向量，且|e 1⃗⃗⃗⃑+λe 2⃗⃗⃗⃑|的最小值为√32，∴ (e 1⃗⃗⃗⃑+λe 2⃗⃗⃗⃑)2的最小值为34，(e 1⃗⃗⃗⃑+λe 2⃗⃗⃗⃑)2=λ2+2λe 1⃗⃗⃗⃑⋅e 2⃗⃗⃗⃑+1的最小值为34， 即λ2+2λe 1⃗⃗⃗⃑⋅e 2⃗⃗⃗⃑+14=0在λ∈R 上有唯一一个解，所以Δ=(2e 1⃗⃗⃗⃑⋅e 2⃗⃗⃗⃑)2−1=0，所以e 1⃗⃗⃗⃑⋅e 2⃗⃗⃗⃑=±12 ∴ e 1⃗⃗⃗⃑与e 2⃗⃗⃗⃑的夹角为π3或2π3，所以A,B 正确，∴ |e 1⃗⃗⃗⃑+e 2⃗⃗⃗⃑|2=1或3， ∴ |e 1⃗⃗⃗⃑+e 2⃗⃗⃗⃑|=1或√3，所以D 正确，故选：ABD ．10、答案：ABD分析：根据向量的数乘运算，即可得到答案；因为a =2e ,b ⃗ =−6e ，所以b ⃗ =−3a ，故D 正确；由向量共线定理知，A 正确；－3<0，a 与b⃗ 方向相反，故B 正确； 由上可知|b ⃗ |=3|a |，故C 错误．故选：ABD11、答案：AC分析：根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.A 选项，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(λ,1)−(1,μ)=(λ−1,1−μ)，A 选项正确.B 选项，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑//AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，则λ⋅μ=1，故可取λ=3,μ=13，B 选项错误. C 选项，若A 是BD 的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑=−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，即(λ,1)=(−1,−μ)⇒λ=μ=−1， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−1,1)，所以B,C 两点重合，C 选项正确. D 选项，由于B,C,D 三点共线，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑//BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑， BC⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(−1,1)−(λ,1)=(−1−λ,0)， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(1−λ,μ−1)， 则(−1−λ)×(μ−1)=0×(1−λ)⇒λ=−1或μ=1，所以D 选项错误. 故选：AC12、答案：0解析：根据向量的线性运算求出(x +2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+(y −2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=0⃗ ，根据对应关系求出x +y 的值即可．∵ xOA⃗⃗⃗⃗⃗⃑+yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑， ∴xOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)，∴(x +2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+(y −2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=0⃗ ，∴x =−2，y =2，x +y =0.所以答案是：0．。

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案知识点总结(超全)单选题1、已知向量AB →=(2,2)，AC →=(t,1)，若AB →⋅BC →=2，则t =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．22、已知向量a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(−2,3)，那么|a ⃗−2b ⃗⃗|=（ ） A ．5B ．5√2C ．8D ．√743、在平行四边形ABCD 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，若BA⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=（ ） A ．2√3B ．3√3C ．4√3D ．34、我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．1225a +925b ⃗ B ．1625a +1225b⃗ C ．45a +35b ⃗ D ．35a +45b ⃗ 5、一个骑行爱好者从A 地出发向西骑行了2km 到达B 地，然后再由B 地向北偏西60°骑行2√3km 到达C 地，再从C 地向南偏西30°骑行了5km 到达D 地，则A 地到D 地的直线距离是（ ） A ．8B ．3√7C ．3√3D ．56、已知a ，b ⃗ 是不共线的向量，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b⃗ ，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+17、已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若AB =2，∠BAD =60°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ） A ．−2B ．−12C ．−72D ．128、若非零向量a ⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗|=3|b ⃗⃗|, (2a ⃗+3b ⃗⃗)⊥b ⃗⃗，则a ⃗与b ⃗⃗的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 多选题9、已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC,AB 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗B ．AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C ．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3D ．ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为7610、在下列向量组中，可以把向量a →=(3,2)表示出来的是（ ） A ．e 1→=(0,0),e 2→=(1,2)B ．e 1→=(−1,2),e 2→=(5,−2) C ．e 1→=(3,5),e 2→=(6,10)D ．e 1→=(2,−3),e 2→=(2,3)11、已知λ，μ∈R ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,μ)，那么（ ） A ．CB⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1,1−μ) B ．若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=2，μ=12C ．若A 是BD 中点，则B ，C 两点重合 D ．若点B ，C ，D 共线，则μ=1 填空题12、在直角坐标系中，O 为原点,O 、A 、B 不共线，xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =________部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(十三)参考答案1、答案：B分析：先根据已知条件计算BC →，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案. 解：根据题意得：BC →=AC →−AB →=(t,1)−(2,2)=(t −2,−1)， 所以AB →⋅BC →=2(t −2)+2×(−1)=2t −4−2=2，解得t =4. 故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题. 2、答案：B分析：根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果. 因为向量a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(−2,3)，所以a ⃗−2b ⃗⃗=(5,−5) |a ⃗−2b ⃗⃗|=√52+(−5)2=5√2. 故选：B. 3、答案：B解析：由题意分析可知，四边形ABCD 为菱形且∠ABC =120∘，然后求解|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∵BA⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则BD 平分∠ABC ，则四边形ABCD 为菱形. 且∠ABC =120∘，由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√3, 故选：B.小提示：关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意a⃗ |a ⃗ |为a 上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题. 4、答案：B分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC=a →，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗⃗，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(−34BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −916BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1625BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +1225BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1625a ⃗+1225b⃗⃗.故选：B 5、答案：B分析：根据给定信息作出图形，再利用三角形正弦定理、余弦定理计算作答. 如图，在△ABC 中，∠ABC =150∘，AB =2,BC =2√3，依题意，∠BCD =90∘，在△ABC 中，由余弦定理得：AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcos∠ABC =√2=2√7，由正弦定理得：sin∠ACB =ABsin∠ABCAC=2√7，在△ACD 中，cos∠ACD =cos(90∘+∠ACB)=−sin∠ACB =2√7，由余弦定理得：AD =√AC 2+CD 2−2AC ⋅CDcos∠ACD =√28+25+2×2√7×52√7=3√7，所以A 地到D 地的直线距离是3√7km. 故选：B 6、答案：B解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 再由AB⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b⃗ ， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B. 7、答案：B分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.解：如图，以点O 为坐标原点，OD,OA 所在直线为x,y 轴建立平面直角坐标系， 由AB =2，∠BAD =60°，所以A(0,√3)，B(−1,0)，D(1,0)，E(0,√32)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−√3),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√32)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1−32=−12. 故选：B小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题. 8、答案：C分析：设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ, |b ⃗⃗|=t ，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得cosθ=−12，进而得答案.解：根据题意，设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ, |b ⃗⃗|=t ，则|a ⃗|=3|b ⃗⃗|=3t ， 若(2a ⃗+3b ⃗⃗)⊥b ⃗⃗，则(2a ⃗+3b ⃗⃗)⋅b ⃗⃗=2a ⃗⋅b⃗⃗+3b ⃗⃗2=6t 2cosθ+3t 2=0，即cosθ=−12，又由0≤θ≤π，则θ=2π3，故选：C ． 9、答案：BD解析：可证明EO =CE ，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 因为△ABC 是边长为2的等边三角形，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以E 为AB 的中点，且CE ⊥AB ，以E 为原点如图建立直角坐标系，则E (0,0)，A (−1,0)，B (1,0)，C(0,√3)， 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,2√33)，则D (−13,2√33)， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得GE//AD 且GE =12AD =DC ， 所以△CDO ≌△EGO ，EO =CO ，则O (0,√32)， 对于A ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误； 对于B ，由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故B 正确； 对于C ，OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√32)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,√36)，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,−√33)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23，故C 错误； 对于D ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,2√33)， 所以ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+22=76，故D 正确. 故选：BD.小提示：关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键. 10、答案：BD分析：根据a →=λe 1→+μe 2→， 选项A ：无解，故选项A 不能；选项B ： 解得λ=2，μ=1，故选项B 能． 选项C ：无解，故选项C 不能． 选项D ：解得λ=512，μ=1312，故选项D 能．解：根据a →=λe 1→+μe 2→，选项A ：(3，2)=λ(0，0)+μ(1，2)，则3=μ，2=2μ，无解，故选项A 不能；选项B ：(3，2)=λ(−1，2)+μ(5，−2)，则3=−λ+5μ，2=2λ−2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B 能． 选项C ：(3，2)=λ(3，5)+μ(6，10)，则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D ：(3，2)=λ(2，−3)+μ(2，3)，则3=2λ+2μ，2=−3λ+3μ，解得λ=512，μ=1312，故选项D 能． 故选：BD 11、答案：AC分析：根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. A 选项，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,1)−(1,μ)=(λ−1,1−μ)，A 选项正确.B 选项，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ⋅μ=1，故可取λ=3,μ=13，B 选项错误.C 选项，若A 是BD 的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(λ,1)=(−1,−μ)⇒λ=μ=−1，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，所以B,C 两点重合，C 选项正确. D 选项，由于B,C,D 三点共线，所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ //BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)−(λ,1)=(−1−λ,0)， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,μ−1)， 则(−1−λ)×(μ−1)=0×(1−λ)⇒λ=−1或μ=1，所以D 选项错误. 故选：AC 12、答案：0解析：根据向量的线性运算求出(x +2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(y −2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗，根据对应关系求出x +y 的值即可． ∵ xOA⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴(x +2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(y −2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗， ∴x =−2，y =2，x +y =0. 所以答案是：0．。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用知识点汇总单选题1、设λ为实数，已知向量m⃗⃗ =(-1，2)，n⃗=(1，λ).若m⃗⃗ ⊥n⃗，则向量m→+2n⃗与m→之间的夹角为（）A．π4B．π3C．2π3D．3π4答案：A解析：根据向量垂直的坐标运算解得λ=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量m⃗⃗ =(−1,2),n⃗=(1,λ)，若m⃗⃗ ⊥n⃗，则m⃗⃗ ⋅n⃗=−1×1+2λ=0，解得λ=12，所以m⃗⃗ +2n⃗=(1,3)，所以(m⃗⃗ +2n⃗ )⋅m⃗⃗ =1×(−1)+3×2=5，|m⃗⃗ +2n⃗ |=√12+32=√10，|m⃗⃗ |=√(−1)2+22=√5，设向量m⃗⃗ +2n⃗与m⃗⃗ 之间的夹角θ，则0≤θ≤π，∴cosθ=(m⃗⃗⃗ +2n⃗ )⋅m⃗⃗⃗|m⃗⃗⃗ +2n⃗ |×|m⃗⃗⃗ |=√10×√5=√22，所以向量m⃗⃗ +2n⃗与m⃗⃗ 之间的夹角为π4. 故选：A.2、锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=7、b=8，m⃗⃗ =(12,cosA)，n⃗=(sinA，−√32)，且m⃗⃗ ⊥n⃗，则△ABC的面积为（）A．√3B．3√3C．5√3D．10√3答案：D分析：先由向量垂直得到A=π3，利用余弦定理求出c=3或c=5，利用锐角三角形排除c=3，从而c=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sinA−√32cosA=0，故tanA=√3，因为A∈(0,π2)，所以A=π3，由余弦定理得：cosA=64+c 2−492×8c =12，解得：c=3或c=5，当c=3时，最大值为B，其中cosB=49+9−642×7×3<0，故B为钝角，不合题意，舍去；当c=5时，最大值为B，其中cosB=49+25−642×7×5>0，故B为锐角，符合题意，此时S△ABC=12bcsinA=12×8×5×√32=10√3.故选：D3、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则△ABC的面积S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2].已知在△ABC中，accosB=6,b=2√2，则△ABC面积的最大值为（）A．√33B．2√33C．2D．4 答案：D分析：由条件accosB=6,b=2√2得a2+c2=20，由基本不等式得ac≤10，再由S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]可求解.∵accosB=ac·a2+c2−b22ac =a2+c2−b22=6，又∵b=2√2，a2+c2=12+b2=20.∴ac≤a2+c22=10（当且仅当a=c=√10时取等号）.∴S△ABC=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2]=√14(a2c2−62)≤√14×(102−62)=4，∴△ABC面积的最大值为4. 故选：D4、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2√2，点P 是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ ）A ．[−4√2,4√2]B ．[−4√2,8+4√2]C ．[8−4√2,8+4√2]D ．[−4√2,8−4√2] 答案：B分析：先求出AP⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围即可.如图，作AM ⊥GH 的延长线于M ，BN ⊥DC 的延长线于N ，根据正八边形的特征，可知AM =BN =2， 于是AP⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影的取值范围为[−2,2√2+2]，结合向量数量积的定义可知，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模与AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影的乘积， 又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2√2×(2√2+2)=8+4√2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为2√2×(−2)=−4√2． 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−4√2,8+4√2]. 故选：B ．5、向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−5)，将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量a =(3,6)平移后得到向量A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标形式为（ ） A ．(10,1)B ．(4,−11) C ．(7,−5)D ．(3,6) 答案：C分析：由向量平移可知，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等，即可得A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标. 因为平移后，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等，故A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−5). 故选：C6、在△ABC 中，已知a =11，b =20，A =130°，则此三角形（ ） A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定 答案：A分析：根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为180°，即可判断解的情况. ∵a <b ，∴A <B ，又∵A =130°，∴A +B +C >180°， 故此三角形无解． 故选:A.7、已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若AB =2，∠BAD =60°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．−2B ．−12C ．−72D ．12答案：B分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解. 解：如图，以点O 为坐标原点，OD,OA 所在直线为x,y 轴建立平面直角坐标系， 由AB =2，∠BAD =60°，所以A(0,√3)，B(−1,0)，D(1,0)，E(0,√32)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√32)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−32=−12. 故选：B小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.8、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BC AC=√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC2AC=√5−14，故BC AC=√5−12； 所以BDAB =√5−12， 设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．9、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（ ） A ．向东南走3√2km B ．向东北走3√2km C ．向东南走3√3km D ．向东北走3√3km 答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ， 再向北走3km ，即向东北走3√2km . 故选：B.10、已知向量a ,b ⃗ 满足|a |=2,|b ⃗ |=1,a ⋅(a −2b ⃗ )=2，则a 与b ⃗ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：B分析：由题意，先求出a ⋅b⃗ ，然后根据向量的夹角公式即可求解. 解：因为a ⋅(a −2b ⃗ )=a 2−2a ⋅b ⃗ =|a |2−2a ⋅b ⃗ =4−2a ⋅b ⃗ =2，所以a ⋅b⃗ =1， 设a 与b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ ||b ⃗|=12， 因为θ∈[0°,180°]， 所以θ=60°， 故选：B. 填空题11、滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A ，B ，C 处测得阁顶端点P 的仰角分别为30∘，60∘，45∘.且AB =BC =75米，则滕王阁高度OP =___________米.答案：15√15分析：设OP=√3ℎ，由边角关系可得OA=3ℎ，OB=ℎ，OC=√3ℎ，在△OBC和△OAB中，利用余弦定理列方程，结合cos∠OBC+cos∠OBA=0可解得ℎ的值，进而可得OP长.设OP=√3ℎ，因为∠PAO=30∘，∠PBO=60∘，∠PCO=45∘，所以OA=POtan30∘=√3ℎ√33=3ℎ，OB=POtan60∘=√3ℎ√3=ℎ，OC=POtan45∘=√3ℎ，.在△OBC中，OC2=OB2+BC2−2OB⋅BC⋅cos∠OBC，即3ℎ2=ℎ2+752−2×75ℎcos∠OBC①.，在△OAB中，OA2=OB2+AB2−2OB⋅AB⋅cos∠OBA，即9ℎ2=ℎ2+752−2×75ℎcos∠OBA②，因为cos∠OBC+cos∠OBA=0，所以①②两式相加可得：12ℎ2=2ℎ2+2×752，解得：ℎ=15√5，则OP=√3ℎ=15√15，所以答案是：15√15.12、已知非零向量a，b⃗满足|b⃗|=√2|a|，且(a−b⃗)⊥(3a+2b⃗)，则a与b⃗的夹角为______________．答案：3π4##135°分析：由垂直转化得数量积为0，再将数量积转化为模长公式，即可求解.由(a−b⃗)⊥(3a+2b⃗)可得(a−b⃗)⋅(3a+2b⃗)=0，即3a2−2b⃗2−a⋅b⃗=0，因为|b⃗|=√2|a|，不妨令|a|=1，则|b⃗|=√2，3a2−2b⃗2−a⋅b⃗=0⇔3|a|2−2|b⃗|2−|a|⋅|b⃗|⋅cos⟨a ,b⃗⟩=0，代值化简得cos⟨a ,b⃗⟩=−√22，因为向量夹角范围为[0,π]，故a与b⃗的夹角为3π4.所以答案是：3π413、已知AD是△ABC的内角A的平分线，AB=3，AC=5，∠BAC=120°，则AD长为________．答案：158分析：先利用等面积法得到S△ABD+S△CAD＝S△ABC，再利用面积公式代值化简即可.∵AD是△ABC的内角A的平分线，且∠BAC=120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∵S△ABD+S△CAD＝S△ABC，∴12AB⋅ADsin∠BAD+12AC⋅ADsin∠CAD=12AB⋅ACsin∠BAC,即12×3AD×√32+12×5AD×√32=12×3×5×√32,解得：AD=158.所以答案是：15814、设向量a=(1,−1),b⃗=(m+1,2m−4)，若a⊥b⃗，则m=______________.答案：5分析：根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 由a⊥b⃗可得a⋅b⃗=0，又因为a=(1,−1),b⃗=(m+1,2m−4)，所以a ⋅b ⃗ =1⋅(m +1)+(−1)⋅(2m −4)=0， 即m =5， 所以答案是：5.小提示：本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.15、如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC →⋅BC →的取值范围是___________.答案：[−18,3]分析：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD ⊥BC .设θ为OA →和BC →的夹角.求出 AC →⋅BC →=12|BC →|2−12|BC →|cosθ,利用二次函数即得解.解：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD ⊥BC .设θ为OA →和BC →的夹角.则AC →⋅BC →=(OC →−OA →)⋅BC →=OC →⋅BC →−OA →⋅BC →=|OC →|⋅|BC →|⋅cos∠BCO −|OA →|⋅|BC →|⋅cosθ =12|BC →|2−12|BC →|cosθ，12|BC →|2−12|BC →|cosθ≥12|BC →|2−12|BC →| =12(|BC →|−12)2−18， （当cosθ=1即θ=0时取等）因为|BC →|∈[0,2]，所以当|BC →|=12时，AC →⋅BC →有最小值−18.12|BC →|2−12|BC →|cosθ≤12|BC →|2+12|BC →| =12(|BC →|+12)2−18， （当cosθ=−1即θ=π时取等）当|BC →|=2时，12|BC →|2+12|BC →|有最大值为3，即AC →⋅BC →有最大值3，所以AC →⋅BC →的取值范围是[−18,3].所以答案是：[−18,3] 小提示：关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型AC →⋅BC →=12|BC →|2−12|BC →|cosθ，再利用二次函数的图象和性质求解.解答题16、如图，已知正方形ABCD 的边长等于单位长度1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，试着写出向量.（1）a +b ⃗ +c ；（2）a −b ⃗ +c ，并求出它的模.答案：（1）2c ；（2）2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，2. 分析：（1）由a +b ⃗ +c =(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即得解； （2）由a −b ⃗ +c =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )即得解.（1）a +b ⃗ +c =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2c ；（2）a −b ⃗ +c =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴|a −b ⃗ +c |=2|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 小提示：本题主要考查向量的加法法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17、已知向量a ,b ⃗ 满足|a |=2,|b ⃗ |=1,|a −b⃗ |=2． (1)求a ⋅b⃗ 的值； (2)求|a +b⃗ |的值． 答案：(1)12 (2)√6分析：（1）由|a |=2,|b ⃗ |=1,|a −b ⃗ |2=a 2−2a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=4，即可求解； （2）由|a +b ⃗ |2=a 2+2a ⋅b⃗ +b ⃗ 2，代入即可求解. （1）解：因为|a |=2,|b ⃗ |=1,|a −b⃗ |=2， 可得|a |=2,|b ⃗ |=1,|a −b ⃗ |2=a 2−2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4−2a ⋅b ⃗ +1=4，解得a ⋅b ⃗ =12. （2）解：因为|a +b ⃗ |2=a 2+2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4+2×12+1=6，所以|a +b ⃗ |=√6. 18、△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2B −cos 2C =2sinA (sinC −sinA )．(1)若A:C =1:3，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)若△ABC 为锐角三角形，其外接圆半径为√3，求△ABC 周长的取值范围．答案：(1)直角三角形，理由见解析(2)(3+3√3,9]分析：（1）利用二倍角公式、正弦定理以及余弦定理可求得cosB 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值，再利用三角形的内角和定理以及已知条件可求得角A 、C 的值，即可判断出△ABC 的形状；（2）利用正弦定理可得出a sinA =c sinC =2√3，利用三角恒等变换可得出a +c =6sin (A +π6)，求出角A 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得a +b +c 的取值范围.（1）解：因为2sinA (sinC −sinA )=cos 2B −cos 2C =(1−2sin 2B )−(1−2sin 2C )， 即sin 2A +sin 2C −sin 2B =sinAsinC ，由正弦定理可得a 2+c 2−b 2=ac ，由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac =12，∵B ∈(0,π)，则B =π3， 由已知{C =3A A +C =2π3 ，可得A =π6，C =π2，此时，△ABC 为直角三角形.（2）解：由正弦定理可得a sinA =c sinC =2√3，则a +c =2√3sinA +2√3sinC =2√3sinA +2√3sin (A +π3)=2√3sinA +2√3(12sinA +√32cosA)=3√3sinA +3cosA =6sin (A +π6)， 因为△ABC 为锐角三角形，则{0<A <π2A +B >π2 ，可得π6<A <π2， 所以，π3<A +π6<2π3，则√32<sin (A +π6)≤1，且b =2√3sin π3=3， 因此，a +b +c =3+6sin (A +π6)∈(3+3√3,9]. 19、如图，平行四边形ABCD 中，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为线段CD 的中点，E 为线段MN 上的点且ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .（1）若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λμ的值； （2）延长MN 、AD 交于点P ，F 在线段NP 上（包含端点），若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =tAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求t 的取值范围. 答案：（1）1427；（2）[−1,0]分析：（1）由题意可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而可得结果. （2）设MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =kMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1≤k ≤2，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−k)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +kAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，k =1−t ，由1≤k ≤2，即可得出结果.（1）∵ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 由已知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +79AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=23，μ=79∴λμ=1427 （2）∵DP//MC ，N 为CD 的中点，易证△DNP 与△CNM 全等，则NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =kMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1≤k ≤2 ∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−k)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +kAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =tAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴1−k =t,k =1−t ∴1≤1−t ≤2,∴−1≤t ≤0∴t ∈[−1,0]。

高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题单选题1、在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m →，CD⃗⃗⃗⃗⃗ =n →，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．3m →−2n →B ．−2m →+3n →C ．3m →+2n →D ．2m →+3n →答案：B分析：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3n ⃗ −2m ⃗⃗ =−2m →+3n →．故选：B ．2、已知单位向量a →，b →，则下列说法正确的是（ ）A ．a →=b →B ．a →+b →=0→C ．|a →|=|b →|D ．a →//b →答案：C分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于A ，向量a →，b →为单位向量，向量a →，b →的方向不一定相同，A 错误；对于B ，向量a →，b →为单位向量，但向量a →， b →不一定为相反向量，B 错误；对于C ，向量a →，b →为单位向量，则|a →|=|b →|=1，C 正确；对于D ，向量a →，b →为单位向量，向量a →，b →的方向不一定相同或相反，即a →与b →不一定平行，D 错误. 故选：C.3、向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−11答案：C分析：求得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA u u u rCA⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11.故选：C.4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB =2DC ，点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD的中点，与BF 交于点O ，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的值为（ ）A ．1B ．57C ．1417D ．56答案：C分析：由向量的线性运算法则化简得到AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ==(x −y 2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAF ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4y 3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合B,O,F 三点共线和A,O,E 三点共线，得出2x +3y −2=0和3x −4y =0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得AO⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −y)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(x −y)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ⋅(2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(x −y)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −y 2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为B,O,F 三点共线，可得x −y 2+2y =1，即2x +3y −2=0；又由BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −xBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ⋅43BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4y 3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为A,O,E 三点共线，可得1−x +4y 3=1，即3x −4y =0，联立方程组{2x +3y −2=03x −4y =0，解得x =817,y =617，所以x +y =1417. 故选：C.5、若|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13) AE答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围. 因为|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以，||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即3≤|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤13. 故选：C.6、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D7、若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －AB⃗⃗⃗⃗⃗ －AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．2∶5答案：B分析：由平面向量的加法结合已知可得M 为AD 的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得. 如图，D 为BC 边的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 因为3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0→ 所以3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD⃗⃗⃗⃗⃗ 所以S △ABM =23S △ABD =13S △ABC .故选：B8、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =BC =CD =3AD ，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +518AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +118AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−1118AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．−1118AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +119AC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：B 分析：以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，利用平面向量线性运算的相关运算化简即可. FE⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +118AC⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：B多选题9、在△ABC 中，若(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，则角B 的值可以为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案：BC分析：利用余弦定理边化角可整理得到sinB ，结合B ∈(0,π)可得结果.∵(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，∴a 2+c 2−b 22ac ⋅tanB =cosB ⋅sinB cosB =sinB =√32， 又B ∈(0,π)，∴B =π3或2π3.故选：BC.10、下列说法中正确的是（ ）A ．平面向量的一个基底{e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ }中，e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 一定都是非零向量.B ．在平面向量基本定理中，若a =0⃗ ，则λ1=λ2=0.C ．若单位向量e 1⃗⃗⃗ ､e 2⃗⃗⃗ 的夹角为2π3，则e 1⃗⃗⃗ 在e 2⃗⃗⃗ 方向上的投影向量是−12e 2⃗⃗⃗ .D ．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.答案：ABC分析：由平面向量基本定理，依次判定即可选项A ：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 一定都是非零向量，故A 正确； 选项B ：a =0⃗ =0⋅e 1⃗⃗⃗ +0⋅e 2⃗⃗⃗ ，由在同一基底下向量分解的唯一性，有λ1=λ2=0，故B 正确；选项C ：e 1⃗⃗⃗ 在e 2⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为：e 1⃗⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗⃗ |e 2⃗⃗⃗⃗ |e 2⃗⃗⃗ =−12e 2⃗⃗⃗ ，故C 正确； 选项D ：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D 错误故选：ABC11、如图，B 是AC 的中点，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R )，则下列结论正确的为（ ）A ．当x =0时，y ∈[2,3]B ．当P 是线段CE 的中点时，x =−12，y =52C ．若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x −y 的最大值为−1答案：BCD解析：利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作PM//AO ，交OE 于M ，作PN//OE ，交AO 的延长线于N ，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后可判断出D 正确. 当x =0时，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +52OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故B 对 x +y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作PM//AO ，交OE 于M ，作PN//OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；又OP⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴x ⩽0，y ⩾1； 由图形看出，当P 与B 重合时：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ ； 此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x −y 取最大值−1，故D 正确故选：BCD小提示：名师点评若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A,B,C 三点共线⇔x +y =1. 12、下列说法正确的有（ ）A ．若|a →+b →|=|b →|且b →≠0，则a →=0→B ．设a →,b →是非零向量，若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →C ．若a →b →=a →c →且a →≠0，则b →=c →D ．设a →,b →是非零向量，若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则存在实数λ，使得a →=λb → 答案：BD分析：A. 举反例说明该命题错误；B.若|a →+b →|=|a →−b →|，所以a →⋅b →=0，则a →⊥b →，所以该命题正确；C. 若a →b →=a →c →=0且a →≠0，则a →⊥b →，a →⊥c →，所以b →,c →不一定相等，所以该命题错误；D. 分析得a →与b →反向，因此存在实数λ，使得b →=λa →，所以该命题正确．A. 若a →=−2b →≠0→也满足已知，但是a →≠0→，所以该命题错误；B.若|a →+b →|=|a →−b →|，所以a →2+b →2+2a →⋅b →=a →2+b →2−2a →⋅b →,∴a →⋅b →=0，则a →⊥b →，所以该命题正确；C. 若a →b →=a →c →=0且a →≠0，则a →⊥b →，a →⊥c →，所以b →,c →不一定相等，所以该命题错误；D. 若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则|a →|2+|b →|2+2a →b →=|a →|2+|b →|2−2|a →||b →|，得a →b →=−|a →||b →|，则a →,b →的夹角的余弦cosθ=−1，则a →与b →反向，因此存在实数λ，使得b →=λa →，所以该命题正确．故选：BD13、已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，∠C =45°,c =√2,a =x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的值可能为（ ）A ．1B ．1.5C ．1.8D ．2答案：BC分析：利用正弦定理求得sinA =12x ，再根据三角形有两解的条件可得A ∈(45∘,135∘)，且A ≠90∘，由此求出x 的范围即可得解.在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinC c =∘√2=12x ， 因满足条件的三角形有两个，则必有A ∈(45∘,135∘)，且A ≠90∘，即√22<sinA <1， 于是得√22<12x <1，解得√2<x <2，显然x 可取1.5，1.8. 故选：BC填空题14、给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；③若向量a 与向量b ⃗ 的模相等，则a ，b⃗ 的方向相同或相反； ④在四边形ABCD 中，必有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确命题的序号是________.答案：①②分析：根据零向量、相等向量、向量和及向量模等概念逐一判断.①正确；②正确，因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小和方向均相同；③|a|=|b ⃗ |，不能确定其方向，所以a 与b ⃗ 的方向不能确定；④只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ .综上可知，正确命题为①②. 故答案为:①②15、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝√2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ BE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________. 答案：329 sin sin a c A C分析：由于向量的数量积可以进行坐标运算，所以将几何问题转化为代数问题，建立以A 为原点， AB 所在直线为x 轴的平面直角坐标系，分别写出A 、B 、E 的坐标，再通过向量的坐标运算即可求出向量的数量积.解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系.∵AB ＝√2，BC ＝2，∴A (0，0)，B (√2，0)，C (√2，2)，D (0，2)，∵点E 在边CD 上，且DE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E (2√23,2).∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2√23,2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−√23,2)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−49+4=329. 16、设a →,b →为单位向量，且|a →+b →|=1，则|a →−b →|=______________.答案：√3分析：整理已知可得：|a +b ⃗ |=√(a +b ⃗ )2，再利用a ,b ⃗ 为单位向量即可求得2a ⋅b ⃗ =−1，对|a −b⃗ |变形可得：|a −b ⃗ |=√|a |2−2a ⋅b⃗ +|b ⃗ |2，问题得解. 因为a ,b ⃗ 为单位向量，所以|a |=|b⃗ |=1 所以|a +b ⃗ |=√(a +b ⃗ )2=√|a |2+2a ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2=√2+2a ⋅b⃗ =1 解得：2a ⋅b⃗ =−1 所以|a −b ⃗ |=√(a −b ⃗ )2=√|a |2−2a ⋅b⃗ +|b ⃗ |2=√3 所以答案是：√3小提示：本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.解答题17、康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为8米，在地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）答案：37.86米分析：在△ACM中，利用正弦定理求得CM，然后在Rt△CDM中，由CD=CMsin60°求解.解：由题意得，在Rt△ABM中，AM=ABsin15°，在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°，∠AMC=180°−15°−60°=105°，所以∠ACM=30°，由正弦定理AMsin∠ACM =CMsin∠CAM，得CM=sin∠CAMsin∠ACM ⋅AM=√2ABsin15°，又sin15°=sin(45°−30°)=√22×√32−√22×12=√6−√24，在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=√6AB2sin15°=√62×√6−√24=24+8√3≈37.86.答：滕龙阁的高度约为37.86米.18、如图，在直角梯形OABC中，OA//CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点．（1）用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OC⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）求OD DM ；（3）设OB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ⋅μ的取值范围． 答案：(1)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)3；(3)[0,34]. 分析：(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 将由这一组基向量的唯一表示出而得解； (3)由动点P 设出CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤x ≤12)，结合平面向量基本定理，λ⋅μ建立为x 的函数求解. (1)依题意CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)因OM 交AC 于D ，由(1)知OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t(23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2t 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2t 3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，2t 3+2t 3=1，则t =34，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3； (3)由已知OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因P 是线段BC 上动点，则令CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤x ≤12)， OB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ+μx)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(μ−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，则有{μ−λ=1λ+μx =12⇒{λ=μ−1μ=32+2x， 0≤x ≤12⇒1≤x +1≤32⇒1≤μ≤32， λ⋅μ=μ(μ−1)=(μ−12)2−14在μ∈[1,32]上递增，所以μ=1,(λ⋅μ)min =0,μ=32,(λ⋅μ)max =34，故λ⋅μ的取值范围是[0,34].小提示：由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．。

高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳单选题1、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( ) A ．①②③是数量，④⑤⑥是向量B ．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C ．①④是数量，②③⑤⑥是向量D ．①②④⑤是数量，③⑥是向量 答案：D分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量； 速度、位移既有大小又有方向，是向量． 故选：D ．2、已知向量a ⃗,b ⃗⃗ 满足|a |⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1,a ⃗⊥b ⃗⃗，则向量a ⃗−2b ⃗⃗在向量a ⃗方向上的投影向量为（ ） A ．a ⃗B ．1 C ．-1D ．−a ⃗ 答案：A分析：根据给定条件，求出(a ⃗−2b ⃗⃗)⋅a ⃗，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1,a ⃗⊥b ⃗⃗，则(a ⃗−2b ⃗⃗)⋅a ⃗=a ⃗2−2b ⃗⃗⋅a ⃗=1，令向量a ⃗−2b ⃗⃗与向量a ⃗的夹角为θ， 于是得|a ⃗−2b⃗⃗|cosθ⋅a ⃗⃗|a⃗⃗|=(a⃗⃗−2b ⃗⃗)⋅a ⃗⃗|a⃗⃗|⋅a ⃗⃗|a⃗⃗|=a ⃗，所以向量a ⃗−2b ⃗⃗在向量a ⃗方向上的投影向量为a ⃗. 故选：A3、若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=5，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=8，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围.因为|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以，||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||≤|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，即3≤|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤13. 故选：C.4、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（ ） A ．向东南走3√2km B ．向东北走3√2km C ．向东南走3√3km D ．向东北走3√3km 答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ， 再向北走3km ，即向东北走3√2km . 故选：B.5、在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数λ＋μ的值为（ ）A ．−15B ．15C ．−75D ．75答案：B解析：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b →，由BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，得到AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →+12b →，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13a →+b →，结合平面向量的基本定理，化简得到−a →+b →=(λ+13μ)a →+(12λ+μ)b →，即可求解. 由题意，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b →，则在平行四边形ABCD 中，因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且CF =2DF ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →+12b →，AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13a →+b →， 又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b →−a →， 所以−a →+b →=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(a →+12b →)+μ(13a →+b →)=(λ+13μ)a →+(12λ+μ)b →， 所以{λ+13μ=−112λ+μ=1，解得{λ=−85μ=95，所以λ+μ=15。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用易错知识点总结单选题1、我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，BE⃑⃑⃑⃑⃑ =3EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．1225a +925b ⃑ B ．1625a +1225b ⃑ C ．45a +35b ⃑ D ．35a +45b ⃑ 答案：B分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC=a →，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =3EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 则BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +34EA ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +34(EB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +34(−34BF ⃑⃑⃑⃑⃑ +BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −916BF ⃑⃑⃑⃑⃑ +34BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，解得BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =1625BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +1225BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =1625a +1225b ⃑ . 故选：B2、已知向量a =(−1,m )，b ⃑ =(2,4)，若a 与b⃑ 共线，则m =（ ）A ．−1B ．1C ．−2D ．2 答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案. 由题意得2m =−4，即m =−2. 故选：C3、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2√2，点P 是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是（ ）A ．[−4√2,4√2]B ．[−4√2,8+4√2]C ．[8−4√2,8+4√2]D ．[−4√2,8−4√2] 答案：B分析：先求出AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围即可.如图，作AM ⊥GH 的延长线于M ，BN ⊥DC 的延长线于N ，根据正八边形的特征，可知AM =BN =2，于是AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围为[−2,2√2+2]，结合向量数量积的定义可知，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 等于AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的模与AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的乘积， 又|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√2，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为2√2×(2√2+2)=8+4√2，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为2√2×(−2)=−4√2． 则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是[−4√2,8+4√2]. 故选：B ．4、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cosCAB 2=42+32−2×4×3×23可得AB 2=9 ，即AB =3 由∵ cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19故cosB =19. 故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5、下列条件中能得到a =b ⃑ 的是（ ） A ．|a |=|b ⃑ |B ．a 与b ⃑ 的方向相同； C ．a =0⃑ ，b ⃑ 为任意向量D ．a =0⃑ 且b ⃑ =0⃑ 答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a =b ⃑ ，所以a 与b ⃑ 的大小相等，方向相同，故D 正确. 故选：D.6、已知单位向量a ，b ⃑ ，则下列说法正确的是（ ） A ．a =b ⃑ B ．a +b ⃑ =0⃑ C ．|a |=|b ⃑ |D ．a //b ⃑ 答案：C分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于A ，向量a ，b ⃑ 为单位向量，向量a ，b ⃑ 的方向不一定相同，A 错误； 对于B ，向量a ，b ⃑ 为单位向量，但向量a ， b ⃑ 不一定为相反向量，B 错误； 对于C ，向量a ，b ⃑ 为单位向量，则|a |=|b⃑ |=1，C 正确； 对于D ，向量a ，b ⃑ 为单位向量，向量a ，b ⃑ 的方向不一定相同或相反，即a 与b ⃑ 不一定平行，D 错误. 故选：C.7、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC 2AC=√5−14，故BC AC=√5−12； 所以BD AB=√5−12， 设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．8、已知向量AB →=(2,2)，AC →=(t,1)，若AB →⋅BC →=2，则t =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：B分析：先根据已知条件计算BC →，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案. 解：根据题意得：BC →=AC →−AB →=(t,1)−(2,2)=(t −2,−1)， 所以AB →⋅BC →=2(t −2)+2×(−1)=2t −4−2=2，解得t =4. 故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.9、已知a ，b ⃑ 是不共线的向量，OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =λa +μb ⃑ ，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =3a −2b ⃑ ，OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2a −3b ⃑ ，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+1 答案：B解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃑ ，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−a −b ⃑ ； 再由AB⃑⃑⃑⃑⃑ //BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =λa +μb ⃑ ，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =3a −2b ⃑ ，OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2a −3b⃑ ， 可得AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃑ ，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =OC ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−a −b ⃑ ； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑ //BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B.10、下列说法错误的是（ ）A ．向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度与向量AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等 答案：D分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.A.向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与向量AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向相反，长度相等，故A 正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B 正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C 正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D 不正确. 小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型. 填空题11、已知下列各式：①AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ； ②(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )+BO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ； ③OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OC⃑⃑⃑⃑⃑ +BO ⃑⃑⃑⃑⃑ +CO ⃑⃑⃑⃑⃑ ； ④AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ .其中结果为0⃑ 的是____.(填序号) 答案：①④##④①分析：利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为0⃑ . ①AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑ ;②(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )+BO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BO ⃑⃑⃑⃑⃑ )+(OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=AO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ≠0⃑ ; ③OA⃑⃑⃑⃑⃑ +OC ⃑⃑⃑⃑⃑ +BO ⃑⃑⃑⃑⃑ +CO ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ≠0⃑ ; ④AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )+(BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=CB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑ . 所以答案是：①④.12、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________. 答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p =xm ⃑⃑ +yn ⃑ ，则有p =3a +2b ⃑ =x(2a −3b ⃑ )+y(4a −2b ⃑ )=(2x +4y)a +(−3x −2y)b ⃑ ， 得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p =−74m ⃑⃑ +138n ⃑ ， 所以答案是：−74m ⃑⃑ +138n ⃑13、已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB =120°,AD =2,CD =2BD ．当ACAB取得最小值时，BD =________．答案：√3−1##−1+√3分析：设CD =2BD =2m >0，利用余弦定理表示出AC 2AB 2后，结合基本不等式即可得解. [方法一]：余弦定理 设CD =2BD =2m >0，则在△ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2−2BD ⋅ADcos∠ADB =m 2+4+2m ， 在△ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2−2CD ⋅ADcos∠ADC =4m 2+4−4m ，所以AC 2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m=4(m2+4+2m)−12(1+m)m2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1≥4−2√(m+1)⋅3m+1=4−2√3，当且仅当m+1=3m+1即m=√3−1时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m=√3−1.所以答案是：√3−1.[方法二]：建系法令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，√3），B（-t,0）∴AC2AB2=(2t−1)2+3(t+1)2+3=4t2−4t+4t2+2t+4=4−12(t+1)+3t+1≥4−2√3当且仅当t+1=√3,即BD=√3−1时等号成立。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用易错题集锦单选题1、已知边长为1的正方形ABCD ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则|a −b ⃑ +c |=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案. 因为ABCD 是边长为1的正方形，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ， 所以a −b ⃑ +c =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 又|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=1，所以|a −b ⃑ +c |=|2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2 故选：B2、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |=2,|b ⃑ |=1,a ⋅(a −2b ⃑ )=2，则a 与b ⃑ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：B分析：由题意，先求出a ⋅b⃑ ，然后根据向量的夹角公式即可求解. 解：因为a ⋅(a −2b ⃑ )=a 2−2a ⋅b ⃑ =|a |2−2a ⋅b ⃑ =4−2a ⋅b ⃑ =2，所以a ⋅b⃑ =1， 设a 与b ⃑ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃑ ⋅b ⃑|a ⃑ ||b ⃑ |=12， 因为θ∈[0°,180°]， 所以θ=60°， 故选：B.3、已知向量a =(1,−√7)，|b ⃑ |=3，a ⋅b ⃑ =3√6，则a 与b ⃑ 的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3答案：A分析：先计算向量a 的模，再根据向量数量积的定义，将a ⋅b ⃑ =3√6展开，即可求得答案. 因为a =(1,−√7)，所以|a |=√12+(−√7)2=2√2，又因为a ⋅b ⃑ =3√6，设a 与b ⃑ 的夹角为θ ，θ∈[0,π] ， 所以|a ||b ⃑ |cosθ=3√6 ，即2√2×3×cosθ=3√6 ， 解得cosθ=√32，故θ=π6 ，故选：A.4、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（ ） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC =bsinB ，所 以c sin75°=2√3sin60°，故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.5、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( ) A ．①②③是数量，④⑤⑥是向量B ．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C ．①④是数量，②③⑤⑥是向量D ．①②④⑤是数量，③⑥是向量 答案：D分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量； 速度、位移既有大小又有方向，是向量． 故选：D ．6、已知向量a ⃗=(√3,1)，b ⃑⃗=(−√3,1)，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C分析：根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案解：cos⟨a ⃗,b ⃑ ⟩=a ⃑⃗⋅b ⃑ |a⃑⃗||b ⃑|=−3+12×2=−12，因为0°≤⟨a ⃗,b ⃑ ⟩≤180°，所以⟨a ⃗,b ⃑ ⟩=120°， 故选：C7、下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =DC ⃑⃑⃑⃑⃑ , BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ．其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2 C ．3D ．4 答案：A分析：零向量的方向是任意的可判断（1）；单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案.对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确．对于（2）：单位向量只是模均为单位1，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确． 对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；对于（5）：如图：若四边形ABCD 为平行四边形，则AB =DC ，且方向相同，BC =DA 但方向相反，所以BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 与DA ⃑⃑⃑⃑⃑ 不相等，故（5）不正确； 所以正确的有一个， 故选：A.8、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案. 解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →. 故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题 多选题9、锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a -b =2b cos C ，则（ ） A ．C =2B B ．B 的取值范围是(π6,π4) C ．B =2C D ．cb 的取值范围是(1,√3)答案：AB分析：由三角形的正弦定理和两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质化简可得C =2B ，可判断AC ；再由锐角三角形的定义可判断B ；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，结合余弦函数的性质可判断D ． 解：由a −b =2bcosC ，可得sinA −sinB =2sinBcosC ， 即sin(B +C)−2sinBcosC =sinB ，即有sinCcosB −cosCsinB =sin(C −B)=sinB ， 因为三角形ABC 为锐角三角形，所以C −B =B ，即C =2B ，故A 正确，C 错误；由0<B<π2，0<2B<π2，且A=π−B−C=π−3B∈(0,π2)，解得π6<B<π4，故B正确；而cb =sinCsinB=sin2BsinB=2cosB∈(√2，√3)，故D错误．故选：AB．10、在水流速度为4√3km/h的河水中，一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（）A．这艘船航行速度的大小为12√3km/hB．这艘船航行速度的大小为8√3km/hC．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150°D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120°答案：BD分析：根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角. 设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船的航行速度为v3，根据向量的平行四边形法则可知：v3=√v12+v22=8√3km/ℎ，设船的航行方向和水流方向的夹角为θ，所以tan(180°−θ)=4√3=√3，所以θ=120°，故选：BD.11、已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c且a＝6，4sin B＝5sin C，有以下四个命题中正确命题有（）A ．△ABC 的面积的最大值为40B ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形 C ．当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15D ．当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7 答案：ACD分析：对于A ，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B ，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C ，运用正弦定理可得4b ＝5c ，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D ，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积. 以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，可得B （﹣3，0），C （3，0）， 4sin B ＝5sin C ，可得4b ＝5c ，设A （m ，n ），可得4√(m −3)2+n 2＝5√(m +3)2+n 2，平方可得16（m 2+n 2﹣6m +9）＝25（m 2+n 2+6m +9）， 即有m 2+n 2+823m +9＝0，化为（m +413）2+n 2＝（403）2，则A 的轨迹为以（﹣413，0），半径为403的圆，可得△ABC 的面积的最大值为12×6×403＝40， 故A 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C 即4b ＝5c ，设b ＝5t ，c ＝4t ，由36+16t 2＝25t 2，可得t ＝43，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故B 错误；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝√74，可得：c ＝4，b ＝5，则a +b +c ＝15，故C 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4， 由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得：sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝√74，可得：c ＝4，b ＝5，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×4×3√78＝15√74. 设△ABC 的内切圆半径为R ，则R ＝2Sa+b+c ＝2×15√744+5+6＝√72，S △ABO ＝12cR ＝12×4×√72＝√7.故D 对.故选：ACD .小提示：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题. 填空题12、已知非零向量a ，b ⃑ 满足|b ⃑ |=√2|a |，且(a −b ⃑ )⊥(3a +2b ⃑ )，则a 与b ⃑ 的夹角为______________． 答案：3π4##135°分析：由垂直转化得数量积为0，再将数量积转化为模长公式，即可求解.由(a −b ⃑ )⊥(3a +2b ⃑ )可得(a −b ⃑ )⋅(3a +2b ⃑ )=0，即3a ⃗2−2b ⃑ 2−a ⃗⋅b ⃑ =0，因为|b ⃑ |=√2|a |，不妨令|a ⃗|=1，则|b ⃑ |=√2，3a ⃗2−2b ⃑ 2−a ⃗⋅b ⃑ =0⇔3|a ⃗|2−2|b ⃑ |2−|a ⃗|⋅|b ⃑ |⋅cos⟨a ⃗,b ⃑ ⟩=0，代值化简得cos⟨a ⃗,b⃑ ⟩=−√22，因为向量夹角范围为[0,π]，故a 与b ⃑ 的夹角为3π4. 所以答案是：3π413、已知向量a ⃗,b ⃑ 满足|a ⃗|=2,|b ⃑ |=√2，a ⃗与b ⃑ 的夹角为45∘，a ⃗⊥(λb ⃑ −a ⃗)，则λ=_______． 答案：2分析：由已知条件可得a⃗⋅b⃑的值，再由a⃗⊥(λb⃑−a⃗)可得a⃗⋅(λb⃑−a⃗)=0，通过计算即可求出λ的值. 因为a⃗⊥(λb⃑−a⃗)，所以a⃗⋅(λb⃑−a⃗)=0，即a⃗2=λa⃗⋅b⃑.又|a⃗|=2，|b⃑|=√2,a⃗与b⃑的夹角为45∘，则a⃗⋅b⃑=|a⃗|⋅|b⃑|cos45∘=2，所以λ=a⃑⃗2a⃑⃗⋅b⃑=2．所以答案是：2.14、在△ABC中，cos∠BAC=−13，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可.设DC=x,AB=y，因为BD＝2DC，AD＝DC，所以BC=3x,AD=DC=x，在△ADC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅DC =4+x2−x24x=1x，在△ABC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CB2−AB22AC⋅BC =4+9x2−y212x，于是有4+9x2−y212x =1x⇒9x2−y2=8(1)，在△ABC中，由余弦定理可知：cosA=AB2+CA2−CB22AB⋅AC =y2+4−9x24y=−13，⇒27x2−3y2−4y=12(2)，把(1)代入(2)中得，y=3，所以答案是：3解答题15、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知2bcosB=ccosA+acosC．(1)求B；(2)若a=2，b=√6，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长．答案：(1)B=π3；(2)BD=4+2√3.分析：（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合两角和的余弦公式进行求解即可.(1)∵2bcosB =ccosA +acosC ， ∴由正弦定理可得：2sinBcosB =sinCcosA +sinAcosC =sin(C +A)=sin(π−B)=sinB ， ∵0<B <π，∴sinB ≠0，∴ cosB =12，∴ B =π3； (2)由（1）知∠ABC =π3， ∵a =BC =2，b =CA =√6，∴由正弦定理可得，BCsin∠BAC =CAsin∠ABC ，即2sin∠BAC =√6sinπ3， ∴ sin∠BAC =√22， ∴ ∠BAC =π4或∠BAC =3π4（舍去），∴ ∠C =π−π3−π4=5π12，∵AD ⊥AC ，∴ cos∠C =CA CD ，CD =CB +BD =CAcos(π4+π6)，∴ 2+BD =√6cos(π4+π6)=√6cos π4cos π6−sin π4sinπ6=√6√22×√32−√22×12=6+2√3，∴ BD =4+2√3．。

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案重点知识归纳单选题1、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．62、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−113、已知向量a =(−1,m )，b ⃑ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃑ ，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−14、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．235、某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A ＝23°，∠C ＝120°，AC =60√3米，则A ，B 间的直线距离约为（参考数据sin37°≈0.6）（ ）A ．60米B ．120米C ．150米D ．300米6、已知向量|a |=2,|b ⃑ |=4，且a ,b ⃑ 不是方向相反的向量，则|a −b ⃑ |的取值范围是（ ） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6]7、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．表高×表距表目距的差+表高B ．表高×表距表目距的差−表高 C ．表高×表距表目距的差+表距D ．表高×表距表目距的差−表距8、在△ABC 中，AB =1，AC =2，∠BAC =60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则m +n 的最小值是（ ） A ．−1B ．−12C ．−13D ．−16 多选题9、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（ ） A ．AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑ D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑ +GB ⃑⃑⃑⃑⃑ +GC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑10、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cosBcosC =b2a−c ， S △ABC =3√34，且b =3，则A ．cosB =12B ．cosB =√32C ．a +c =√3D ．a +c =3√211、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =π3，b +c =10，a =2√10，则三角形的面积不可能是（ ）A ．5√3B ．6√3C ．14√3D ．16√3 填空题12、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则2λ+μ=___________.部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(二)参考答案1、答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =3AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =15AB⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 而CA⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2)=15×(62−4×22)=4 故选：B 2、答案：C分析：求得BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C. 3、答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃑ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ． 4、答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosCAB2=42+32−2×4×3×2 3可得AB2=9，即AB=3由∵cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC =9+9−162×3×3=19故cosB=19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5、答案：C分析：应用正弦定理有ACsinB =ABsinC，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.由题设，∠B=180°−∠A−∠C=37°，在△ABC中，ACsinB =ABsinC，即60√3sin37°=√32，所以AB=90sin37°≈150米.故选：C6、答案：B分析：直接由||a|−|b⃑||≤|a−b⃑|<|a|+|b⃑|求解即可.由已知必有||a|−|b⃑||≤|a−b⃑|<|a|+|b⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.7、答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：由平面相似可知，DEAB =EH AH ,FGAB =CGAC ，而 DE =FG ，所以DE AB=EH AH=CG AC=CG−EH AC−AH=CG−EH CH，而 CH =CE −EH =CG −EH +EG ， 即AB =CG−EH+EG CG−EH×DE =EG×DE CG−EH+DE ＝表高×表距表目距的差+表高．故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 8、答案：B分析：先解三角形得到△ABC 为直角三角形，建立直角坐标系，通过AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出m +n ，借助三角函数求出最小值.由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC = 1+4−2×1×2×cos 60∘=3，所以BC =√3，所以AB 2+BC 2=AC 2，所以AB ⊥BC ．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A （－1，0），C （1，0），B （－12，√32），设P 的坐标为(cosθ,sinθ)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ = (cosθ+1,sinθ)，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(cosθ+1,sinθ)=m (12,√32)+ n (2,0)=(m 2+2n ,√32m)，所以m =2√33sin θ，n =cos θ2+12−√36sin θ，所以m +n =2√33sin θ+cos θ2+12−√36sin θ =√32sin θ+cos θ2+12=sin (θ+π6)+12≥−1+12=−12，当且仅当sin (θ+π6)=−1时，等号成立．故选：B ． 9、答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心， 因为AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，故A 错误； 由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD →≠AG →, 故B 错误； 因为AF+BD+CE=12(AB →+BC →+CA →)=0, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑ +GB ⃑⃑⃑⃑⃑ +GC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 10、答案：AD分析：利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解. ∵cosBcosC =b2a−c =sinB2sinA−sinC .整理可得: sinBcosC =2sinAcosB −sinCcosB可得 sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)=sinA =2sinAcosB ∵A 为三角形内角, sinA ≠0 cosB =12, 故A 正确，B 错误.B ∈(0,π) ∴B =π3S △ABC=3√34,b =3∴3√34=12acsinB =12×a ×c ×√32=√34ac 解得 ac =3,由余弦定理得 9=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =(a +c)2−9 解得a +c =3√2, 故C 错误，D 正确. 故选: AD.小提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”. 11、答案：BCD分析：根据余弦定理和三角形面积公式进行求解判断即可.解：因为A =π3，b +c =10，a =2√10，所以由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得40=b 2+c 2−ab =(b +c)2−3bc =100−3bc ，所以bc =20， 所以S △ABC =12bcsinA =12×20×√32=5√3．故选：BCD 12、答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用基础知识点归纳总结单选题1、已知向量a ⃑=(√3,1)，向量a ⃑−b ⃑⃑=(√3+1,√3+1)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：D分析：计算可得b →=(−1,−√3)，利用数量积公式计算即可得出结果. ∵向量a ⃑=(√3,1)，向量a ⃑−b ⃑⃑=(√3+1,√3+1)， ∴b →=(−1,−√3)，cos <a ⃗,b ⃑⃗>=−√3−√32×2=−√32，且0≤<a ⃗,b⃑⃗>≤π， ∴a →,b →的夹角为5π6=150°. 故选：D.2、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且B =π3，b =3，a =√3，则c =（ ）． A ．√3B ．2√3C ．3−√3D ．3 答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC 中，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =3+c 2−√3c =9， 即c 2−√3c −6=0，解得：c =2√3或c =−√3（舍），∴c =2√3. 故选：B.3、设a ⃗,b ⃑⃗均为单位向量，且|a ⃗−b ⃑⃗|=1，则|a ⃗−2b ⃑⃗|=（ ） A ．√3B ．√7C ．3D ．7 答案：A分析：由已知，利用向量数量积的运算律求得a ⃗⋅b ⃑⃗=12，又|a ⃗−2b ⃑⃗|2=a ⃗2−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4b ⃑⃗2即可求|a ⃗−2b⃑⃗|. 由题设，|a ⃗−b ⃑⃗|2=a ⃗2−2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2=1，又a ⃗,b ⃑⃗均为单位向量， ∴a ⃗⋅b ⃑⃗=12， ∴|a ⃗−2b ⃑⃗|2=a ⃗2−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4b ⃑⃗2=3，则|a ⃗−2b ⃑⃗|=√3. 故选：A4、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，C =30∘，c =10.如果△ABC 有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．[10,20]B ．[10,10√3]C ．(10,10√3)D ．(10,20) 答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a 的不等式，由此可解得a 的取值范围. 如下图所示：因为△ABC 有两解，所以asinC =12a <c =10<a ，解得10<a <20. 故选：D.5、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围.因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.6、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的最大值为（ ） A ．2√73B ．83C ．2√193D ．2√133答案：D分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑|最大，问题得以解决 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， ∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵ AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)， ∴ {x =2+λy =√3λ ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−√32(x −3)，②，联立①②，解得{x =73y =√33 ， 此时|AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑|最大， ∴|AP|=√499+13=2√133， 故选：D ．小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题7、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′,B′,C′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′−CC′约为（√3≈1.732）（）A．346B．373C．446D．473答案：B分析：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案．过C 作CH ⊥BB′，过B 作BD ⊥AA′，故AA′−CC′=AA′−(BB′−BH )=AA′−BB′+100=AD +100， 由题，易知△ADB 为等腰直角三角形，所以AD =DB ． 所以AA′−CC′=DB +100=A′B′+100． 因为∠BCH =15°，所以CH =C′B′=100tan15° 在△A′B′C′中，由正弦定理得：A′B′sin45°=C′B′sin75°=100tan15°cos15°=100sin15°，而sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√24， 所以A′B′=100×4×√22√6−√2=100(√3+1)≈273，所以AA′−CC′=A′B′+100≈373． 故选：B ．小提示：本题关键点在于如何正确将AA′−CC′的长度通过作辅助线的方式转化为A′B′+100． 8、已知向量AB →=(2,2)，AC →=(t,1)，若AB →⋅BC →=2，则t =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：B分析：先根据已知条件计算BC →，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.解：根据题意得：BC →=AC →−AB →=(t,1)−(2,2)=(t −2,−1)， 所以AB →⋅BC →=2(t −2)+2×(−1)=2t −4−2=2，解得t =4. 故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.9、我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，BE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3EF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ）A ．1225a ⃑+925b ⃑⃑B ．1625a ⃑+1225b ⃑⃑ C ．45a ⃑+35b ⃑⃑D ．35a ⃑+45b⃑⃑ 答案：B分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC ⃑=a →，BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃗，BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3EF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 则BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+34EA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+34(EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+34(−34BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−916BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+34BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，解得BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1625BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+1225BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1625a ⃗+1225b ⃑⃗. 故选：B10、在△ABC 中，sin 2A =sinBsinC ，若∠A =π3，则∠B 的大小是（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3答案：C分析：由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断△ABC 的形状，即可判断选项. 因为sin 2A =sinBsinC ，所以a 2=bc ，由余弦定理可知a 2=b 2+c 2−2bccos π3=b 2+c 2−bc =bc ， 即(b −c)2=0，得b =c ， 所以△ABC 是等边三角形，∠B =π3. 故选：C 填空题11、已知△ABC 中，AB =2，AC =1，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1，O 为△ABC 所在平面内一点，且OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+3OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑，则AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的值为___________ 答案：−1分析：在OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+3OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑中，将OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑代入，用AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可得AO⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，展开根据已知条件代入数据计算即可. ∵OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+3OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑，∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2(OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+3(OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=0⃑⃑，∴AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−16AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1. 所以答案是：−1.小提示：关键点点睛：解答本题的关键点在于将AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑用AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑线性表示，将AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑转化为AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑之间的数量积运算问题来求解.12、已知向量a ⃗=(2,1),b ⃑⃗=(−3,4),c ⃗=(−1,2),则(a ⃗+b ⃑⃗)⋅c ⃗=___________ 答案：11分析：首先计算得到a ⃗+b ⃑⃗=(−1,5)，再利用向量数量积的坐标表示计算结果即可. 因为向量a ⃗=(2,1),b ⃑⃗=(−3,4),所以a ⃗+b ⃑⃗=(−1,5)， 所以(a ⃗+b ⃑⃗)⋅c ⃗=−1×(−1)+5×2=11， 所以答案是：11.13、已知向量a ⃑=(1,3),b ⃑⃑=(3,4)，若(a ⃑−λb ⃑⃑)⊥b ⃑⃑，则λ=__________． 答案：35分析：根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 因为a ⃑−λb ⃑⃑=(1,3)−λ(3,4)=(1−3λ,3−4λ)，所以由(a ⃑−λb ⃑⃑)⊥b ⃑⃑可得， 3(1−3λ)+4(3−4λ)=0，解得λ=35． 所以答案是：35．小提示：本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设a ⃑=(x 1,y 1),b ⃑⃑=(x 2,y 2)， a ⃑⊥b ⃑⃑⇔a ⃑⋅b⃑⃑=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0，注意与平面向量平行的坐标表示区分． 14、 在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =2√3 ，AD =5 ，∠A =30° ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE =BE ，则BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=__________. 答案：−1.分析：建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．建立如图所示的直角坐标系，则B(2√3,0)，D(5√32,52)． 因为AD ∥BC ，∠BAD =30°，所以∠CBA =150°， 因为AE =BE ，所以∠BAE =∠ABE =30°，所以直线BE 的斜率为√33，其方程为y =√33(x −2√3)，直线AE 的斜率为−√33，其方程为y =−√33x ．由{y =√33(x −2√3),y =−√33x得x =√3，y =−1， 所以E(√3,−1)．所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√32,52)·(√3,−1)=−1．小提示：平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便． 15、已知i ⃑、j ⃑、k ⃑⃑表示共面的三个单位向量，i ⃑⊥j ⃑，那么(i ⃑+k ⃑⃑)⋅(j ⃑+k ⃑⃑)的取值范围是__________． 答案：[1−√2,1+√2]分析：计算出|i ⃑+j ⃑|的值，利用平面向量的数量积的运算性质结合余弦函数的有界性可求得(i ⃑+k ⃑⃑)⋅(j ⃑+k ⃑⃑)的取值范围.已知i ⃑、j ⃑、k ⃑⃑表示共面的三个单位向量，i ⃑⊥j ⃑，则i ⃑⋅j ⃑=0， |i ⃑+j ⃑|=√(i ⃑+j ⃑)2=√i ⃑2+2i ⃑⋅j ⃑+j ⃑2=√2，所以，(i ⃑+k ⃑⃑)⋅(j ⃑+k ⃑⃑)=i ⃑⋅j ⃑+(i ⃑+j ⃑)⋅k ⃑⃑+k ⃑⃑2=1+|i ⃑+j ⃑|⋅|k ⃑⃑|cos <i ⃑+j ⃑,k ⃑⃑>=1+√2cos <i ⃑+j ⃑,k ⃑⃑>， 而−1≤cos <i ⃑+j ⃑,k ⃑⃑>≤1，因此，1−√2≤(i ⃑+k ⃑⃑)⋅(j ⃑+k ⃑⃑)≤1+√2. 所以答案是：[1−√2,1+√2].小提示：方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 解答题16、记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA 1+sinA=sin2B 1+cos2B．(1)若C =2π3，求B ；(2)求a 2+b 2c 2的最小值．答案：(1)π6；(2)4√2−5．分析：（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA1+sinA=sin2B 1+cos2B化成cos(A +B)=sinB ，再结合0<B <π2，即可求出；（2）由（1）知，C =π2+B ，A =π2−2B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将a 2+b 2c 2化成4cos 2B +2cos 2B−5，然后利用基本不等式即可解出． （1）因为cosA1+sinA =sin2B1+cos2B =2sinBcosB 2cos 2B=sinB cosB ，即sinB =cosAcosB −sinAsinB =cos(A +B)=−cosC =12，而0<B <π2，所以B =π6；（2）由（1）知，sinB =−cosC >0，所以π2<C <π,0<B <π2， 而sinB =−cosC =sin(C −π2)，所以C =π2+B ，即有A =π2−2B ，所以B ∈(0,π4),C ∈(π2,3π4)所以a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22B+1−cos 2Bcos 2B=(2cos 2B−1)2+1−cos 2Bcos 2B=4cos 2B +2cos 2B −5≥2√8−5=4√2−5．当且仅当cos 2B =√22时取等号，所以a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．17、在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a =4,b =5,c =√21. （1）求角C 的大小；（2）求sin A 的值； （3）求sin (2A −π4)的值.答案：（1）π3；（2）2√77；（3）4√6+√214. 分析：（1）由余弦定理求出cosC ，即可得出角C 的大小； （2）由正弦定理即可求出答案；（3）求出cosA ，由二倍角公式求出sin2A,cos2A ，再由两角差的正弦公式即可求出. （1）在△ABC 中，由余弦定理及a =4,b =5,c =√21，有 cos C =a 2+b 2−c 22ab=12，又因为C ∈(0,π)，所以C =π3.（2）在△ABC 中，由正弦定理及C =π3,a =4;c =√21. 可得sin A =a sin C c=2√77. （3）由a <b 及sin A =2√77，可得cos A =√1−sin 2A =√217， sin2A =2sin A cos A =2×2√77×√217=4√37， cos2A =1−2sin 2A =1−2×2√77×2√77=−17，所以sin (2A −π4)=sin 2A cos π4−cos 2A sin π4=4√37×√22−(−17)×√22=4√6+√214. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，关键点是熟练掌握有关公式的运用，考查学生的数学运算能力.18、已知函数f (x )=2√3sinxcosx −cos2x,x ∈R ． (1)求函数f (x )在(0,π)上的单调区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A2)=1，a =3，求△ABC 的周长的取值范围． 答案：(1)单调增区间是(0，π3],[5π6,π)，单调减区间是[π3，5π6](2)(6,9]分析：（1）根据题意得f(x)=2sin(2x−π6)，进而求得函数的单调区间，再结合x∈(0,π)求解即可；（2）根据题意求得A=π3，进而结合余弦定理得(b+c)2−3bc=9，再根据基本不等式求解即可.（1）解：f(x)=2√3sinxcosx−cos2x=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，k∈Z，得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，k∈Z因为x∈(0,π)，所以，当k=1时得单调递增区间为[5π6,π)；当k=0时得单调递增区间为(0，π3]，单调递减区间为[π3，5π6].所以函数f(x)在(0,π)上的单调增区间是(0，π3],[5π6,π)，单调减区间是[π3，5π6]．（2）解：由（1）有，f(A2)=2sin(A−π6)=1，得sin(A−π6)=12，因为A为锐角，A−π6∈(−π6,π3)，所以A−π6=π6，即A=π3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，所以9=b2+c2−2bc⋅cosπ3，所以b2+c2−bc=9，即(b+c)2−3bc=9，又bc≤(b+c2)2，所以(b+c)2−3(b+c)24≤9，得b+c≤6，当且仅当b=c=3时取等号，又b+c>a=3，所以a+b+c∈(6,9]，所以，△ABC周长的取值范围是(6,9]19、康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为8米，在地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）答案：37.86米分析：在△ACM中，利用正弦定理求得CM，然后在Rt△CDM中，由CD=CMsin60°求解.解：由题意得，在Rt△ABM中，AM=ABsin15°，在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°，∠AMC=180°−15°−60°=105°，所以∠ACM=30°，由正弦定理AMsin∠ACM =CMsin∠CAM，得CM=sin∠CAMsin∠ACM ⋅AM=√2ABsin15°，又sin15°=sin(45°−30°)=√22×√32−√22×12=√6−√24，在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=√6AB2sin15°=√62×√6−√24=24+8√3≈37.86.答：滕龙阁的高度约为37.86米.。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结全面整理单选题1、如图，△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A=2π3，AC=2√3，CD=3√2，则BC=（）A．3√3B．4C．4√2D．6答案：D分析：△ACD中由正弦定理求得∠ADC后可得∠ACD，从而得∠ACB，B角，得AB，用余弦定理可得BC．在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC=AC⋅sinACD =2√3×√323√2=√22，由∠ADC<∠A，所以∠ADC=π4，所以∠ACD=π−2π3−π4=π12，所以∠ACB=π6，则∠B=π6，所以AB=AC=2√3，在△ABC中，由余弦定理得BC2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC=6．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD 中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC ．2、已知a ⃑，b ⃑⃑是不共线的向量，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λa ⃑+μb ⃑⃑，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑−2b ⃑⃑，OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2a ⃑−3b ⃑⃑，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+1 答案：B解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−λ)a ⃑−(2+μ)b ⃑⃑，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−a ⃑−b ⃑⃑； 再由AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λa ⃑+μb ⃑⃑，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑−2b ⃑⃑，OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2a ⃑−3b⃑⃑， 可得AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−λ)a ⃑−(2+μ)b ⃑⃑，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−a ⃑−b ⃑⃑； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B.3、若非零向量a ⃗,b ⃑⃗满足|a ⃗|=3|b ⃑⃗|, (2a ⃗+3b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 答案：C分析：设a ⃗与b ⃑⃗的夹角为θ, |b ⃑⃗|=t ，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得cosθ=−12，进而得答案.解：根据题意，设a ⃗与b ⃑⃗的夹角为θ, |b ⃑⃗|=t ，则|a ⃗|=3|b ⃑⃗|=3t ， 若(2a ⃗+3b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗，则(2a ⃗+3b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=2a ⃗⋅b ⃑⃗+3b ⃑⃗2=6t 2cosθ+3t 2=0， 即cosθ=−12， 又由0≤θ≤π，则θ=2π3，4、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=15AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 而CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=15×(62−4×22)=4 故选：B5、已知AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(2,3)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3，t )，|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= A ．-3B ．-2 C ．2D ．3 答案：C分析：根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.由BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1,t −3)，|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√12+(t −3)2=1，得t =3，则BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1,0)，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2．故选C ．小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 6、已知向量|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，且a ⃑,b ⃑⃑不是方向相反的向量，则|a ⃑−b⃑⃑|的取值范围是（ ）A．(2,6)B．[2,6)C．(2,6]D．[2,6]答案：B分析：直接由||a⃑|−|b⃑⃑||≤|a⃑−b⃑⃑|<|a⃑|+|b⃑⃑|求解即可.由已知必有||a⃑|−|b⃑⃑||≤|a⃑−b⃑⃑|<|a⃑|+|b⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.7、已知向量a⃑=(2，3)，b⃑⃑=(3，2)，则|a⃑–b⃑⃑|=A．√2B．2C．5√2D．50答案：A分析：本题先计算a⃑−b⃑⃑，再根据模的概念求出|a⃑−b⃑⃑|．由已知，a⃑−b⃑⃑=(2,3)−(3,2)=(−1,1)，所以|a⃑−b⃑⃑|=√(−1)2+12=√2，故选A小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．8、设在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b,c，若 bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．钝角三角形答案：A，即可求解.分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得sinA=sin2A，得到sinA=1，求得A=π2因为bcosC+ccosB=asinA，由正弦定理可得sinBcosC +sinCcosB =sin 2A ， 即sin (B +C )=sin 2A ，即sinA =sin 2A ，所以sinA =1， 又因为A ∈(0,π)，所以A =π2，所以是直角三角形.故选：A.9、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5，∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565， 故选：D.10、在正方形ABCD 中，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ） A ．BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：C分析：根据平面向量加减运算法则计算可得.解：BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑. 故选：C. 填空题11、已知|a ⃗|=3，|b ⃑⃗|=5，a ⃗⋅b ⃑⃗=−12，且e ⃗是与b ⃑⃗方向相同的单位向量，则a ⃗在b ⃑⃗上的投影向量为______. 答案：−125e ⃗分析：利用向量夹角公式以及向量投影公式直接求解. 设a ⃗与b⃑⃗的夹角θ，则cosθ=a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗|⋅|b ⃑⃗|=−123×5=−45，所以a ⃗在b ⃑⃗上的投影向量为|a ⃗|cosθ⋅e ⃗=3×(−45)⋅e ⃗=−125e ⃗，所以答案是：−125e ⃗.12、已知|b ⃑⃑|=3，向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为2b ⃑⃑，则a ⃑·b ⃑⃑＝____________. 答案：18解析：由题意向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为2b ⃑⃑，分析可得|a ⃑|cos <a ⃑,b⃑⃑>=2|b ⃑⃑|，代入公式，即可得答案.因为向量a⃑在向量b⃑⃑上的投影向量为2b⃑⃑，则可得|a⃑|cos<a⃑,b⃑⃑>=2|b⃑⃑|，所以a⃑·b⃑⃑=|a⃑||b⃑⃑|cos<a⃑,b⃑⃑>=2|b⃑⃑|·|b⃑⃑|=2|b⃑⃑|2=18，所以答案是：18.小提示：本题考查向量投影的应用，考查分析理解的能力，属基础题.13、已知向量a⃗,b⃑⃑满足|a⃗|=2,|b⃑⃑|=√2，a⃗与b⃑⃑的夹角为45∘，a⃗⊥(λb⃑⃑−a⃗)，则λ=_______．答案：2分析：由已知条件可得a⃗⋅b⃑⃑的值，再由a⃗⊥(λb⃑⃑−a⃗)可得a⃗⋅(λb⃑⃑−a⃗)=0，通过计算即可求出λ的值. 因为a⃗⊥(λb⃑⃑−a⃗)，所以a⃗⋅(λb⃑⃑−a⃗)=0，即a⃗2=λa⃗⋅b⃑⃑.又|a⃗|=2，|b⃑⃑|=√2,a⃗与b⃑⃑的夹角为45∘，则a⃗⋅b⃑⃑=|a⃗|⋅|b⃑⃑|cos45∘=2，所以λ=a⃑⃗2a⃑⃗⋅b⃑⃑=2．所以答案是：2.14、在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，B=2C，则a+c的取值范围为________．答案：(2√2,2√3)分析：根据锐角三角形的性质可以确定角C的取值范围，结合正弦定理、正弦余弦的二倍角公式，两角和的正弦公式、余弦函数的单调性进行求解即可.因为△ABC是锐角三角形，所以A,B∈(0,π2)，而B=2C，所以有C∈(0,π4)，因为A+B+C=π，B=2C，所以A=π−3C，而A∈(0,π2)，所以C∈(π6,π3)，即C∈(π6,π4 )，由正弦定理可知：a sinA =2sinB=csinC⇒asin(π−3C)=2sin2C=csinC⇒asin3C=2sin2C=csinC⇒⇒asin(2C+C)=22sinCcosC=csinC⇒asin2CcosC+cos2CsinC =22sinCcosC=csinC⇒a2sinCcos2C+(1−2sin2C)sinC=22sinCcosC=csinC⇒a2sinC(1−sin2C)+(1−2sin2C)sinC=22sinCcosC =csinC⇒a3sinC−4sin3C=22sinCcosC=csinC,⇒c=1cosC,a=4cosC−1cosC，因此a+c=4cosC−1cosC +1cosC=4cosC，因为C∈(π6,π4)，所以cosC∈(√22,√32)，所以(a+c)∈(2√2,2√3)，所以答案是：(2√2,2√3)小提示：关键点睛：根据正弦的两角和公式、正弦余弦的二倍角公式，结合正弦定理得到a,c的表达式是解题的关键.15、已知平面向量a⃗，b⃑⃗的夹角为60°．则单位向量a⃗在b⃑⃗上的投影为______．答案：12##0.5分析：运用向量的概念与计算方法，利用平面向量数量积的几何意义，即可得解单位向量a⃗在b⃑⃗上的投影为|a⃗|cos〈a⃗，b⃑⃗〉=1×cos60°=12．所以答案是：12．解答题16、在△ABC中，A，B为锐角，C为钝角，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且S△ABC=√34(c2+a2−b2)．(1)求角B；(2)求ca的取值范围．答案：(1)B=π3；(2)(2,+∞)分析：（1）利用B角的余弦定理代入S△ABC=√34(c2+a2−b2)得到sin(B−π3)=0，结合B的范围求出答案；（2）利用正弦定理边化角得到12+√32⋅1tanA，接着根据题意求出A角的范围，继而求出答案（1）因为a2+c2−b2=2accosB，所以S△ABC=√34(a2+c2−b2)=√34⋅2accosB=√32accosB=12acsinB，从而sinB−√3cosB=0，即sin(B−π3)=0，因为B ∈(0,π)，所以B −π3∈(−π3,2π3)所以B −π3=0，即B =π3；（2）因为asinA =csinC ，sinC =sin(A +B)=sinAcosB + sinBcosA =12sinA +√32cosA ， 所以ca =sinC sinA=12+√32⋅cosA sinA=12+√32⋅1tanA，因为B =π3，C 是钝角，B 为锐角，所以{0<A <π2π2<C <π，即{0<A <π2π2<2π3−A <π，解得0<A <π6， 所以0<tanA <√33，于是1tanA>√3，从而c a=12+√32⋅1tanA>2，因此ca的取值范围是(2,+∞)17、已知函数f (x )=2√3sinxcosx −cos2x,x ∈R ． (1)求函数f (x )在(0,π)上的单调区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A2)=1，a =3，求△ABC 的周长的取值范围．答案：(1)单调增区间是(0，π3],[5π6,π)，单调减区间是[π3，5π6](2)(6,9]分析：（1）根据题意得f (x )=2sin (2x −π6)，进而求得函数的单调区间，再结合x ∈(0,π)求解即可；（2）根据题意求得A =π3，进而结合余弦定理得(b +c)2−3bc =9，再根据基本不等式求解即可. （1）解： f (x )=2√3sinxcosx −cos2x =√3sin2x −cos2x =2sin (2x −π6)，由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ， 2kπ+π2≤2x −π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ，得kπ+π3≤x ≤kπ+5π6，k ∈Z因为x ∈(0,π)，所以，当k =1时得单调递增区间为[5π6,π)；当k =0时得单调递增区间为(0，π3]，单调递减区间为[π3，5π6].所以函数f (x )在(0,π)上的单调增区间是(0，π3],[5π6,π)，单调减区间是[π3，5π6]．（2）解：由（1）有，f (A2)=2sin (A −π6)=1，得sin (A −π6)=12，因为A 为锐角，A −π6∈(−π6,π3)，所以A −π6=π6，即A =π3， 由余弦定理得，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，所以9=b 2+c 2−2bc ⋅cos π3，所以b 2+c 2−bc =9，即(b +c)2−3bc =9， 又bc ≤(b+c 2)2，所以(b +c)2−3(b+c )24≤9，得b +c ≤6，当且仅当b =c =3时取等号，又b +c >a =3， 所以a +b +c ∈(6,9]，所以，△ABC 周长的取值范围是(6,9]18、如图，在四边形ABCD 中，BC//AD ，BC =1，AD =3，△ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑.（1）用a ⃑，b ⃑⃑表示AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， （2）求AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑夹角的余弦值. 答案：（1）AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑+13b ⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12a ⃑+23b⃑⃑；（2）−√1313. 解析：（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与a ⃑，b⃑⃑的关系； （2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.解法一：（1）由图可知AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑+13b ⃑⃑. 因为E 是CD 的中点，所以AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=12(a ⃑+13b ⃑⃑+b ⃑⃑)=12a ⃑+23b ⃑⃑. （2）因为BC ∥AD ，△ABC 为等边三角形，所以∠BAD =120°，AB =1，所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|cos∠BAD =1×3×(−12)=−32， 所以AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(12a ⃑+23b ⃑⃑)⋅a ⃑=12a ⃑2+23a ⃑⋅b ⃑⃑=12×1+23×(−32)=−12， |AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√(12a ⃑+23b ⃑⃑)2=√14a ⃑2+23a ⃑⋅b ⃑⃑+49b ⃑⃑2=√14×1+23×(−32)+49×9=√132. 设AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的夹角为θ，则cosθ=AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=−12√132×1=−√1313， 所以在AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑夹角的余弦值为−√1313. 解法二：（1）同解法一.（2）以A 为原点，AD 所在直线为x 轴，过A 且与AD 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，B (−12,√32)，C (12,√32)，D(3,0). 因为E 是CD 的中点，所以E (74,√34)， 所以AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(74,√34)，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−12,√32)， 所以AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=74×(−12)+√34×√32=−12， |AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√(74)2+(√34)2=√132. 设AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的夹角为θ，则cosθ=AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=−12√132×1=−√1313， 所以AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑夹角的余弦值为−√1313. 小提示：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．19、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ．（1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值．答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34.解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得cosA =12，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；（1）∵ 2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴ 2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB ,∴ cosA =12,∵0<A <π,∴A =π3; （2）∵AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8， 在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ ΔABC 的周长为：5+8+7=20；（3）∵ b sinB =c sinC =a sinA =√32=2√3a 3，∴ sinB =√32b a ，sinC =√32c a ， ∴ 2b ⋅√32⋅b a +2c ⋅√32⋅c a =bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a 2⇒√3⋅12=a 2⇒ a =√3，∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ，∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当b =c ，△ABC面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34.小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用高频考点知识梳理单选题1、已知在△ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x>2B．0<x<2C．2<x<3D．2<x<4答案：D分析：根据三角形有两个解，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，再结合正弦定理求解.如图所示：因为AC=b=2，若三角形有两个解，则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，当∠A=90∘时，圆与BA相切，不合题意；当∠A=30∘时，圆与BA交于B点，不合题意；所以30∘<∠A<150∘，且∠A≠90∘，所以12<sinA<1由正弦定理得：sinA=asinBb =14x，则12<14x<1，解得2<x<4，2、如图，△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A=2π3，AC=2√3，CD=3√2，则BC=（）A．3√3B．4C．4√2D．6答案：D分析：△ACD中由正弦定理求得∠ADC后可得∠ACD，从而得∠ACB，B角，得AB，用余弦定理可得BC．在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC=AC⋅sinACD =2√3×√323√2=√22，由∠ADC<∠A，所以∠ADC=π4，所以∠ACD=π−2π3−π4=π12，所以∠ACB=π6，则∠B=π6，所以AB=AC=2√3，在△ABC中，由余弦定理得BC2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC=6．故选：D．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC．3、已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2=a(a+c)，则asinAbcosA−acosB的取值范围A ．(0,√22)B ．(0,√32)C ．(12,√22)D ．(12,√32) 答案：C分析：由b 2=a(a +c)利用余弦定理，可得c −a =2acosB ，正弦定理边化角，在消去C ，可得sin(B −A)=sinA ，利用三角形ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得asinAbcosA−acosB 的取值范围． 由b 2=a(a +c)及余弦定理，可得c −a =2acosB正弦定理边化角，得sinC −sinA =2sinAcosB∵A +B +C =π∴sin(B +A)−sinA =2sinAcosB∴sin(B −A)=sinA∵ABC 是锐角三角形， ∴B −A =A ，即B =2A ． ∵0<B <π2，π2<A +B <π， 那么：π6<A <π4 则asinA bcosA−acosB=sin 2A sin(B−A)=sinA ∈(12，√22)故选：C小提示：方法点睛：解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.4、a ⃑,b ⃑⃑ 为非零向量，且|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则（ ） A ．a ⃑//b ⃑⃑，且a ⃑与b ⃑⃑方向相同B ．a ⃑,b⃑⃑是共线向量且方向相反C ．a ⃑=b ⃑⃑D ．a ⃑,b ⃑⃑无论什么关系均可 答案：A分析：根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.当两个非零向量a ⃑,b ⃑⃑不共线时，a ⃑+b ⃑⃑的方向与a ⃑,b ⃑⃑的方向都不相同，且|a ⃑+b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b ⃑⃑|； 当两个非零向量a ⃑,b ⃑⃑同向时， a ⃑+b ⃑⃑的方向与a ⃑,b ⃑⃑的方向都相同，且|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑|+|b ⃑⃑|； 当两个非零向量a ⃑,b ⃑⃑反向时且|a ⃑|<|b ⃑⃑|，a ⃑+b ⃑⃑的方向与b ⃑⃑的方向相同，且|a ⃑+b ⃑⃑|=|b ⃑⃑|−|a ⃑|， 所以对于非零向量a ⃑,b ⃑⃑ ，且|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则a ⃑//b ⃑⃑，且a ⃑与b ⃑⃑方向相同. 故选：A.5、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，a =√3，则b+csinB+sinC 等于（ ） A ．12B ．√3C ．√32D ．2答案：D解析：由已知结合正弦定理即可直接求解．A ＝60°，a =√3，由正弦定理可得，bsinB =csinC =asinA =√3√32=2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 则b+c sinB+sinC=2．故选：D ．小提示：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题．6、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( ) A ．2√3B ．−2√3i C ．√3−3i D ．3+√3i 答案：B分析：由题意知复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转后的向量为(3−√3i)[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i)(12−√3i2)=32−3√3i2−√3i2+3i22=−2√3i．故选：B．7、已知向量a⃑=(2，3)，b⃑⃑=(3，2)，则|a⃑–b⃑⃑|=A．√2B．2C．5√2D．50答案：A分析：本题先计算a⃑−b⃑⃑，再根据模的概念求出|a⃑−b⃑⃑|．由已知，a⃑−b⃑⃑=(2,3)−(3,2)=(−1,1)，所以|a⃑−b⃑⃑|=√(−1)2+12=√2，故选A小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．8、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3√2，则B的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°答案：A分析：先由正弦定理求出sin B=12，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.由正弦定理得bsinB =asinA，即3√2sinB =6sin45°，解得sin B=1，2又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，又因为a>b，所以A>B，即B=30°.故选：A.9、已知向量a⃗=(1,1)，b⃑⃗=(−2,3)，那么|a⃗−2b⃑⃗|=（）A．5B．5√2C．8D．√74答案：B分析：根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.因为向量a⃗=(1,1)，b⃑⃗=(−2,3)，所以a⃗−2b⃑⃗=(5,−5)|a⃗−2b⃑⃗|=√52+(−5)2=5√2.故选：B.10、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a ⃑⊗b ⃑⃑)=0,(λa ⃑)⊗b⃑⃑=0，成立， λ<0时，<λa ⃑,b ⃑⃑>=π−<a ⃑,b ⃑⃑>，sin <λa ⃑,b ⃑⃑>=sin(π−<a ⃑,b ⃑⃑>)=sin <a ⃑,b ⃑⃑> (λa ⃑)⊗b ⃑⃑=−λ|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b ⃑⃑>=−λ(a ⃑⊗b ⃑⃑)， 综上，A 不恒成立；B ．a ⃑⊗b ⃑⃑是一个实数，(a ⃑⊗b ⃑⃑)⊗c ⃑无意义，B 不成立；C ．若a ⃑=(0,1),b ⃑⃑=(1,0)，c ⃑=(1,1)，则a ⃑+b⃑⃑=(1,1)， <a ⃑+b ⃑⃑,c ⃑>=0，(a ⃑+b ⃑⃑)⊗c ⃑=|a ⃑+b ⃑⃑||c ⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a ⃑,c ⃑>=π4,<b ⃑⃑,c ⃑>=π4，(a ⃑⊗c ⃑)+(b ⃑⃑⊗c ⃑)=1×√2×sin π4+1×√2×sin π4=2，(a ⃑+b ⃑⃑)⊗c ⃑≠(a ⃑⊗c ⃑)+(b ⃑⃑⊗c ⃑)，C 错误；D ．若a ⃑=(x 1,y 1)，b ⃑⃑=(x 2,y 2)，则|a ⃑|=√x 12+y 12，|b ⃑⃑|=√x 22+y 22，cos <a ⃑,b⃑⃑>=1212√x 1+y 1×√x 2+y 2，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)，所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b ⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b ⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 填空题11、点P 为△ABC 内一点，PA →+3PB →+4PC →=0→，则△APB,△APC,△BPC 的面积之比是___________. 答案：4:3:1分析：先将已知的向量关系式化为PA →+PC →=−3(PB →+PC →)，设F 为AC 中点，G 为BC 中点，再根据平面向量的平行四边形法则的加法运算得出PF →=−3PG →，从而可知F 、P 、G 三点共线，且PF =3PG ，进而得出PF =34GF =38AB ，PG =14GF =18AB ，最后利用三角形中位线的性质和三角形面积公式，即可确定面积比. 解：因为PA →+3PB →+4PC →=0→，所以PA →+PC →=−3(PB →+PC →)， 设F 为AC 中点，G 为BC 中点，GF 为三角形ABC 的中位线，则GF =12AB ，因为PA →+PC →=2PF →,PB →+PC →=2PG →，可得PF →=−3PG →，所以F 、P 、G 三点共线，且PF =3PG ， 则PF =34GF =38AB ，PG =14GF =18AB ，分别设S △ABP =S,S △APF =S 1,S △CPF =S 2,S △CPG =S 3,S △BPG =S 4， 由图可知，S 1=S 2，S 3=S 4，则S1S =PFAB =38，所以S 1=38S ，而S4S =PGAB =18，所以S 4=18S ， 所以S △APC =S 1+S 2=2S 1=34S ，S △BPC =S 3+S 4=2S 4=14S ， 所以S △APB :S △APC :S △BPC =S:34S:14S =4:3:1， 即△APB,△APC,△BPC 的面积之比等于4:3:1. 所以答案是：4:3:1.12、设向量m ⃑⃑⃑=2a ⃑−3b ⃑⃑,n ⃑⃑=4a ⃑−2b ⃑⃑,p ⃑=3a ⃑+2b ⃑⃑，若用m ⃑⃑⃑,n ⃑⃑表示p ⃑，则p ⃑=________.答案：−74m ⃑⃑⃑+138n ⃑⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p ⃗=xm ⃑⃑⃗+yn ⃑⃗，则有p ⃗=3a ⃗+2b ⃑⃗=x(2a ⃗−3b ⃑⃗)+y(4a ⃗−2b ⃑⃗)=(2x +4y)a ⃗+(−3x −2y)b ⃑⃗， 得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p ⃗=−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗， 所以答案是：−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗13、如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4，AD =3，E 为边CD 的中点，DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12FA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−3，则cos∠BAD =______.答案：18##0.125分析：将AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑和BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑利用线性运算表示成AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑和AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，运用数量积运算即可得到答案∵DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12FA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−23AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−12AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑2 =23×32−23×4×3×cos∠BAD −12×42 =−3，∴cos∠BAD =18， 所以答案是：1814、设向量a ⃑=(1,0),b ⃑⃑=(1,1)，若向量λa ⃑+b ⃑⃑与向量c ⃑=(6,2)共线，则实数λ=________.答案：2分析：求得λa ⃑+b ⃑⃑=(λ+1,1)，根据(λa ⃑+b ⃑⃑)//c ⃑，列出方程，即可求解. 由题意，向量a ⃑=(1,0),b ⃑⃑=(1,1)，可得λa ⃑+b ⃑⃑=λ⋅(1,0)+(1,1)=(λ+1,1)， 因为向量λa ⃑+b ⃑⃑与向量c ⃑=(6,2)共线，所以2(λ+1)−6=0，解得λ=2. 所以答案是：2.15、点A (−1,0)，B(5，−4)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，点P 的坐标为______． 答案：(2,−2)分析：设P(x,y),由已知条件，利用向量的坐标运算求解即可. 由已知得，设P (x,y ),由已知得(x,y )−(−1,0)=(5,−4)−(x,y ), ∴(x,y )=(2,−2), 所以答案是：(2,−2).小提示：本题考查平面向量的坐标运算，属基础题.关键掌握向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标. 解答题16、如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：AD →+BE →+CF →=0→．答案：证明见解析分析：利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．由题意知AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 由题意可知EF⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=FA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑． ∴AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BE⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+(CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =(AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =(AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+0⃑⃑=AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+EF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+FA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑．17、如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A 处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B 处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C 和点D 处，再分别安装一套监测设备，且满足AD =2km ,AB =4km , BD =BC ，∠DBC =90°，设∠DAB =θ．（1）当θ=2π3，求四边形ABCD 的面积；（2）当θ为何值时，线段AC 最长．答案：（1）14+2√3；（2）θ=34π时，AC 最长为2+4√2.分析：（1）利用余弦定理求出BD =2√7=BC ，即得解； （2）先求出BD =2√5−4cosθ，设∠ABD =α,sinα=√5−4cosθ，cos∠ABC =√5−4cosθ，利用余弦定理求出AC 2=36+16√2sin(θ−π4)即得解.（1）在△ABD 中，由余弦定理得BD 2=4+16−2×2×4×cos 2π3=28,所以BD =2√7=BC .所以四边形ABCD 的面积=12×2×4×√32+12×2√7×2√7=14+2√3.（2）由题得BD 2=4+16−2×2×4×cosθ=20−16cosθ, 所以BD =2√5−4cosθ，设∠ABD =α,2sinα=2√5−4cosθsinθ,∴sinα=√5−4cosθ，所以cos∠ABC =cos(π2+α)=−sinα=√5−4cosθ，所以AC 2=16+20−16cosθ−2×4×2√5−4cosθ×√5−4cosθ所以AC 2=36−16cosθ+16×sinθ=36+16√2sin(θ−π4)， 因为0<θ<π，所以θ=34π时，AC 最长为√36+16√2=√36+2√128=√32+√4=2+4√2.小提示：关键点睛：解答本题的关键有两点，其一是设∠ABD =α,求出sinα=√5−4cosθ；其二是求出AC 2=36+16√2sin(θ−π4).18、在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点.（1）写出与A 1A 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑相等的向量； （2）写出与A 1B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑平行的向量； （3）写出A 1A 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的负向量.答案：（1）A 2A 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 1B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 2B 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 1C 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 2C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑；（2）A 1C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，A 2B 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 1C 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 2C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 2A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 3A 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 2B 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 3B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 3A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑；（3）A 3A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 3B 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 3C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑分析：（1）根据相等向量的概念进行寻找，注意方向要相同，大小（长度）要相等, 表示向量的有向线段可以共线也可以平行；（2）根据平行向量的概念进行寻找，注意方向可以相同或相反，长度可以相同也可以不同, 表示向量的有向线段可以共线也可以平行；（3）根据负向量的概念寻找，注意方向要相反，长度要相等，表示向量的有向线段可以共线也可以平行. （1）如图①标出了与A 1A 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同，大小相等的向量，是与A 1A 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑相等的向量，有A 2A 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 1B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 2B 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 1C 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 2C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑；（2）与A 1B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑平行的向量是指与A 1B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反的向量，长度可以相等也可以不相等，故有A 1C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，A 2B 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 1C 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 2C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 2A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 3A 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 2B 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 3B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 3A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，如图②所示；（3）A 1A 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的负向量是指方向相反，长度相等的向量，故有A 3A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 3B 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，C 3C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，如图③所示.19、 在△ABC 中，内角A ，B ， C 所对的边分别为a,b,c .已知b +c =2a ，3csinB =4asinC . （Ⅰ）求cosB 的值； （Ⅱ）求sin (2B +π6)的值. 答案：(Ⅰ) −14； (Ⅱ) −3√5+716. 分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到a,b,c 的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB 的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin2B,cos2B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin (2B +π6)的值. (Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理b sinB =csinC 得bsinC =csinB ， 又由3csinB =4asinC ，得3bsinC =4asinC ，即3b =4a . 又因为b +c =2a ，得到b =43a ，c =23a .由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a=−14.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinB =√1−cos 2B =√154， 从而sin2B =2sinBcosB =−√158，cos2B =cos 2B −sin 2B =−78.故sin (2B +π6)=sin2Bcos π6+cos2Bsin π6=−√158×√32−78×12=−3√5+716. 小提示：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.。