2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研考试(文)试题

2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研考试（文）试题一、选择题：1. 已知全集3{|0}4x U x Z x +=∈≤-，集合*2{||21|1},{|20}A x Z x B x N x x =∈+≤=∈--≤，则()U C A B 中元素的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D解答： 因为304x x +≤-，所以34,{3,2,1,0,1,2,3}x U -≤<=---,因为|21|1x +≤，所以1211x -≤+≤，∴10,{1,0}x A -≤≤=-,因为220x x --≤，所以12x -≤≤，∴{1,0,1,2}B =-,因此{1,0,1,2},(){3,2,3}U A B C A B =-=--，元素的个数是3,选D.2. 设复(2)(3)3()5i y i xi +-=++（为虚数单位），其中,x y 是实数，则||x yi +等于（） A. 5C. D. 2答案：A解答：由(2)(3)35)(i xi i y +-=++，得6(32)3(5)x x i y i ++-=++，∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，∴|||34|5x yi i +=-+=．选A ．3. 已知关于x 的方程sin()sin()2x x m ππ-++=在区间[0,2)π上有两个实根12,x x ，且12||x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ）A. (B. (C.D. [0,1)答案：D解答：sin()sin()2x x m ππ-++=，即sin cos x x m +=)4x m π+=，sin()4x π+=，作出函数sin(),[0,2)4y x x ππ=+∈的图像， 由图可知，要使得方程在区间[0,2)π上有两个根12,x x ，且12||x x π-≥，则022≤<，即01m ≤<．故选.4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥，则k 的值为（ ）A. 1007B. 1008C. 1009D. 1010答案：C解答：因为201620170,0S S ><， 所以1201610091008120171009201620162017()()0,()20170222a a a a a a a +=+>+=<∴1009100910080,0a a a <+>，∴100810090a a >->，因此等差数列{}n a 单调递减且1009||||n a a ≥，因此k 的值为1009.选C.5. 执行如图所示的程序框图，令()y f x =，若()1f a >，则实数的取值范围是（）A. (,2)(2,5]-∞B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (,2)(2,)-∞+∞D. (,1)(1,5]-∞-答案：D解答： 因为2,2()23,251,5x x f x x x x x ⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩，所以由()1f a >得221a a ≤⎧⎨>⎩或25231a a <≤⎧⎨->⎩或511a a>⎧⎪⎨>⎪⎩，所以1a <-或12a <≤或25a <≤，∴1a <-或15a <≤，因此选D.6. 在ABC ∆，2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则ABC ∆是（ ）A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形答案：D解答：∵ABC ∆中，2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，∴2AB AB AC AB BC CA CB =⋅-⋅+⋅ ()AB AC BC CA CB AB AB CA CB =-+⨯=⨯+⨯即22AB AB CA CB =+⨯，得0CA CB ⨯=，∴CA CB ⊥，即CA CB ⊥，可得ABC ∆是直角三角形.故选：D7. 中国人民银行发行了2018中国皮（狗）年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18mm ，小米同学为了算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是（ ）A.24865mm π B. 224310mm π C. 22435mm π D. 224320mm π 答案：B解答： 由古典概型概率得落在装饰狗身上的概率为150500， 由几何概型概率得落在装饰狗身上的概率为218()2Sπ⨯， 所以215018500()2S n =⨯，∴24310S π=，选B. 8. 如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下四个命题：①异面直线1A P 与1BC 间的距离为定值；②三棱锥1D BPC -的体积为定值；③异面直线1C P 与直线1CB 所成的角为定值；④二面角1P BC D --的大小为定值.其中真命题有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：D解答：对于①，异面直线1A P 与1BC 间的距离即为两平行平面11ADD A 和平面11BCC B间的距离， 即为正方体的棱长，为定值．故①正确．对于②，由于11D BPC P DBC V V --=，而1DBC S ∆为定值，又11//P AD AD ∈，平面1BDC ，所以点P 到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥1D BPC -的体积为定值．故②正确．对于③，由题意得在正方体1111ABCD A B C D -中，1B C ⊥平面11ABC D ，而1C P ⊂平面11ABC D ，所以11B C C P ⊥，故这两条异面直线所成的角为90．故③正确；对于④，因为二面角1P BC D --的大小，即为平面11ABC D 与平面1BDC 所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角1P BC D --的大小为定值．故④正确．综上①②③④正确．选D ．9. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为2244x y +=，其左、右焦点分别是12,F F ，直线与椭圆C 切于点P ，且1||1PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线l '与椭圆长轴交于点M ，则12||:||FM F M =（ ）A.B. C. 1:3D.答案：C解答：由椭圆的光学性质得到直线l '平分角12F PF ， 因为12111122221||||sin ||||21||||||||sin 2PMF PMF F P PM FPM S F M PF S F M PF F P PM F PM ∆∆∠===∠， 由1||1PF =，12||||4PF PF +=得到2||3PF =，故12||:||1:3FM F M =.故答案为：C.10. 函数()|sin |()f x x mx m R =-∈在(0,)+∞上有两个不同的零点12,x x （12x x <），以下正确的是（） A. 2221tan()41x x x π++=- B. 2221tan()41x x x π-+=+ C. 2221tan()41x x x π--=+ D. 2221tan()41x x x π+-=-答案：A解答：经分析知，当函数()|sin |f x x mx =-有两个不同的零点12,x x 时，则y mx =与|sin |y x =相切于点22(,sin )x x -，而|sin |y x =在22(,sin )x x -上的切线方程为2222222sin cos (),cos cos sin y x x x x y x x x x x +=--=-+-，所以22222cos sin 0,tan x x x x x -==， 则22222tan 11tan()41tan 1x x x x x π+++==--，选A.11. 某几何体的正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，三视图如图所示，该几何体外接球的表面积是（）A. 4πB. 11 2πC. 3πD. 13 3π答案：D解答：由题意得该几何体的是如图所示的四棱锥P ABCD-，底面为俯视图所示的等腰梯形（上下底分别为1,2，，棱锥的高为PE=取AB 的中点1O ，由条件可得11111O A O B OC O D ====， 故点1O 为底面梯形外接圆的圆心，过点1O 作1MO ⊥底面ABCD ，且使得12MO =1MO 上，设为点O ．设11OO x =，则OM x =，可得2222111OB OO O B x =+=+，22222()(22OP OM MP x =+=-+，由,OB OP 均为外接球的半径可得2221)x x +=-+，解得x =， 令外接球的半径为R ，则2213112R x =+=， 故四棱锥外接球的表面积为21343S R ππ==．选D ． 12. 设过曲线()2x f x e x a =++（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()(12)2sin 2a g x x x =--上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ） A. [1,1]-B. [2,2]-C. [1,2]-D. [2,1]-答案：C解答：设切线1l ，2l 的切点分别为1122(,()),(,())x f x x g x ，而()1,'()2cos x f x e g x a x '=+=--，所以1122()1,'()2cos x f x e g x a x '=+=--，因为12l l ⊥，所以12[1][2cos ]1x e a x +--=-，∴1212cos 1x a x e +=+， 因为121(0,1),2cos [2,2]1x a x a a e ∈+∈-++，所以(0,1)[2,2]a a ⊂-+因此02,21a a ≥-+≥∴12a -≤≤，选C.二、填空题13. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足11a =，1(1)n n n n a S S n++=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =_______.答案： (1)2n n + 解答： ∵1(1)n n n n a S S n++=+，∴1()(1)n n n n S S n a +-=+，即1(1)n n na n a +=+，即11n n a a n n +=+，∴数列{}n a n 为常数列且1n a n=， ∴n a n =，故数列{}n a 前n 项和为(1)2n n n S +=，故答案为(1)2n n +. 14. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线C 的准线l 的垂线，垂足分别为,M N，若1MF NF =，则抛物线C 的方程为_______ 答案：2y =解答：由抛物线的定义可知，||||AF AM =，所以三角形AMF 为等腰三角形，又//AM OF ，所以MF 平分AFO ∠，同理NF 平分BFO ∠，所以90MFN ∠=，在直角三角形MFN中，||2MN ==,因为OF MN ⊥，所以1||||2||||2MF NF OF MN ==,，即p =，抛物线的方程为2y .15. 已知实数,x y 满足3ln(23)ln(235)x y x y x y -≤+-+-+，则x y +=______.答案：167解答：根据题意,若实数,x y 满足3ln(23)ln(235)x y x y x y -≤+-+-+,则有3ln(23)ln(235)x y x y x y -≤+-+-+ln(23)(235)x y x y =+--+232ln()2x y -+≤ 当且仅当23235x y x y +-=-+ ①时等号成立, 则有33ln(1)22x y x y --≤+, 令ln(1)y x x =+-,导数为1111x y x x-=-=++,, 当0x >时,函数y 递减; 10x -<<时,函数y 递增, 可得ln(1)0x x +-≤,即得ln(1)x x +≤, 则33ln(1)22x y x y --+≤,可得33ln(1)22x y x y --+=, 即3y x =， ② 由①②可得412,77x y ==,则167x y +=.16. 在ABC ∆中，2,cos AB C == D 是AC 上一点，2AD CD =，且cos DBC ∠=，则AD CB ⋅=______.答案：4-解答：ABC ∆中，∵cos C =，cos DBC ∠=∴sin7C==，sin DBC∠=，∵BDC C DBCπ∠=-∠-∠，∴BDA C DBC∠=∠+∠，∴cos cos()cos cos sin sinBDA C DBC C DBC C DBC∠=+∠=⋅∠-⋅∠17142==，∴3BDAπ∠=．设DC x BC a==，，在BDC∆中，由正弦定理得sin sina xBDC DBC=∠∠，∴2sinxaπ==，在ABC∆中，3AC x=，BC=，2AB=，∴22294cos2a xCa x+-===⋅1x=，∴2AD=，CB=∴2cos(cos)4AD CB C Cπ⋅=-=-=--（）．故填4-.三、解答题17. 如图，正三角形ABC的边长为2，,,D E F分别在三边,AB BC和CA上，且D为AB的中点，90,EDF BDEθ∠=∠=，（0090θ<<）.（1）当tan DEF∠=时，求θ的大小；（2）求DEF∆的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值.答案：（1）60θ=；（2. 当45θ=时面积最小。