浙江大学2000年研究生数学分析试题参考答案

名词解释:1.意识2.侧抑制和感受野 4.格式塔心理学5.模式识别 6.晶体智力和流体智力7.STROOP效应8.现代人格三层次理论9.费希纳定律10.自我功效论11.人本主义心理学12.皮层的言语区 13.神经冲动的化学传导 14.知觉的恒常性15.特征整合论16.心境与应激17.正强化与负强化 18.投射测验 19.两种人格理论模式20．基于物体的选择注意21.交互作用22.等响曲线23.恩墨特定律24.样本分布25.PASS模型26.投射测验17.需要与动机28.Weiner的动机归因理论29.结构优势效应30.特征整合理论31.启动效应32.问题空间33.实验者效应34.匹配法35.启动效应36.诱动现象37.听觉适应38.差异系数39.分层随机抽样40.心理物理学41.似动现象42.实验法43.闪光融合理论44.最小可觉差45.等响曲线46.完全随机化设计47.部分报告法48平均差误法49.似动现象50.系列位置效应51.实验者效应52.被试间设计53.费希纳的对数定律54.音高量表55.实验效度56.操作定义57.感受野58.数量估计法59.双眼视差60.开窗实验61反射62错觉63模式识别64图形掩蔽65暗适应66发散思维67心境与应激68诱因理论69素质70特质简答：1.试结合实例分析知觉是对输入信息的组织和解释2.试阐述和评述智力三元论3.试评述几种主要的注意选择理论4.试阐述减法反应时和相加因素法范式的典型实验及特点并说明其对认知心理学的贡献5.阈限的定义及操作定义，6.如何正确选用回忆方法，7.非参数检验方法的特点，8.开窗实验的范式及特点，9.谈用统计法消除额外变量，10．试述感受性和感受阈限以及感觉大小与刺激强度的关系。

11．试述并评价几种主要的能力理论。

12．你如何看待短时记忆容量问题？什么是工作记忆？为什么它是认知心理学研究的关键问题？13．什么是部件认知（RBC）理论？它与传统模式识别理论相比有什么进步？有什么不足？14．什么是Stroop效应？什么是反应选择？你认为两者有关吗？为什么？15．试阐述“心理旋转”和“心理扫描”的典型实验，你认为它们对心理学的贡献主要表现在哪里？16.如何控制额外变量？17.恒定刺激法的特点？18.反应指标应该有什么要求？19.感受性与感觉域限如刺激强度与感受性的关系是什么样的？20.有两个口袋，一个口袋有2只黑球和4只白球，另一个口袋有5只黑球和3只白球，求（1）从两只口袋中各取一只白球的概率（2）从两只口袋中各取一只黑球的概率（3）从一只口袋中取一个白球从另一只口袋中去一只黑球的概率21.详述内隐记忆与外显记忆的区别。

浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题西方经济学部分（100 分）一、名词解释（每题3分）1. 一般均衡2. 公共物品3. 自动稳定器4. 拉弗曲线5. 科斯定理二、计算题（每题10分）1. 设某消费者的效用函数为Iny aInx y X U β+=),(，其收入为M ，X 和y 这两种商品的价格为y X P P ,，求消费者对X 和y 的需求函数。

2. 设双寡头市场的反需求函数为21200x x P X =-=，两个寡头的总成本函数分别为：22211,10X TC X TC ==。

设它们采取非合作策略，利用古诺模型求解它们各自的均衡产量。

三、简述题（每题10分）1. 作图说明平均成本、平均变动成本、平均固定成本，边际成本之间的关系。

2. 弗德曼的新货币数量论。

四、论述题（每题15分）1. 垄断竞争市场中厂商的价格产量决定。

2. 用IS —LM 模型分析扩张性财政政策与货币政策的有效性。

3. 哈耶克的经济自由主义与中国经济体制改革。

政治经济学部分（50分）一、 名词解释（24分）1、 等价形式2、 资本的技术构成3、 土地价格4、 国际分工二、 辨析是非，并简要说明理由（不论对下列表述判断是非，都要说明理由）1、 经济规律和自然规律一样具有客观性，各种经济规律不会因为社会形态的更替而消失2、 剩余价值不能从流通领域中产生，也不能离开流通而产生3、 平均利润率形成之后，各企业之间的利润率就不会再有差别4、 按劳分配就是按照劳动者提供的劳动分配全部社会产品5、 在社会主义市场经济中，社会主义公有制企业和非公有制企业在市场竞争中应具有完全平等的地位 三、 论述题（36分） 1、 论述金融资本的形成过程2、 分析在市场经济条件下，企业成为独立的经济主体和市场竞争主体的提哦啊见，并谈谈你对我国国有企业体制改革方向的看法3、 论述我国经济增长不均衡性（波动性）及其原因答案部分浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题注意：答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿上均无效。

2000年浙江大学804数学分析考研真题浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析（804）一、（10分)()i 求极限10(1)lim x x e x x →-+； ()ii 设01,x a x b ==，21,2,3,2n n n x x x n ---==.求lim n n x →∞.二、（10分) ()i 设(0)f K '=，试证明00()()lim a b f b f a K b a -+→→-=-；()ii 设()f x 在[],a b 上连续，()f x ''在(),a b 内存在，试证明存在(),a b ξ∈，使得2()()()2()()24a b b a f b f a f f ξ+-''+-=.三、（15分)()i 求数项级数12n n n ∞=∑的和；()ii 试证明函数11()x n S x n ∞==∑在()1,+∞上连续.四、（15分)()i 设方程组0sin sin 0x y u v x u y v +++=⎧⎨+=⎩，确定了可微函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，试求,,v v du x y ∂∂∂∂； ()ii 设2)()y x y F y dx x =，求(1)F '.五、（30分) ()i 计算积分20sin 1cos x x I dx x π=+⎰；()ii 求以曲面22x y z e --=为顶，平面0z =为底，柱面221x y +=为侧面的曲顶柱体的体积V ；()iii 设S 表示半球面221)z x y =+≤的上侧，求第二类曲面积分222()(2)(2)S J x y z dydz x y z dzdx x z y dxdy=++-++⎰⎰.六、（20分)()i 将函数(),()f x x x ππ=-≤≤展开成Fourier 级数；()ii 求级数211n n ∞=∑的和；()iii 计算广义积分10ln(1)x dx x -⎰.。

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上) (1) 30arctan lim.ln(12)x x xx →-=+(2) 设函数()y y x =由方程2xyx y =+所确定,则0.x dy==(3)2.+∞=⎰(4) 曲线1(21)xy x e =-的斜渐近线方程为.(5) 设1000230004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦,E 为4阶单位矩阵,且1()()B E A E A -=+-则 1()E B -+=.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数()bx xf x a e=+在(,)-∞+∞内连续,且lim ()0,x f x →-∞=则常数,a b 满足 ( ) (A)0,0.a b << (B)0,0.a b >> (C)0,0.a b ≤> (D)0,0.a b ≥<(2) 设函数()f x 满足关系式2()[()]f x f x x '''+=,且(0)0f '=,则 ( )(A)(0)f 是()f x 的极大值. (B)(0)f 是()f x 的极小值.(C)点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点.(D)(0)f 不是()f x 的极值,点(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点.(3 ) 设(),()f x g x 是大于零的可导函数,且'()()()'()0,f x g x f x g x -<则当a x b << 时,有 ( )(A)()()()()f x g b f b g x > (B) ()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b >(D) ()()()()f x g x f a g a >(4) 若30sin 6()lim 0x x xf x x →+⎛⎫=⎪⎝⎭,则206()lim x f x x →+为 ( ) (A)0. (B)6. (C)36. (D)∞.(5) 具有特解123,2,3x x xy e y xe y e --===的3阶常系数齐次线性微分方程是 ( )(A)0.y y y y ''''''--+= (B)0.y y y y ''''''+--= (C)61160.y y y y ''''''-+-= (D)220.y y y y ''''''--+=三、(本题满分5分)设ln(1)(ln )x f x x+=,计算()f x dx ⎰. 四、(本题满分5分)设xoy 平面上有正方形{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤及直线:(0)l x y t t +=≥.若()S t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积,试求0(),(0)xS t dt x ≥⎰.五、(本题满分5分)求函数2()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数(0)(3)nf n ≥.六、(本题满分6分)设函数0()|cos |xS x t dt =⎰,(1)当n 为正整数,且(1)n x n ππ≤≤+时,证明2()2(1)n S x n ≤<+； (2)求()limx S x x→+∞.七、(本题满分7分)某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V,流入湖泊内不含A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V,已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过0mV.问至多需要经过多少年,湖泊中污染物A 的含量降至0m 以内(注：设湖水中A 的浓度是均匀的) 八、(本题满分6分)设函数()f x 在[]0,π上连续,且()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,试证明：在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ,使12()()0.f f ξξ== 九、(本题满分7分)已知()f x 是周期为5的连续函数,它在0x =的某个邻域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小,且()f x 在1x =处可导,求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程.十、(本题满分8分)设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？ 十一、(本题满分8分)函数()f x 在[0,)+∞上可导,(0)1f =且满足等式01()()()0,1xf x f x f t dt x '+-=+⎰ (1)求导数()f x '；(2)证明：当0x ≥时,成立不等式()1xe f x -≤≤成立十二、(本题满分6分)设11012,,0,,2180T TA B αβγαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中T β是β的转置,求解方程22442B A x A x B x γ=++十三、(本题满7分)已知向量组12301,2,1110a b βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭与向量组1231392,0,6317ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭具有相同的秩,且3β可由123,,ααα线性表出,求,a b 的值.2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】16-【详解】()()()33ln 1222232322000011arctan arctan 11limlim lim lim 266ln 1261x x x x x x x x x x x x x x xx x +→→→→----+====-++洛(2)设函数()y y x =由方程2xyx y =+所确定,则0.x dy==【答案】(ln 21)dx - 【详解】 方法1：对方程2xyx y =+两边求微分,有2ln 2().xy xdy ydx dx dy ⋅+=+由所给方程知,当0x =时1y =. 将0x =,1y =代入上式,有ln 2dx dx dy ⋅=+. 所以,0(ln 21)x dy dx ==-.方法2：两边对x 求导数,视y 为该方程确定的函数,有2ln 2()1.xy xy y y ''⋅+=+当0x =时1y =,以此代入,得ln 21y '=-,所以0(ln 21)x dy dx ==-. (3)【答案】3π【详解】由于被积函数在2x =处没有定义,则该积分为广义积分.对于广义积分,可以先按照不定积分计算,再对其求极限即可.作积分变量替换,2,22,t x t dx tdt =-==02202122arctan .(9)33323t t dt t t ππ+∞+∞+∞==⋅=⋅=+⎰⎰(4)【答案】21y x =+【公式】y kx b =+为()y f x =的斜渐近线的计算公式：()()lim,lim [()]x x x x x x yk b f x kx x →∞→∞→+∞→+∞→-∞→-∞==-【详解】11lim lim (2)2,x x x y k e x x→+∞→+∞==-=10122lim (2)lim[(21)2]lim()u uxx u x e b y x x e x u e x u+→+∞→→+∞-=-=--= - 令 002(1)2lim()1lim()211u u u uu u e u e e u e uu ++→→-=- - -=-= 所以,x →+∞方向有斜渐近线21y x =+. 当x →-∞时,类似地有斜渐近线21y x =+. 总之,曲线1(21)xy x e =-的斜渐近线方程为21y x =+.(5)【答案】1000120002300034⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦【详解】先求出1()E B -+然后带入数值,由于1()()B E A E A -=+-,所以11111()()()()()()()12()()22000100024001200104600230200680034E B E E A E A E A E A E A E A E A E A -----⎡⎤+=++-⎣⎦⎡⎤=++++-⎣⎦⎡⎤=+=+⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥ ==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦－１－１－１二、选择题 (1)【答案】D【详解】排除法：如果0a <,则在(,)-∞+∞内()f x 的分母bx a e +必有零点0x ,从而()f x 在0x x =处不连续,与题设不符.不选()A ,若0b >,则无论0a =还是0a ≠均有lim (),x f x →-∞=∞与题设lim ()0x f x →-∞=矛盾,不选()B 和()C .故选()D .(2)【答案】C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 出具有二阶导数且0()0f x '=,0()0f x ''≠,那么：(1) 当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极大值；(2)当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极小值；【详解】令等式2()[()]f x f x x '''+=中0x =,得[]2(0)0(0)0f f '''=-=,无法利用判断极值的第二充分条件,故无法判断是否为极值或拐点.再求导数(因为下式右边存在,所以左边也存在)：[]2()(())12()()f x x f x f x f x ''''''''=-=-以0x =代入,有(0)1f '''=,所以0()(0)()(0)limlim 10x x f x f f x f x x→→''''''-'''===-. 从而知,存在0x =去心邻域,在此去心邻域内,()f x ''与x 同号,于是推知在此去心邻域内当0x <时曲线()y f x =是凸的,在此去心临域内0x >时曲线()y f x =是凹的, 点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点,选(C).(3)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明,关键在于寻找待证的函数. 题设中已知'()()()'()0,f x g x f x g x -< 想到设函数为相除的形式()()f xg x . 【详解】设()()()f x F xg x =,则()2'()()()'()()0,()f x g x f x g x F x g x -'=< 则()F x 在a x b <<时单调递减,所以对a x b ∀<<,()()()F a F x F b >>,即()()()()()()f a f x f bg a g x g b >> 得 ()()()(),f x g b f b g x >a x b <<,()A 为正确选项.(4)【答案】()C【分析】本题有多种解法：(1)将含有()f x 的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式,或反之；(2)利用极限与无穷小的关系,从已知极限中解出()f x 代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限. 【详解】方法1： 凑成已知极限2336()6()6sin 6sin 6()f x x xf x x x x xf x x x x ++-++==而 23222000012(6)6sin 666cos66(1cos6)2lim lim lim lim 3633x x x x x x x x x x x x x→→→→⋅---====洛 (由于211cos 2x x -⇒211cos(6)(6)2x x -)所以 2330006()6sin 6sin 6()lim lim lim 36036x x x f x x x x xf x x x x →→→+++=+=+=方法2：由极限与无穷小关系,由已知极限式解出3sin 6()x xf x a x+=,0lim 0x a →= 从而 3sin 6()x xf x ax +=⇒3sin 6()ax xf x x-=33223sin 666()6sin 6ax x f x ax x x x x x x-+++-== 所以 323300006()6sin 66sin 6lim lim lim lim x x x x f x ax x x x xa x x x→→→→++--==+极限的四则运算 2220012(6)66cos620lim lim 3x x x x x x→→⋅-=+=36= 方法3： 将sin 6x 在0x =处按佩亚诺余项泰勒公式展开至3x 项：3333(6)sin 66()636(),3!x x x x x x x οο=-+=-+于是 3333sin 6()6()36()x xf x x xf x x x x x ο++-+=3236()()36,f x x x x ο+=-+ 从而 32330006()sin 6()()limlim 36lim 036036.x x x f x x xf x x x x xο→→→++=+-=+-=(5)【答案】B【详解】由特解12,2x xy e y xe --==,对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道,21r =-为特征方程的二重根；由33xy e =可知11r =为特征方程的单根,因此特征方程为232(1)(1)10,r r r r r -+=+--=由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系,得该微分方程为0.y y y y ''''''--+=三【详解】方法1：为了求不定积分,首先需要写出()f x 的表达式.为此,令ln x t =,有tx e =ln(1)ln(1)()(ln )t tx e f t f x x e ++===()ln(1)ln(1)x x x x f x dx e e dx e de --=+=-+⎰⎰⎰ln(1)1xxxxxe e e e dx e--=-+++⎰ 分部积分 1ln(1)1x xxxxe e e e dx e -+-=-+++⎰ 拆项ln(1)(1)1ln(1)111ln(1)111ln(1)1(1)1ln(1)ln(1)xxxxx x xxx x xxx x xxx x x e e e dxe e e e dx dx e e e dx de e e e dx d e ee e x e C-----=-++-+=-++-+=-++-+=-++-++=-++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 方法2：作积分变量替换,命ln x t =,21ln(1)1()(ln )ln(1)t f x dx f t dt dt t d t t t +⎛⎫=⋅==-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ln(1)1[](1)t dt t t t +=--+⎰ 分部积分 ln(1)11()1t dt t t t +=-+-+⎰ 部分分式求和 ln(1)11(1)1t dt d t t t t +=-+-++⎰⎰ln(1)ln ln(1)t t t C t+=-+--+ln(1)ln(1).x x x e e x e C -=-++-++四【详解】先写出面积()S t 的(分段)表达式,当01t <<时,图形为三角形,利用三角形的面积公式：21()2S t t =；当12t <<时,图形面积可由正方形面积减去小三角形面 积,其中由于x y t +=与1y =交点的纵坐标为1t -,于是, 小三角形的边长为：1(1)2t t --=-,所以222111()1(2)1(44)21222S t t t t t t =--=--+=-+-；当2t >时,图形面积就是正方形的面积：()1S t =, 则221, 01,21()1(2), 12,21, 2.t t S t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪<⎪⎪⎩当01x ≤≤时,3320011();2236xxxt x S t dt t dt ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰当12x <≤时,1122010111()()()[1(2)]22xx x S t dt S t dt S t dt t dt t dt =+=+--⎰⎰⎰⎰⎰3321111(1)(2)66663x x x x x =+----=-+-+ 当2x >时,2022()()()11 1.xx xS t dt S t dt S t dt dt x =+=+=-⎰⎰⎰⎰因此 3320101611()126312x x x S t dt x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+-+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩⎰五【详解】方法1：按莱布尼茨高阶导数公式：()()1(1)()()()().n n n k n k k n n n uv u v C u v C u v uv --'=+++++为了求ln(1)x +的n 阶导数,设ln(1)y x =+,11y x'=+；()()221111y x x ''=-=-++；()()()33112211y x x ⋅'''=--⋅=++；()()(4)4412123311y x x ⋅⋅⋅=-=-++一般地,可得1()(1)(1)!(1)n n nn yx ---=+即 []1()(1)(1)!ln(1)(1)n n nn x x ---+=+设ln(1)u x =+,2v x =,利用上述公式对函数展开,由于对2x 求导,从三阶导数开始就为零,故展开式中只含有前三项.123()212(1)(1)!(1)(2)!(1)(1)!()2(1).(1)(1)(1)n n n n n n n n n n fx x nx n n x x x -----------=++-+++代入0x =,得：1()3(1)!(0)(1)(1)(3)!,3,4.2n n n n fn n n n n ---=---==-方法2：()y f x =带佩亚诺余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x x n ο'''=+++++求(0)(3)nf n ≥可以通过先求()y f x =的的麦克劳林展开式,则展开式中nx 项的系数与!n 的乘积就是()y f x =在点0x =处的n 阶导数值)0()(n f.由麦克劳林公式,23212ln(1)(1)(),232n n n x x x x x x n ο---+=-+++-+- 所以 452231ln(1)(1)().232n n n x x x x x x x n ο--+=-+++-+- 对照麦克劳林公式()2(0)(0)(0)()(0)(),1!2!!n nn f f f f x f x x x x n ο'''=+++++从而推知()1(0)(1)!2n n f n n --=- 得 1()(1)!(0),3,4.2n n n f n n --==-六【详解】因为cos 0x ≥,且(1)n x n ππ≤<+, 所以(1)0cos cos cos .n x n x dx x dx x dx ππ+≤<⎰⎰⎰定积分的性质又因为cos x 具有周期π,所以在长度为π的积分区间上的积分值均相等：cos cos a ax dx x dx ππ+=⎰⎰,从而20(1)cos cos cos cos n n n x dx x dx x dx x dx ππππππ-=+++⎰⎰⎰⎰202cos (cos cos )n x dx n xdx xdx ππππ==-⎰⎰⎰202(sin sin )(1(01))2n x x n n πππ=-=--= 所以(1)0cos 2(1).n xdx n π+=+⎰所以 02cos 2(1),x n xdx n ≤<+⎰即 2()2(1).n S x n ≤<+(2) 由(1)有,当(1)n x n ππ≤≤+时,2()2(1)(1)n S x n n x n ππ+<<+命n →∞取极限,222lim lim 1(1)(1)n n n n nπππ→∞→∞==++,12(1)2(1)2lim lim n n n n n πππ→∞→∞++== 由夹逼定理,得()2limx S x x π→∞=.七【详解】设从2000年初(相应0t =)开始,第t 年湖泊中污染物A 的总量为m ,浓度为mV,则在时间间隔[,]t t dt +内,排入湖泊中A 的量为：00()66m mV t dt dt dt V ⋅+-=,流出湖泊的水中A 的量为33m V mdt dt V ⋅=. 因而时间从t 到t dt +相应地湖泊中污染物A 的改变量为：0()63m mdm dt =-. 由分离变量法求解：0()63dm dt m m =-两边求积分：001100()6333ln()63()()6363m m d m dm m dt t C t C m m m m -=⇔-=+⇔--=+--⎰⎰⎰ 10013ln()63363t C m m t C m m e +-+⇔-=⇔-=-103336C tm m e e --⇔-=-+⋅110033333,(3)22C C t tm mm e e m C e C e ----⇔=-⋅⇔=-⋅=初始条件为0(0)5m m =,代入初始条件得092C m =-. 于是03(19)2tm m e -=+,要满足污染物A 的含量可降至0m 内,命0m m =,得6ln3t =. 即至多需经过6ln3年,湖泊中A 的含量降至0m 以内.八【证明】 方法1：令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰,有(0)0,F =由题设有()0F π=.又由题设()cos 0f x xdx π=⎰,用分部积分,有0()cos cos ()f x xdx xdF x ππ==⎰⎰()cos ()sin F x xF x xdx ππ=+⎰0()sin F x xdx π=⎰由积分中值定理知,存在(0,)ξπ∈使0()sin ()sin (0)F x xdx F πξξπ==⋅-⎰因为(0,)ξπ∈,sin 0ξ≠,所以推知存在(0,),ξπ∈使得()0F ξ=. 再在区间[0,]ξ与[,]ξπ上对()F x 用罗尔定理,推知存在1(0,)ξξ∈,2(,)ξξπ∈使12()0,()0F F ξξ''==,即 12()0,()0f f ξξ== 方法2：由()0f x dx π=⎰及积分中值定理知,存在1(0,)ξπ∈,使1()0f ξ=. 若在区间(0,)π内()f x 仅有一个零点1ξ,则在区间1(0,)ξ与1(,)ξπ内()f x 异号. 不妨设在1(0,)ξ内()0f x >,在1(,)ξπ内()0f x <. 于是由()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,有111101100()cos ()cos ()(cos cos )()(cos cos )()(cos cos )f x xdx f x dx f x x dxf x x dx f x x dxπππξπξξξξξ=-=-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当10x ξ<<时,1cos cos x ξ>,1()(cos cos )0f x x ξ->；当1x ξπ<<时,1cos cos x ξ<,仍有1()(cos cos )0f x x ξ->,得到：00>. 矛盾,此矛盾证明了()f x 在(0,)π仅有1个零点的假设不正确,故在(0,)π内()f x 至少有2个不同的零点.九【详解】为了求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程,首先需要求出()y f x =在6x =处的导数,即切线斜率. 而函数又是以周期为5的函数,且在1x =处可导,则在6x =处可导,且其导数值等于函数在1x =处的导数值.将(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+两边令0x →取极限,由f 的连续性得(1)3(1)lim(8())0x f f x x α→-=+= ⇒ 2(1)0f -=故(1)0f =,又由原设()f x 在1x =处可导,两边同除sin x ,000(1sin )(1)(1sin )(1)8()lim3lim lim limsin sin sin sin x x x x f x f f x f x x x x x xα→→→→+---+=+- 根据导数的定义,得008()(1)3(1)limlim 8sin sin x x x x x x f f x x x xα→→''+=⋅+⋅= ⇒ 4(1)8f '= 所以(1)2f '=,又因(6)(51)(1)f f f '''=+=,所以(6)2f '=,由点斜式,切线方程为((6))(6)(6).y f f x '-=-以(6)(1)0,(6)2f f f '===代入得2(6).y x =- 即 2120.x y --=十【详解】首先联立两式,求直线与曲线的交点：221x ax -=,得：x =,而0x ≥,则交点坐标为：(,))1a x y a =+. 由点斜式,故直线OA的方程为y =由旋转体体积公式2()b aV f x dx π=⎰,要求的体积就是用大体积减去小体积：()2222224000()1a x V dx ax dx a x dx a =-=-+232525223(1)515(1)a x a x a a a ππ⎛=-=+⎝+为了求V 的最大值,对函数关于a 求导,225522221515(1)(1)dV a a da a a ππ''⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭53222552(1)(1)2215(1)a a a a a π⋅+-⋅+=⋅+ 322275255(1)[2(1)][2(1)]222215(1)15(1)a a a a a a a a a ππ++-+-=⋅=⋅++ 222277722251[22][2]22[4]22151515(1)(1)(1)a a a a a a a a a a πππ+---=⋅=⋅=⋅+++ 0a > 命0,dVda=得唯一驻点4a =,所以4a =也是V 的最大值点,最大体积为41875a V ==.十一【详解】(1) 为了求()f x ',将01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰两边同乘(1)x +,得 0(1)()(1)()()0,xx f x x f x f t dt '+++-=⎰两边对x 求导,得()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=即 (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=.上述方程为二阶可降阶微分方程,令()u f x '=,化为(1)(2)0x u x u '+++=,即(2)(1)du x dx u x +=-+ 两边求积分：(2)1(1)(1)1du x dx dx u x x +=-=-+++⎰⎰⎰即 1ln (ln(1))u x x C =-+++ 所以 11(ln(1))1()1x x C C x u ee e x --++-=±=±⋅⋅+ 令1C C e =±,则1xCe u x -=+,于是()1x Ce f x u x -'==+.再以0x =代入原方程001(0)(0)()(0)(0)01f f f t dt f f ''+-=+=⎰,由(0)1f =,有(0)1f '=-,于是1,()1xe Cf x x -'=-=-+. (2)方法1：用积分证.()(0)()1.1tx xe f x f f t dt dt t -'=+=-+⎰⎰而 0-000011t t xx x tt x e dt e dt e e t ->---≤≤=-=-+⎰⎰牛莱公式两边同乘以(1)-,得：101txxe e dt t ---≤-≤+⎰, 即 0()111txxe ef x dt t --≤=-≤+⎰方法2 ：用微分学方法证.因(0)1,()0f f x '=<,即()f x 单调递减,所以当0x ≥时()1f x ≤. 要证()xf x e-≥,可转化为证明()0xf x e--≥,令()()x x f x e ϕ-=-,则(0)110ϕ=-=,且()()()01xxe xf x ef x x ϕ--'''=+≥+=+ (0x ≥)所以,当0x ≥时()0x ϕ≥,即()xf x e -≥. 结合两个不等式,推知当0x ≥时,()1xef x -≤≤. 证毕.十二【详解】由题设得110121210210211102T A αβ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎡⎤ ⎪===⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦,11102221T B βα⎛⎫⎡⎤ ⎪===⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭. 所以 ()22T T T A A αβαβααββ===,48AA =；24B =,216B =代入原方程22442B A x A x B x γ=++中,得16816Ax Ax x γ=++,即()82A E x γ-=其中E 是三阶单位矩阵,令[]123Tx x ,x ,x =,代入上式,得线性非齐次方程组1212123102201212x x x x x x x ⎧-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩(1) 显然方程组得同解方程为12123201212x x x x x -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ (2) 令自由未知量 1x k,=解得23122x k,x k ==- 故方程组通解为1231022011122x k x k k x k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,(k 为任意常数)十三【详解】方法1：先求()123,,,γααα将矩阵作初等行变换,得()123139139139206061201231701020000,,ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦知()1232,,.γααα= 故()()1231232,,,,γβββγααα==,[]123,,βββ作初等行变换[]1230110121031110030a b ,,a b βββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为()1232,,γβββ=,所以3a b =又3β可由123,,ααα线性表出,故()()12331232,,,,,γαααβγααα== 将[]1233,,,αααβ作初等行变换13913920610612123170110203b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()13912012600053123bb b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦由()12332,,,γαααβ=,得()531203b b +-=,解得5b =,及315a b .== 方法2：由方法1中的初等变换结果可以看出12,αα线性无关,且31232ααα=+,故()1232,,γααα=,12,αα是123,,ααα的极大线性无关组. 又()()1231232,,,,γβββγααα==,123,,βββ线性相关. 从而得12301211310110100a ba b ,,,βββ===--计算三阶行列式得30a b -+=,得3a b =又3β可由123,,ααα线性表出 ,即可由12,αα线性表出,12,αα3β线性相关,有()123131313201061206120310010310003126b b b,,b b b b b ααβ==--=--=-+-行列式展开得()10631206b b ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,所以()531203b b +-=,得5b =及315a b .== 方法3：先利用3β可由123,,ααα线性表出,故方程组()123,,X αααβ=有解,即12313920613170x b x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦有解. 对其增广矩阵施行初等行变化13913920610612123170110203b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()13921012600053123bb b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦由其次线性方程组有解的条件(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩),知()53123b b +-51033b =-= 解得5b .=又因为1α和2α线性无关,且31232ααα=+,所以向量组123,,ααα的秩为2 ,由题设条件知()1232,,γβββ=,从而123001211310110100a b a b ,,,βββ===--解得15a =。

浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限1(1)lim xx e x x→-+解：原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-==== 求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。

二．（共10分）1．设K ab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim,)0(0试证明‘证： K ab a f f f b f ab a f b f b a b a ==--+-=--+-+-→→→→ )()0()0()(lim )()(lim2．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+分析：考虑函数)()()(2x f x f x F b a -+=+即可三．（共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S分析：S=2S-S2．试证明∑∞==11)(n xnx s 在),1(∞上的连续函数四．（共15分） 1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求yvx v du ∂∂∂∂,,分析：用隐函数组的方法求解； 2．设2)()d yx y F y x x=，求)1(F '分析：dt dx dx y F tty t y yxyx yxyx ⎰⎰⎰-=+=1cos cos 0cos 0cos 232222)(五．（共30分） 1．计算定积分2sin cos 1cos x x I dx xπ=+⎰分析：令t=cosx ，I=0。

浙江大学2000年数学分析考研试题及解答一、（1）求极限()11limtt t et →+-；解 ()111ln(1)ln(1)1011limlimlimt t tttt t t t eeeee ttt++-→→→+---==1ln(1)10ln(1)11lim ln(1)1t tt t e t e t t t+-→+--=+- 20000ln(1)111ln(1)1lim lim lim lim 22(1)2t t t t t t t t e t t e e e e t t t t t →→→→+--+--+=====-+； 或()1ln(1)11ln(1)21ln(1)()1(1)limlimlim1t tt ttt t t t e t eeet t t tt++→→→+-+--+==20ln(1)1lim t t t t e t→-++=2011(1)1lim 2t t t e t →-++=20lim 2(1)2t t e e t t →-==-+。

（2）设01,x a x b ==，211()2n n n x x x --=-，求nn xlim ∞→.解 由条件，得 12111211()()22n n n n n n n x x x x x x x ------+=-+=+， 反复使用此结果1111011()()()()22n n n n x x x x b a ---+=+=+， ,2,1=n ；于是 21212221100()()()n n n n n x x x x x x x x ++-=+-++++-22111()()()()()22n n a b a b a b a -=++-++++-2111()222()()1331()2n b a a b a a b a +---=+-→+-=--，)(∞→n ； 22212122100()()()n n n n n x x x x x x x x ---=+-++-++212211()()()()()22n n a b a b a b a --=+-++-++211()222()()1331()2na b a b a a b a ---=-++→-++=--，)(∞→n ， 当2a b =时，lim 0nn x →∞=；当2a b ≠时，lim n n x →∞不存在。

20GG年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题．每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。

每小题给出的四个选项中．只有一项符合题目要求。

把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分5分)
四、(本题满分5分)
五、(本题满分5分)
六、(本题满分6分)
七、(本题满分7分)
八、(本题满分6分)
九、(本题满分7分)
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分8分) 十二、(本题满分6分)
十三、(本题满分7分)
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．
5．
二、选择题1．
2．
3．
4．
5．
三、
四、
五、六、
七、八、九、十、十一、
十二、
十三、。

2000考研数学三真题及答案一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 设,x x z f xy g y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,f g 均可微，则z x ∂=∂.(2)21.x xdxe e+∞-=+⎰(3) 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式1.B E --=(4) 设随机变量X 的概率密度为1[0,1]()29,[3,6]0x f x x ∈⎧⎪=∈⎨⎪⎩其他 若k 使得2{}3P X k ≥=，则k 的取值范围是 (5) 假设随机变量X 在区间[1,2]-上服从均匀分布，随机变量1,00,01,0X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩若若若 则方差().D Y =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且[]lim ()()0x g x x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞( )(A)存在且一定等于零. (B)存在但不一定等于零.(C)一定不存在. (D)不一定存在.(2) 设函数()f x 在点x a =处可导，则函数()f x 在点x a =处不可导的充分条件是 ( )(A)()0()0f a f a '==且 (B)()0()0f a f a '=≠且 (C)()0()0f a f a '>>且 (D)()0()0f a f a '<<且(3) 设123,,ααα是四元非齐次线性方程组AX b =的三个解向量，且()3A =秩，()11234Tα=，，，，()230,123Tαα+=，，，c 表任意常数，则线性方程组AX b =的通解X = ( )(A)11213141c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(B)10213243c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (C)12233445c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (D)13243546c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4) 设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组():0I AX =和():0T II A AX =，必有 ( )(A)()II 的解是()I 的解，()I 的解也是()II 的解. (B)()II 的解是()I 的解，但()I 的解不是()II 的解. (C)()I 的解不是()II 的解，()II 的解也不是()I 的解. (D)()I 的解是()II 的解，但()II 的解不是()I 的解.(5) 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于事件( )(A){}(1)0T t ≥ (B){}(2)0T t ≥ (C){}(3)0T t ≥ (D){}(4)0T t ≥三、(本题满分6分)求微分方程220xy y e '''--=满足条件(0)0,(0)1y y '==.四、(本题满分6分)计算二重积分,Dσ，其中D是由曲线0)y a a =->和直线y x =-围成的区域五、(本题满分6分)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是112218,12,P Q P Q =-=-其中1P 和2P 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，1Q 和2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是25C Q =+，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即12Q Q Q =+(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.六、(本题满分7分)求函数arctan 2(1)xy x e π+=-的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.七、(本题满分6分)设40sin ,0,1,2,,nn I xcosxdx n π==⎰求0.n n I ∞=∑八、(本题满分6分)设函数()f x 在[]0,π上连续，且()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰，试证明：在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ，使12()()0.f f ξξ== 九、(本题满分8分)设向量组，123(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,,)T T T Ta b c αααβ==-=-=试问,,a b c 满足什么条件时，(1)β可由123,,ααα线性表出，且表示唯一？ (2)β不能由123,,ααα线性表出？(3)β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式. 十、(本题满分9分)设有n 元实二次型222212112223111(,,,)()()()()n n n n n n f x x x x a x x a x x a x x a x --=++++++++其中(1,2,,)i a i n ==为实数.试问：当12,,,n a a a 满足条件时，二次型12(,,,)n f x x x 为正定二次型.十一、(本题满分8分)假设是来自总体的简单随机样本值.已知ln Y X =服从正态分布(,1)N μ. (1)求X 的数学期望EX (记EX 为b ); (2)求μ的置信度为0.95的置信区间;(3)利用上述结果求b 的置信度为0.95的置信区间.十二、(本题满分8分)设,A B 是二随机事件；随机变量1,1,1,1,A B X Y A B ⎧⎧==⎨⎨--⎩⎩若出现若出现若不出现若不出现试证明随机变量X Y 和不相关的充分必要条件是A B 与相互独立.参考答案一、填空题 (1)【答案】1221z y yf f g x y x∂'''=+-∂ 【详解】根据复合函数的求导公式，有1221'''z y f y f g x y x ∂⎛⎫=⋅+⋅+⋅- ⎪∂⎝⎭(2)【答案】4eπ【详解】被积函数的分母中含有2x x e e -+，且当x →+∞时，2x x e e -+→+∞，即被积函数属于无穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷.22222211111x xx x x x x xdxdx e dx de e e ee e e ee e+∞+∞+∞+∞-===++++⎰⎰⎰⎰ 221111xx de ee e +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰22111x x e e d e e e e +∞⎛⎫= ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰11arctan x e e e+∞=1()24e ππ=-4eπ=(3)【答案】24 【详解】 方法1：AB A B ⇒、有相同的特征值：11112345.，，，由矩阵1B -是矩阵B 的逆矩阵，他们所有特征值具有倒数的关系，得1B -有特征值2345,,,, 由B 特征局矩阵为E B λ-，1B E --得特征矩阵为()()111E B E E B λλ----=--可以看出B 与1B E --的特征值相差1 ，所以1B E --有特征值1234,,,.由矩阵的行列式等于其特征值得乘积，所有特征值的和等于矩阵主对角元素之和， 知 411123424ii B E .λ-=-==⋅⋅⋅=∏方法2 ：AB 即存在可逆阵P ，使得1P AP B -=.两边求逆得111B P A P ---=.又A 有四个不同的特征值，存在可逆矩阵Q ，使1Q AQ -=Λ，其中12131415⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上式两边求逆得 1112345Q A Q ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111A Q Q ---=Λ 从而有1111111112131244151B E P A P E P A E P Q Q EQ E Q ----------=-=-=Λ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4)【答案】[]1,3.【详解】在给定概率密度条件下，有性质{}2112().x x P x X x f x dx <≤=⎰因此，{}()kP X k f x dx +∞≥=⎰(或{}{}11().kP X k P X k f x dx -∞≥=-<=-⎰)因为[0,1]x ∈时，1()3f x =；[3,6]x ∈时，2()9f x =都是定值，因为{}213P X k ≥=<，所以k 最可能的取值区间是包含在[]0,6区间之内的[]1,3区间，否则是不可能的.当13k ≤≤时，{}22()(63).93kP X k f x dx +∞≥==⨯-=⎰ (或者，当13k ≤≤时，{}11()(10),33kP X k f x dx -∞<==⨯-=⎰{}{}1211.33P X k P X k ≥=-<=-=)所以，答案应该填13k ≤≤或[]1,3.(5)【答案】8.9【详解】由于题中Y 是离散型随机变量，其所取值的概率分别为{}{}0,0P X P X >=和 {}0P X <.又由于X 是均匀分布，所以可以直接得出这些概率，从而实现由X 的概率计算过渡到Y 的概率.{}{}0(1)110;33P Y P X --=-=<== {}{}000;P Y P X ==== {}{}20210.33P Y P X -==>== 因此 121()11,333E Y =-⨯+⨯= ()2221212()111,3333E Y =-⨯+⨯=+=所以 []2218()()()1.99D YE Y E Y =-=-=二、选择题 (1)【答案】D【详解】用排除法.例1：设22221()22x x f x x x +≤≤++, 满足条件2222211lim lim 0222x x x x x x x →∞→∞⎡⎤+-==⎢⎥+++⎣⎦, 并且 22221lim 1,122x x x x x →∞+==++, 由夹逼准则知，lim ()1x f x →∞=，则选项()A 与()C 错误.例2：设6262442()11x x x x f x x x ++≤≤++, 满足条件626224442lim lim 0111x x x x x x x x x x →∞→∞⎡⎤++-==⎢⎥+++⎣⎦, 但是由于6224()1x x f x x x +≥=+,有lim ()x f x →∞=+∞，极限不存在，故不选()B ,所以选()D .因为最终结论是“()D ：不一定存在”,所以只能举例说明“可以这样”“可以那样”，无法给出相应的证明.(2)【答案】B【详解】方法1：排除法，用找反例的方式()A ：2()f x x =,满足(0)0(0)0f f '==且,但2()f x x =在0x =处可导；()C ：()1f x x =+,满足(0)10,(0)10f f '=>=>,但()1f x x =+当()1,1x ∈-,在0x =处可导；(D)：()1f x x =--,满足(0)10,(0)10,f f '=-<=-<但()1f x x =+当()1,1x ∈-，在0x =处可导； 方法2：推理法.由()B 的条件()0f a =, 则()()()()()limlim lim ,x ax a x a f x f a f x f x f a x a x a x a →→→--==--- 所以()()()()lim lim ()x ax a f x f a f x f a f a x a x a++→→--'==-- (1)()()()()lim lim ().x ax a f x f a f x f a f a x ax a --→→-⎛-⎫'=-=- ⎪--⎝⎭(2) 可见，()f x 在x a =处可导的充要条件是()()f a f a ''=-，所以()0f a '=，即()0f a '=所以当()0f a '≠时必不可导，选()B .(3)【答案】(C)【详解】因为()11234Tα=，，，是非齐次方程组的解向量所以我们有1A b α=，故1α是AX b =的一个特解又()34r A ,n ==(未知量的个数)，故AX b =的基础解系由一个非零解组成. 即基础解系的个数为1.因为()()123220A b b b ,ααα-+=--= 故()1122024132624835ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦是对应齐次方程组的基础解系，故AX b =的通解为()()1231213224354c c .αααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4)【答案】(A)【详解】若α是方程组():0I AX =的解，即0A α=，两边左乘TA ，得0TA A α=，即α也是方程组():0TII A AX =的解，即()I 的解也是()II 的解.若β是方程组():0TII A AX =的解，即0TA A β=，两边左乘Tβ得()0TT T A A A A .ββββ== A β是一个向量，设[]12TA b ,b ,bβ=，则()210nTi i A A b .ββ===∑故有0i b =，12i ,,n =从而有0A β=，即β也是方程组():0I AX =的解.(5)【答案】C【详解】随机变量(1)(2)(3)(4),,,T T T T 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E 表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于0t ，此时必定两个显示较高的温度大于等于0t ，即(4)(3)0.T T t ≥≥ 所以说断电事件就是{}(3)0T t ≥三【详解】本题属于二阶常系数非齐次线性微分方程，对于二阶常系数非齐次线性微分方程得求解，首先需要求出对应的齐次微分方程的通解，再求出非齐次方程的特解，再利用线性方程解的解构，从而得到对应方程的通解.本题对应的齐次微分方程为 20y y '''-=， 其特征方程为 220r r -=，特征根为120,2r r ==. 于是齐次方程的通解为 212.xY C C e =+由于2λ=是特征方程的单根，所以设 2xy Axe *= 求得 22222;44x x x x y Ae Axe y Ae Axe **'''=+=+代入原方程，得 222224424x x x x x Ae Axe Ae Axe e +--=，即222x x Ae e = 约去2xe ，再比较等式左、右两边，得121,2A A == 故得特解212x y xe *=，非齐次方程的通解为 22121.2x x y Y y C C e xe *=+=++ 再由初始条件(0)1y =，得：121C C += (1)由(0)1y '=，得2222212220111221222xx x x x x x C C e xe C e e xe C =='⎛⎫⎛⎫++=++=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (2)联立(1)与(2)得 1231,44C C == 则满足初始条件的通解为2311()442x y x e =++.四【详解】画出积分区域D . 由被积函数的形式以及积分区域形状, 易见采用极坐标更为方便. 将曲线22y a a x =--化为：222()()x y a a y a ++=≥-，极坐标方程为2sin (0)r a θπθ=--≤≤，再D 区域是由曲线22(0)y a a x a =-->和直线y x =-围成的区域，于是04πθ-≤≤，极半径02sin r a θ≤≤-，则22202sin 222224.44a Dx y I d d dr a x ya rθπσθ--+==---⎰⎰令2sin r a t =，有0r =时0t =；2sin r a θ=-时，t θ=-.2024sin 42cos 2cos tI d a a tdt a t θπθ--=⎰⎰022044sin d a tdt θπθ--=⎰⎰02042(1cos 2)d a t dt θπθ--=-⎰⎰240sin 222t a d t dt θπθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 02412(sin 2)2a d πθθθ-=-+⎰022412cos 224a πθθ-⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭221()162a π=-五【定理】简单极值问题(无条件极值)：设(,)z f x y =在开区域D 内可偏导，又根据实际问题可知，它在D 内有最大值或最小值，于是只需在0,0f fx y∂∂==∂∂的点中找到(,)f x y 的最大值点或最小值点【详解】记总利润函数为L ，总收益函数为R ，则总利润=总收益-总成本1122(25)L R C p Q p Q Q =-=+-+112212[2()5]p Q p Q Q Q =+-++ 112212(182)(12)[2()5]Q Q Q Q Q Q =-+--++2211221218212225Q Q Q Q Q Q =-+----221212216105Q Q Q Q =--++-其中，120,0Q Q >>，12Q Q Q =+为销售总量.(1)令121241602100L LQ Q Q Q ∂∂=-+==-+=∂∂，，解得1245Q Q ==，. 而11182P Q =-,2212,P Q =- 故相应地1210,7.p p ==在120,0Q Q >>的范围内驻点唯一，且实际问题在120,0Q Q >>范围内必有最大值，故在1245Q Q ==，处L 为最大值.22max 245164105552()L =-⨯-+⨯+⨯-=万元.(2) 若两地的销售单价无差别, 即12p p =,于是1218212Q Q -=-, 得1226Q Q -=, 在此约束条件下求L 的最值，以下用两个方法：方法1： 若求函数(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=的最大值或最小值，用拉格朗日乘数法：先构造辅助函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，然后解方程组00(,)0F f x x x F fy y y Fx y ϕλϕλϕλ⎧∂∂∂=+=⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=+=⎨∂∂∂⎪⎪∂==⎪∂⎩ 所有满足此方程组的解(,,)x y λ中的(,)x y 是(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=的可能极值点，在可能极值点中求得最大值点或最小值点.故用拉格朗日乘数法，其中1212(,)260Q Q Q Q ϕ=--=，构造函数2212121212(,,)216105(26),F Q Q Q Q Q Q Q Q λλ=--++-+--令112212416202100260FQ Q FQ Q FQ Q λλλ∂⎧=-++=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=--=⎪∂⎩ 解得1254Q Q ==，，在120,0Q Q >>的范围内驻点唯一,且实际问题在120,0Q Q >>范围内必有最大值,故在1245Q Q ==，处L 为最大值.得22max 254165104549()L =-⨯-+⨯+⨯-=万元.方法2：由1226Q Q -=代入221212216105L Q Q Q Q =--++-消去一个变量得211660101L Q Q =-+-这样就变成了简单极值问题(无条件极值)，按(1)的做法：令1112600,dLQ dQ =-+= 得15Q =，为L 的唯一驻点.当11050dL Q dQ <<>时(说明在这个区间上函数单调递增)；当15Q >时10dLdQ < (说明在这个区间上函数单调递减)故，15Q =为L 的唯一极大值点,所以是最大值点，而1226Q Q -=⇒24Q =, 故2211max 6601016560510149()L Q Q =-+-=-⨯+⨯-=万元.六【渐近线】水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=，则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞，则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞，则y ax b =+为斜渐近线.【详解】原函数对x 求导，所以 arctan arctan 22(1)(arctan )2xxy ex x eπππ++''=+-⋅+arctan arctan 2221(1)1xx e x e x ππ++=+-⋅⋅+2arctan 221x x x e x π++=+ 令0y '=，得驻点120,1x x ==-.列表注：+表示函数值大于0，-表示函数值小于0；表示在这区间内单调递增；表示在这区间内单调递减.所以由以上表格可以得出函数的大概形状，有严格单调增的区间为(),1-∞-与()0,+∞；严格单调减的区间为()1,0-.2(0)f eπ=-为极小值, 4(1)2f e π-=-为极大值.以下求渐近线. 通过对函数大概形状的估计，arctan 2lim ()lim(1)lim(1)xx x x f x x ee x ππ+→∞→∞→∞=-=-=∞所以此函数无水平渐近线；同理，也没有铅直渐近线. 所以令111()lim,lim[()]2;x x f x a e b f x a x e xππ→+∞→+∞===-=-222()lim1,lim[()] 2.x x f x a b f x a x x→-∞→-∞===-=-所以，渐近线为11(2)y a x b e x π=+=-及222y a x b x =+=-，共两条.七【概念】幂级数的收敛半径：若1lim lim n x nx a a ρ+→∞→∞=，其中1,n n a a +是幂级数nn n a x∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0, 0, .R ρρρρ≠⎧⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎩【详解】先计算出积分nI的具体表达式，再求和144001sin sin sin12nn nnI xcosxdx xd xnππ+⎛⎫=== ⎪⎪+⎝⎭⎰⎰则100112nnn nIn+∞∞==⎛⎫= ⎪⎪+⎝⎭∑∑.考虑幂级数11(),1nnS x xn∞+==+∑求出幂级数的和函数，代入2x=即可得出答案，按通常求收敛半径的办法.所以111lim lim lim111nx x xna nna nnρ+→∞→∞→∞+====+得到本题中幂级数的收敛半径()11,11Rρ==-在，内，先微分再积分，在收敛域内幂级数仍收敛，有11000111()111n n nn n nS x x x xn n x∞∞∞++===''⎛⎫⎛⎫'====⎪⎪++-⎝⎭⎝⎭∑∑∑,所以001()(0)()0ln11x xS x S S x dx dx xx'=+=+=---⎰⎰以()1,12x=∈-代入,得()ln(1)ln(222S=--=+.即ln(2nnI∞==+∑.八【证明】方法1：令()(),0xF x f t dt xπ=≤≤⎰，有(0)0,F=由题设有()0Fπ=.又由题设()cos0f x xdxπ=⎰，用分部积分，有000()cos cos()f x xdx xdF xππ==⎰⎰()cos ()sin F x xF x xdx ππ=+⎰0()sin F x xdx π=⎰由积分中值定理知，存在(0,)ξπ∈使0()sin ()sin (0)F x xdx F πξξπ==⋅-⎰因为(0,)ξπ∈，sin 0ξ≠，所以推知存在(0,),ξπ∈使得()0F ξ=. 再在区间[0,]ξ与[,]ξπ上对()F x 用罗尔定理，推知存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈使12()0,()0F F ξξ''==，即 12()0,()0f f ξξ==方法2：由()0f x dx π=⎰及积分中值定理知，存在1(0,)ξπ∈，使1()0f ξ=. 若在区间(0,)π内()f x 仅有一个零点1ξ，则在区间1(0,)ξ与1(,)ξπ内()f x 异号. 不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <. 于是由()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰，有111101100()cos ()cos ()(cos cos )()(cos cos )()(cos cos )f x xdx f x dx f x x dxf x x dx f x x dxπππξπξξξξξ=-=-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当10x ξ<<时，1cos cos x ξ>，1()(cos cos )0f x x ξ->；当1x ξπ<<时，1cos cos x ξ<，仍有1()(cos cos )0f x x ξ->，得到：00>. 矛盾，此矛盾证明了()f x 在(0,)π仅有1个零点的假设不正确，故在(0,)π内()f x 至少有2个不同的零点.九【详解】方法1：设方程组112233x x x αααβ++= ①对方程组的增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵，有[]123211211,,2112101105410434a a b a b c a c αααβ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦211210140031aa b a c b -⎡⎤⎢⎥→+-+⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦(1) 当4a ≠-时，[][]1231233r ,,r ,,,ααααααβ==. 方程组①唯一解，即β可由123,,ααα线性表出，且表出唯一.(2) 当4a =-，但310c b -+≠时，[][]12312323r ,,r ,,,ααααααβ=≠=方程组①无解，β不可由123,,ααα线性表出(3) 当4a =-，且310c b -+=时，[][]1231232r ,,r ,,,ααααααβ==方程组①有无穷多解，此时有[]1234211,,21010000b αααβ--⎡⎤⎢⎥→--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦得对应齐次方程组的基础解系为：()120T,,ξ=-(取自由未知量11x =，回代得2320x ,x =-=)，非齐次方程的一个特解是()()0121T*,b ,b η=-++⎡⎤⎣⎦，故通解为()1021021k b ,b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦其中k 是任意常数. 方法2：设方程组112233x x x αααβ++= ①因为①是三个方程的三个未知量的线性非齐次方程组，故也可由系数行列式讨论，()1232121211211141054001a a A ,,a ααα----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此知道：(1) 当4a ≠-时，0A ≠，方程组有唯一解，β可由123,,ααα线性表出，且表出唯一.(2) 当4a =-时，(有可能无解或无穷多解)对增广矩阵作初等行变换，得[]12342112111,,2110012110540015b b c c b αααβ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦21110012100031b c b ⎡⎤⎢⎥→+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦ (i) 当4a =-时，且但310c b -+≠时，有[][]12312323r ,,r ,,,ααααααβ=≠=方程组①无解.(ii) 当4a =-，且310c b -+=时，[][]1231232r ,,r ,,,ααααααβ==方程组①有无穷多解，其通解为()1021021k b ,b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦其中k 是任意常数.十【详解】方法1：用正定性的定义判别.已知对任意的12n x ,x ,x 均有()120n f x ,x ,x ≥，其中等号成立当且仅当 1122231110000n n n n n x a x x a x x a x x a x --+=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪+=⎪⎩ ①方程组①仅有零解的充分必要条件是其系数行列式()1211211000010000100110000101n n n na a B a a a a a +-==+-≠即当()121nn a a a ⋅≠- 时，方程组①只有零解，此时()120n f x ,x ,x =. 若对任意的非零向量()120n X x ,x ,x ,=≠ ①中总有一个方程不为零，则有()222212112223111()()()()0n n n n n n f x ,x ,x x a x x a x x a x x a x --=++++++++>所以，根据正定二次型的定义，对任意的向量()12n x ,x ,x ，如果()120n f x ,x ,x ≥，则二次型正定. 由以上证明题中12(,,,)n f x x x 是正定二次型.方法2： 将二次型表示成矩阵形式，有()222212112223111()()()()n n n n n n f x ,x ,x x a x x a x x a x x a x --=++++++++[]112223112223111111n n n n n n n n n n x a x x a x x a x ,x a x ,,x a x ,x a x x a x x a x ----+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=++++⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦[]11122212111000100010000100010000100000100001000101n n n n n n a a x a a x a x ,x ,x a a a x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦记 112211000010000100000101n n n a x a x B ,X a a x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则 ()()120TT T n f x ,x ,x X B BX BX BX ==≥当()1211211000010000100110000101n n n na a B a a a a a +-==+-≠即当()121nn a a a ⋅≠-时，0BX =只有零解，故当任意的0X ≠时，均有()()120Tn f x ,x ,x BX BX =>，从而由正定二次型的定义，对任意的向量()12n x ,x ,x ，如果()120n f x ,x ,x >，则()12n f x ,x ,x 是正定二次型.十一【详解】ln Y X =⇒YX e =. 题设条件Y 为正态，故()()Y EX E e =可用函数的期望的公式求得. 将X 的样本可以转化成Y 的样本，从而对正态(,1)Y N μ中的μ求得置信区间. 最后，再从μ的置信区间转得b 的置信区间.(1) 由正态分布密度函数的定义知，Y 的概率密度为2()2(),,y f y e y μ--=-∞<<+∞于是 2()2()()y Y y b E X E e e edy μ--+∞-∞===⋅令t y μ=-，有 ()221111222t t t b ee dt ee dt μμ+∞+∞-+--+-∞-∞=⋅=⎰12e μ+=. (2) 当置信度10.95α-=时，0.05α=.查表可知标准正态分布的双侧分位数等于1.96.故由1(,)4YN μ，其中Y 表示总体Y 的样本均值，11(ln 0.50ln 0.80ln1.25ln 2.00)ln10.44Y =+++==Y 是μ的无偏估计，且2σ(0,1).Y N所以，按标准正态分布的α分位点的定义，有 /21,P Z αα⎫⎪<=-⎬⎪⎭即/2/21.P Y Y ααμα⎧⎫<<=-⎨⎬⎩⎭这样，我们就得到了μ的一个置信水平为1α-的置信区间/2/2,Y Z Y αα⎛⎫⎪⎝⎭在此题中，1,4σμ==，0Y =，所以参数μ的置信度为0.95的置信区间为( 1.96 1.96(0.98,0.98).Y Y -+=- (3) 由指数函数xe 的严格单调递增性，有{}10.980.980.48 1.482P P μμ⎧⎫-<<=-<+<⎨⎬⎩⎭10.48 1.482P e e e μ+-⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭{}0.48 1.48P e b e -=<<0.95=因此b 的置信度为0.95的置信区间为()0.48 1.48,.e e -十二【分析】随机变量X Y 和不相关(,)0Cov X Y ⇔=.事件A B 与相互独立()()()P AB P A P B ⇔=.要找出这二者之间的联系就应从(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-入手.【详解】{}(){}{}()1121E X P A P A P A =⋅+-⋅=-，同理，{}()2 1.E Y P B =- 现在求()E XY ，由于XY 只有两个可能值1和1-，所以{}(){}()1111,E XY P XY P XY =⋅=+-⋅=-其中 {}{}{}{}{}11,11,1P XY P X Y P X Y P AB P AB ====+=-=-=+{}{}{}{}{}121P AB P A B P AB P A P B =+-=--+和 {}{}{}{}{}11,11,1P XY P X Y P X Y P AB P AB =-===-+=-==+{}{}{}2P A P B P AB =+-( 或者 {}{}{}{}{}1112P XY P XY P A P B P AB =-=-==+- )所以 {}{}()11E XY P XY P XY ==-=-{}{}{}4221P AB P A P B =--+ 由协方差公式，()()()()Cov XY E XY E X E Y =-{}{}{}{}{}42212121P AB P A P B P A P B =--+--⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ {}{}{}4P AB P A P B =-⎡⎤⎣⎦因此，()0Cov XY =当且仅当{}{}{}P AB P A P B =，即X Y 和不相关的充分必要条件是A B 与相互独立.。

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上 )H marctanx ;x二x卩 In(1 2x 3) ---------------------⑵设函数y =y(x)由方程2x ^ -x y 所确定，则dy x^二 _____________________-0 0〕⑸设A =-2 3 0 0 ,E 为4阶单位矩阵，且B = (E+A)」(E_A)则0 -4 5 0-6 7一(E B)」= __________________ .二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)x(1)设函数f(x)=——衣在(―巴 丘)内连续，且lim f(x)=O,则常数a,b 满足()a +e J 存(C) a - 0,b 0.(D) a _ 0,b ：： 0.2⑵设函数f (x)满足关系式f ”(x) • [ f (x)]二x ，且「(0) = 0，贝y ()(A) f(0)是f(x)的极大值. (B) f (0)是f(x)的极小值.(C) 点(0, f (0))是曲线y = f (x)的拐点•(D) f(0)不是f(x)的极值，点(0, f (0))也不是曲线y= f (x)的拐点.(3 )设 f(x),g(x)是大于零的可导函数，且 f'(x)g(x)- f(x)g'(x) ：：：0,则当 a ：：：x ：：： b 时, 有()(A) f(x)g(b) f(b)g(x)(B) f (x)g(a) f (a)g(x)(A) a :: 0,b :: 0.(B) a 0,b 0.(C) f(x)g(x) f(b)g(b) (D) f(x)g(x) f (a)g(a)1⑷ 曲线y 二(2x -1)e x 的斜渐近线方程为三、 (本题满分5分)设 f (In x)=匹1__x)，计算 f (x)dx .x四、 (本题满分5分)设xoy 平面上有正方形D ={(x, y) 0兰x 兰1,0兰y 兰讣及直线I : x + y = t(t Z 0).若xS(t)表示正方形D 位于直线I 左下方部分的面积，试求o S(t)dt,(x 一 0).五、 (本题满分5分)求函数 f (x) = x 21n(1 • x)在 x = 0 处的 n 阶导数 f n (0)(n _ 3). 六、 (本题满分6分)x设函数 S(x)二 J | cost dt ， (1)当n 为正整数，且n 二空x 空(n 时，证明2n 空S(x) ：：： 2(n 1)；⑵求lim^^ .x —抉 x 七、 (本题满分7分)某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为V ，流入湖泊内不含 A 的6水量为V ，流出湖泊的水量为 V ，已知1999年底湖中A 的含量为5m )，超过国家规定指6 3标.为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 印° .问至多需要V经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 呛以内(注：设湖水中A 的浓度是均匀的) 八、 (本题满分6分)设函数f (x)在〔0,二】上连续，且° f (x)dx = 0, ° f (x)cosxdx = 0，试证明：在(0,二) 内至少存在两个不同的点 1, 2，使f( J = f ( 2)=0.九、(本题满分7分)⑷若四『6x +xf (x 厂=。