九年级数学从梯子的倾斜程度谈起2

课题：§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）二、自主学习：一、正弦、余弦及三角函数的定义想一想：如图 (1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2) 211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请讨论后回答.二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：三、例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.例2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.三、展示交流：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△AB C 的周长和面积.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)四、当堂达标DB A CB AC 1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______. 3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____. 4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( ) A.sinA=34 B.cosA=35 C.tanA=34 D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BC AC等于( ) A.34 B.43 C.35 D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( ) A.43 B.34 C.45 D.54 7、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135B ．1312C ．125D ．512 8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )A.tan α<tan βB.sin α<sin β;C.cos α<cos βD.cos α>cos β9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( ) A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CD CB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A.100sin β B.100sin β C.100cos β D. 100cos β 11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45. 求：s △ABD ：s △BCDB D A C。

1．B 2．作C D A C ⊥交AB 于D ，则28CAD = ∠，在Rt ACD △中，t a n C D A C C A D =∠40.53 2.12=⨯=（米）．所以，小敏不会有碰头危险． 3．（1）B 17A =米，CD 20=米；（2）有影响，至少35米 4．AD=2.4米 5．小1 二次函数所描述的关系1．略2．2或-3 3．S=116c24．11,4,2,844±±5．y=16-x26．y=-x2+4x 7．B 8．D 9．D 10．C 11．y=2x2；y=18；x=±212．y=-2x2+260x-6500 13．(1)S=4x-32x2；(2)1.2≤x<1.614．s=t2-6t+72(0<t≤6)2 结识抛物线1．抛物线；下；y轴；原点；高；大；相反；相同；相同2．减小3．a=2；k=-2 4．a=-1 5．m=-1 6．(-2，4) 78．129．y=x2+6x10．(1)S=32y；(2)S是y的一次函数，S是x的二次函数11．(1)m=2或-3；(2)m=2．最低点是原点(0，0)．x>0时，y随x的增大而增大；(3)m=-3，最大值为0．当x>0时；y随x的增大而减小12．A(3，9)；B(-1，1)；y=x213．抛物线经过M点，但不经过N点．14．(1)A(1，1)；(2)存在．这样的点P有四个，即P10)，P20)，P3(2，0)，P4(1，0)3 刹车距离与二次函数1．下；y 轴；(0，5)；高；大；5 2．(0，-1) 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭3．y=x 2+3 4．下；3 5．14- 6．k=9,122b = 7．22y x =- 8．C 9．A 10．C 11．C 12．C 13．(1)2212(2)2y x y x ==-；(3)2y x = 14．(1)3；(2)3 15．y=mx 2+n 向下平移2个单位，得到y=mx 2+n-2，故由已知可得m=3，n-2=-1，从而m=3，n=1 16．以AB 为x 轴，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的代数表达式为y=ax 2+ c ．则B 点坐标为，0)，N 点坐标为3)，故0=24a+c ，3=12a+c ，解得a=-14，c=6，即y= -14x 2+6．其顶点为(0，6)，(6-3)÷0．25=12小时． 17．以MN 为x 轴、对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则N 点坐标为(2，0)， 顶点坐标为(0，4)．设y=ax 2+c ，则c=4，0=4a+4，a=-1，故y=-x 2+4．设B 点坐标为(x ，0)，c 点坐标为( -x ，0)，则A 点坐标为(x ，-x 2+4)，D 点坐标为(-x ，-x 2+4)．故BC=AD=2x ，AB=CD=-x 2+4．周长为4x+2(-x 2+4)．从而有-2x 2+8+4x=8，-x 2+2x=0，得x 1=0，x 2=2．当x=0时，BC=0；当x=2时，AB=-x 2+4=0．故铁皮的周长不可能等于8分米． 18．(1)6，10；(2)55；(3)略；(4)S=12n 2+12n ． 聚沙成塔 由y=0，得-x 2+0．25=0，得x=0．5(舍负)，故OD=0．5(米)．在Rt △AOD 中，AO=OD· tan ∠ADO=0．5tanβ=0.5×tan73°30′≈1.69．又AB=1.46，故OB≈0.23米．在Rt △BOD 中，tan ∠BDO=0.230.5BO OD ==0.46，故∠BDO≈24°42′．即α=24°42′．令x=0，得y=0.25， 故OC= 0.25，从而BC=0.25+0.23=0.48米．2.1~2.3 二次函数所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数测试 一、1．πr 2、S 、r 2．(6－x )(8－x )、x 、y 3．①④ 4．4、－2 5．y =－2x 2(不唯一) 6．y =－3x 2 7．y 轴 (0，0) 8．(2，4)，(－1，1)二、9．A 10．D 11．B 12．C 13．D 14．C 15．B 16．D三、17．解：(1)∵m 2－m =0，∴m =0或m =1．∵m －1≠0，∴当m =0时，这个函数是一次函数．(2)∵m 2－m ≠0，∴m 1=0，m 2=1．则当m 1≠0，m 2≠1时，这个函数是二次函数．18．解：图象略．(1)0；(2)0；(3)当a >0时，y =ax 2有最小值，当a <0时，y =ax 2有最大值．四、19．解：y =(80－x )(60－x )=x 2－140x +4800(0≤x ＜60)．20．如：某些树的树冠、叶片等；动物中鸡的腹部、背部等．五、21．解：两个图象关于x 轴对称；整个图象是个轴对称图形．(图略) y =－2x 2 (0,0)y ⎧⎪⎨⎪⎩开口方向向下对称轴轴顶点坐标 y =2x 2 (0,0)y ⎧⎪⎨⎪⎩开口方向向上对称轴轴顶点坐标 22．解：(1)设A 点坐标为(3，m )；B 点坐标为(－1，n )．∵A 、B 两点在y =13x 2的图象上，∴m =13×9=3，n =13×1=13．∴A (3，3)，B (－1，13)．∵A 、B 两点又在y =ax +b 的图象上，∴33,1.3a b a b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得231a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的表达式是y =23x +1． (2)如下图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为(－32，0)．∴|DC |=32．S △ABC =S △ADC －S △BDC =2×2×3－2×2×13=94－14=2． 4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像1．上，12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，13x = 2．-4 0 3．四 4．0 5．左 3 下 2 6．1 7．-1或3 8．< > > > < 9．12x =，19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10．①②④ 11．D 12． D 13． A 14． D15．∵2215044(5)1015015,113522(5)44(5)b ac b a a -⨯-⨯--=-===⨯-⨯-．故经过15秒时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米 16．由已知得2444a a -=2．即a 2-a-2=0，得a 1=-1，a 2=2a≥0，故a=2． 17．以地面上任一条直线为x 轴，OA 为y 轴建立直角坐标系，设y=a(x-1)2+2.25， 则当x=0时，y=1.25，故a+2.25=1，a=-1．由y=0，得-(x-1)2+2.25=0，得(x-1)2=2.25，x 1=2.5，x 2=-0.5(舍去)，故水池的半径至少要2.5米． 18．如：7月份售价最低，每千克售0.5元；1-7月份， 该蔬菜的销售价随着月份的增加而降低，7-12月份的销售价随月份的增加而上升；2月份的销售价为每千克3.5元；3月份与11月份的销售价相同等．5 用三种方式表示二次函数 1．y=-x 2+144 2．y 3．(1) y=x 2+-2x ；(2)3或-1 ；(3) x<0或x>24．k>3 5． y=x 2+8x 6．y=x 2+3x ，小，33,24- 7．（2，4） 8．14- 9．C 10．D 11．C 12．C 13．(1)略；(2)y=x 2-1；(3)略 14．设底边长为x ，则底边上的高为10-x ，设面积为y ，则y=12x(10-x)=-12(x 2-10x)=-12(x 2-10x+25-25)=-12(x-5)2+12.5．故这个三角形的面积最大可达12.5 15．2116S l = 16．(1)对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，3)，开口向下；(2)当x<1时，y 随x 的增大而增大；(3)y=-2(x-1)2+3 17．由已知得△BPD ∽△BCA ．故22416BPD ABC S x x S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，224(4)416PCE ABC S x x S ∆∆--⎛⎫== ⎪⎝⎭，过A 作AD ⊥BC ，则由∠B=60°，AB=4，得AD=AB·sin60°4=，故142ABC S ∆=⨯⨯∴222(4)1616BPD PCE x x S S ∆∆-+=⨯⨯-+∴22y =-+=+⎝．18．(1) s=12t 2-2t ； (2)将s=30代入s=12t 2-2t ，得30=12t 2-2t ，解得t 1=10，t 2=-6(舍去)．即第10个月末公司累积利润达30万元；(3)当t=7时，s=12×72-2×7=10.5，即第7个月末公司累积利润为10.5万元；当t=8时，s=12×82-2×8 =16， 即第8个月末公司累积利润为16万元．16-10.5=5.5万元．故第8个月公司所获利润为5.5万元．19．(1)略；（2）(1)2n n S -=；（3）n=56时，S=1540 20．略 6 何时获得最大利润1．A 2．D 3．A 4．A 5．C 6．B7． (1)设y=kx+b ，则∵当x=20时，y=360；x=25时，y=210．∴3602021025k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得30960k b =-⎧⎨=⎩∴y=-30x+960(16≤x≤32)； (2)设每月所得总利润为w 元，则 w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+ 1920．∵-30<0，∴当x=24时，w 有最大值．即销售价格定为24元/件时，才能使每月所获利润最大， 每月的最大利润为1920元．8． 设每间客房的日租金提高x 个5元(即5x 元)，则每天客房出租数会减少6x 间，客房日租金总收入为y=(50+5x)(120-6x)=-30(x-5)2+6750．当x=5时，y 有最大值6750，这时每间客房的日租金为50+5×5=75元． 客房总收入最高为6750元．9．商场购这1000件西服的总成本为80×1000=8000元．设定价提高x%， 则销售量下降0．5x%，即当定价为100(1+x%)元时，销售量为1000(1-0．5x%)件．故y=100(1+x%)·1000(1-0．5x%)-8000=-5x 2+500x+20000=-5(x-50)2+32500．当x=50时， y 有最大值32500．即定价为150元/件时获利最大，为32500元．10．(1)s=10×277101010x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭×(4-3)-x=-x 2+6x+7．当x=62(1)-⨯-=3 时，S 最大=24(1)764(1)⨯-⨯-⨯-=16． ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元．(2)用于再投资的资金有16-3=13万元．有下列两种投资方式符合要求：①取A 、B 、E 各一股，投入资金为5+2+6=13万元，收益为0.55+0.4+0.9=1.85万元>1.6万元．②取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12万元<13万元，收益为0.4+0.5+0.9=1.8万元>1.6万元．11．（1）60吨；(2)226033(7.545)(10)(320)(100)315240001044x y x x x x x -=⨯+-=--=-+-；(3)210元/吨；(4) 不对，设月销售额为w 元．22603(7.545)240104x w x x x -=⨯+=-+，x=160时，w 最大． 12．（1）21425y x =-+；（2）货车到桥需280406(40-=小时） ，0.256 1.5(⨯=米）而O(0，4)，4-3=1（米）<1.5米，所以，货车不能通过． 安全通过时间434(0.25-=小时），2804060(/4-=千米时），货车安全通过速度应超过60千米/时． 7 最大面积是多少1．y=-x 2+600，020x ≤≤，600m 2 ，200m 2 2．20cm 2 3．圆 4．16cm 2 ，正方形 5． 5± 6．10 7．21822333y x x =-+- 8． 9．-2 10． C 11． D 12．C 13．A 14．D 15．过A 作AM ⊥BC 于M ，交DG 于N ，则=16cm ．设DE=xcm ，S 矩形=ycm 2，则由△ADG ∽△ABC ，故AN DG AM BC =，即161624x DG -=，故DG=32(16-x)．∴y=DG·DE=32(16-x)x=-32(x 2-16x)=-32(x-8)2+96，从而当x=8时，y 有最大值96．即矩形DEFG 的最大面积是96cm 2．16．(1)y= 238x -+3x ．自变量x 的取值范围是0<x<8． (2)x=3328-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=4时，y 最大=234038348⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=6．即当x=4时，△ADE 的面积最大，为6．17．设第t 秒时，△PBQ 的面积为ycm 2．则∵AP=tcm ，∴PB=(6-t)cm ；又BQ=2t ．∴y=12PB·BQ=12(6-t)·2t=(6-t)t=-t 2+6t=-(t-3)2+9，当t=3时，y 有最大值9．故第3秒钟时△PBQ 的面积最大，最大值是9cm 2．18．(1)可以通过，根据对称性，当x=12×4=2时，y=132-×4+8=778>7．故汽车可以安全通过此隧道；(2)可以安全通过，因为当x=4时，y=132-×16+8=172>7．故汽车可以安全通过此隧道；(3)答案不惟一，如可限高7m ．19．不能，y=-x 2+4x ，设BC=a ，则AB=4-a ，(2,4)2a A a ∴+-代入解析式 24(22)404,2a a a -=-+-+=得或 A(2，4)或(4，0) 所以，不能．20．（1）125h =；（2）12,125x S ==最大；（3）BE=1.8，在 21．(1)第t 秒钟时，AP=t ，故PB=(6-t)cm ；BQ=2tcm ．故S △PBQ =12·(6-t)·2t=-t 2+ 6t ．∵S 矩形ABCD =6×12=72．∴S=72-S △PBQ =t 2-6t+72(0<t<6)；(2)S=(t-3)2+63．故当t=3时，S 有最小值63．22． (1)过A 作AD ⊥BC 于D 交PQ 于E ，则AD=4．由△APQ ∽△ABC ，得446x x -=，故x=125；(2)当RS 落在△ABC 外部时，不难求得AE=23x ，故22212446335y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当RS 落在△ABC 内部时，y=x 2(0<x<125)；(3)当RS 落在△ABC 外部时， 2222124(3)66335y x x x x ⎛⎫=-+=--+<< ⎪⎝⎭．∴当x=3时，y 有最大值6．当RS 落在BC 边上时，由x=125可知，y= 14425．当RS 落在△ABC 内部时，y=x 2(0<x<125)，故比较以上三种情况可知:公共部分面积最大为6． 23．(1)由对称性，当x=4时，y=211642525-⨯=-．当x=10时，y=2110425-⨯=-．故正常水位时，AB 距桥面4米，由16943 2.52525-=>，故小船能通过； (2)水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．8 二次函数与一元二次方程1．（-3，0），（1，0） 2．y=2x 2+4x-6 3．一、二、三 4．(1，2) 5．m=-76．m=8 7．(-1，0) 8．9016k k >-≠且 9．a=2 10．B 11．A 12．C 13．y=x 2+x+9图象与y=1的两个交点横坐标是x 2+x+9=0两根 14．224(2)(2)40m m m ∆=--=-+>15．C △ABC =AB+BC+AC=2．S △ABC =12AC·OB=12×2×3=3 16．(1)k=-2，1 (2)0<k<2 17．(1) 904m m <≠且(2)在(3) 15(,),(2,1)24Q P ---18．(1)25s ，125m ；(2)50s 19．(1)m=2或0；(2) m<0；(3)m=1，S = 20．(1)y=112-(x-6)2+5；(2) (2)由112-(x-6)2+5=0，得x 1=266x +=-图像可知:C 点坐标为(6+0) 故OC=6+.75(米)，即该男生把铅球推出约13.75米．21．(1) y=-x 2+4x-3；(2) ∴直线BC 的代数表达式为y=x-3 (3) 由于AB=3-1=2，OC=│-3│=3．故S △ABC =12AB·OC=12×2×3=3 22．(1) k=1；(2)k=-1 2．6—2．8A 参考答案一、1．2 2．14，大，－38，没有 3．①x 2－2x ；②3或－1；③<0或>2 4．y =x 2－3x －10 5．m >92，无解 6．y =－x 2+x －1，最大 7．S =π(r +m )2 8．y =－18x 2+2x +1， 16.5 二、9．B 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．D 16．B 三、17．解：(1)y =－2x 2+180x －2800；(2)y =－2x 2+180x －2800=－2(x 2－90x )－2800=－2(x －45)2+1250．当x =45时，y 最大=1250．∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元． 18．解：∵二次函数的对称轴x =2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y =12x +1上．∴y =12×2+1=2．∴y =(m 2－2)x 2－4mx +n 的图象顶点坐标为(2，2)．∴－2b a=2．∴－242(2)m m --=2．解得m =－1或m =2．∵最高点在直线上，∴a <0，∴m =－1．∴y =－x 2+4x +n 顶点为(2，2)．∴2=－4+8+n ．∴n =－2．则y =－x 2+4x +2．四、19．解：(1)依题意得：鸡场面积y =－2150.33x x -+∵y =－13x 2+503x =13-(x 2－50x )=－13(x －25)2+6253，∴当x =25时，y 最大=6253， 2．6—2．8B 参考答案一、1．3 2．2 3．b 2－4ac>0(不唯一) 4．15 cm cm 2 5．(1)A ；(2)D ；(3)C ；(4)B 6．5，625二、7．B 8．B 9．A 10．C 11．D 12．B三、13．解：(1)信息：①1、2月份亏损最多达2万元；②前4月份亏盈吃平；③前5月份盈利2．5万元；④1~2月份呈亏损增加趋势；⑤2月份以后开始回升．(盈利)；⑥4月份以后纯获利……(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为y=12(x －2)2－2，当x=6时，y=6(万元)(问题不唯一)． 14．解：设m=a+b y=a·b ，∴y=a(m －a)=－a 2+ma=－(a －2m )2+24a ，当a=2m 时，y 最大值为24a ．结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大．四、15．(1)由题意知：p=30+x ；(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元，死蟹的销售额为200x 元．∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000；(3)设总利润为L=Q －30000－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250．当x=25时总利润最大，为6250元．五、16．解：∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°．∵∠APB+∠BAP=90°，∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90°．∴△ABP ∽△PCQ ．6,,8AB BP x PC CQ x y==-∴y=－16x 2+43x ． 17．解：(1)10；(2)55；(3)略；(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上．设函数的解析式为S=an 2+bn+c ．由题意知：1a ,21,1423,b ,2936,c 0.a b c a b c a b c ⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪++==⎨⎨⎪⎪++=⎩=⎪⎪⎩解得∴S=211.22n n + 单元综合评价一、选择题：1~12：CBDAA ，CDBDB ，AB二、填空题：13．2 14．591415． 16．-7 17．2 18．y=0.04x 2+1.6x 19．<、<、> 20．略 21．只要写出一个可能的解析式 22．1125m 23．-9．三、解答题：24．y=x 2+3x+2 (-3/2，- 1/4) 25．y=-1200x 2+400x+4000；11400，1060026．21y x =-； 5小时 27．(1)5；(2) 2003 28．(1) 2y -x x =++；(2) y=-x 2+1/3x+4/9，y=-x 2-x 29．略． 第三章 圆1 车轮为什么做成圆形1．=5cm <5cm >5cm 2．⊙O 内 ⊙O 上 ⊙O 外 3．9π cm 2 4．内部 5．5cm 6．C 7．D 8．B 9．A 10．由已知得OA=8cm ，OB==，OD==10，= ，故OA<10，OB<10，OD=10，OC>10．从而点A ， 点B 在⊙O 内；点C 在⊙O 外；点D 在⊙O 上 11．如图所示，所组成的图形是阴影部分(不包括阴影的边界) 12．如图所示，所组成的图形是阴影部分(不包括阴影的边界)．(11题) (12题)13．由已知得PO=4，PA=5，PB=5，故OA=1，OB=9，从而A 点坐标为A(-1，10)，B 点坐标为(9，0)；连结PC 、PD ，则PC=PD=5，又PO ⊥CD ，PO=4，故，．从而C 点坐标为(0，3) ，D 点坐标为(0，-3) 14．存在，以O 为圆心，OA 为半径的圆 15．2≤AC≤8 聚沙成塔∵PO<2．5，故点P 在⊙O 内部；∵Q 点在以P 为圆心，1为半径的⊙P 上，∴1≤OQ≤3．当Q 在Q 1点或Q 2点处，OQ=2．5，此时Q 在⊙O 上；当点Q 在弧线Q1mQ2上(不包括端点Q 1，Q 2)，则OQ>2．5，这时点Q 在⊙O 外；当点Q 在弧线Q 1nQ 2上(不包括端点Q 1，Q 2)，则OQ<2．5，这时点Q 在⊙O 内．2 圆的对称性1．中心，过圆心的任一条直线，圆心 2．60° 3．2cm 4．5 5．3≤OP≤56．10 7．相等8 9．C 10．B 11．A 12．过O 作OM ⊥AB 于M ，则AM=BM ．又AC=BD ，故AM-AC=BM-BD ，即CM=DM ，又OM ⊥CD ， 故△OCD 是等腰三角形．即OC=OD ．(还可连接OA 、OB ．证明△AOC ≌△BOD) 13．过O 作OC ⊥AB 于C ，则BC=152cm ．由BM:AM=1:4，得BM=15×5=3 ，故CM=152-3=92 ．在Rt △OCM 中， OC 2=229175824⎛⎫-= ⎪⎝⎭．连接OA ，则10=，即工件的半径长为10cm 14．是菱形，理由如下:由 BC = AC ，得∠BOC=∠AOC ．故OM ⊥AB ，从而AM=BM ．在Rt △AOM 中，sin ∠AOM=AM OA =，故∠AOM=60°，所以∠BOM=60°．由于OA=OB=OC ，故△BOC 与△AOC 都是等边三角形，故OA=AC=BC=BO=OC ，所以四边形OACB 是菱形． 15．PC=PD ．连接OC 、OD ，则∵ DB = BC ，∴∠BOC=∠BOD ，又OP=OP ，∴△OPC ≌△OPD ，∴PC=PD．16．可求出长为6cm的弦的弦心距为4cm，长为8cm的弦的弦心距为3cm．若点O 在两平行弦之间，则它们的距离为4+3=7cm，若点O在两平行弦的外部，则它们的距离为4- 3=1cm，即这两条弦之间的距离为7cm或1cm．17．可求得OC=4cm，故点C在以O为圆心，4cm长为半径的圆上，即点C 经过的路线是O为圆心，4cm长为半径的圆．聚沙成塔作点B关于直线MN的对称点B′，则B′必在⊙O上，且 B N'= NB．由已知得∠AON=60°，故∠B′ON=∠BON= 12∠AON=30°，∠AOB′=90°．连接AB′交MN于点P′，则P′即为所求的点．此时AP+BP3 圆周角与圆心角1．120°2．3 1 3．160°4．44°5．50°67．A 8．C 9．B 10．C 11．B 12．C 13．连接OC、OD，则OC=OD=4cm，∠COD=60°，故△COD是等边三角形，从而CD= 4cm 14．连接DC，则∠ADC=∠ABC=∠CAD，故AC=CD．∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∴AC2+CD2=AD2，即2AC2=36，AC2=18，15．连接BD，则∴AB 是直径，∴∠ADB=90°．∵∠C=∠A，∠D=∠B，∴△PCD ∽△PAB，∴PD CDPB AB=．在Rt△PBD中，cos∠BPD=PD CDPB AB==34，设PD=3x，PB=4x，则BD=，∴tan∠BPD=BDPD==16．(1)相等．理由如下:连接OD，∵AB⊥CD，AB是直径，∴ BC= BD，∴∠COB= ∠DOB．∵∠COD=2∠P，∴∠COB=∠P，即∠COB=∠CPD；(2)∠CP′D+∠COB=180°．理由如下：连接P′P，则∠P′CD=∠P′PD，∠P′PC=∠P′DC．∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD．∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB，从而∠CP′D+∠COB=180°17．聚沙成塔迅速回传乙，让乙射门较好，在不考虑其他因素的情况下，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小，当张角越大时，射中的机会就越大，如图所示，则∠A<MCN=∠B，即∠B>∠A，从而B处对MN的张角较大，在B处射门射中的机会大些．4 确定圆的条件1．三角形内部，直角三角形，钝角三角形2．34．其外接圆，三角形三条边的垂直平分线，三角形三个顶点5．6．两7．C 8．B 9．A 10．C 11．B 12．C 13．略14．略15．(1)△FBC是等边三角形，由已知得：∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC，∴∠BFC=∠BAC=60°，∠BCF=∠BAF=60°，∴△FBC是等边三角形；(2)AB=AC+FA．在AB上取一点G，使AG=AC，则由于∠BAC=60°，故△AGC是等边三角形，从而∠BGC=∠FAC=120°，又∠CBG=∠CFA，BC=FC，故△BCG≌△FCA，从而BG=FA，又AG=AC，∴AC+FA=AG+BG=AB 16．(1)在残圆上任取三点A、B 、C ； (2)分别作弦AB 、AC 的垂直平分线， 则这两垂直平分线的交点即是所求的圆心； (3)连接OA ，则OA 的长即是残圆的半径 17．存在．∵AB 不是直径(否则∠APB=90°，而由cos ∠APB=13知∠APB<90°，矛盾)∴取优弧AB 的中点为P 点，过P 作PD ⊥AB 于D ，则PD 是圆上所有的点中到AB 距离最大的点．∵AB 的长为定值，∴当P 为优弧AB 的中点时，△APB 的面积最大，连接PA 、PB ， 则等腰三角形APB 即为所求．S △APB=12AB· 聚沙成塔 过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OB ，则∠AOE=12∠AOB ，AE=12AB ，∴∠C=12∠AOB=∠AOE ． 解方程x 2-7x+12=0可得DC=4，AD=3，故=，，可证Rt △ADC ∽Rt △AEO ，故AE AO AC=，又AC==5， AD=3，AE=，故AO=，从而S ⊙O=21254ππ⨯=⎝⎭． 5 直线与圆的位置关系1．相交 2．60 3．如OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，AB ⊥OP 等 4．0≤d<4 5．65°6．146°，60°，86° 7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．B13．(1)AD ⊥CD ．理由：连接OC ，则OC ⊥CD ．∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，又∠OAC= ∠DAC ，∴∠DAC=∠OCA ，∴AD ∥OC ，∴AD ⊥CD ；(2)连接BC ，则∠ACB=90°由(1)得∠ADC=∠ACB ，又∠DAC=∠CAB ．∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD AB AC=，即AC 2=AD·AB=80，故 14．(1)相等．理由:连接OA ，则∠PAO=90°．∵OA=OB ，∴∠OAB=∠B=30°，∴∠AOP=60°，∠P=90°-60°=30°，∴∠P=∠B ，∴AB=AP ；(2)∵tan ∠APO=OA PA，∴OA=PA ， tan ∠0301tan ==，∴BC=2OA=2，即半圆O 的直径为2 15．(1)平分．证明：连接OT ，∵PT 切⊙O 于T ，∴OT ⊥PT ，故∠OTA=90°， 从而∠OBT=∠OTB=90°-∠ATB=∠ABT ．即BT 平分∠OBA ； (2)过O 作OM ⊥BC 于M ，则四边形OTAM 是矩形，故OM=AT=4，AM=OT=5．在Rt △OBM 中，OB=5，OM=4，故，从而AB=AM-BM=5-3=216．作出△ABC 的内切圆⊙O ，沿⊙O 的圆周剪出一个圆，其面积最大 17．由已知得:OA=OE ，∠OAC=∠OEC ，又OC 公共，故△OAC ≌OEC ，同理，△OBD ≌△OED ，由此可得∠AOC=∠EOC ，∠BOD=∠EOD ，从而∠COD=90°，∠AOC=∠BDO ． 根据这些写如下结论：①角相等：∠AOC=∠COE=∠BDO=∠EDO ，∠ACO=∠ECO=∠DOE=∠DOB ，∠A=∠B=∠OEC=∠OED ；②边相等：AC=CE ，DE=DB ，OA=OB=OE ；③全等三角形：△OAC ≌△OEC ，△OBD ≌△OED ；④相似三角形:△AOC ∽△EOC ∽△EDO ∽△BDO ∽△ODC ．聚沙成塔 (1)PC 与⊙D 相切，理由:令x=0，得y=-8，故P(0，-8)；令y=0，得故0)，故OP=8，CD=1，∴，又PC=，∴PC 2+CD 2=9+72=81=PD 2．从而∠PCD=90°，故PC 与⊙D 相切； (2)存在．点-12)或-4)，使S △EOP =4S △CDO ．设E 点坐标为(x ，y)，过E 作EF ⊥y 轴于F ，则EF=│x│．∴S △POE =12PO·EF=4│x│．∵S △CDO =12CO·│x│=，，当x=- 时，y=-2×(-)-8=-4；当x= 时，．故E 点坐标为-4)或-12)．6 圆与圆的位置关系1．2 14 2．外切 3．内切 4．45°或135° 5．1<r<8 6．外切或内切 7．A 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 13．C14．外切或内切，由│d -4│=3，得d=7或1，解方程得x 1=3，x 2=4，故当d=7时，x 1+ x 2=d ；当d=1时，x 2-x 1=d ，从而两圆外切或内切 15．过O 1作O 1E ⊥AD 于E ，过O 2作O 2F ⊥AD 于F ，过O 2作O 2G ⊥O 1E 于G ，则AE=DF=5cm ，O 1G=16-5-5=6cm ，O 2O 1=5+5=10cm ，故O 2，所以EF=8cm ，从而AD=5+5+8=18cm ．16．如图所示．17．如：AC=BC ，O 1A 2+AF 2=O 1F 2，AC 2+CF 2=AF 2等 聚沙成塔 有无数种分法．如：过⊙O 2与⊙O 5的切点和点O 3画一条直线即满足要求．7 弧长及扇形的积1．240°3πcm 2．389mm 3．16π 4．50 5 6．2πcm 2 7．B 8．C 9．C 10．B 11．A 12．A 13．设其半径为R ，则120180R π⨯=，R =cm ，过圆心作弦的垂线，则可求弦长为9cm 14．由已知得，S 扇形DOC=2150500203603ππ⨯=，S 扇形AOB=2150125103603ππ⨯=，故绸布部分的面积为S 扇形DOC- S 扇形AOB=125π15．由已知得，2081809n ππ⨯=，得n=50，即∠AOC=50°．又AC 切⊙O 于点C ，故∠ACO=90 °，从而OA=812.446cos50cos50OC =≈︒︒，故AB=AO-OB=12．446-8≈4．45cm 16．设切点为C ，圆心为O ，连接OC ，则OC ⊥AB ，故AC=BC=15，连接OA ，则OA 2-OC 2=AC 2=152=225，故S 阴影=2222()225AO CO AO CO ππππ⨯-⨯=-=cm 2 17．如图所示 r=22C B A r=4C A r=42-4B r=2OB A聚沙成塔 (1)依次填2468,,,3333ππππ；(2)根据表可发现:23n l n π=⨯，考虑2264001000003n ππ⨯≥⨯⨯，得n≥1.92×109，∴n 至少应为1.92×109． 8 圆锥的侧面积1．6 2．10π 3．2000π 4．2cm 5．15π 6．18 7．D 8．D9．B 10．B 11．A 12．B 13．侧面展开图的弧长为2816ππ⨯=，设其圆心角为n°，则1516180n ππ⨯=，故n=192， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是192° 14．可得△SAO ≌△SBO ，故∠ASO=∠BSO=60°，∠SBO=30°，由BO=27， tan ∠SBO=tan 30°=27SO SO BO =，得SO=27=≈15.6m ，即光源离地面的垂直高度约为15.6m 时才符合要求 15．过A 作AD ⊥BC ，则由∠C=45°，得AD=DC=12cn ，AB=2AD=24cm，BC= 12312+，以A 为圆心的扇形面积为21051242360ππ⨯=cm 2，以B 为圆心的扇形面积为22302448360cm ππ⨯=，以C 为圆心的扇形面积为2245(122)36360cm ππ⨯=， 故以B 为圆心取扇形作圆锥侧面时，圆锥的侧面积最大，设此时圆锥的底面半径为r ，则30224180r ππ=⨯， r=2cm ，直径为4cm 聚沙成塔 设圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则1224R r ππ⨯⨯=⨯，故R=4r ，又R+r+22r a =，将R=4r 代入，可求得r=522a -≈0.22a ． 正多边形与圆1．正方形 2．十八 提示：正多边形的中心角等于外角，外角和为360°，360÷20=18 3．36° 提示：可求出外角的度数4．正三角形 5．C 提示：其中正确的有②④⑤⑥⑦ 6．C 7．D 提示：按正多边形的定义 8．C 9．3 提示：利用直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半 10．100cm 2 11．6：2 提示：设此圆的半径为R ，则它的内接正方形的边长为2R ，它的外切正六边形的边长为23R ，内接正方形和外切正六边形的边长比为2R ：23R=6：2 12．4πa 2 提示：如图所示，AB 为正n 边形的一边，正n 边形的中心为O ，AB •与小圆切于点C ，连接OA ，OC ，则OC ⊥AB ，12AC=12AB=a ，所以AC 2=14a 2=OA 2-OC 2，S 圆环=S 大圆-S 小圆=πOA 2-OC 2=π（OA 2-OC 2）=4πa 2 13．C 14．C 15．方法一：（1）用量角器画圆心角∠AOB=120°，∠BOC=120°；（2）连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：（1）用量角器画圆心角∠BOC=120°；（2）在⊙O 上用圆规截取；（3）连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：（1）作直径AD ；（2）以O 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ；（3）连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法四：（1）作直径AE ；（2）分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；（3）连接AB ，BC ，CA （或连接EF ，ED ，DF ），则△ABC （或△EFD ）为圆内接正三角形．AC AB =16．解：相同点：都有相等的边；都有相等的角，都有外接圆和内切圆等．不同点：边数不同；内角的度数不同；内角和不同；对角线条数不同等 17．解：方法一：如题图①中，连接OB ，OC ．∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°．又∠OCN=30°，∠BOC=120°，而BM=CN ，OB=OC ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠BOM=∠CON ，∴∠MON=∠BOC=120°．方法二：如题图①中，连接OA ，OB ．∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴AB=BC ，∠OAM=∠OBN=30°，∠AOB=120°，∴∠AOM=∠BON ．∴∠MON=∠AOB=120°；（2）90° 72°；（3）∠MON=360n︒ 单元综合评价（一）一、1~5 AABDB 6~10 DDABD二、11．8 12．π213．9cm 14．120° 15．13 16．18πcm 2 17．60° 18．180° 19．7或1 20．（1）2；（2）3n +1三、21．10cm ，6cm 22．432m 2 23．2π6R （提示：连接CO ，DO ，S 阴影=S 扇形COD ） 24．（1）A （4，0），33y x =+；（2）3＞m 时相离，m =时相切，0m <<时相交 25．解：（1）42πr r +，82πr r +；（2）62πr r +，82πr r +，102πr r +，122πr r +；（3）162πr r +，图略单元综合评价（二）1．以点A 为圆心，2cm 长为半径的圆 2．点P 在⊙O 内 3．10 4．90°5．2 6． 120° 7．3 8．2cm 或8cm 9．(12+5π)cm 10．30π11．B 12．D 13．D 14．C 15．D 16．B 17．B 18．C19．C 20．C 21．如图，所有点组成的图形是如图所示的阴影部分． 22．(1)连接CD ，=5，由CD=CA ，得∠CDA=∠A ，故tan ∠CDA=tanA=43BC AC =；(2)过C 作CF ⊥AD 于F ，则AD=2AF ，由cosA=AC AF AB AC =，得AC 2=AB·AF ．故32=5·AF ，AF=95，所以AD=185． 23．(1)相切．理由:连接OC ，OB ，则OC ⊥AB ，由已知得BC=12AB=4，OB=5，故=3，从而圆心O 到直线AB 的距离等于小圆的半径，故AB 与小圆相切；(2) 22222(53)16OB OC cm ππππ-=-=． 24．(1)连接AB ，AM ，则由∠AOB=90°，故AB 是直径，由∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°-120°=60°，得∠BAO=60°，又AO=4，故cos ∠BAO=AO AB，AB=048cos60=，从而⊙C 的半径为4；(2)由(1)得，C作CE ⊥OA 于E ，CF ⊥OB 于F ，则EC=OF=12BO=12⨯=，CF=OE=12OA=2， 故C 点坐标为(-，2) 25．连接AC ，BC ，分别作AC ，BC 的垂直平分线，相交于点M ，则点M 即满足条件(图略) 26．(1)设扇形半径为Rcm ，则2120300360R ππ=，故R=30cm ，设扇形弧长为Lcm ，则113030022Rl l π=⨯=，故L=20π；(2)设圆锥的底面半径为rcm ，则220r ππ=，r=10cm cm 27．如:∠D=30°，DC 是⊙O 的切线，△CBD 是等腰三角形，△ACD 是等腰三角形，AC=CD ，BD=BC ，△DCB ∽△DAC ，DC 2=DB·DA ，，等 28．略．只要符合题意即可得分．第四章 统计与概率1 50年的变化（1）1．条形，折线，扇形 2．条形，0 3．折线，同一单位长度 4．不能5．（1）1：3；（2）从0开始 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B12．解：（1）左图给人的感觉是小明通过努力，数学成绩提高迅速，进步很大；而右图给你的感觉则是小明的学习成绩比较稳定，进小不是很大；（2）如果小明想向他的父母说明他数学成绩的提高情况，那么他应选择左图，理由是：左图看上去折线上升速度转快，表明小明的成绩提高迅速 13．解：（1）A 村的苹果产量占本村两种水果总产量的35％，梨占65％；B 村的苹果产量在本村两种水果总产量中占80％，梨占20％。

1、1从梯子的倾斜程度谈起 (2)【课标与教材分析】课标要求：能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦，余弦。

教材分析：本节从现实情境（梯子的倾斜程度）出发，让学生经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明，能用tanA、sinA、cosA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算。

【学情分析】学生已经知道的：直角三角形边与边之间的关系（勾股定理）与角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余），以及在上一节课中学习了锐角的正切值与直角三角形两直角边的关系。

学生能自己解决：学生可借助类比的方法学习在直角三角形中继续研究锐角与一直角边和斜边存在的关系。

需要教师指导解决的：在直角三角形中继续研究锐角与一直角边和斜边的存在的关系中，注意强调先确定好角，再找边。

教师采用实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的对边与邻边及斜边的的比是由锐角的大小变化而变化的。

【教学目标分析】(一)教学目标：知识技能:经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.问题解决:能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比,进行简单的计算.数学思考：理解锐角三角函数的意义.情感态度价值观（二）教学重点：理解正弦和余弦的意义，能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比,进行简单的计算（三）教学难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切.（四）创新支点设计：用试验的方法、数形结合的思想，借助多媒体课件进行淡化。

【教学评价】课堂学生参与度、当堂测试【教学方法与媒体】引导式自主探究、课件【教学过程】§1.1……从梯子的倾斜程度谈起（2）学案 姓名： 班级： 等级：学习目标：1、经历探索直角三角形中边角关系的过程。

理解正弦、余弦的意义和与现实 生活的联系。

2、能够用sinA,cosA 表示直角三角形中斜边与直角边的比，表示生活中物体 的倾斜程度，能够用正弦、余弦进行简单的计算。

北师大版九年级数学下从梯子的倾斜程度谈起( 二)课题§从梯子的倾斜程度谈起( 二 )教课目的( 一 ) 教课知识点1. 经历研究直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2. 能够运用sinA 、 cosA 表示直角三角形两边的比.3. 能依据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义 .(二 ) 能力训练要求1.经历类比、猜想等过程 . 发展合情推理能力，能有条理地、清楚地论述自己的看法.2.领会数形联合的思想，并利用它剖析、解决问题，提升解决问题的能力.(三 ) 感情与价值观要求1.踊跃参加数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合作沟通的意识以及独立思虑的习惯.教课要点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用 sinA 、 cosA 表示直角三角形两边的比 .3.能依据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教课难点用函数的看法理解正弦、余弦和正切.教课方法研究——沟通法.教具准备多媒体演示 .教课过程Ⅰ . 创建情境，提出问题，引入新课[ 师 ] 我们在上一节课曾议论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，而且得出了当倾斜角确准时，其对边与斜边之比随之确立 . 也就是说这一比值只与倾斜角相关，与直角三角形的大小没关 . 并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.此刻我们提出两个问题：[ 问题 1] 当直角三角形中的锐角确立以后，其余边之间的比也确立吗?[ 问题 2] 梯子的倾斜程度与这些比相关吗?假如有，是如何的关系?Ⅱ. 解说新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示以下内容：想想：如图(1)直角三角形 AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系 ?(2)A1C1 和A2C2有什么BA1BA2关系?BC1和BC2呢? BA1BA2(3)假如改变 A2在梯子 A1 B上的地点呢 ?你由此可得出什么结论 ?(4)假如改变梯子 A1B的倾斜角的大小呢 ?你由此又可得出什么结论 ? 请同学们议论后回答.[ 生 ] ∵A1C1⊥ BC1， A2C2⊥ BC2，∴A1C1//A 2C2.∴Rt △BA1C1∽ Rt △ BA2C2.A1C1和A2 C2BA1BA2BC1 和BC 2( 相像三角形对应边成比率 ).BA1BA2因为 A2是梯子 A1B 上的随意—点，因此，假如改变A2在梯子 A1 B上的地点，上述结论仍建立 .由此我们可得出结论：只需梯子的倾斜角确立，倾斜角的对边. 与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确立. 也就是说，这一比值只与倾斜角相关，而与直角三角形大小没关 .[ 生 ] 假如改变梯子A1B 的倾斜角的大小，如虚线的地点，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[ 师 ] 我们会发现这是一个变化的过程. 对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都跟着倾斜角的改变而改变，同时，假如给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是独一确立的. 这是一种什么关系呢?[ 生] 函数关系 .[ 师 ] 很好 ! 上边我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以够有以下定义：( 用多媒体演示)在 Rt △ ABC中，假如锐角 A 确立，那么∠ A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确立. 如图，∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正弦 (sine) ，记作 sinA ，即sinA＝A的对边斜边∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦 (cosine) ，记作 cosA ，即A 的邻边 cosA=斜边锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠ A 的三角函数 (trigonometricfunction).[ 师 ] 你能用自己的语言解说一下你是如何理解“ sinA 、cosA 、 tanA 都是之 A 的三角函数”呢 ?[ 生 ] 我们在前面已议论过， 当直角三角形中的锐角A 确准时 . ∠ A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠ A 的对边与邻边的比值也都独一确立 . 在“∠ A 的三角函数”概念中，∠ A 是自变量，其取值范围是 0° <A<90°；三个比值是因变量 . 当∠ A 变化时，三个比值也分别有独一确立的值与之对应.2. 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系 [师 ] 我们上一节知道了梯子的倾斜程度与 tanA 相关系： tanA 的值越大，梯子越陡. 由此我们想到梯子的倾斜程度能否也和 sinA 、 cosA 相关系呢 ?假如相关系，是如何的关系?[ 生 ] 以下图， AB ＝ A 1B 1，19在 Rt △ ABC 中， sinA=BC，在ABRt △ A 1B 1C 中， sinA 1=B 1C.A 1B 1∵BC ＜B 1C,AB A 1B 1即 sinA<sinA 1，而梯子 A 1B 1 比梯子 AB 陡，因此梯子的倾斜程度与 sinA 相关系 .sinA 的值越大， 梯子越陡 . 正弦值也能反应梯子的倾斜程度 .[ 生 ] 相同道理 cosA= AC1A 1Ccos A ＝ABA 1B 1∵ AB=ABAC ＞ A 1C 即 cosA>cosA ，11ABA 1B 11因此梯子的倾斜程度与 cosA 也相关系 .cosA 的值越小，梯子越陡 .[ 师 ] 同学们剖析得很棒，能够联合图形剖析就更加妙哉 ! 从理论上讲正弦和余弦都能够刻画梯子的倾斜程度，但实质中往常使用正切.3. 例题解说多媒体演示 .[ 例 1] 如图，在 Rt △ABC 中，∠ B=90°， AC ＝ 200.sinA ＝0.6 ，求 BC 的长 .剖析： sinA 不是“ sin ”与“ A ”的乘积， sinA 表示∠ A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知 sinA ＝ 0.6 ，BC＝ 0.6.AC解：在 Rt △ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AC ＝ 200. sinA＝0.6 ，即 =BC0.6 ，BC ＝ AC × 0.6 ＝ 200× 0.6=120.AC思虑： (1)cosA ＝ ? (2)sinC ＝？ cosC ＝ ?(3)由上边计算，你能猜想出什么结论?解：依据勾股定理，得AB ＝AC 2 BC 2 2002 1202 =160.在 Rt △ ABC 中， CB ＝ 90°. cosA＝ AB160 4 ＝0.8 ，AC 200 5sinC=AB 160 4 =0.8 ，AC 200 5cosC ＝ BC1203＝0.6 ，AC200 5由上边的计算可知 sinA＝cosC ＝ O.6，cosA ＝sinC ＝ 0.8.因为∠ A+∠ C ＝ 90°， 因此， 结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦” “一个锐角的余弦等于它余角的正弦” . [ 例 2] 做一做：如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， cosA ＝12， AC ＝ 10， AB 等于多少 ?sinB 呢 ?cosB 、sinA13呢?你还可以得出近似例 1 的结论吗 ?请用一般式表达.剖析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步浸透 sin(90 ° -A) ＝cosA ， cos(90 ° -A)=sinA.解：在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC=10， cosA ＝12， cosA ＝AC,13AB∴ AB=Ac10 13 65 ,cos A12 1061213sinB ＝Accos A12 AB13依据勾股定理，得222＝ (652265260225 2BC＝ AB -AC6)-10 =3662∴BC＝25.625∴ cosB＝BC625 5 , AB6565136sinA ＝BC5 AB13能够得出同例 1 相同的结论 .∵∠ A+∠ B=90°，∴sinA ： cosB=cos(90-A) ，即 sinA ＝ cos(90 ° -A) ；cosA ＝sinB ＝ sin(90 ° -A) ，即 cosA＝ sin(90 ° -A).Ⅲ. 随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形 ABC中， AB=AC＝ 5，BC=6，求 sinB ，cosB ， tanB.剖析：要求 sinB ， cosB，tanB ，先要结构∠ B 所在的直角三角形 . 依据等腰三角形“三线合一”的性质，可过 A 作 AD⊥ BC， D 为垂足 .解：过 A 作 AD⊥ BC， D 为垂足 .1∴ AB=AC，∴ BD=DC= BC=3.2在 Rt△ ABD中， AB＝ 5，BD=3，∴ AD＝4.sinB＝ AD4cosB ＝BD3 ,AB5AB5 tanB=AD 4 .BD32.在△ ABC中，∠ C＝ 90°， sinA ＝4， BC=20，求△ ABC的周长和面积 . 5解： sinA= BC，∵ sinA=4，BC＝ 20，AB5∴ AB＝BC20＝＝ 25. sin A45在 Rt△ BC中， AC＝252202=15，∴ ABC 的周长＝ AB+AC+BC ＝ 25+15+20＝ 60，△ ABC 的面积： 1 AC × BC=1×15× 20＝150.223.(2003年陕西 )( 增补练习 )在△ ABC 中. ∠ C=90°，若 tanA= 1，2则 sinA= .解：如图， tanA=BC = 1.AC 2设 BC=x ， AC=2x ，依据勾股定理，得AB= x 2(2x)25x .∴ sinA=Ⅳ . 课时小结BCx 1 5 .AB5x55本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的看法， 用函数的看法认识了三种三角函数，即在锐角 A 的三角函数看法中，∠ A 是自变量，其取值范围是 0° <∠ A<90°；三个比值是因变量 .当∠ A 确准时，三个比值分别独一确立；当∠ A 变化时，三个比值也分别有独一确立的值与之对应 . 类比前一节课的内容，我们又进一步思虑了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实质问题.Ⅴ . 课后作业习题 1、2 第 1、2、 3、4 题 Ⅵ . 活动与研究已知：如图， CD 是 Rt △ ABC 的斜边 AB 上的高，求证： BC 2＝ AB ·BD.( 用正弦、余弦函数的定义证明 )[ 过程 ] 依据正弦和余弦的定义，在不一样的直角三角形中，只需角度相同，其正弦值 ( 或余弦值 ) 就相等， 不用只限制于某一个直角三角形中， 在 Rt △ABC 中，CD ⊥ AB.因此图中含有三个直角三角形 . 比如∠ B 既在 Rt △ BDC 中，又在 Rt △ABC 中，波及线段 BC 、 BD 、 AB ，由正弦、余弦的定义得 cosB ＝BC，cosB=BD.ABBC[结果 ] 在 Rt △ ABC 中， cosB ＝BC又∵ CD ⊥ AB.∴在 Rt △ CDB 中， cosB ＝ ABBDBCBC BD2∴=BC ＝ AB · BD.AB BC板书设计§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起 ( 二)1.正弦、余弦的定义在 Kt △ ABC中，假如锐角 A确立 . sinA ＝A的对边斜边cosA＝A的对边斜边2.梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 相关吗 ?sinA 的值越大，梯子越陡cosA 的值越小，梯子越陡3.例题解说4.随堂练习。

关于九年级数学从梯子的倾斜程度谈起的说课稿关于九年级数学从梯子的倾斜程度谈起的说课稿一、设计理念数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

教学应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

基于以上理念，在教学中必须充分相信学生，把学习的主动权交给学生，为此，我在数学教学中设计了活动探究新知学习拓展应用总结提高的教学流程。

二、教材分析：(一)教材的地位和作用本节为九年级(下)第一章《直角三角形的边角关系》的第一节《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时。

直角三角形的边角关系是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的应用。

如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，通过研究图形之中各个元素之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，通过本节的学习，学生将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。

在学习中，同学们将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等，通过本节的学习，将为学习正弦、余弦等三角函数知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。

本节主要从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数正切，正切是生活中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等都使用正切。

本节的学习，为正弦和余弦的学习做好铺垫。

(二)教学的目标和要求1、知识目标：① 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.② 能够用tanA表示直角三角形中两边的比，理解其与物体的倾斜程度、坡度的关系，并能够用正切进行简单的计算2、能力目标：① 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点② 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力③ 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神3、情感目标：积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.(三)教学的重点和难点重点：1.利用模拟实验，探究直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.三、说教法、学法：1、教法：本节课主要采用活动探究法实施教学，通过三个模拟实物的数学活动，让学生总结正切函数的概念，并能较好的运用所学知识解决问题。

第一课时教学设计[活动1]创设情境 引入课题 [问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题在活动1中教师应重点关注:(1) 学生是否能从实际生活中发现并提出数学问题。

(2)学生的审美意识及对演示图片倾注的情感。

[活动2]梯子是日常生活常见的物体，让学生比较如何比较梯子的倾斜度，有哪些办法？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?从而引出正切的定义。

教师通过引导学生观察、讨论，通过步步设问，引发学生思考。

定义 在在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边[活动3]判断对错:如图1， (1)tanA=BC/AC （ ） tanA=AC/BC （ ）图1 tanA=0.7m ( ) tanA=0.7 ( )图2注意： 1.tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.2.tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比.3.tanA 不表示“tan ”乘以“A ”.4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切.05．tanA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的大小无关。

[活动4]应用延伸 探究思考 探究：梯子的倾斜程度与tanA 有什么关系？梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，梯子越陡，tanA 的值越大；反过来，教师出示探究题，引导学生思考。

在学生独立思考的基础上，组织学生讨论交流。

tanA的值越大，梯子越陡.[例1]如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.如图，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60 m，那么山坡的坡度(即坡角α的正切——就是tan α)[例2] 在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB 的值.在活动4中教师要重点关注：（1）学生独立思考、解决问题的能力。

新版北师大初中数学教材目录
九年级下册
第一章直角三角形的边角关系
1．从梯子的倾斜程度谈起 2．30o，45 o，60 o角的三角函数值 3．三角函数的有关计算
4．船有触礁的危险吗 5.测量物体的高度
第二章二次函数
1．二次函数所描述的关系 2．二次函数的图像与性质 3．确定二次函数的表达式?? 4．最大面积是多少 5．何时获得最大利润 6．二次函数与一元二次方程
8．二次函数与一元二次方程
第三章圆
1．圆 2．圆的对称性 3．垂径定理 4.圆周角和圆心角的关系 5．确定圆的条件
6．直线和圆的位置关系 7．切线长定理 8.圆内接正多边形 9．弧长及扇形的面积
第四章统计与概率
1．视力的变化 2．生活中的概率 3．统计概率的应用。